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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

AULA 1

I INTRODUÇÃO............................................................................................................................................ 2

1 Estatística descritiva e inferencial ............................................................................................................ 2

2 População e amostra................................................................................................................................. 2

3 Amostragem aleatória ............................................................................................................................... 3

II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. .............................................................................. 3

1 Dados brutos ............................................................................................................................................. 3

2 Rol ............................................................................................................................................................. 4

3 Medidas de posição................................................................................................................................... 6

4 Média Aritmética....................................................................................................................................... 7

5 Média Geométrica e Harmônica ............................................................................................................. 20

6 Média ponderada .................................................................................................................................... 24

7 Propriedades da média aritmética .......................................................................................................... 26

8 Mediana .................................................................................................................................................. 34

9 Moda ....................................................................................................................................................... 38

III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS ................................................................................................... 40

LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS ......................................................................... 43

GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 50

ANEXO ................................................................................................................................................................ 51

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

I INTRODUÇÃO

1 Estatística descritiva e inferencial

A estatística é usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial.

Nos concursos, a estatística descritiva geralmente aparece como “Estatística Básica”. Ela busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas. Acho que a melhor maneira de entender é por meio de um exemplo.

Desejamos pesquisar o salário das pessoas de um bairro. Entrevistamos diversos moradores e anotamos seus salários. Um trecho de nossas anotações poderia ser representado assim:

Salários dos moradores bairro Nova Vila:

R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00...

E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salários. Só que simplesmente pegar esta listagem e apresentar para alguém não permite, de imediato, tirar conclusões sobre as pessoas deste bairro. São predominantemente de classe média, baixa, alta? O bairro é mais ou menos homogêneo ou abriga pessoas ricas e pobres?

Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salário médio das pessoas pesquisadas no bairro Nova Vila é de R$ 3.600,00, aí sim já podemos começar a tirar algumas conclusões. Esta média descreve, de maneira sucinta, todo o nosso conjunto de dados. É uma medida típica na estatística descritiva.

Já a estatística inferencial tem outro propósito. Se quisermos, a partir da média obtida nesta nossa pesquisa, calcular qual a provável média salarial de TODOS os moradores do bairro, usaremos ferramentas de estatística inferencial. Seu intuito é fazer generalizações, a partir de alguns valores conhecidos.

2 População e amostra

Voltemos ao exemplo da seção anterior, em que queríamos pesquisar o salário das pessoas do bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salários de TODAS as pessoas do bairro é a nossa população.

População: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada característica em comum.

No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salários de pessoas que moram no bairro Nova Vila. Esta é a característica de interesse.

Se entrevistarmos TODAS as pessoas do bairro, estamos realizando um CENSO. Agora, dependendo da população, fica inviável entrevistar todo mundo. Imagine se for um bairro muito grande. De repente não se tem tempo suficiente para esperar que todo mundo seja entrevistado. Ou não se tem dinheiro para pagar toda a quantidade de pessoal que seria necessária para coletar tais dados. Nestes casos, em vez de entrevistarmos todo mundo, trabalhamos com uma AMOSTRA.

Amostra: qualquer subconjunto não vazio da população.

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Apesar de eu ter dito “qualquer subconjunto”, este “qualquer” tem exceção. O conjunto de todos os salários dos moradores (= população) é um subconjunto de si mesmo. Então uma definição mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto não vazio da população, exceto a própria população. Mas isto já é preciosismo...

Há diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da pesquisa salarial com os moradores do bairro Nova Vila, já demos algumas razões (tempo, custo). Há outras. Suponha que se deseje testar a resistência de uma dada mercadoria, produzida em série por uma empresa. O teste consiste em submeter esta mercadoria a pressões cada vez maiores, até que ele arrebente. Não podemos testar todas as mercadorias produzidas. Se não, não sobra nenhum produto e o teste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do português (com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fósforos da caixa para ver se estão funcionando. Neste caso, testando toda a população, temos uma situação absurda.

EC 1

Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC]

O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se:

a) amostragem

b) estimação

c) censo

d) parametrização

e) correlação

Quando temos acesso a todos os elementos da população, estamos realizando um censo. Resposta: C.

3 Amostragem aleatória

Há diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatória simples é a mais cobrada em provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que se trata da amostragem feita de forma que cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido. Por exemplo: queremos escolher algumas pessoas de uma empresa para realizar uma entrevista. Escrevemos os nomes de todos os funcionários em pedaços de papel de mesmo tamanho. Colocamos todos os nomes em um saco. Misturamos bem todos os papéis. Feito isto sorteamos 5 nomes. Este é um exemplo de amostragem aleatória simples. Todos os funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos. Além disso, qualquer combinação de cinco pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. Falamos mais sobre isso na aula 5.

II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL.

Vamos falar agora de medidas de posição para dados em rol. Precisamos, portanto, saber o que é um rol e o que são medidas de posição. Comecemos pelo rol. Só que para chegarmos a ele, vejamos os chamados “dados brutos”.

1 Dados brutos

Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram:

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Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.

O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e perguntamos: qual o seu salário? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante.

A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles estão simplesmente na ordem em que foram coletados. Não receberam qualquer tratamento.

2 Rol

Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. Geralmente em concurso só aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria assim:

Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

O rol já é uma primeira forma de organizar nossos dados. É também uma maneira de apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum tempo ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o símbolo ‘R$’ e indicar apenas as unidades de milhar.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Então rol é apenas isto. Nada mais é que um conjunto de números (resultados de uma pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou decrescente).

É muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa série de dados. Uma notação muito usual é: X i (lê-se “xis, índice i”). É utilizada para nos referimos ao “i-ésimo” elemento. Vamos dar um exemplo.

Quem é o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como:

Qual o valor de

X 3 ?

Resposta: o terceiro elemento é 2 ( X 3 = 2)

Para chegar à resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro elemento é o 1, o segundo elemento é o 2 e o terceiro elemento também é 2.

Abaixo seguem mais valores de

X i :

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.

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Somatório

Conhecendo esta notação, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em estatística: o SOMATÓRIO.

O símbolo de somatório é: ∑

A utilidade do somatório é possibilitar uma escrita mais compacta.

Desejamos saber qual o salário total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar todos os valores de salários das dez pessoas entrevistadas.

Precisamos fazer o seguinte:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

Ou seja, o salário total das dez pessoas entrevistadas é de R$ 36.000,00.

Em vez de escrever desta forma, poderíamos escrever:

10

∑ X i =36 i =1

O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. Quais valores de Xi? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10.

10

A expressão ∑ X i =36 nada mais é que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + i =1

X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma série de dados, vamos calcular 5

∑ X i . i =2

Sabemos que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Queremos somar valores de Xi para os quais ‘i’ vai de 2 até 5. Assim, queremos calcular a seguinte soma:

X2 + X3 + X4 + X5

Substituindo os valores, ficamos com:

5

∑ X i = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. i =2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EP 1

Considere a seguinte seqüência de dados:

2, 6, 1, 4, 6.

