Universidade Federal Fluminense
Aula 3 โ Equaรงรตes Integrais
FENรMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrรญcola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
TCE โ Escola de Engenharia
Aula 3 โ Equaรงรตes Integrais
Leis Bรกsicas
Vazรฃo
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicaรงรตes:
โช Conservaรงรฃo da Massa
โช Quantidade de movimento linear
โช Quantidade de movimento angular
โช Energia
Mรฉtodos de Soluรงรฃo
Mรฉtodos de soluรงรฃo de problemas com fluidos:
F
u(r)
Soluรงรฃo analรญtica ou numรฉrica
(CFD โ ComputationalFluid Dynamics)
VCGrandezas integrais (volume de controle โ VC):
โข Vazรฃoโข Forรงa โข Energia
EQUAรรES INTEGRAIS
EQUAรรES DIFERENCIAIS
MรTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
โข Velocidade: ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก)โข Tensรฃo: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก , ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก
โข Modelos reduzidos em laboratรณrio, protรณtipos ou mediรงรตes em campo
โข Anรกlise dimensional
Disponรญvel em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
Leis Bรกsicas
๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐๐ก๐
โ๐๐
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
= 0
CONSERVAรรO DA MASSA(Continuidade)
Quantidade de movimento linear
(momentum): ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
2ยช Lei de newton:
๐น =๐ ๐
๐๐ก ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
PRINCรPIO DA QTD. DE MOVIMENTO LINEAR
Quantidade de movimento
angular: ๐ป๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐ ๐ ร ๐๐๐
๐ =๐๐ป
๐๐ก ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
PRINCรPIO DA QTD. DE MOVIMENTO ANGULAR
Energia: ๐ธ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
1ยช Lei da Termodinรขmica: ๐ โ ๐ =๐๐ธ
๐๐ก ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
2ยช Lei da Termodinรขmica: ๐ฟ๐ โฅ๐ฟ๐
๐
ENERGIA
Relaรงรตes de estado:
โข ๐ = ๐ ๐, ๐โข ๐ = ๐ ๐, ๐
Ex. de gases ideais:๐๐ = ๐๐ ๐
โ ๐ =๐
๐๐ ๐
โ ๐ = ๐๐ ๐
Vazรฃo
๐
๐
๐๐
๐๐ก
๐๐ = ๐ โ ๐ = ๐ cos ๐
dh
VAZรO VOLUMรTRICA
๐ =๐V
๐๐กโ ๐๐ =
๐โ โ ๐๐ด
๐๐ก= ๐๐๐๐ด
โ ๐ = ๐
๐๐๐๐ด = ๐
๐ โ ๐ ๐๐ด
โ ๐ = ๐
๐ โ ๐ ๐ด
VAZรO MรSSICA
๐ =๐๐
๐๐ก
โ ๐ = ๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ด
=๐ ๐V
๐๐กโ ๐ ๐ = ๐ ๐๐
dA
VAZรO VOLUMรTRICA
๐ =๐V
๐๐กโ ๐๐ =
๐โ โ ๐๐ด
๐๐ก= ๐๐๐๐ด
โ ๐ = ๐
๐๐๐๐ด = ๐
๐ โ ๐ ๐๐ด
โ ๐ = ๐
๐ โ ๐ ๐ด
VAZรO MรSSICA
๐ =๐๐
๐๐ก
โ ๐ = ๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ด
=๐ ๐V
๐๐กโ ๐ ๐ = ๐ ๐๐
S
u(y,z) um
x๐, ๐
Velocidade uniforme ou mรฉdia:
๐ = ๐๐ โ ๐ด = ๐๐๐ด cos ๐
Velocidade uniforme ou mรฉdia:
๐ = ๐๐๐ โ ๐ด = ๐๐๐๐ด cos ๐
S
๐ = ๐๐๐ด
... e perpendicular ร superfรญcie S: ... e perpendicular ร superfรญcie S:
๐ = ๐๐๐๐ด
Exemplo: Tratando-se de escoamentos laminares no interior de tubulaรงรตes, รฉ possรญvel obter a soluรงรฃo analรญtica da distribuiรงรฃo de velocidades ao longo da seรงรฃo, dada por ๐ข ๐ = ๐พ(๐ 2 โ ๐2), onde r รฉ a coordenada polar que representa a distรขncia atรฉ o eixo do tubo e K รฉ uma constante, calculada em funรงรฃo das propriedades do fluido e o raio R da tubulaรงรฃo. Faรงa um esboรงo do perfil de distribuiรงรฃo de velocidades, calcule a vazรฃo (volumรฉtrica) escoada e a velocidade mรฉdia.
