Otimização de experimentos pelo método da superfície de respostas (MSR)
Esta técnica utiliza duas etapas: Modelagem e deslocamento, que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias.
-A modelagem utiliza modelos lineares ou quadráticos, sendo sua escolha uma função da menor quantidade de resíduos deixados pelos mesmos.
-O deslocamento é feito no caminho de máxima inclinação da superfície, de modo a encurtar a trajetória aos pontos de máximo e de mínimo desejados no processo.
Observação: para avaliar a falta de ajuste de um modelo, necessitamos de mais níveis das variáveis envolvidas do que o número de parâmetros do modelo. Assim, para avaliar o ajuste de um modelo linear são necessários 3 níveis das variáveis estudadas.
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Adição de um ponto central a um planejamento fatorial
Sem pontos centrais parte-se da suposição que a dependência entre a resposta e os fatores é linear.
Com a aplicação de pontos centrais ao planejamento há possibilidade de avaliação quanto a linearidade ou demais curvaturas na dependência entre a respostas e os fatores.
Nem sempre se conhece quais as variáveis que afetam a resposta, o que nos leva a considerar que em um primeiro estudo é mais interessante estudar o maior número possível de variáveis. Porém isto só é possível com um PLANEJAMENTO FRACIONÁRIO.
No caso de planejamentos fatoriais fracionários, são possíveis meias frações, quartos de fração, oitavos de fração, etc...
Meias frações de planejamentos fatoriais:
Como o próprio nome diz, meia fração é uma metade. Em um planejamento experimental completo, uma meia fração consiste da metade do número de experimentos que é a ele destinado.
Por exemplo: um planejamento fatorial completo 24, é constituído de 16 experimentos. Portanto, uma meia fração será constituída de 8 experimentos, sendo denotada por 24-1.
Este planejamento é correspondente a um planejamento 23 completo.
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Exemplo:
Pretende-se conhecer o efeito da concentração de um reagente e da velocidade de agitação no rendimento de uma reação. Segue o planejamento experimental 22 mais 3 pontos centrais:
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Ensaio C (%) V (rpm) X1 X2 Y (%)
1 45 90 -1 -1 69
2 55 90 1 -1 59
3 45 110 -1 1 78
4 55 110 1 1 67
5 50 100 0 0 68
6 50 100 0 0 66
7 50 100 0 0 69
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ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,97207; Adj:,94415 (Spreadsheet3) 2**(2-0) design; MS Residual=1,75 DV: Var3SS df MS F p
(1)Var1 110,2500 1 110,2500 63,00000 0,004170(2)Var2 72,2500 1 72,2500 41,28571 0,0076411 by 2 0,2500 1 0,2500 0,14286 0,730615Error 5,2500 3 1,7500
Total SS 188,0000 6
Effect Estimates; Var.:Var3; R-sqr=,97207; Adj:,94415 (Spreadsheet3) 2**(2-0) design; MS Residual=1,75 DV: Var3
Effect Std.Err. t(3) p -95,% - Cnf.Limt
+95,% - Cnf.Limt Coeff. Std.Err. -
Coeff.-95,% -
Cnf.Limt +95,% - Cnf.Limt
Mean/Interc. 68,0000 0,500000 136,0000 0,000001 66,4088 69,59122 68,00000 0,500000 66,40878 69,59122(1)Var1 -10,5000 1,322876 -7,9373 0,004170 -14,7100 -6,29002 -5,25000 0,661438 -7,35499 -3,14501(2)Var2 8,5000 1,322876 6,4254 0,007641 4,2900 12,70998 4,25000 0,661438 2,14501 6,354991 by 2 -0,5000 1,322876 -0,3780 0,730615 -4,7100 3,70998 -0,25000 0,661438 -2,35499 1,85499
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Fitted Surface; Variable: Var32**(2-0) design; MS Residual=1,75
DV: Var3
> 75 < 75 < 70 < 65 < 60
Fitted Surface; Variable: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=1,75
DV: Var3
> 78 < 78 < 74 < 70 < 66 < 62 < 58
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Var1
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Var2
Observed vs. Predicted Values
2**(2-0) design; MS Residual=1,75
DV: Var3
56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80
Observed Values
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
Pre
dict
ed V
alue
s
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Novo planejamento:
Premissas:-Diminuir a variável 1-Aumentar a variável 2
Exercício: FAZER A ANÁLISE ESTATÍSTICA
Ensaio C (%) V (rpm) X1 X2 Y (%)
1 30 115 -1 -1 86
2 40 115 1 -1 85
3 30 135 -1 1 78
4 40 135 1 1 84
5 35 125 0 0 90
6 35 125 0 0 88
7 35 125 0 0 89
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Exercício: FAZER A ANÁLISE ESTATÍSTICA
Fitted Surface; Variable: Var32**(2-0) design; MS Residual=19,55952
DV: Var3
> 88 < 88 < 86 < 84 < 82 < 80
Fitted Surface; Variable: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=19,55952DV: Var3
> 88 < 88 < 86 < 84 < 82 < 80
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Var1
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Var2
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Observação importante: -O modelo linear falha;-Mais de 58 % é devido a erro;-O R2 é muito pequeno.
ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,39773; Adj:0, (Spreadsheet7) 2**(2-0) design; MS Residual=19,55952 DV: Var3
SS df MS F p
(1)Var1 6,25000 1 6,25000 0,319537 0,611400
(2)Var2 20,25000 1 20,25000 1,035301 0,383830
1 by 2 12,25000 1 12,25000 0,626293 0,486516
Error 58,67857 3 19,55952
Total SS 97,42857 6
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Planejamento fatorial em estrela
O PFE é uma ampliação do planejamento fatorial completo com ponto central.
O PFE é representado no espaço como um quadrado com ponto central, o planejamento estrela adiciona pontos correspondentes ao giro de 45o neste planejamento.
Estes novos pontos estão localizados a uma distância de (2n)1/4, onde n é o número de fatores.
-21/2 21/2-1 1 0
-21/2
-1
21/2
1
0
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Ensaio C (%) V (rpm) X1 X2 Y (%)
1 30 115 -1 -1 86
2 40 115 1 -1 85
3 30 135 -1 1 78
4 40 135 1 1 84
5 35 125 0 0 90
6 35 125 0 0 88
7 35 125 0 0 89
8 28 125 -21/2 0 81
9 35 139 0 -21/2 80
10 42 125 21/2 0 86
11 35 111 0 21/2 87
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ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,98142; Adj:,96285 (Spreadsheet1) 2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191 DV: Var3
SS df MS F p(1)Var1 (L) 18,1818 1 18,18182 33,31107 0,002195Var1 (Q) 44,3985 1 44,39853 81,34295 0,000280
(2)Var2 (L) 44,6263 1 44,62626 81,76017 0,000276Var2 (Q) 44,3985 1 44,39853 81,34295 0,0002801L by 2L 12,2500 1 12,25000 22,44333 0,005162
Error 2,7291 5 0,54582Total SS 146,9091 10
Effect Estimates; Var.:Var3; R-sqr=,98142; Adj:,96285 (Spreadsheet1) 2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191 DV: Var3
Effect Std.Err. t(5) p -95,% - Cnf.Limt
+95,% - Cnf.Limt Coeff. Std.Err. -
Coeff.-95,% -
Cnf.Limt+95,% -
Cnf.Limt
Mean/Interc. 89,00184 0,426486 208,6865 0,000000 87,90552 90,09815 89,00184 0,426486 87,90552 90,09815
(1)Var1 (L) 3,03030 0,525039 5,7716 0,002195 1,68065 4,37996 1,51515 0,262520 0,84032 2,18998Var1 (Q) -5,68437 0,630264 -9,0190 0,000280 -7,30451 -4,06422 -2,84218 0,315132 -3,65226 -2,03211
(2)Var2 (L) -4,74747 0,525039 -9,0421 0,000276 -6,09713 -3,39782 -2,37374 0,262520 -3,04857 -1,69891Var2 (Q) -5,68437 0,630264 -9,0190 0,000280 -7,30451 -4,06422 -2,84218 0,315132 -3,65226 -2,032111L by 2L 3,50000 0,738796 4,7374 0,005162 1,60087 5,39913 1,75000 0,369398 0,80043 2,69957
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Fitted Surface; Variable: Var32 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191
DV: Var3
> 85 < 85 < 80 < 75 < 70 < 65 < 60 < 55
Observed vs. Predicted Values2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191
DV: Var3
76 78 80 82 84 86 88 90 92
Observed Values
76
78
80
82
84
86
88
90
92
Pre
dict
ed V
alue
s
Prof. Dr. Márcio A. Fiori - [email protected]
Fitted Surface; Variable: Var32 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191
DV: Var3
> 85 < 85 < 80 < 75 < 70 < 65 < 60 < 55
26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
Var1
105
110
115
120
125
130
135
140
145
Var2
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O modelo geral quadrático:
Y = β0 + β1X1 + β2X12 + β3X2 + β4X2
2 + β5X1X2+ β6X12X2 + β7X1X2
2
Para o exemplo:
Construa ummodelo
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