Obtenha o rol correspondente

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EP 2

Considere a seguinte seqüência de dados:

3, 1, 4, 2, 7, 3

3

Obtenha o valor de ∑ X i i =1

EP 3

Para a mesma seqüência de dados do exercício anterior, obtenha

4

∑ ( )2

X i . i =1

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolução - EP 1

ROL: 1, 2, 4, 6, 6

Resolução EP 2

Primeiro passo: obtendo o ROL.

ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7

Identificando os termos.

X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7

Fazendo a soma:

3

∑ X i i 1=

= X 1 + X 2 + X 3 = 1 + 2 + 3 = 6

Resolução EP 3

Fazendo a soma:

4

∑ ( )2 = 21X

i

+ 2 2 + 32 + 32 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23 .

i =1

3 Medidas de posição

Medidas de posição nos fornecem informações acerca de posições que os dados ocupam. Podem ser de dois tipos:

· Medidas de tendência central (média, mediana e moda).

· Medidas separatrizes.

As medidas de tendência central indicam valores em torno dos quais os dados “giram”. Um exemplo é a média. Se dissermos que a nota média dos alunos em uma prova foi 6, é razoável esperar que as notas “giraram” em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediária, uns 4, 5, 6 ou 7.

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Se dissermos que a nota média desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, é razoável esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.

As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz é o quartil. Uma série de dados possui três quartis que separam a série de dados em quatro partes.

Devido a algumas dificuldades que surgem no estudo de medidas separatrizes, vamos deixá-las para depois. Nesta aula só estudaremos a principal medida separatriz: a mediana. As demais estudaremos na aula 3.

4 Média Aritmética

A MÉDIA ARITMÉTICA dos dados é dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de observações. Voltemos à nossa pesquisa sobre o salário dos moradores do bairro. Relembrando o nosso rol:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Calculando a soma dos dados, temos:

10

∑ X i = 36 i 1=

Só relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Quais valores? Valores de X para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados.

A média fica:

= 36 = 3 6, ___

X 10

Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 3.600,00.

Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados.

Este símbolo adotado para média ( X ) é muito comum. Muitos autores o utilizam. É importante saber isto porque às vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e não explicam que se trata da média.

Para um conjunto de ‘n’ dados, a média pode ser representada por:

___

X

n

∑ X i = 1

n

A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os dados e dividimos por n.

Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte. Muitas pessoas acham que a média precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. E na nossa amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário de R$ 3.600,00.

Este valor 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas devem girar em torno de R$ 3.600,00.

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

Antes de irmos para os exercícios, só um comentário. Além da média aritmética, há outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmética é a mais importante (porque é a mais cobrada). Portanto, se o exercício falar apenas “média”, sem mencionar que é a aritmética, pode supor que se trata dela. Vamos a alguns exercícios sobre o assunto.

EP 4

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - MÉDIA

Calcule a média da seguinte seqüência de números: {1, 3, 8}.

EP 5

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e mulheres?

EP 6

Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 2.000,00. A média salarial geral (considerando homens e mulheres) é R$ 1.600,00. Qual a média salarial das mulheres?

EP 7

Numa empresa, temos 100 funcionários. A média do salário dos homens é de R$ 1.000,00. A média do salário das mulheres é de R$ 900,00. A média geral, considerando homens e mulheres, é R$ 960,00. Quantas mulheres há na empresa?

Resolução - EP 4

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

X = 1 + 3 + 8 = 4 3

Resolução - EP 5

Vamos chamar o salário dos homens de H.

Como assim??

Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salários:

725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

Pronto, a média desses salários é de 825,00.

Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

O salário do primeiro homem é 725. Portanto:

O salário do segundo homem é 800. Portanto:

E assim por diante.

H1 = 725

H 2 = 800

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

Pois bem, somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a média de salário dos homens. Fica assim:

= ∑ H 825 4

Multiplicando cruzado:

∑ H = 4 × 825 = 3300

Ou seja, a soma dos salários de todos os homens é igual a R$ 3.300,00.

Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim:

600 = ∑ M 5

� ∑ M = 5 × 600 = 3000

Ou seja, a soma dos salários de todas as mulheres é igual a R$ 3.000,00.

O exercício pede a média geral, de homens e mulheres.

Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo).

Fica assim:

Média _

geral = ∑ H + ∑ M 9

Substituindo os valores:

Média _ geral = 3300 + 3000 = 700 9

A média geral, incluindo homens e mulheres, é de R$ 700,00.

Note que na empresa há mais mulheres do que homens. Portanto, a média geral está mais próxima da média das mulheres.

Resolução - EP 6

Exercício bem parecido com o anterior.

Vamos chamar de H o salário dos homens e de M o salário das mulheres.

A média salarial dos homens é igual a R$ 2.000,00. E para obter esta média, somamos os salários de todos os homens e dividimos por 6 (são seis homens).

Portanto:

= ∑ H 2000 6

Multiplicando cruzado:

∑ H = 6 × 2000 = 12000

Assim, a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00.

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 10 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

A média salarial geral é obtida somando o salário de todos os homens, de todas as mulheres, e dividindo por 10 (são 10 pessoas ao todo).

= ∑ H + ∑ M 1600 10

Multiplicando cruzado:

∑ H + ∑ M = 16000

A soma dos salários de todos os homens e todas as mulheres é igual a R$ 16.000,00.

Mas já sabemos que a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. Substituindo o valor da soma dos salários dos homens:

12000 + ∑ M = 16000

M∑ = 4000

A soma dos salários das mulheres é igual a R$ 4.000,00. Como são quatro mulheres, a média salarial das mulheres fica:

Média _ mulheres = 4000 = 1000 4

As mulheres ganham em média R$ 1.000,00.

Como há mais homens na empresa, a média geral é mais próxima da média masculina.

Resolução - EP 7

Este exercício é um pouco mais difícil que os anteriores.

Como não sabemos o número de homens e de mulheres, vamos dizer que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres.

Portanto:

a + b = 100 (há 100 funcionários na empresa).

Esta é a primeira equação.

a + b = 100 (I)

Vamos, como de costume, chamar o salário dos homens de H e o das mulheres de M.

A média dos salários dos homens é R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salários dos homens e dividindo por ‘a’ (são ‘a’ homens), temos a média salarial masculina (=1000).

1000 = ∑ H a

Multiplicando cruzado:

∑ H = 1000 × a

A soma dos salários de todos os homens é igual a mil vezes o número de homens.

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

A média dos salários das mulheres é R$ 900,00. Portanto, somando o salário de todas as mulheres e dividindo por ‘b’ (são ‘b’ mulheres), temos a média salarial feminina (=900):

900 = ∑ M b

Multiplicando cruzado:

M∑ = 900 × b

A soma dos salários de todas as mulheres é igual a 900 vezes o número de mulheres.

A média geral é R$ 960,00. Ou seja, somando o salário de todos os homens e de todas as mulheres, dividindo pelo número de pessoas (=a+b), temos a média geral.

960 = ∑ H +

∑ M

a + b

Multiplicando cruzado:

∑ H + ∑ M = 960 × (a + b)

A soma de salários de homens e mulheres é igual a 960 vezes o número de pessoas.