Q= SVndA
xr
= Su dA
A = ฯr2 โ dA = 2ฯrdr
Q = 0
RK R2โr2 2ฯrdr
โ Q =2ฯK R2r2
2โr4
4 0
R
โ Q = 2ฯK 0
RR2rโr3 dr
Q =ฯKR4
2u(r)
Q = VmA โฯKR4
2= Vm ฯR2 โ Vm =
KR2
2
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume deControle
Superfรญcie de Controle
Vizinhanรงa
me
ms
๐น
๐
e
Troca na SC
B no VCdA
๐ต = ๐, ๐, ๐ป ๐๐ข ๐ธ
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
dm
๐๐ต =๐๐ต
๐๐๐๐
๐ ๐V
๐ฝ
๐ต๐๐ถ = ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐V
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐V
๐
๐ ๐๐ต =๐๐ต
๐๐๐๐
๐ ๐ = ๐๐ โ ๐ ๐ด
๐ฝ
Sistema = VC + SC
=๐๐ต
๐๐
๐๐
๐๐ก๐๐ก
= ๐ฝ ๐๐ โ ๐ ๐ด ๐๐ก
โ ๐๐๐ต
๐๐ก= ๐ฝ ๐๐ โ ๐ ๐ด
+ ๐๐ถ
๐ฝ ๐๐ โ ๐ ๐ด
Volume deControle
Superfรญcie de Controle
โ๐๐ต
๐๐ก๐๐ถ
= ๐๐ถ
ฮฒ โ๐฿ฉ ๐ด
dA
๐ต = ๐, ๐, ๐ป ๐๐ข ๐ธ
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
dm
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐V
๐
๐
Sistema = VC + SC
+ ๐๐ถ
๐ฝ ๐๐ โ ๐ ๐ด
Aberturas uniformes:
= ๐ฝ๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐
๐๐ด
๐ด๐
Volume deControle
Superfรญcie de Controle
dA
๐
Saรญda:
๐
๐ โ ๐ > 0
Entrada:
๐dA
๐
๐ โ ๐ < 0
๐ โ ๐ ๐ด > 0 ๐ โ ๐ ๐ด < 0
=
๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐๐๐ โ ๐ด๐
โข na aberturas i:
โข em todas aberturas:
๐ โ ๐ = ๐ cos ๐ โ
๐ < 90ยฐ ๐ > 90ยฐ
VCVC
VC FIXO VC COM VELOCIDADE UNIFORME
VC DEFORMรVEL
๐SC
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐V + ๐๐ถ
๐ฝ ๐๐ โ ๐ ๐ด
Disponรญvel em <http://www.modelcityfirefighter.com/2014/10/29/colorado-firefighters-know-big-fire-means-big-water/>. Acesso em 27 mar. 2018.
Disponรญvel em <https://medium.com/@brendanarmstrong_71005/filling-the-cup-f96e102b0783>. Acesso em 27 mar. 2018.
Disponรญvel em <http://www.maxsonlab.com/kayak/040716pendoreille/040716pendoreille.htm>. Acesso em 27 mar. 2018.
