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2013
Autor: João Revez
Ângulo Giro – Matemática online
www.angulogiro.pt
MATEMÁTICA E REALIDADE Operações Numéricas e Estimação
UFCD - 6673
PADRÕES E RELAÇÕES
PADRÕES E RELAÇÕES PADRÕES E RELAÇÕES
PADRÕES E RELAÇÕES NUMÉRICAS
NUMÉRICASNUMÉRICAS
NUMÉRICAS ........................................................................................... 1
C
CC
CONCEITO DE NÚMERO
ONCEITO DE NÚMEROONCEITO DE NÚMERO
ONCEITO DE NÚMERO ............................................................................................................................ 1
N
NN
NÚMEROS
ÚMEROS ÚMEROS
ÚMEROS I
II
INTEIROS RELATIVOS E
NTEIROS RELATIVOS E NTEIROS RELATIVOS E
NTEIROS RELATIVOS E RACIONAIS
RACIONAISRACIONAIS
RACIONAIS ........................................................................................ 3
N
NN
NÚMEROS INTEIROS RELA
ÚMEROS INTEIROS RELAÚMEROS INTEIROS RELA
ÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
TIVOSTIVOS
TIVOS .............................................................................................................. 4
Operações e comparações
Operações e comparaçõesOperações e comparações
Operações e comparações ............................................................................................................. 8
Exercí
ExercíExercí
Exercícios
cioscios
cios ......................................................................................................................................... 14
R
RR
REPRESENTAÇÕES DE NÚM
EPRESENTAÇÕES DE NÚMEPRESENTAÇÕES DE NÚM
EPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
EROS FRACIONÁRIOSEROS FRACIONÁRIOS
EROS FRACIONÁRIOS ................................................................................. 20
P
PP
POTÊNCIAS DE BASE
OTÊNCIAS DE BASE OTÊNCIAS DE BASE
OTÊNCIAS DE BASE 10
1010
10......................................................................................................................... 20
Notação científica
Notação científicaNotação científica
Notação científica ........................................................................................................................... 20
Exercícios
ExercíciosExercícios
Exercícios ......................................................................................................................................... 25
M
MM
MÚLTIPLOS E DIVISORES
ÚLTIPLOS E DIVISORESÚLTIPLOS E DIVISORES
ÚLTIPLOS E DIVISORES........................................................................................................................ 27
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidadeCritérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade ............................................................................................................... 27
ESTIMAÇÃO E CÁLCULO
ESTIMAÇÃO E CÁLCULO ESTIMAÇÃO E CÁLCULO
ESTIMAÇÃO E CÁLCULO NUMÉRICO
NUMÉRICONUMÉRICO
NUMÉRICO .......................................................................................... 32
N
NN
NÚMEROS RACIONAIS REL
ÚMEROS RACIONAIS RELÚMEROS RACIONAIS REL
ÚMEROS RACIONAIS RELATIVOS
ATIVOSATIVOS
ATIVOS ......................................................................................................... 32
O
OO
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
PERAÇÕES COM NÚMEROSPERAÇÕES COM NÚMEROS
PERAÇÕES COM NÚMEROS
RACIONAIS RELATIVOS
RACIONAIS RELATIVOSRACIONAIS RELATIVOS
RACIONAIS RELATIVOS ............................................................................ 35
Forma de fração
Forma de fraçãoForma de fração
Forma de fração .............................................................................................................................. 39
Forma de número decimal
Forma de número decimalForma de número decimal
Forma de número decimal ............................................................................................................. 39
N
NN
NÚME
ÚMEÚME
ÚMEROS IRRACIONAIS
ROS IRRACIONAISROS IRRACIONAIS
ROS IRRACIONAIS ......................................................................................................................... 41
Radiciação como operação inversa da potenciação
Radiciação como operação inversa da potenciaçãoRadiciação como operação inversa da potenciação
Radiciação como operação inversa da potenciação ................................................................. 42
E
EE
ESTIMAÇÃO
STIMAÇÃOSTIMAÇÃO
STIMAÇÃO,
,,
,
VALORES APROXIMADOS
VALORES APROXIMADOS VALORES APROXIMADOS
VALORES APROXIMADOS E ERROS
E ERROSE ERROS
E ERROS ................................................................................... 46
Arredondamentos
ArredondamentosArredondamentos
Arredondamentos ........................................................................................................................... 46
O
OO
OPERAÇÕES CO
PERAÇÕES COPERAÇÕES CO
PERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE EXPOE
M POTÊNCIAS DE EXPOEM POTÊNCIAS DE EXPOE
M POTÊNCIAS DE EXPOENTE INTEIRO
NTE INTEIRONTE INTEIRO
NTE INTEIRO .......................................................................... 50
Exercícios
ExercíciosExercícios
Exercícios ......................................................................................................................................... 51
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 54
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Padrões e relações numéricasPadrões e relações numéricasPadrões e relações numéricasPadrões e relações numéricas
Conceito de Conceito de Conceito de Conceito de númeronúmeronúmeronúmero
Número
NúmeroNúmero
Número é um objeto matemático utilizado para descrever quantidades, realizar
ordenações ou efetuar medidas.