Substituindo as somas de salários de homens e mulheres:

1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) (II)

Esta é a equação II. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte:

1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b)

Substituímos 1000 × a por 100 × a + 900 × a

1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b )

Continuando:

100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b )

100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b)

Colocando 900 em evidência:

100 × a + 900 × (a + b) = 960 × (a + b)

Lembrando que a + b = 100

100 × a + 900 ×100 = 960 ×100

Dividindo todos os termos por 100:

a + 900 = 960

a = 60 � b = 40

São quarenta mulheres na empresa.

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 12 PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

Para quem tem facilidade com contas, esta resolução é rápida. Já outras pessoas preferem, em vez de ficar montando essas equações, decorar uma fórmula que dá direto o percentual de homens (ou de mulheres). Esta fórmula nada mais é que uma combinação das duas equações vistas acima. Aí vai de cada um. Eu, particularmente, prefiro decorar o menos possível. Já tem tanta coisa pra decorar pra um concurso. Quanto mais eu puder aliviar a memória, melhor. De todo modo, vamos passar a fórmula, para quem assim preferir.

Vamos chamar a média dos salários das mulheres de M . A média dos salários dos homens de H . A média geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e mulheres no conjunto fica:

perc _ de _ hom ens = X − M

= 960 − 900 = 60 = %60

H − M 1000 − 900 100

perc _ de _ mulheres =

X − H = 960 − 1000 =

− 40 − 100

= %40

M − H 900 − 1000

EC 2

Fiscal ICMS/SC - 1998

EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIA

Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários é:

a) 5.830,00

b) 6.830,00

c) 2.830,00

d) 3.830,00

e) 4.830,00

O nosso rol pode ser escrito assim:

Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000.

São 10 dados (n = 10)

A média fica:

___

X

n

∑ X i = 1

n

___

400. = 3X

+ 3 400.

+ 4 500.

+ 4 500.

+ 4 500. 10

+ 4 500.

+ 5 500.

+ 5 500.

+ 7 000.

___

X

= 48 300. = 4 830. 10

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Resposta: letra E.

EC 3

Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

Para treinar, vamos primeiro fazer o rol.

ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

Ainda não estudamos o que é moda e mediana.

Vamos calcular só a média.

= ∑ X (dividimos por 10 porque são dez notas).

X i 10

X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10

A média vale 6.

EC 4

Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.

a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.

b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.

c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.

d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.

e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

Repare que a média de homens é de 1300. A média de mulheres é de 1100.

Se no conjunto tivéssemos mais homens, a média geral (considerando homens e mulheres) estaria mais próxima de 1300.

Do contrário, se tivéssemos mais mulheres, a média geral estaria mais próxima de 1100.

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Contudo, a média geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o número de homens é igual ao número de mulheres. Nem precisou fazer conta.

De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resolução.

Vamos chamar o salário dos homens de H.

Vamos chamar o salário das mulheres de M.

Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres.

A média dos salários dos homens é igual a R$ 1.300,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 1.300,00.

H∑ = 1300 a

Ou ainda:

H∑ = 1300 � ∑ H = 1300 × a a

Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 1300 vezes o número de homens.

O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários da mulheres é de R$ 1.1000.

Portanto:

M∑ = 1100 � ∑ M = 1100 × b b

Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 1.200.

Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e dividirmos pelo número de pessoas.

Fica:

∑ H + ∑ M a + b

= 1200

Multiplicando cruzado:

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∑ H + ∑ M

= (a + b) ×1200

Substituindo os valores dos somatórios:

1300 × a + 1100 × b = (a + b) ×1200

1300 × a + 1100 × b = 1200 × a + 1200 × b

1300 × a − 1200 × a = 1200 × b − 1100 × b

100 × a = 100 × b

a = b

Resposta: A. O número de homens é igual ao número de mulheres.

EC 5

Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre os funcionários da empresa.

A questão é da Fundação Carlos Chagas. Está adaptada. O enunciado original, este nós veremos ainda nesta aula.

A questão é bem parecida com a anterior.

A média dos homens é de 600. A das mulheres é de 500. Note que a média geral está mais próxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos supor que são 100 funcionários no total. Na verdade nem precisava supor isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, falar simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo.

Vamos chamar o salário dos homens de H.

Vamos chamar o salário das mulheres de M.

Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres.

Portanto:

a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários).

a + b = 100 (EQUAÇÃO I)

A média dos salários dos homens é igual a R$ 600,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 600,00.

H∑ = 600 a

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Ou ainda:

H∑ = 600 � ∑ H = 600 × a a

Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 600 vezes o número de homens.

O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 500.

Portanto:

M∑ = 500 � ∑ M = 500 × b b

Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 530.

Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e dividirmos pelo número de pessoas.

Fica:

∑ H + ∑ M a + b

= 530

Multiplicando cruzado:

∑ H + ∑ M

= (a + b) × 530

Substituindo os valores dos somatórios:

600 × a + 500 × b = (a + b) × 530 (EQUAÇÃO II)

Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os valores de ‘a’ e ‘b’.

Vamos fazer o seguinte:

Vamos substituir

600 × a por 100 × a + 500 × a

600 × a + 500 × b = (a + b ) × 530

100 × a + 500 × a + 500 × b = ( a + b ) × 530

Continuando a resolução:

100 × a + 500 × a + 500 × b = (a + b) × 530

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Colocando 500 em evidência:

100 × a + 500 × (a + b) = (a + b) × 530

Lembrando que a + b = 100 :

100 × a + 500 ×100 = 100 × 530

Dividindo todos os termos por 100:

a + 500 = 530

a = 30

Portanto, de cada 100 funcionários, 30 são homens. Logo, o percentual de homens é de 30%.

Outra opção é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7.

perc _ de _ hom ens =

X − M

H − M

= 530 − 500 = %30 600 − 500

perc _ de _ mulheres =

X − H = 530 − 600 =

− 70 − 100

= %70

M − H 500 − 600

EC 6

Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC]

Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00

Questão da Fundação Carlos Chagas.

Antes de fazer a questão, olhemos atentamente as alternativas. Dá pra descartar alguma sem precisar fazer contas? Sim! É possível descartar as letras ‘a’ e ‘b’.

Com as 53 empresas, a média era de R$ 2.340,00. Depois, uma qüinquagésima quarta empresa se juntou às 53 iniciais. E a média AUMENTOU para R$ 2.480,00.

Ora, se a média aumentou, é porque o tributo pago por esta última empresa foi maior que a média anterior. Ou seja, o tributo pago pela última empresa foi maior que R$ 2.340,00.

E antes mesmo de resolver a questão, podemos já arriscar um chute. Uma única empresa aumentou a média em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto, se fôssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E é melhor que a D. Isto porque a letra B é igual à letra E dividido por 10, possivelmente esperando um erro de conta do candidato.

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Vamos à resolução. No início, quando eram apenas 53 empresas, a média podia ser escrita como:

53

∑ X i X = 1

53

Substituindo o valor de X por 2.340, temos:

53

∑ X i 53

2340 = 1 � ∑ X i = 53 × 2340 (I) 53 1

O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o total obtido será 53 x 2340.