VC
Teorema de transporte de Reynolds
Superfรญcie de controle em movimento uniforme
๐๐
๐๐
SC
Teorema de transporte de Reynolds
Superfรญcie de controle em movimento uniforme
๐๐
๐๐
๐๐ = ๐๐
Teorema de transporte de Reynolds
Superfรญcie de controle em movimento uniforme
๐๐
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐ โ ๐ ๐๐ด
Teorema de transporte de Reynolds
Superfรญcie de controle em movimento uniforme
๐๐
dt ๐ฝ
โ๐๐
๐๐๐
๐๐ = ๐ โ ๐๐
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด
Teorema de transporte de Reynolds
Superfรญcie de controle em movimento uniforme
dt ๐๐ = ๐ โ ๐๐ ๐ฝ
๐๐
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด
A1
A2 A3
Ai
An
VC
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด
A1
A2 A3
Ai
An
โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:Na i-รฉsima abertura:
๐ด๐
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด = ๐ฝ๐ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐ด๐
๐๐ด
= ๐ฝ๐ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐ด๐
๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด
Em toda a SC:
= โ ๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ด ๐
ยฑ๐๐๐๐๐๐ด๐
๐๐
= ยฑ ๐๐
+ saรญdas entradas
=
= โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ด
= ๐ฝ๐ ยฑ ๐๐ ๐๐๐๐๐ด๐
A1
A2 A3
Ai
An
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
+ saรญda entrada
๐ = ๐๐๐๐๐ด๐
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
๐๐ต
๐๐ก๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + ๐๐ถ
๐ฝ๐ ๐๐๐ ๐๐ด
Eq. Integral da Continuidade
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
Teorema de transporte de Reynolds:
โข Conservaรงรฃo da massa:
๐ต = ๐ โ ๐ฝ =๐๐ต
๐๐= 1
๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก= 0
๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐๐ + ยฑ ๐๐= 0
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
(+ saรญda; - entrada) ๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
Equaรงรฃo integral da continuidade
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes
โช Transiente
โช Permanente
+ saรญda entrada
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐๐ + ยฑ ๐๐ = 0
ยฑ ๐๐ = 0
Conservaรงรฃo da massa
Exemplo:
Escreva a relaรงรฃo de conservaรงรฃo de massa
para o escoamento permanente de um fluido
incompressรญvel atravรฉs de um tubo de corrente
(escoamento paralelo as paredes em todos os locais)
com uma รบnica saรญda 1 e uma รบnica entrada 2,
uniformes.
1
2
V2
V1
Conservaรงรฃo da massa
Exemplo:
1
2
V2
V1+ saรญda entrada
m= ฯ Vnr Aโยฑ mi = 0
โ mi = 0
โ โฯ1V1A1 + ฯ2V2A2 = 0
๐ =๐๐
๐๐
โ V1A1 = V2A2 = Q
โ V2=V1A1A2incompressรญvel
โ โ m1 + m2 = 0
Conservaรงรฃo da massa
Exemplo:
รgua ร 20ยฐC flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seรงรฃo 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 mยณ/h. Na
seรงรฃo 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade mรฉdia รฉ de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mยณ/h e a velocidade mรฉdia V3 em m/s
รgua
1
2
3
Conservaรงรฃo da massa
Exemplo:
รgua ร 20ยฐC flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seรงรฃo 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 mยณ/h. Na
seรงรฃo 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade mรฉdia รฉ de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mยณ/h e a velocidade mรฉdia V3 em m/s
รgua
1
2
3
โยฑ mi = 0
โ m1 + m2 + m3 = 0
+ saรญda entrada
m= ฯ Vnr A
Q
โฯ Q1 + ฯ V2A2 + ฯ Q3 = 0
Conservaรงรฃo da massa
Exemplo:
รgua ร 20ยฐC flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seรงรฃo 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 mยณ/h. Na
seรงรฃo 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade mรฉdia รฉ de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mยณ/h e a velocidade mรฉdia V3 em m/s
รgua
1
2
3
Q3 = Q1 โ V2A2 = Q1 โ V2 ฯD22
4
= 100 โ 8 ฯ0,05 2
4 3600 = 43,4 mยณ/h
Q3 = V3A3 โ V3 =Q3A3
=43,4/3600
ฯ 0,04 2/4= 9,6 m/s
โยฑ mi = 0
โ m1 + m2 + m3 = 0
+ saรญda entrada
m= ฯ Vnr A
Q
โฯ Q1 + ฯ V2A2 + ฯ Q3 = 0
Eq. Integral do Momentum
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
Teorema de transporte de Reynolds:
โข Relaรงรฃo da qtd. de movimento linear:
๐ต = ๐๐๐ โ ๐ฝ =๐๐ต
๐๐= ๐
๐ ๐๐
๐๐ก=
๐น =๐
๐๐ก๐๐
2ยช Lei de Newton
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ ๐๐๐
๐น
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
(+ saรญda; - entrada)
Equaรงรฃo integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes
โช Transiente
โช Permanente
+ saรญda entrada
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
๐น =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ ๐๐๐
๐น = โ ยฑ ๐๐๐
Quantidade de movimento linear Exemplo: Um volume de controle fixo em regime permanente possui uma
entrada uniforme (1, A1, V1) e uma saรญda uniforme (2, A2, V2). Encontre uma expressรฃo para a forรงa resultante no volume de controle.
