Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
Aula 9 – Pontos notaveis de um triangulo
Objetivos
• Apresentar os pontos notaveis de um triangulo.
• Estabelecer alguns resultados envolvendo esses elementos.
Pontos notaveis de um triangulo
Nesta aula veremos alguns segmentos e retas relacionados aos triangulos
que sao importantes no estudo da Geometria: medianas, bissetrizes, mediatri-
zes e alturas relativas aos lados do triangulo. Algumas das nocoes envolvidas
ja sao nossas conhecidas.
Definicao 22
Seja ABC um triangulo qualquer e seja D o ponto medio de BC. O segmento
AD e chamado mediana de ABC relativa ao lado BC. (veja figura 161).
A
B C D
Fig. 161: AD e mediana relativa ao lado BC.
Da mesma forma, se E e o ponto medio de AC e F e o ponto medio de
AB, os segmentos BE e CF sao as medianas relativas aos lados AC e AB,
respectivamente.
Alem das medianas, um triangulo ABC tem outros elementos impor-
tantes que serao descritos a seguir.
109 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
Definicao 23
Seja ABC um triangulo e D um ponto do lado BC tal que, BAD ≡ CAD.
O segmento AD e chamado bissetriz interna relativa ao lado BC. Da mesma
forma, defini-se bissetriz interna relativa aos outros dois lados. Observe a
figura 162.
A
B C D
Fig. 162: AD e bissetriz interna relativa ao lado BC.
Usaremos tambem a palavra bissetriz interna para designar a semi-reta−−→AD.
Definicao 24
As mediatrizes de AB, de AC e de BC sao chamadas simplesmente de me-
diatrizes de ABC. Observe a figura 163.
A
B C
D
H
Fig. 163:↔DH e mediatriz.
Definicao 25
Dado um triangulo ABC, trace a reta r que passa por A e que e perpendicular
a reta←→BC. Seja R o ponto em que r e
←→BC se cortam. O segmento AR e
chamado de altura relativa ao lado BC.
CEDERJ 110
Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
O ponto R pode pertencer ao interior BC, coincidir com B ou C, ou
estar fora do segmento BC, como mostrado na figura 164. Ele e tambem
chamado ”pe da altura” relativa ao lado BC. Da mesma forma, define-se a
altura relativa ao lado AC e a altura relativa ao lado AB.
Por simplicidade de linguagem, tambem chamamos de altura a medida e a
reta suporte de uma altura de qualquer triangulo.
A
B C R
A
C
A
B C R B R
Fig. 164: Altura relativa ao lado BC.
Bissetrizes de um triangulo
Dado um triangulo ABC, considere as bissetrizes internas−−→AD e
−−→BE.
Estas se encontram em um ponto F no interior de ABC, como na figura 165.
A
B C
D
E
F
Fig. 165: Encontro de duas bissetrizes internas.
Um fato surpreendente e que a bissetriz de C tambem passa pelo ponto
F . Nosso objetivo agora e provar que, de fato, isso acontece, ou seja, mostrar
que as bissetrizes internas de ABC passam todas por F . Dizemos que F e o
ponto de encontro das bissetrizes internas, ou que as bissetrizes internas sao
concorrentes (em F ).
111 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
Para mostrar que, de fato, as bissetrizes internas sao concorrentes, u-
saremos o seguinte resultado:
Proposicao 18
Seja BAC um angulo e seja−−→AD a bissetriz de BAC. Se P ∈ −−→AD, entao P
equidista de←→AB e de
←→AC. Reciprocamente, se P esta no interior de BAC e
equidista de←→AB e de
←→AC, entao P ∈ −−→AD.
Prova:
Suponha que P pertenca a bissetriz−−→AD de BAC. Trace as perpen-
diculares PX e PY as retas←→AB e
←→AC, respectivamente, como na figura
166.
A
B
C
D
P
X
Y
Fig. 166: Proposicao 18.
Compare os triangulos PAY e PAX. Segue de LAA que PAY ≡ PAX
(note que PA e comum aos dois triangulos). Daı, obtemos que PX ≡ PY ,
ou seja, que a distancia de P a reta←→AB e igual a distancia de P a
←→AC.
Deixaremos como exercıcio desta aula a prova de que, se P equidista de←→AB
e de←→AC, entao P ∈ −−→AD.
Q.E.D.
Provaremos, agora, como se utiliza essa proposicao a fim de provar que
as bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes. Para isso, retorne-
mos a figura 165. Como F pertence a bissetriz de ABC, pela proposicao 18,
garantimos que F equidista de←→AB e de
←→BC. A mesma proposicao assegura
que F equidista de←→AB e de
←→AC (pois F pertence a bissetriz de BAC). Logo,
F equidista das retas←→AC e
←→BC. A segunda parte da proposicao 18 garante
que F pertence a bissetriz de ACB, ou seja, que a bissetriz de ACB tambem
passa por F .
