AULA 22ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro
PROBABILIDADE
PARTE 1
PROBABILIDADE
PROBABILIDADEINTRODUÇÃO
• A palavra probabilidade deriva do Latim probare
(provar ou testar).
• Informalmente, provável é uma das muitas palavras
utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo
também substituída por algumas palavras como
“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,
dependendo do contexto.
1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO - EXEMPLOS
2. CONCEITOS ESSENCIAIS2.1 Espaço Amostral
Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será chamado espaço amostral da experiência.
PROBABILIDADE 2.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 1: Lançamento de uma moeda: Existem dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”}
PROBABILIDADE2.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 2: Lançamento de um dado:Existem 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. DEFINIÇÕES
PROBABILIDADE3.1 Evento
Chama-se evento qualquer subconjunto A do espaço amostral S.
A está contido em S.
PROBABILIDADE3.1 Evento (continuação)
A está contido em S.
Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5}
PROBABILIDADE3.1.1 Evento Impossível:
O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento; o conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.
Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível.
ou
6} 5, 4, 3, 2, {1, S
AA
PROBABILIDADE3.1.2 Evento Certo:
O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.
Exemplo: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo.
6} 5, 4, 3, 2, {1,
6} 5, 4, 3, 2, {1, S
A
PROBABILIDADE3.1.3 Eventos Complementares:
– A.S = A que tal A evento ao
S, amostral espaço num A evento um de
arcomplement evento de se-Chama
Exemplo:No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”.
6} 4, {2, =A
5} 3, 1, { =A
PROBABILIDADE3.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:
vazio) conjunto a igual B e A :se-(lê
B A quando
exclusivos mutuamente são B e A eventos Dois
Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par.
B: Sair número ímpar.
versa.-vice e ímpar número um sair
como há não par número um sair se Pois
B A
PROBABILIDADE4. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula:
)(
)()(
Sn
AnAP
S evento do elementos de número o é n(S)
Aevento do elementos de número o é n(A)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é)(
:
AP
Onde
Exercícios
Probabilidade de um Evento
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:
a) A: um número primo.
Resolução:
A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.
n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,)(
)(
)()(
50502
1
6
3
ouAP
Sn
AnAP
b) B: um número múltiplo de 3.
Resolução:
B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.
n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,,)(
)(
)()(
3333303
1
6
2
ouAP
Sn
BnBP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:
2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Resolução:
A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S.
n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 18
%,...,)(
)(
)()(
333333303
1
18
6
ouAP
Sn
AnAP
PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula:
)()()()( BAPBPAPBAP
B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é B) P(A
B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)
B ou A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (
:
AP
Onde
Dica esperta: Em problemas de “soma de probabilidades”
sempre encontramos a
palavra OU.
Exercícios
SOMA DE PROBABILIDADES
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:
amostral. espaço do elementos de número )(
A.evento do elementos de número o é 3 n(A)
S. retirados pares números os são 6} 4, 2, { A
:par número um retirado ser : Aevento o Sendo
P(A). Calculando :1 Passo
:partes por fazer Vamos
:Resolução
oéSn 6
2
1
6
3
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
2
1)(AP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
amostral. espaço do elementos de número )(
B. evento do elementos de número o é 2 n(B)
S. de retirados 3 de múltiplos números os são 6} 3, { B
:3 de múltiplo número um retirado ser :B evento o Sendo
P(B). Calculando :2 Passo
oéSn 6
3
1
6
2
)(
)(
)()(
BP
Sn
BnBP
3
1)(BP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
amostral. espaço do elementos de número )(
B. Aevento do elementos de número o é 1 B)n(A
S. de retirado 3 de múltiplo e par número o é 6} { B A
:3 de múltiplo e par número um retirado ser :B A evento o Sendo
B). P(A Calculando :3 Passo
oéSn 6
6
1
)(
)(
)()(
BAP
Sn
BAnBAP
6
1 )( BAP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
B). P(A Calculando :(FINAL) 4 Passo
6
13
1
)(
)(
2
1 P(A)
:
BAP
BP
Sendo
%,...,)(
)(
:temos operações as
fazendo e resdenominado dos mmc o tirando
)(
)()()()(
:adesprobabilid das soma a Calculando
6766666603
2
6
46
123
6
1
3
1
2
1
ouBAP
BAP
BAP
BAPBPAPBAP
PROBABILIDADE4.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:
Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:
)/()()( ABPxAPBAP
Aevento o
ocorrido tendo B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B/A)
Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)
B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (
:
AP
Onde
Dica esperta: Em problemas
de “multiplicação de
probabilidades”sempre
encontramos a vogal E, escrita
ou subentendida.
Exercício
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.
A.evento do elementos de número o é 6 n(A)
S. de retiradas serem de possíveis amarelas bolas as são amarelas} bolas 6 { A
amarela bola uma retirado ser : Aevento o Sendo
amostral. espaço do elementos de número )(
brancas} bolas 9 amarelas, bolas {6 S
P(A). Calculando :1 Passo
:partes por fazer Vamos
:Resolução
oéSn 15
5
2
15
6
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
5
2)(AP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
A.evento do elementos de número o é 9 n(B/A)
S. de retiradas serem de possíveis brancas bolas as são brancas} bolas 9 { B/A
amostral. espaço do elementos de número )(
amarela! bola uma retirada foi pois
,modificado foi amostral espaço o , brancas} bolas 9 amarelas, bolas {5 S
:iaConsequênc
amarela. 1ª a
retirada tendo branca, bola 2ª a retirar :B/A evento o Sendo
P(B/A). Calculando :2 Passo
oéSn 14
14
9
)(
)(
)()(
AP
Sn
AnAP
14
9)/( ABP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
B). P(A Calculando :(FINAL) 3 Passo
14
9
)/(
5
2 P(A)
:
ABP
Sendo
%,,)(
:
)(
)(
)/()()(
:adesprobabilid das
çãomultiplica a Calculando
71252571035
9
70
1814
9
5
2
ouBAP
temosfraçãoandoSimplifica
BAP
xBAP
ABPxAPBAP
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