Depois que a última empresa pagou seu tributo, a média passa a ser escrita como:

54

∑ X i X ' = 1

54

Modifiquei o símbolo da média só para diferenciar da média anterior.

Substituindo o valor de X ' por 2.480, temos:

54

∑ X i 54

2480 = 1 � ∑ X i = 54 × 2480 (II) 54 1

Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 empresas iniciais e mais a última empresa a pagar tributo), o resultado obtido será 54 x 2480.

Na equação (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equação (I) eu tenho o total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o tributo pago pela última empresa (X54). Ficamos com:

54 53

∑ X i − ∑ X i = X 54 1 1

Caso tenha ficado difícil de entender, é como se estivéssemos fazendo a seguinte conta:

(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) – (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54.

Continuando:

54 53

∑ X i − ∑ X i = X 54 1 1

54 × 2480 − 53 × 2340 = X 54

Se você quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo.

Só vou dar uma sugestão. Na conta acima, temos duas multiplicações envolvendo números de quatro dígitos. São trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Além das multiplicações, temos uma subtração. Seria ótimo se eu pudesse primeiro fazer a

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subtração, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicação. Com esta idéia, podemos fazer o seguinte:

X 54

= 54 × 2480 − 53 × 2340

X 54

= 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340

Continuando a solução:

X 54 = 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340

Colocando o ‘53’ em evidência:

X 54 = 2480 + 53 × (2480 − )2340

X 54 = 2480 + 53 × ( )140

Pronto, agora temos apenas uma multiplicação e envolvendo números menores.

X 54 = 9900

Resposta: letra E.

EC 7

Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] Concentração em

μg/g Elemento Casaco Vidraça

Desvio padrão

As 132 122 9,7 Co 0,54 0,61 0,026 La 4,01 3,60 0,20 Sb 2,81 2,77 0,26 Th 0,62 0,75 0,044

Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara vidraça belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraça belga. A técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia de absorção atômica. As médias e os desvios- padrão das análises em triplicata desses cinco elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a vidraça belga são mostrados na

tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 3 = 1 73,

e que o parâmetro t

de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e à análise estatística de dados.

[...]

A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 μg/g, 130 μg/g e 143 μg/g.

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Prova do CESPE, de perito da PF de 2004. Para o elemento As, foram obtidas três amostras. A média da concentração dessas três amostras foi de 132.

A questão diz que esta média pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 143.

Fazendo a média destes três valores, temos:

X = 121 + 130 + 143 = 131 33, .

3

Portanto a alternativa está incorreta.

5 Média Geométrica e Harmônica

Este assunto não é muito cobrado em concursos. Mas não custa nada comentar.

Aqui, também estamos interessados em calcular um valor médio, assim como feito com a média aritmética. Só que a conta que fazemos é outra.

Por definição, a média geométrica de ‘n’ valores não negativos (X1, X2, ..., Xn) é:

G = n

X 1 × X 2 × ... × X n

n

= n ∏ X i i =1

Por definição, a média harmônica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) é:

n

H = � 1 ∑� n i 1=

1−

iX 1− ��

Fórmulas meio complicadas, não?

Vamos ver alguns exemplos que fica mais fácil.

Suponhamos que nossos dados são apenas: 3 e 12. Apenas dois números (pra facilitar as contas).

Para calcular a média aritmética, conforme vimos na seção anterior, ficamos com:

X = 3 + 12 = 7 5, 2

A média geométrica é diferente. Para obtê-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a raiz “enésima”. Como neste caso são apenas dois valores, será a raiz quadrada.

G = 2 3 ×12 = 6

A média harmônica é um pouco mais complicada. Vamos dividir em três passos.

Primeiro passo: achamos os recíprocos de cada valor.

Para obter o recíproco de um número, basta inverter seu numerador com seu denominador. Vamos a um exemplo.

Tomemos o número

2 3

. Seu recíproco é . 3 2

No nosso caso, os valores são 3 e 12.

1

O recíproco de 3 é . 3

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1 O recíproco de 12 é .

12

Segundo passo: calculamos a média aritmética dos recíprocos.

Ficamos com:

1 1 + 4 + 1 3 12 = 12 = 5

22 24

Terceiro passo: calculamos o recíproco do valor obtido acima. Pronto. Esta é a média harmônica.

H = 24 5

H = 4 8,

Se resumirmos todos esses três passos numa frase, podemos dizer que a média harmônica é o recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores.

Agora o que mais cai em concurso não é essa parte de contas. É simplesmente saber o seguinte:

Para qualquer conjunto de n números não negativos, a média harmônica é menor ou igual à média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos os números forem iguais entre si.

Vamos olhar no caso dos números 3 e 12. A média aritmética foi de 7,5. Foi a maior das médias. A média harmônica foi de 4,8. Foi a menor das três. E a média geométrica foi de 6, o valor intermediário.

Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, aí teríamos:

X = G = H = 12 Quando todos os valores são iguais, as médias coincidem.

Resumindo, o que geralmente cai em prova é saber que:

H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais)

Resumo: comparação das médias.

H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EP 8

Para a seqüência (4,6,9), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica.

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EP 9

Para a seqüência (4,4,4), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica.

Resolução - EP 8

Média aritmética:

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

X = ∑ X i = 4 + 6 + 9 = 19

33 3

Média geométrica:

G = 3 4 × 6 × 9 = 3 216 = 6

Média harmônica:

Primeiro passo: encontrando os recíprocos:

1 1, 1, 64 9

Segundo passo: média dos recíprocos:

1 + 1 + 1 64 9 9 + 6 + 4= 1× =

19

3 108 3 36

Terceiro passo: recíproco do valor acima:

H = 108 19

Resolução EP 9

Como todos os valores são iguais, todas as médias são iguais a 4.

EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA

EC 8

Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

Indicando por:

- X : a média aritmética de uma amostra;

- mg : a média geométrica da mesma amostra; e

- mh : a média harmônica também da mesma amostra.

E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é:

a) X < mg < mh .

b) X > mg > mh .

c) mg < X < mh .

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d) X < mg = mh .

e) X = mg = mh .

Esta é uma questão da ESAF. Aplicação direta do nosso “resumo” visto acima. Como o enunciado informou que todos os valores são diferentes entre si, então a igualdade entre as médias fica excluída.

Resposta: B.

EC 9

AFRF – 2005 [ESAF]

Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.

b) G ≤ X ≤ H , com G = X

= H somente se os n valores forem todos iguais.

c) X ≤ G ≤ H , com

X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.

d) H ≤ G ≤ X , com

H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.

e) X ≤ H ≤ G , com

X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

Outra questão da ESAF. Aplicação direta do resumo visto acima.

Resposta: D.

EC 10

Estatístico ENAP – 2006 [ESAF]

O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} é igual a a) 6.

b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

Questão da ESAF.

Os recíprocos são:

1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3.