É talvez um dos primeiros conceitos matemáticos
um dos primeiros conceitos matemáticosum dos primeiros conceitos matemáticos
um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados
pela humanidade no processo de contagem.
O conceito de número
conceito de númeroconceito de número
conceito de número tem evoluído ao longo do tempo.
Os primeiros vestígios de contagens remontarão à idade da pedra, calcula-se cerca
de 50000 a.C..
Utilizando uma correspondência entre cada elemento do conjunto cuja dimensão
pretendiam saber, e uma marca, sobre um osso, madeira ou outros materiais. O
homem começava a contar ainda sem utilizar números.
É só mais tarde (no Neolítico), fundamentalmente devido ao desenvolvimento da
linguagem, que terão surgido as primeiras designações de número, e com estes os
primeiros sistemas de numeração e de medida.
O homem encontrava-se então, noutra fase da sua evolução, onde a sociedade se
começava a tornar mais complexa.
Este aumento de complexidade conduziu a uma maior necessidade de
conhecimentos e competências matemáticas, para fazer face a problemas cada vez
mais difíceis de resolver sem recurso a contagens, ordenações ou medições.
Para isto, os números naturais eram um bom começo. As necessidades do homem
por um lado – à medida que as sociedades se tornavam cada vez mais complexas -
o trabalho dos matemáticos por outro levou-nos a descobrir outros tipos de números
e diferentes sistemas de numeração.
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Sabe-se hoje nomeadamente através da arqueologia, que várias civilizações criaram
os seus próprios sistemas de numeração. Vejamos alguns exemplos:
� Os Maias
Maias Maias
Maias usavam um sistema de numeração vigesimal
numeração vigesimalnumeração vigesimal
numeração vigesimal;
� Os Romanos
RomanosRomanos
Romanos utilizavam o sistema decimal
sistema decimalsistema decimal
sistema decimal,
, ,
, semelhante ao nosso nos dias de
hoje, apenas os símbolos são diferentes;
� Os Babilónios
BabilóniosBabilónios
Babilónios recorriam a um sistema sexagesimal
sexagesimalsexagesimal
sexagesimal;
� Os Egípcios
EgípciosEgípcios
Egípcios a um sistema decimal
sistema decimalsistema decimal
sistema decimal semelhante ao Romano, mas com
símbolos diferentes.
Figura 1 - Papiro de Moscovo
Figura 2 - Papiro de Rhind
Ambos os papiros são da civilização Babilónica que no seu auge eram os mais
avançados sob o ponto de vista Matemático.
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Números Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionais
Como vimos anteriormente, a Matemática e consequentemente o conceito de número
estiveram desde os tempos mais remotos sempre presente na vida humana.
Os Números Naturais foram uma peça chave para o desenvolvimento da
humanidade.
Trata-se do conjunto numérico mais “popular”. Sendo que as suas principais utilidades
são, sem dúvida, a realização de contagens e ordenações:
� Contar o número de alunos que estão na sala;
� Ordenar os alunos de acordo com o número de inscrição.
