Aula 07
Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação
Tangente
Se uma curva C tiver uma equaçãoe quisermos encontrar a tangente a C em um ponto , consideramos um ponto
, onde , e calculamos a inclinação da reta secante PQ:
Então aproximamos Q de P, ao longo de C, fazendo tender a .
( )y f x
( , ( ))P a f a( , ( ))Q x f x x a
x a
Graficamente
Graficamente
Definição
A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que passa por P que tem inclinação
Desde que esse limite exista.
( )y f x( , ( ))P a f a
Exemplo
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto . 2y x (1,1)P
Exemplo
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto
ou
2y x (1,1)P
Definição
Se então a inclinação da reta tangente pode ser escrita
h x a
Exemplo
Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole no ponto . 3
yx
(3,1)
Velocidade
Suponha que é o deslocamento de um objeto a partir da origem no instante (função posição). No intervalo de tempo entre e a variação na posição será . A velocidade média é
Velocidade Média
( )s f t
tt a h t a
( ) ( )f a h f a
Velocidade
A velocidade média coincide com a inclinação da reta secante . A velocidade instantânea é o limite dessa velocidades médias.
PQ( )v a
Exemplo
Suponha que uma bola foi abandonada do posto de observação da torre, 450m acima do solo.a) Qual a velocidade da bola após 5
segundos?
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?
Derivada
A derivada de uma função em um número denotada , é
se o limite existir.Também podemos escrever
af
'( )f a
Exemplo
Encontre a derivada da função
em um número .
2( ) 8 9f x x x a
Reta Tangente
A reta tangente a em é a reta que passa em e tem inclinação .
( )y f x ( , ( ))a f a( , ( ))a f a
( )f a
Exemplos
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto (3,-6). 2( ) 8 9f x x x
Graficamente
Taxa de Variação
Suponha que seja uma quantidade que depende de outra quantidade . Assim
é uma função de , e escrevemos . Se variar de para então uma variação de (incremento de )
corresponde a uma variação de
y
xy( )y f x
x
y
x
xx
Taxa de Variação
O quociente de diferenças é denominado taxa média de variação de em relação a no intervalo e pode ser interpretado como a inclinação das secante .
xy
PQ1 2[ , ]x x
Taxa de Variação
O limite dessa taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de em relação a em , que é interpretada como a inclinação da tangente à curva em .
xy1x x
( )y f x1 1( , ( ))P x f x
Taxa de Variação
Taxa instantânea de variação
A derivada é a taxa instantânea de variação de em relação a , quando .
'( )f a( )y f x x
x a
Exemplos
1) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção de metros desse material é . a) Qual o significado da derivada ? Quais suas unidades? b) Em termos práticos, o que significa dizer que c) O que você acha que é maior, ou
e
x ( )C f x( )f x
(1000) 9?f
(500)?f (50)f
(5000)?f
Exemplos
2) Seja a dívida pública bruta canadense no instante t. A seguinte tabela dá os valores aproximados dessa função, fornecendo as estimativas da dívida, em meados do ano, em bilhões de dólares, no período de 1980 a 2000. Interprete e estime os valores de
( )D t
'(1990).D
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