Fazendo a média desses valores, temos:

� 1 � 1 × � 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + � =

10 � 10 5 3 54 10 83 9 3 �

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� 1 �× 1 + 1 + 3 × 1 1

+ 1 + 2 × +

1 � ×2 � =

10 � 4 8 9

�

3 5

1 �

10 �

1 × � 1 + 1 + 1 + 3 × 1 + 2 × 1 + � = 10 � 4 8 9 3 5 5 �

� � � 0 375, 1 �

1 × � 2 + 1 + 1 + 3 × 1 + 3 × 1 � = 1 × � + + 1 + 0 6, �

10 � 8 8 9 3 5 � 10 � 9 �

Observe que 1/9 é uma fração mais “complicada”. Dá uma dízima periódica. Vamos aproximar 1/9 por 0,11.

1 × � 0 375,

�

+ 1 + 1 + 0 6,

� � 1 ( ,2 )085 �

10 � 9 � 10

E a média harmônica fica:

H � 10 2 085,

Outra divisão “complicada” de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085 por 2

H � 10 10� = 52 085, 2

Quando nós trocamos o denominador 2,085 por 2, nós aumentamos um pouco a nossa fração. Portanto, na verdade, a média harmônica é um pouco menor que 5.

O número mais próximo disto é o 4,794.

Resposta: C.

Esta última questão já foi mais complicada por causa das contas. Mas não se preocupem. Notem que foi tirada de uma prova específica para a área de estatística.

Isso bem que às vezes a ESAF exagera nas questões e coloca contas muito trabalhosas de fazer. O último AFRF foi exemplo disso.

6 Média ponderada

A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo.

Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

NF = 10 + 9 + 7 + 6 = 8 4

Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal, a mesma que vimos no começo da aula.

Esse mesmo aluno faz um outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas notas são: 9,5 e 7,5.

A média dessas notas fica:

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9 5,

+ 7 5, = 8 5, 2

Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da média aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é discursiva. Como a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela “vale mais”. Ela tem peso três. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, é igual a:

NF ' = 1× 9 5,

+ 3 × 7 5, = 8 4

É como se a segunda prova fosse “triplicada”. É como se estivéssemos, na verdade, fazendo uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.

peso da primeira nota

peso da segunda nota

NF ' =

1 × 4

( )1 ×

9 , 5 + ×3 7 , 5

soma dos pesos (=1+3)

primeira nota

segunda nota

Essa nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas provas. É uma modificação da média aritmética. Na média ponderada, cada valor tem um peso diferente.

Vamos relembrar do EP 5. Seu enunciado era:

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e mulheres?

Vamos reescrever a solução? Ficou assim:

Chamamos os salários dos homens de H.

Somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a média de salário dos homens. Fica assim:

= ∑ H 825 4

Multiplicando cruzado:

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∑ H = 4 × 825

Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim:

600 = ∑ M 5

� ∑ M = 5 × 600

O exercício pede a média geral, de homens e mulheres.

Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo).

Fica assim:

Média _

geral = ∑ H + ∑ M 9

Substituindo os valores:

Média _ geral = 4 × 825 + 5 × 600 = 700 9

Observe que a média geral é uma média ponderada entre as médias dos homens e das mulheres. O peso da média dos homens é o número de homens. O peso da média das mulheres é o número de mulheres.

peso da média dos homens peso da média das

mulheres

Médi _a

geral = 1 × ( )4× 825+ 5 × 600

= 700

9

soma dos pesos (=4+5)

média dos homens

média das mulheres

Ainda nesta aula veremos mais exercícios parecidos com este.

7 Propriedades da média aritmética

Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro Nova Vila.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. Agora, seus salários são:

Salários após o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Qual a nova média?

A nova média será:

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X = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4 6, 10

O salário médio agora é de R$ 4.600,00.

Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00.

Suponhamos agora que todos esses funcionários, além do salário normal (já reajustado em R$ 1.000,00), vão receber em dezembro o décimo terceiro integral. Assim, no mês de dezembro, os salários vão ficar:

Salário mais décimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

A nova média fica:

X = 4 + 6 + 6 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 14 + 16 = ,9 2 10

Note que todos os valores foram dobrados. A média, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 9.200,00. Portanto, a média também dobrou.

Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

· somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.

· multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

Outras duas propriedades da média são:

· a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos quadrados dos desvios.

· a soma de todos os desvios em relação à média aritmética é igual a zero.

Sobre essas duas últimas propriedades, por enquanto vai ficar só o registro de que elas existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de dispersão.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA

EP 10

Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {1, 3, 5}

EP 11

Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida a partir da seqüência anterior, somando 2 a todos os elementos).

EP 12

Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {6, 10, 14} (observe que esta seqüência foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).

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Resolução EP 10

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

X = 1 + 3 + 5 = 3 3

Resolução EP 11

X = 3 + 5 + 7 = 5 . 3

Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relação à seqüência anterior), a média também foi adicionada de 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida pelos dados.

Resolução EP 12

X = 6 + 10 + 14 = 10 3

Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relação à seqüência anterior), a média também foi multiplicada por 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida pelos dados.

EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA

EC 11

Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC]

Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos alugueis em reais é:

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Questão da FCC.

Vamos chamar a média dos aluguéis de X .

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Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores também será dobrada.

Média dos valores obtidos no item I: 2 X

Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses novos valores também será reduzida de R$ 1.200,00.

Média dos valores obtidos no item II:

2 X − 1200

Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também ficará dividida por mil.

2 X − 1200

Média dos valores obtidos em III: 1000

O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. Portanto:

2 X − 1200 3= X� = 750

1000 10

Resposta: E.

EC 12

Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

Lá no EC 5 nós vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionários, 30 são homens. Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionários. Inicialmente, temos que a média dos homens é de R$ 600,00 e a média das mulheres é R$ 500,00.

Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens têm seus salários acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a média dos homens sofrerá a mesma alteração. A nova média dos homens ficará igual a R$ 620,00.

Ok, a média dos salários dos homens é igual a 620. Significa que, somando todos os salários dos homens (após o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620.

620 = ∑ H 30

� ∑ H = 620 × 30

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Todas as mulheres terão seu salário multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a média dos salários das mulheres sofrerá a mesma alteração. Será também multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, somando os salários das mulheres (após o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550.

550 = ∑ M 70

� ∑ M = 550 × 70

A média geral é simplesmente somar todos os salários dos homens, todos os salários das mulheres, e dividir por 100.

Média _ geral = ∑ H + ∑ M 100

= 620 × 30 + 550 × 70 = 62 × 3 + 55 × 7 = 186 + 385 = 571 100

Resposta: C.

Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 186 + 385

O algarismo das unidades da soma será igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, só aí já dá para marcar letra C.

Outra opção para calcular a média geral é lembrar que ela é uma média ponderada entre as médias dos homens e das mulheres (conforme vimos lá na página 24). E os pesos são, respectivamente, o número de homens e o número de mulheres.

Ficaria assim:

Média _ geral = 1 × ( )30 × 620 + 70 × 550

100

= 571

EC 13

Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, todos os homens receberão um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:

a) R$ 525,00

b) R$ 530,00

c) R$ 535,00

d) R$ 542,00

e) R$ 545,00

Vamos primeiro nos concentrar na situação inicial, antes dos reajustes.

A média dos homens é de 580. A das mulheres é de 400. Note que a média geral está mais próxima de 400. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos novamente supor que são 100 funcionários no total. Lembrando que nem precisava supor isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, falar simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo.