1
2
V2
V1
F= โ ยฑ mVi=โ m1V1+ m2V2
โ mi=0 โโ m1+ m2=0
โ m1= m2
Pela equaรงรฃo da continuidade:
= m
โF=โ m1V1+ m2V2
โF= m V2โV1V2
โV1V2 โ V1
โ ๐น
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de รกgua ( = 1000 kg/mยณ) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a forรงa necessรกria para manter a placa se movendo ร velocidade constante se a รกrea do jato รฉ de 3 cmยฒ, Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= โ ยฑ mVi
F
m=ฯVnrA
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de รกgua ( = 1000 kg/mยณ) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a forรงa necessรกria para manter a placa se movendo ร velocidade constante se a รกrea do jato รฉ de 3 cmยฒ, Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= โ ยฑ mVi
x
y
โข em x: โFx =โ meVe
F=โ ฯVnrAj๐VjโVc
F
Vj-Vc
Vj-Vc
F=โฯAj VjโVc2
F=โ1000. 3.10โ4 . 20โ15 2
F=โ7,5 N
m=ฯVnrA
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo
np
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐๐ถ
๐ โ๐ ๐๐ด
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo
-np
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐๐ถ
๐ โ๐ ๐๐ด
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo constante (Ex.: Pressรฃo atm.)
๐
๐ต โ ๐ ๐๐ด = ๐
๐ป โ ๐ต ๐๐
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐๐ถ
๐๐ โ๐ ๐๐ด
-npa
Teorema de Gauss:
โ ๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = 0
๐ป =๐
๐ฅ ๐ +
๐
๐๐ฆ ๐ +
๐
๐๐ง ๐
= โ ๐๐ถ
๐ป๐๐ ๐๐ = 0
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo X Pressรฃo manomรฉtrica
p
pm = 0
pa
pp
pa
SC
๐๐ = ๐ โ ๐๐
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo X Pressรฃo manomรฉtrica
pm = p - pa
pm = 0
pa
pm
pm
pa
SC
๐๐ = ๐ โ ๐๐
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐๐ถ
๐ โ๐ ๐๐ด
= ๐๐ถ
๐๐ + ๐๐ โ๐ ๐๐ด
= ๐๐ถ
๐๐ โ๐ ๐๐ด + ๐๐ถ
๐๐ โ๐ ๐๐ด
0
โ ๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐๐ถ
๐๐ โ๐ ๐๐ด
p = pm + pa
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo - Pressรฃo manomรฉtrica
โช Exemplo:
๐๐ = ๐ โ ๐๐
= 3โ
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)1
2
pa = 15 psi
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo - Pressรฃo manomรฉtrica
โช Exemplo:
= 3โ
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)
๐๐ = ๐ โ ๐๐pa = 15 psi
1
2
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
Pressรตes manomรฉtricas:Pressรตes absolutas:
1
2
= 3โ
Fpressรฃo= SC
pm โn dA
Quantidade de movimento linear
Forรงas de pressรฃo - Pressรฃo manomรฉtrica
โช Exemplo:
= pm โn SC
dA
= pm โn ๐ด
Fpressรฃo= pm A = 25 psi โฯ 3" 2
4
Fpressรฃo= 177 lbf
๐๐ = ๐ โ ๐๐
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
1
2
Pressรตes manomรฉtricas: = 3โ
pa = 15 psi
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
Pressรตes absolutas:
pa = 103,4 kPa
pa
pa
pa
Pressรตes manomรฉtricas:
p1
1
2
0 Pa
0 Pap1 - pa
0 Pa
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
+ saรญda entrada
pa = 103,4 kPa
Pressรตes manomรฉtricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
โF= โ ยฑ mVi
โข Pela eq. da continuidade: m1 = m2
m=ฯVnrA
โ p1โpa A1 โ F = โ m1V1+ m2V2
โ ฯ1V1A1 = ฯ2V2A2
โ V1 = V2A2A1
= 17612
2
F
= V2D2D1
2
V1 = 4,25 m/s
p1 - pa
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
Pressรตes manomรฉtricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