O conjunto dos Números Naturais, tem infinitos elementos e representa-se por IN
ININ
IN.
Representado em extensão:
Representado em extensão:Representado em extensão:
Representado em extensão: IN =
�1,2,3,4,5, …
Representado na forma de conjunto
Representado na forma de conjuntoRepresentado na forma de conjunto
Representado na forma de conjunto
À medida que a sociedade se torna mais complexa, mais complexas se tornam as
necessidades do homem no que a contagens, ordenações e medições diz respeito.
Eis então que surge o conceito de nada na Matemática, mais concretamente o zero.
E é este ente Matemático, que provoca uma autêntica revolução.
- Como se podia representar matematicamente “nada”?
- Como traduzir matematicamente uma divida?
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Assim, se ao conjunto dos números naturais, juntarmos o 0 (zero) e todos os números
inteiros negativos, obtemos o conjunto dos Números Inteiros Relativos
Números Inteiros RelativosNúmeros Inteiros Relativos
Números Inteiros Relativos. Representa-
se por .
Representado em extensão
Representado em extensãoRepresentado em extensão
Representado em extensão:
::
:
� �… , �3, �2, �1,0,1,2,3, …
Representado na forma de conjunto
Representado na forma de conjuntoRepresentado na forma de conjunto
Representado na forma de conjunto
Deste modo facilmente concluímos que os números inteiros relativos são uma
extensão dos números naturais que incluem os números inteiros negativos, assim
como o zero.
Os números racionais, por sua vez, incluem frações de inteiros. Os números reais são
todos os números racionais mais os números irracionais.
Números inteiros relativosNúmeros inteiros relativosNúmeros inteiros relativosNúmeros inteiros relativos
Seja para representar temperaturas inferiores a zero, saldos negativos, parques
subterrâneos, etc., utilizamos números negativos.
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Por exemplo:
Figura
Figura Figura
Figura 3
33
3
–
––
–
termómetro indicando
termómetro indicando termómetro indicando
termómetro indicando
temperatura negativa
temperatura negativatemperatura negativa
temperatura negativa
-
--
-
Imagem
Imagem Imagem
Imagem
retirada de www.curtocuritiba.com.br
retirada de www.curtocuritiba.com.brretirada de www.curtocuritiba.com.br
retirada de www.curtocuritiba.com.br
Figura
Figura Figura
Figura 4
44
4
-
--
-
Saldo da balança comercial
Saldo da balança comercial Saldo da balança comercial
Saldo da balança comercial
portuguesa
portuguesa portuguesa
portuguesa -
--
-
Dados do banco de
Dados do banco de Dados do banco de
Dados do banco de
Portugal
PortugalPortugal
Portugal
Figura
Figura Figura
Figura 5
55
5
-
--
-
Painel de Elevador com
Painel de Elevador com Painel de Elevador com
Painel de Elevador com
indicação de piso subterrâneo
indicação de piso subterrâneoindicação de piso subterrâneo
indicação de piso subterrâneo
Vimos atrás que o conjunto dos números inteiros relativos é
� �… , �3, �2, �1,0,1,2,3, …
� Aos números inteiros inferiores a zero damos o nome de números inteiros
números inteiros números inteiros
números inteiros
negativos
negativosnegativos
negativos. Exemplo: -3, -2, -387.
� Aos números inteiros superiores a zero damos o nome de números inteiros
números inteiros números inteiros
números inteiros
posi
posiposi
positivos
tivostivos
tivos. Exemplo: 33, 26, 783.
� O zero
zerozero
zero é também um número inteiro, contudo, não é positivo nem negativo
não é positivo nem negativonão é positivo nem negativo
não é positivo nem negativo.
Principais subconjuntos de
Principais subconjuntos de Principais subconjuntos de
Principais subconjuntos de
+� �1,2,3, … � IN
0+� �0,1,2,3, …
-� �… � 3, �2, �1
0-� �… � 3, �2, �1,0