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Vamos chamar o salário dos homens de H.

Vamos chamar o salário das mulheres de M.

Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres.

Portanto:

a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários).

a + b = 100 (EQUAÇÃO I)

A média dos salários dos homens é igual a R$ 580,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 580,00.

H∑ = 580 a

Ou ainda:

H∑ = 580 � ∑ H = 580 × a a

Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 580 vezes o número de homens.

O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 400.

Portanto:

M∑ = 400 � ∑ M = 400 × b b

Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 463.

Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e dividirmos pelo número de pessoas.

Fica:

∑ H + ∑ M a + b

= 463

Multiplicando cruzado:

∑ H + ∑ M

= (a + b) × 463

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Substituindo os valores dos somatórios:

580 × a + 400 × b = (a + b) × 463 (EQUAÇÃO II)

Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os valores de ‘a’ e ‘b’.

Vamos fazer o seguinte:

Vamos substituir 580 × a por 180 × a + 400 × a

180 × a + 400 × a + 400 × b = (a + b) × 463

Colocando 400 em evidência:

180 × a + 400 × (a + b) = (a + b) × 463

Lembrando que a + b = 100 :

180 × a + 400 ×100 = 100 × 463

Dividindo todos os termos por 100:

1 8, × a + 400 = 463

a = 35

Portanto, de cada 100 funcionários, 35 são homens. Logo, o percentual de homens é de 35%.

Outra opção de resolução é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7.

perc _ de _ hom ens = X − M

= 463 − 400 = 63 = %35

H − M 580 − 400 180

perc _ de _ mulheres = %100

− %35

= %65

Pronto, já sabemos qual o percentual de homens e de mulheres na empresa.

Vamos agora para a segunda situação, após os reajustes.

Os homens recebem R$ 20,00 a mais. Ou seja, estamos aumentando todos os salários dos homens em R$ 20,00. Consequentemente, a média dos salários dos homens também aumenta. Vai para R$ 600,00 (=580 + 20).

As mulheres têm um reajuste de 25%. Consequentemente, a média feminina sofre a mesma variação. Também aumenta 25%. Vai para R$ 500,00 (=400 + 25% de 400).

A nova média geral é simplesmente a média ponderada entre a média dos homens e a média das mulheres. Os pesos são o percentual de homens e o percentual de mulheres.

35 × 600 + 65 × 500 = 535 100

Resposta: C.

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EC 14

Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC]

Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a:

a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5.

b) média dos elementos de P mais a constante 220.

c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária.

d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5.

e) média dos elementos de P mais a constante 200

Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma: I

– multiplicamos por 5

II – somamos 220.

Vamos pegar os primeiros valores.

P1 = 0 � 1

Q

= 0 × 5 + 220 = 220

Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q:

P2 = 1 � Q2 = 1× 5 + 220 = 225

Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q:

P2 = 2 � 3

Q

= 2 × 5 + 220 = 230

E assim por diante.

Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q:

Q = P × 5 + 220

Já vimos que sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma constante de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração.

Então a média de Q fica:

Q = P × 5 + 220 A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220.

Esse procedimento está descrito na letra A.

Resposta: A.

EC 15

Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC]

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de:

a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00

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A média inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa média? Somamos todos os 100 salários e dividimos por 100.

100

∑ X i

100

1500 = i 1= � ∑ X i = 150.000 100 i 1=

A soma de todos os 100 salários é de R$ 150.000,00.

Foram demitidos 20 funcionários que ganhavam, cada um, o salário de R$ 2.500,00. A soma dos salários desses 20 funcionários é:

20 × 2.500 = 50.000

Agora, a soma dos salários dos oitenta funcionários remanescentes fica:

150.000 − 50.000 = 100.000

E a nova média fica:

80

∑ X i i 1= = 100 000. = 1 25 0.80 80

00,

A nova média é de 1.250,00.

Depois disso, todos os funcionários ganham um reajuste de 10%. Portanto, a média sofre a mesma alteração, e também é aumentada em 10%.

1 250.

×1 1,

= 1 375.

Resposta: A.

8 Mediana

Mediana é outra medida de posição. Assim como a média aritmética, também é uma medida de tendência central. O símbolo que vamos adotar para mediana é ‘D’.

Mediana nada mais é que o termo do meio da minha seqüência de dados. Imaginemos o seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13.

São cinco elementos. O do meio é o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados é:

D = 8

Repare que a mediana divide a série em duas partes com a mesma quantidade de dados. À esquerda do número 8 temos dois valores (2 e 7). À direita do número 8 também temos dois valores (11 e 13).

Para o exemplo que estamos trabalhando desde o início da aula, o rol é:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quem é a mediana?

Neste rol, o número de dados é par. Ou seja, não tem um termo que seja o do meio. Nestes casos, adotamos o seguinte procedimento:

1 – tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento)

2 – fazemos a média entre eles.

O quinto elemento é 3 (X5 = 3). O sexto elemento é 4 (X6 = 4).

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A mediana fica:

D = 3 + 4 = 3 5, 2

Quando a série tem um número ímpar de elementos, fatalmente a mediana fará parte do conjunto de dados. Como existirá um termo do meio, ele será a mediana.

Quando a série tem um número par de elementos, a mediana não necessariamente fará parte do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta.

A mediana, além de ser uma medida de tendência central, também é uma medida separatriz. Ela separa a série de dados de forma bem específica, em duas partes com mesmo número de elementos.

Por falar em medidas separatrizes, a mediana é a única que nós veremos (ao menos por enquanto). As demais ficam para a aula 3, quando falarmos de dados em classes.

EP 13

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 2, 8, 5, 1

c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

Resolução do EP 13

a) A seqüência tem nove termos. A mediana é simplesmente o termo central, ou seja, o quinto termo. O quinto termo é o seis. Portanto:

D = 6

Certo???

ERRADO!

Antes de fazermos qualquer coisa com a série de dados, temos que passá-la para um ROL, colocando os termos em ordem crescente. ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6

Pronto. Agora a seqüência está ordenada. O quinto termo é o ‘3’.

D = 3

b) Primeiro, achemos o ROL.

ROL: 1, 2, 5, 8.

A seqüência tem quatro termos (número par). Não há termo central. Fazemos a média dos dois termos centrais.

D = 2 + 5 = 3 5, 2

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c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

São vinte e um termos. O do meio é o décimo primeiro.

D = 3

Apenas por curiosidade, vamos calcular a média deste conjunto.

X = ∑ X i = 158 = 7 52,

21 21

A mediana deu 3. É uma medida de tendência central. Nós vimos lá na página 6 desta aula que medidas de tendência central nos dão um indicativo de valores em torno dos quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3.

Mas a média também é uma medida de tendência central. Tomando apenas a média, dizemos que os dados giram em torno de 7,52.

Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52???

Na verdade, as medidas de tendência central não precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a seqüência for simétrica. O conceito de assimetria é cobrado em alguns concursos (é o caso do concurso da Receita Federal). No caso do último ICMS/SP, assimetria não fez parte do edital. Mas falamos um pouquinho a respeito posteriormente. Média e mediana são obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os valores, dividido pelo número de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que tomamos o termo do meio.