โF= โ ยฑ mVi
โข Pela eq. da continuidade: m1 = m2
โ p1โpa A1 โ F = โ m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s
m1= ฯ V1 ฯ D12 4
= 998 โ 4,25 โ ฯ โ 12 โ 0,0254 2 4
m1= 310 kg/s
A1= 0,073 m2
p1 - pa
+ saรญda entrada
m=ฯVnrA
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12โ e D2 = 6โ, com pressรฃo de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para รกgua ร 20ยฐC, calcule a
forรงa horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
Pressรตes manomรฉtricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
โF= โ ยฑ mVi
โข Pela eq. da continuidade: m1 = m2
โ p1โpa A1 โ F = โ m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s m1= 310 kg/s
โ F = p1โpa A1 + m1 V1 โ V2
p1 - pa
A1 = 0,073m2
โ F = 7,6 kN
+ saรญda entrada
m=ฯVnrA
Equaรงรฃo integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes
โช Transiente
โช Permanente
โช VC acelerado:
+ saรญda entrada ๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
๐น =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ ๐๐๐
๐น = โ ยฑ ๐๐๐
๐น๐ ๐ข๐ + ๐ โ ๐๐๐ถ๐๐๐ถ
Ex.: foguete.
Eq. Integral da Qtd. de Movimento Angular
Teorema de transporte de Reynolds:
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
r
dmV
O
๐๐ป๐ = ๐ ร ๐ ๐๐ โ ๐ป๐ = ๐ ร ๐ ๐๐
โข Relaรงรฃo da qtd. de movimento angular:
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
(+ saรญda; - entrada)
Teorema de transporte de Reynolds:
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
r
dmV
O
๐๐ป๐ = ๐ ร ๐ ๐๐ โ ๐ป๐ = ๐ ร ๐ ๐๐
โข Relaรงรฃo da qtd. de movimento angular:
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
(+ saรญda; - entrada)
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
Teorema de transporte de Reynolds:
โข Relaรงรฃo da qtd. de movimento angular:
๐ต = ๐ป๐ โ ๐ฝ =๐๐ต
๐๐= ๐ ร ๐
๐๐ป๐๐๐ก
=
๐ =๐๐ป๐๐๐ก
=๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ร ๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ ๐ ร ๐ ๐๐
๐
r
dmV
O
๐ป๐ = ๐ ร ๐ ๐๐
๐ฝ =๐๐ต
๐๐
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
(+ saรญda; - entrada)
Equaรงรฃo integral da quantidade de movimento angular
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes
โช Transiente
โช Permanente
โช Momento
๐ =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ร ๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ ๐ ร ๐ ๐๐
๐ = โ ยฑ ๐ ร ๐ ๐๐
+ saรญda entrada ๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐
๐ ร ๐น๐ + ๐๐ถ
๐ ร ๐ ๐ ๐V + ๐๐๐๐ฅ๐
Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratรณrio de grama com trรชs braรงos (vista superior na figura
abaixo) recebe รกgua ร 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotaรงรฃo permanente.
d = 7 mm
๐๐ = 1800 ๐ฟ โ = 1800 1000 โ 3600 = 5 โ 10โ4 mยณ s
Princรญpio da continuidade:
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐V +
๐๐ถ
๐๐๐๐๐ โ ๐ด๐ = 0
0 (permanente)
โ
๐๐ถ
ยฑ๐๐ ๐๐๐๐ด๐๐๐
๐๐
= 0 โ โ๐๐๐ + ๐1 + ๐2 + ๐3 = 0
1
2
3
e
โ ๐1 =๐๐๐3
=1000 โ 5 โ 10โ4
3= 0,167 kg s
โ ๐๐1 = ๐1
๐๐ด1=
๐1
๐๐๐ท2
4
=4 โ 0,167
1000 โ ๐ โ 0,007 2 = 4,34 m s
y
x
Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratรณrio de grama com trรชs braรงos (vista superior na figura
abaixo) recebe รกgua ร 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotaรงรฃo permanente.
