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Funções Hiperbólicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Funções hiperbólicas

1.Introdução

2.Função seno hiperbólico

3.Função cosseno hiperbólico

4.Função tangente hiperbólica

5.Função cotangente hiperbólica

6.Função secante hiperbólica

7.Função cossecante hiperbólica

8.Outras funções hiperbólicas

9.Identidades

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Certas combinações das funções exponenciaisex e e-x surgem frequentemente em matemática esuas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais.Elas são análogas de muitas formas às funçõestrigonométricas e possuem a mesma relação com ahipérbole que as funções trigonométricas têm com ocírculo. Por essa razão são chamadas funçõeshiperbólicas, particularmente seno hiperbólico,cosseno hiperbólico e assim por diante.

1. Introdução

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A função seno hiperbólico é definida por

O domínio e a imagem são o conjunto de todosos números reais, cujo gráfico apresenta-se a seguir.

2. Função seno hiperbólico

senh2

x xe ex

−−=

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5

2. Função seno hiperbólico

senh x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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6

A função cosseno hiperbólico é definida por

O domínio é o conjunto de todos os númerosreais e a imagem é o conjunto de todos os números nointervalo [1, +∞), cujo gráfico apresenta-se a seguir.

3. Função cosseno hiperbólico

cosh2

x xe ex

−+=

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7

3. Função cosseno hiperbólico

cosh x

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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A função tangente hiperbólica é definida por

O domínio é o conjunto de todos os númerosreais e a imagem é o conjunto de todos os números nointervalo ]-1, 1[, cujo gráfico apresenta-se a seguir.

4. Função tangente hiperbólica

senhtgh

cosh

x x

x x

x e ex

x e e

−−= =+

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4. Função tangente hiperbólica

tgh x

-2

-1

0

1

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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A função cotangente hiperbólica é definidapor

O domínio é o conjunto ℜ - {0} e a imagem é oconjunto de todos os números no intervalo]-∞, -1[ U ]1, ∞[, cujo gráfico apresenta-se a seguir.

5. Função cotangente hiper-bólica

coshcotgh

senh

x x

x x

x e ex

x e e

−+= ==−

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5. Função cotangente hiper-bólica

cotgh x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

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A função secante hiperbólica é definida por

O domínio é o conjunto dos números reais e aimagem é o conjunto de todos os números no intervalo]0, 1], cujo gráfico apresenta-se a seguir.

6. Função secante hiperbólica

1 2sech

cosh x xx

x e e−= =+

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sech x

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6. Função secante hiperbólica

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A função cossecante hiperbólica é definidapor

O domínio é o conjunto ℜ - {0} e a imagem é oconjunto ℜ - {0}, cujo gráfico apresenta-se a seguir.

7. Função cossecante hiper-bólica

1 2cossech

senh x xx

x e e−= =−

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7. Função cossecante hiper-bólica

cossech x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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As funções hiperbólicas também podem serreescritas em função de ex e e-x, como segue:

tgh cotgh

2 2sech cossech

x x x x

x x x x

x x x x

e e e ex x

e e e e

x xe e e e

− −

− −

− −

− += =+ −

= =+ −

8. Outras funções hiperbólicas

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Existem identidades satisfeitas pelas funçõeshiperbólicas que são similares àquelas satisfeitaspelas funções trigonométricas, cujas demonstraçõesencontram-se a seguir.

2 2

2 2 2 2

1tgh cosh senh 1

cotgh

1 tgh sech 1 cotgh cossech

x x xx

x x x x

= − =

− = − = −

9. Identidades

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Como

decorre que

senh coshtgh e cotgh

cosh senh

x xx x

x x= =

1tgh

cotgx

x=

9. Identidades

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Em

provamos a identidade substituindo pelas definiçõesde cosh x e senh x.

2 2cosh senh 1

x x− =

2 2 2 2 2 2

2

2 22 2 4 4

x x x x x x x x x x x x

x

e e e e e e e e e e e e

e

− − − − − − + − + + − +− = − =

22 x x xe e e− −+ + 2xe− 22 x x xe e e− −+ − 2 2 2 21

4 4 4

x x x xe e e e− −+ += = =

9. Identidades

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Em

provamos a identidade substituindo tgh x pela suadefinição em função de cosh x e senh x.

2 21 tgh sech

x x− =

2 2 22

2 2 2

senh cosh senh 11 sech

cosh cosh cosh

x x xx

x x x

−− = = =

9. Identidades

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Em

provamos a identidade substituindo cotgh x pela suadefinição em função de cosh x e senh x.

2 21 cotgh cossech

x x− = −

2 2 2 2 2

2 2 2

22

cosh senh cosh cosh senh1

senh senh senh

1cossech

senh

x x x x x

x x x

xx

− −− = = − =

= − = −

9. Identidades

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Empregando as seguintes relações, obtidas dasdefinições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico

pode-se provar as seguintes identidades:

cosh senh

cosh senh

x

x

x x e

x x e−

+ =

− =

senh( ) senh x cosh y cosh x senh y

cosh( ) cosh x cosh y senh x senh y

x y

x y

+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅

9. Identidades

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Partindo da definição da função senohiperbólico

obtemos

senh 2

x xe ex

−−=

( ) ( )( ) 1

senh 2 2

x y x yx y x ye e

x y e e e e+ − +

− −−+ = = ⋅ − ⋅

9. Identidades

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Entretanto

Assim sendo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

cosh senh cosh senh1senh

2 cosh senh cosh senh

cosh cosh1senh

2

x x y yx y

x x y y

x yx y

+ ⋅ + −+ =

− ⋅ −

⋅+ =

cosh senh senh cosh senh senhx y x y x y+ ⋅ + ⋅ + ⋅

cosh coshx y

⋅ cosh senh senh cosh senh senhx y x y x y+ ⋅ + ⋅ − ⋅

( ) [ ]( )

1senh 2 cosh senh 2 senh cosh

2senh senh cosh cosh senh

x y x y x y

x y x y x y

+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ = ⋅ + ⋅

cosh senh

cosh senh

x

x

x x e

x x e−

+ =

− =

9. Identidades

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Partindo da definição da função cossenohiperbólico

obtemos

cosh 2

x xe ex

−+=

( ) ( )( ) 1

cosh 2 2

x y x yx y x ye e

x y e e e e+ − +

− −++ = = ⋅ + ⋅

9. Identidades

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Entretanto

Assim sendo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

cosh senh cosh senh1cosh

2 cosh senh cosh senh

cosh cosh cosh senh1cosh

2

x x y yx y

x x y y

x y x yx y

+ ⋅ + ++ =

− ⋅ −

⋅ + ⋅+ =

senh coshx y+ ⋅ senh senh

cosh cosh cosh senh

x y

x y x y

+ ⋅ +

⋅ − ⋅ senh coshx y− ⋅

( ) [ ]( )

senh senh

1cosh 2 cosh cosh 2 senh senh

2cosh cosh cosh senh senh

x y

x y x y x y

x y x y x y

+ ⋅

+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ = ⋅ + ⋅

cosh senh

cosh senh

x

x

x x e

x x e−

+ =

− =

9. Identidades