Cada uma delas procura expressar a tendência central, mas de forma distinta.

Suponha que esta série de dados da letra C represente os salários dos funcionários de uma dada empresa, em números de salários mínimos.

Assim, os quatro primeiros funcionários ganhariam 1 salário mínimo. Os seis seguintes, dois salários mínimos. E assim por diante, até os dois últimos, que ganham quarenta salários mínimos.

Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos funcionários recebe um salário mais baixo. São operários, técnicos, secretárias, etc. E poucos funcionários recebem um salário muito alto. São diretores, gerentes, etc.

Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que é um ótimo lugar para trabalhar, dirá que o salário médio por ela pago é de mais de 7 salários mínimos. É que, mesmo com a grande maioria dos funcionários ganhando um salário muito baixo, temos uns poucos ‘felizardos’ que ganham um salário tão alto a ponto de fazer com que a média não seja assim tão baixa.

Por outro lado, se os funcionários quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, poderão dizer que o salário mediano na empresa é de apenas 3 salários mínimos.

Olha que interessante. Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os dois funcionários que ganham 40 salários mínimos. Ficaríamos com o seguinte conjunto:

1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19.

A mediana agora é igual a 2. E a média passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos que a média. Isso porque a mediana é menos influenciada por valores extremos. A média, contrariamente, é mais influenciada por valores muito grandes (ou muito pequenos).

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Por isso, em pesquisas de distribuição de renda, muitas vezes é utilizada a mediana como medida de tendência central. Geralmente poucas pessoas têm renda extremamente alta. Estas pessoas contribuiriam para aumentar a renda média, num quadro em que grande parte da população tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor a população pesquisada. Retomaremos o assunto quando falarmos brevemente em assimetria. De todo modo, mesmo sem saber exatamente o que é assimetria, com essa noção dada dá para ver um exercício de concurso.

EC 16

Analista MPU – Área Pericial – Especialidade: Estatística. [ESAF]

A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda

a) têm intervalos de classe distintos.

b) sempre são normais.

c) tipicamente são do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimétricas.

e) sempre são bimodais.

Questão da ESAF.

Resposta: D.

EC 17

AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF]

Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:

58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

a) 28.

b) 31.

c) 44.

d) 50.

e) 56

A questão é sobre mediana. Basta fazer o ROL e achar o termo do meio.

ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95.

São quinze valores. O do meio é o oitavo. A mediana é igual a 44.

D = 44

Resposta: C.

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9 Moda

A moda é mais uma medida de tendência central. A moda é o termo que mais se repete. Fácil, não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que está na ‘moda’ é o que todo mundo usa.

Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série de dados será a moda. Pra variar um pouco, voltemos aos moradores do nosso bairro Nova Vila:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Qual o salário que mais se repetiu? Foi o salário de R$ 2.000,00. Três pessoas ganham um salário de R$ 2.000,00. Este valor é justamente a moda.

M = 2 (valor em R$ 1.000,00)

EP 14

Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 1, 2, 2, 3, 3, 4

c) 2, 8, 5, 1

d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20

Resolução do EP 14

a) O termo que mais se repete é o três.

M = 3

b) Há dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. Dizemos que o conjunto tem duas modas. É bimodal.

Um conjunto não precisar ter uma única moda. Pode ter duas, três, quatro, ou mais modas.

c) Note que todos os termos da seqüência ocorrem com a mesma freqüência. Dizemos que o conjunto é amodal. Não tem moda.

d) O termo que mais se repete é o 2. Ocorre cinco vezes.

M = 2 .

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EC 18

AFRF/98 [ESAF]

EXERCÍCIOS DE CONCURSOS

Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Assinale a opção que corresponde ao preço modal:

a) 7

b) 23

c) 10

d) 8

e) 9

Questão da ESAF.

Temos uma série de dados em rol. O exercício pede que determinemos a moda. A moda será o termo que mais se repete. Contemos alguns deles.

O número 4 aparece uma vez. O número 5 aparece duas vezes. O número 6 aparece quatro vezes. E assim por diante. Você verá que o número que mais se repete é o oito (são nove vezes). Resposta: D.

EC 19

Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

Outra questão da ESAF. Nós até já começamos a resolvê-la na página 13

Relembrando: vamos primeiro fazer o rol.

ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

A média fica:

= ∑ X (dividimos por 10 porque são dez notas).

X i 10

X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10

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A média vale 6.

A moda é o termo que mais se repete. O termo que mais se repete é o 3.

M = 3

São dez termos. Não há um termo central. A mediana será dada pela média dos dois termos centrais (no caso, o quinto e o sexto elementos).

=D X 5 + X 6 = 5 + 5 = 5 2 2

Resposta: A.

III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS

Nesta aula inteira nós estudamos uma primeira forma de apresentação dos dados. Foi o ROL. Esta já é uma primeira forma de se organizarem os dados.

Pois bem, existe uma outra forma de apresentação de dados que guarda perfeita correspondência com o ROL. Costumo dizer que é um “ROL modificado”. É o diagrama de ramos e folhas.

Vamos a algumas questões de concurso para ver do que se trata.

EC 20

Gestor Fazendário – MG/2005 [ESAF]

Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à seqüência de observações (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.

9 11

9 9

10 002234

10 57778

11 013

11 66

12 00012

12 558

13 004

13 555

14 0

14 5

15

15 8

a) 110

b) 120

c) 116

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d) 113

e) 111

Vamos analisar a primeira linha. Nela temos um 9. Depois um espaço. Depois dois números ‘1’.

Isto quer dizer que, no rol original, temos dois números 91.

9 11, num diagrama de ramos e folhas, representa: 91, 91.

Na segunda linha temos 9 9 (nove, espaço, nove). Isto representa o número 99.

Na terceira linha temos 10 002234. Isto significa que, no rol original, temos os números 100, 100, 102, 102, 103, 104.

Na quarta linha temos 10 57778. Isto significa que, no rol original, temos os números 105, 107, 107, 107 e 108. E assim por diante.

É como se separássemos cada número em duas partes. O algarismo das unidades de um lado. Os demais do outro. Os algarismos das unidades seriam “folhas” que se prendem nos “ramos”, representados pelas dezenas/centenas.

Na primeira linha se representam apenas os números de 90 até 94. Na segunda, os números de 95 até 99. Na terceira, de 100 até 104. Na quarta, de 105 até 109. E assim por diante.

Um detalhe para a penúltima linha. Nela temos apenas 15. Depois do 15 não tem nada. Isto significa que não há nenhum número entre 150 e 154.

Sabendo disto, vamos à questão.

Pede-se a mediana. Temos na verdade um rol (só que representado de forma diferente). Se contarmos quantos valores são, chegamos a 36.

É um número par de valores. Não há um termo do meio. A mediana será a média dos termos centrais.

Vejamos quem são eles:

X 18 = 116

X 19 = 116

A mediana fica:

D = 116 + 116 = 116 2

Resposta: C.

Para treinar mais um pouco, outra questão de ramos e folhas:

EC 21

Analista IRB 2004 [ESAF]

O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde à seqüência de observações amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. Assinale a opção que dá a mediana amostral de X.