d = 7 mm
๐๐ = 1800 ๐ฟ โ = 1800 1000 โ 3600 = 5 โ 10โ4 mยณ s
Princรญpio da continuidade:
1
2
3
e
y
x
โ ๐1 = 0,167 kg s
โ ๐๐1 = 4,34 m s
Princรญpio da qtd. de mov. angular: ๐ =
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ร ๐๐ ๐V +
๐๐ถ
ยฑ ๐ ร ๐ ๐๐
0 (permanente)
๐ ร ๐น๐ + ๐๐ถ
๐ ร ๐ ๐ ๐V + ๐๐๐๐ฅ๐0 0 0 ( ๐๐ = 0)
๐๐๐๐๐๐๐ด๐
โ ๐๐๐ก ๐ = 3 ๐1 ร ๐1 ๐1
๐1 ๐๐1 = ๐๐ ๐
๐ ๐ ๐๐1 + ๐๐1= ๐๐ โ ๐๐1 ๐
= 3๐ ๐๐ โ ๐๐1 ๐1 ๐ ร ๐
โ ๐
โ ๐ =๐๐1๐ โ
๐๐๐ก3๐ 2 ๐1
=4,34
0,15โ
0,1
3 0,15 20,167= 20,1 rad s = 192 rpm
โ ๐๐๐ก = 3๐ ๐๐1 โ ๐๐ ๐1
ร 60/2๐
+e 1 2 3+ +-
Eq. Integral da Energia
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
๐ ๐ต๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ฝ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ฝ ๐ ๐
Teorema de transporte de Reynolds:
โข Equaรงรฃo da Energia:
๐ต = ๐ธ โ ๐ฝ =๐๐ต
๐๐=๐๐ธ
๐๐
๐๐ธ
๐๐ก==
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ ๐ ๐
๐๐
๐๐กโ๐๐
๐๐ก
๐๐
๐๐กโ๐๐
๐๐ก=๐๐ธ
๐๐ก
1ยช Lei da termodinรขmica:
= ๐
Equaรงรฃo integral da energia
๐๐
๐๐กโ๐๐
๐๐ก=
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ + โ ยฑ๐ ๐ ๐
โข Energia:
โข Trabalho:
๐ = ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ + ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐ + ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐ข๐ก๐๐๐
๐ข ๐22
๐๐ง
๐๐
๐๐ก= ๐ = ๐๐รก๐ + ๐๐๐๐๐ ๐ + ๐๐ฃ๐๐ ๐
๐น๐ โ ๐๐
+ saรญda entrada
๐ = ๐๐๐๐๐ด
๐ โ ๐๐รก๐ + ๐๐๐๐๐ ๐ + ๐๐ฃ๐๐ ๐ = +๐ผ + โ ยฑ ๐ข +๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
= ๐๐ โ ๐ด๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐ โ ๐๐
๐๐
๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐
๐ผ
Equaรงรฃo integral da energia
Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
๐ โ ๐๐รก๐ โ ๐๐ฃ๐๐ ๐ = +๐ผ + โ ๐ข +๐
๐+๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
๐ โ ๐๐รก๐ + ๐๐๐๐๐ ๐ + ๐๐ฃ๐๐ ๐ = +๐ผ + โ ยฑ ๐ข +๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
๐๐๐๐โ ๐๐
๐ โ ๐๐รก๐ โ ๐๐ฃ๐๐ ๐ =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐๐
๐ข +๐
๐+๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