3 4

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3 8

4 22

4 57

5 124

5 7889

6 013

6 5597899

7 0112334

7 556679

8 1123344

8 57

9 0133

9 7

a) 69,5

b) 71,0

c) 70,5

d) 72,0

e) 74,0

O diagrama de ramos e folhas acima representa o seguinte ROL:

34, 38, 42, 42, 45, 47, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 59, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 69, 69, 70, 71, 71, 72, 73, 73, 74, 75, 75, 76, 76, 77, 79, 81, 81, 82, 83, 83, 84, 84, 85, 87, 90, 91, 93, 93, 97.

São 50 valores. Não há um termo central. Os dois termos centrais são o 25° e o 26°.

O 25° valor é 71. O 26° valor também é 71.

A mediana é:

71 + 71 = 71 2

Resposta: B.

É claro que você não precisa escrever o ROL inteiro para depois realizar a contagem dos dados para descobrir quem são o 25° e o 26° valores. Você pode fazer a contagem direto no diagrama de ramos e folhas.

Em relação ao ROL, o diagrama de ramos e folhas tem a vantagem de permitir uma visualização mais rápida de como os dados se distribuem. Já numa primeira olhada dá pra ter uma idéia de como se comportam os valores. Os ramos com mais folhas geralmente contém as medidas de tendência central (nem sempre). E pelos tamanhos dos ramos dá para ter uma idéia se a seqüência de dados é simétrica ou assimétrica. Falamos mais sobre assimetria na aula 3.

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LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS

EC 1

Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC]

O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se:

a) amostragem

b) estimação

c) censo

d) parametrização

e) correlação

EC 2

Fiscal ICMS/SC - 1998

Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários é:

f) 5.830,00

g) 6.830,00

h) 2.830,00

i) 3.830,00

j) 4.830,00

EC 3

Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

EC 4

Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio

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observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.

a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.

b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.

c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.

d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.

e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

EC 5

Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre os funcionários da empresa.

EC 6

Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC]

Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

f) 140,00

g) 990,00

h) 5.820,00

i) 7.420,00

j) 9.900,00

EC 7

Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] Concentração em

μg/g Elemento Casaco Vidraça

Desvio padrão

As 132 122 9,7 Co 0,54 0,61 0,026 La 4,01 3,60 0,20 Sb 2,81 2,77 0,26 Th 0,62 0,75 0,044

Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara vidraça belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraça belga. A técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia de absorção atômica. As médias e os desvios-

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padrão das análises em triplicata desses cinco elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a vidraça belga são mostrados na

tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 3 = 1 73,

e que o parâmetro t

de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e à análise estatística de dados.

[...]

A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 μg/g, 130 μg/g e 143 μg/g.

EC 8

Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

Indicando por:

- X : a média aritmética de uma amostra;

- mg : a média geométrica da mesma amostra; e

- mh : a média harmônica também da mesma amostra.

E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é:

a) X < mg < mh .

b) X > mg > mh .

c) mg < X < mh .

d) X < mg = mh .

e) X = mg = mh .

EC 9

AFRF – 2005 [ESAF]

Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.

b) G ≤ X ≤ H , com G = X

= H somente se os n valores forem todos iguais.

c) X ≤ G ≤ H , com

X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.

d) H ≤ G ≤ X , com

H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.

e) X ≤ H ≤ G , com

X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

EC 10

Estatístico ENAP – 2006 [ESAF]

O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} é igual a a) 6.

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b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

EC 11

Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC]

Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos alugueis em reais é:

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

EC 12

Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

EC 13

Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, todos os homens receberão um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre

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os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:

a) R$ 525,00

b) R$ 530,00

c) R$ 535,00

d) R$ 542,00

e) R$ 545,00

EC 14

Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC]

Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a:

a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5.

b) média dos elementos de P mais a constante 220.

c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária.

d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5.

e) média dos elementos de P mais a constante 200

EC 15

Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC]

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de:

a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00

E 16

Analista MPU – Área Pericial – Especialidade: Estatística. [ESAF]

A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda

a) têm intervalos de classe distintos.

b) sempre são normais.

c) tipicamente são do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimétricas.

e) sempre são bimodais.

EC 17

AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF]

Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:

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58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

a) 28.

b) 31.

c) 44.

d) 50.

e) 56

EC 18

AFRF/98 [ESAF]

Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Assinale a opção que corresponde ao preço modal:

a) 7

b) 23

c) 10

d) 8

e) 9

EC 19

Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente:

a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

EC 20

Gestor Fazendário – MG/2005 [ESAF]

Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à seqüência de observações (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.

9 11

9 9

10 002234

10 57778

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11 013

11 66

12 00012

12 558

13 004

13 555

14 0

14 5

15

15 8

a) 110

b) 120

c) 116

d) 113

e) 111

EC 21

Analista IRB 2004 [ESAF]

O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde à seqüência de observações amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. Assinale a opção que dá a mediana amostral de X.

3 4

3 8

4 22

4 57

5 124

5 7889

6 013

6 5597899

7 0112334

7 556679

8 1123344

8 57

9 0133

9 7

a) 69,5

b) 71,0

c) 70,5

d) 72,0

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e) 74,0

GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS

EC 1 – C EC 2 - E EC 3 – MÉDIA = 6 EC 4 - A EC 5 – 30% SÃO HOMENS EC 6 - E EC 7 - ERRADO EC 8 - B EC 9 - D EC 10 - C EC 11 - E EC 12 - C EC 13 – C EC 14 – A EC 15 – A EC 16 - D EC 17 – C EC 18 – D EC 19 – A EC 20 – C EC 21 - B

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ANEXO

Depois de cada aula, eventualmente, trago em anexo alguns comentários adicionais. Sua leitura não é obrigatória. Quem não ler não vai ficar em nada prejudicado nas próximas aulas. Geralmente são assuntos cuja exigência não seria razoável em uma prova aberta a candidatos de todas as áreas. A idéia é só trazer um detalhamento um pouco maior, para quem tenha maior facilidade com exatas.

Nesta aula apenas vou mostrar como chegar à fórmula apresentada no EP 7.

Considere uma empresa com a homens e b mulheres (tal que

a + b = n ). A média

salarial dos homens é H . A média salarial das mulheres é M . A média salarial geral,

considerando homens e mulheres, é X . Vamos calcular o percentual de homens na a

empresa. Ou seja, vamos calcular . n

Temos duas equações:

a + b = n � b = n − a (equação I)

X × (a + b) = a × H + b × M (equação II)

Substituindo a primeira equação na segunda:

X × (a + n − a) = a × H + (n − a) × M

X × (n) = a × H + (n − a) × M

X × n = a × H + n × M − a × M

X × n − n × M = a × H − a × M

Isolando o “n”:

n × ( X − M ) = a × H − a × M

Isolando o “a”:

n × ( X − M ) = a × (H − M )

a × (H − M ) = n × ( X − M )

a = ( X − M ) n (H − M )

E esta foi a fórmula apresentada para o percentual de homens. Para o percentual de mulheres, o procedimento é análogo.

E ficamos por aqui nesta primeira aula. Bons estudos!

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