Equaรงรฃo integral da energia Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saรญda (2):
๐ โ ๐๐รก๐ โ ๐๐ฃ๐๐ ๐ =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐๐
๐ข +๐
๐+๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
๐๐
๐๐กโ
๐๐๐รก๐
๐๐ก+๐๐๐ฃ๐๐ ๐
๐๐ก= โ ๐ข1 +
๐1๐1
+๐12
2+ ๐๐ง1 ๐1 + ๐ข2 +
๐2๐2
+๐22
2+ ๐๐ง2 ๐2
โข Pela equaรงรฃo da continuidade: ๐1 = ๐2 = ๐
รท ๐ โ
๐๐๐๐ก ๐โ
๐๐๐รก๐
๐๐ก+๐๐๐ฃ๐๐ ๐๐๐ก
๐= โ ๐ข1 +
๐1๐1
+๐12
2+ ๐๐ง1 + ๐ข2 +
๐2๐2
+๐22
2+ ๐๐ง2
๐๐๐๐ก ๐=
๐๐๐๐ก
๐๐๐๐ก
=๐๐
๐๐= ๐
๐๐๐๐ก ๐=๐๐
๐๐=๐๐ โ ๐ โ โ
๐๐= ๐ โ โ
๐ ๐โ๐รก๐ + ๐โ๐ฃ๐๐ ๐
Equaรงรฃo integral da energia Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saรญda (2):
๐ โ ๐๐รก๐ โ ๐๐ฃ๐๐ ๐ =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐๐
๐ข +๐
๐+๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
๐๐
๐๐กโ
๐๐๐รก๐
๐๐ก+๐๐๐ฃ๐๐ ๐
๐๐ก= โ ๐ข1 +
๐1๐1
+๐12
2+ ๐๐ง1 ๐1 + ๐ข2 +
๐2๐2
+๐22
2+ ๐๐ง2 ๐2
โข Pela equaรงรฃo da continuidade: ๐1 = ๐2 = ๐
รท ๐ โ
๐๐๐๐ก ๐โ
๐๐๐รก๐
๐๐ก+๐๐๐ฃ๐๐ ๐๐๐ก
๐= โ ๐ข1 +
๐1๐1
+๐12
2+ ๐๐ง1 + ๐ข2 +
๐2๐2
+๐22
2+ ๐๐ง2
๐ ๐โ๐รก๐ + ๐โ๐ฃ๐๐ ๐
รท ๐ โ๐1๐1๐
+๐12
2๐+ ๐ง1 =
๐2๐2๐
+๐22
2๐+ ๐ง2 +
๐ข2 โ ๐ข1 โ ๐
๐+ โ๐รก๐ + โ๐ฃ๐๐ ๐
โ๐ โ โ๐ต๐พ1 ๐พ2
โ๐๐๐๐๐๐
Equaรงรฃo integral da energia Caso aberturas (entradas / saรญdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saรญda (2):
โช Se ๐ = ฮ๐ข:
โช Bernoulli (ฮ๐ป = 0):
๐ โ ๐๐รก๐ โ ๐๐ฃ๐๐ ๐ =๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐๐
๐ข +๐
๐+๐2
2+ ๐๐ง ๐
๐
๐1๐พ1๐
+๐12
2๐+ ๐ง1 =
๐2๐พ2๐
+๐22
2๐+ ๐ง2 +
๐ข2 โ ๐ข1 โ ๐
๐+ โ๐ โ โ๐ต + โ๐
๐1๐พ1๐
+๐12
2๐+ ๐ง1 =
๐2๐พ2๐
+๐22
2๐+ ๐ง2 + โ๐ โ โ๐ต + โ๐
๐ป1 ๐ป2 โ ๐ป1 = ๐ป2 + โ๐ป
โ ๐ป1 = ๐ป2 = โฏ = ๐๐๐๐ ๐ก
ExemploUm navio bombeiro suga รกgua
do mar (densidade 1,025) de um
tubo submerso e a recalca atravรฉs
de um bico, conforme figura abaixo.
A perda total de carga รฉ de 2,0 m.
Se a e bomba tem eficiรชncia de
75%, qual a potรชncia do motor
necessรกria?
p1ฮณ1
+V12
2g+z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+z2 +hTurbโhBomba+hperda
2
d
hp
3,0 m
Bomba
D = 2,0โ
36 m/s
D = 6,0โ
1,8 m
1
Exemplod = 1,025hatrito = 2,0 m. = 75%Pot = ?
โข Pelo princรญpio da continuidade:
p1ฮณ+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 โhB+hP
m1 = m2 โ ฯ V1 A1 = ฯ V2 A2
โ V1ฯ 6โ0,0254 2
4= 36
ฯ 2โ0,0254 2
4โ V1 = 4,0 m/s
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0โ
36 m/s
D = 6,0โ
1,8 m
1
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/s
p1ฮณ+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 โhB+hP
ฮณโ1,8ฮณ
+42
2gโ1,8 =
362
2g+3 โhB+2
โ hB = 69 m
PotH =dE
dt=dm g h
dt= m g h โ PotH = ฯV1A1g h
ฮท =PotHPotB
โ PotB =PotHฮท
โ PotB =ฯV1A1g h
ฮท
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0โ
36 m/s
D = 6,0โ
1,8 m
1
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/shB = 69 m
PotT =ฯV1A1g h
ฮท
PotB =1022 โ 4 โ
ฯ โ 6 โ 0,0254 2
4 โ 9,8 โ 69
0,75 = 67 kW
โ ฯ = d ฯa = 1,025 โ 998 = 1022 kg/mยณ
= 90 cv
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0โ
36 m/s
D = 6,0โ
1,8 m
1
ExemploUma seรงรฃo estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiรฃo de baixa pressรฃo que pode aspirar fluidode um reservatรณrio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressรฃo para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatรณrio para seรงรฃoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
รgua
รgua
V1
ExemploUma seรงรฃo estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiรฃo de baixa pressรฃo que pode aspirar fluidode um reservatรณrio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressรฃo para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatรณrio para seรงรฃoestrangulada.
โ ฯ1V1A1 = ฯ2V2A2 m1 = m2
โข Pelo princรญpio da continuidade:
โ V1 A1 = V2 A2
โข Pela equaรงรฃo de Bernoulli:
p1ฮณ1
+V12
2g+ z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+ z2
ExemploUma seรงรฃo estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiรฃo de baixa pressรฃo que pode aspirar fluidode um reservatรณrio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressรฃo para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatรณrio para seรงรฃoestrangulada.
โ ฯ1V1A1 = ฯ2V2A2 m1 = m2
โข Pelo princรญpio da continuidade:
โ V1 A1 = V2 A2
โข Pela equaรงรฃo de Bernoulli:
p1ฮณ1
+V12
2g+ z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+ z2
Aplicaรงรตes do efeito Venturi
http://www.asperjato.com.br/. Acesso em 20/01/2016.
http://www.ozonesolutions.com/journal/2013/ozone-venturi-injectors-work-dissolve-ozone-water/. Acesso em 20/01/2016.
http://animais.grandemercado.pt/setubal/peixes-acessorios/filtro-aquario-novo-294629.htm. Acesso em 20/01/2016.http://www.sintecpromaquinas.com.br/pistola-eletrica-para-pintura.
Acesso em 20/01/2016.
http://nostalgika.com.br/wp/blog/2013/08/28/agosto-em-paris-parte-iv/. Acesso em 20/01/2016.
ExemploUma seรงรฃo estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiรฃo de baixa pressรฃo que pode aspirar fluidode um reservatรณrio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressรฃo para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatรณrio para seรงรฃoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
รgua
รgua
V11 2
p1ฮณ1
+V12
2g+z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+z2
Exemplo
p1ฮณ1
+V12
2g+z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+z2
paโ ฮณh
ฮณ+V12
2g=paฮณ+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
รgua
รgua
V11 2
p3 = pa = p1 + ฮณh= p1 + ฯgh
โ p1 = pa โ ฮณh
โV12 โ 2gh = V2
2
3
Exemplo
โ ฯ1V1A1 = ฯ2V2A2
p1ฮณ1
+V12
2g+z1 =
p2ฮณ2
+V22
2g+z2
paโ ฮณh
ฮณ+V12
2g=paฮณ+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
รgua
รgua
V11 2
p3 = pa = p1 + ฮณh= p1 + ฯgh
โ p1 = pa โ ฮณh
โV12 โ 2gh = V2
2
m1 = m2
โ V2 = V1D12
D22 โ V2
2 = V12D1
4
D24
โข Pelo princรญpio da continuidade:
โ V1 = 2gh 1โD14
D24
3
Sumรกrio
Leis Bรกsicas
Vazรฃo
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicaรงรตes:
โช Conservaรงรฃo da Massa
โช Quantidade de movimento linear
โช Quantidade de movimento angular
โช Energia
BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. Mecรขnica dos Fluidos. 6ยช ed. McGraw-
Hill, 2010.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introduรงรฃo ร
Mecรขnica dos Fluรญdos. 8ยช ed. John Wiley and Sons, N.Y.,
Traduรงรฃo: LTC, 2014.
www.HidroUff.uff.br
Top Related