Provamos, assim, a seguinte proposicao:
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Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
Proposicao 19
As bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes.
Definicao 26
O ponto de encontro das bissetrizes internas de um triangulo e chamado de
incentro (veja figura 167).
A
B C
F
Fig. 167: F e o Incentro de ABC.
Neste ponto e oportuno voce reler os axiomas e comparar as suas
afirmacoes com a afirmacao da proposicao 19. Provavelmente, voce nao
questionou nenhuma afirmacao de qualquer axioma, simplesmente porque
os considerou bastante naturais. Sera que voce aceitaria, com a mesma na-
turalidade, a afirmacao da proposicao 19? Provavelmente nao. E por isso
que tivemos de prova-la. E o impressionante e que a prova utilizou apenas
os axiomas e os resultados deles decorrentes.
Segue da proposicao 18 que o incentro de um triangulo e equidistante
dos seus lados. Mais precisamente, se P e o incentro de um triagulo ABC e
os segmentos PR, PS e PT sao perpendiculares aos lados AB, AC e BC,
respectivamente, entao PR ≡ PS ≡ PT ( veja figura 168).
A
B C
RS
P
T
Fig. 168: P incentro de ABC ⇒ PR ≡ PS ≡ PT .
113 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
Como consequencia, o cırculo com centro em P e de raio PR sera
tangente aos tres lados de ABC. Esse cırculo e chamado de cırculo inscrito
no triangulo ABC (veja figura 169).
A
B C
RS
P
T
Fig. 169: Cırculo inscrito.
Medianas de um triangulo
Trataremos, agora, de mostrar que as medianas de um triangulo sao
tambem concorrentes. Para isso, considere um triangulo qualquer ABC e
trace as medianas AD e BE. Essas medianas encontram-se em um ponto G
(figura 170).
A
B CD
EFG
Fig. 170: Encontro das medianas AD e BE.
Mostraremos que a mediana CF tambem passa por G. Com esse ob-
jetivo, trace o segmento ED e considere os pontos medios H, de AG, e I,
de BG. Trace os segmentos HE, HI e ID, formando o quadrilatero HEDI
(veja a figura 171).
A
B CD
EFG
I
H
Fig. 171: Encontro das medianas AD e BE.
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Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
Como E e o ponto medio de AC e D e o ponto medio de BC, temos
que ED e paralelo a AB e que m(ED) =m(AB)
2. Da mesma forma, como H
e o ponto medio de AG e I e o ponto medio de BG, tem-se que HI e paralelo
a AB e que m(HI) =m(AB)
2. Desses fatos resulta que HI e paralelo a ED
e que m(HI) = m(ED).
O quadrilatero HEDI tem entao um par de lados opostos paralelos e
congruentes. Isso implica que HEDI e um paralelogramo.
Logo, temos tambem HE//ID e HE ≡ ID. Segue que HEG ≡ DIG.
Como os angulos HGE e DGI sao congruentes (opostos pelo vertice), segue
por L.A.A. que HGE ≡ DGI (veja figura 172).
A
B C D
F G
E H
I
Fig. 172: Encontro das medianas AD e BE.
Assim, HG ≡ DG e GE ≡ GI. Mas nao esqueca que AH ≡ HG e
BI ≡ IG (pois H e o ponto medio de AG e I e o ponto medio de BG).
Logo, m(AH) = m(GH) = m(GD) e m(BI) = m(IG) = m(GE).
Assim, m(AG) = 2m(GD) e m(BG) = 2m(GE), ou seja, o ponto G de
encontro das medianas AD e BE divide cada mediana em dois segmentos de
forma que o segmento que contem o vertice mede o dobro do outro.
Considere, agora, as medianas AD e CF e seja T o ponto de encontro
entre elas (figura 173).A
B CD
FT
Fig. 173: Encontro das medianas AD e CF .
Da mesma forma que fizemos antes, prova-se que m(AT ) = 2m(TD) e
m(CT ) = 2m(TF ). Mas provamos anteriormente que m(AG) = 2m(GD).
Isso obriga que T = G. Portanto, CF tambem passa por G. Provamos,
assim, que as medianas de um triangulo sao concorrentes. De fato, provamos
mais que isso. Veja o que diz a proposicao a seguir.
115 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
Proposicao 20
As medianas de um triangulo sao concorrentes. Alem disso, o ponto de
encontro entre elas divide cada mediana em dois segmentos de modo que o
segmento que contem o vertice mede o dobro do outro.
Definicao 27
O ponto de encontro das medianas de um triangulo e chamado de baricentro.
(Veja figura 174). A
B CD
EFG
Fig. 174: G e o baricentro de ABC.
O baricentro de um triangulo tem uma propriedade fısica interessante:
ele e o centro de massa do triangulo. Uma experiencia a ser feita e a seguinte:
recorte um triangulo de papelao e faca um furo no seu baricentro. Passe um
barbante por esse furo e estique-o na posicao horizontal. Se o papelao for
sempre da mesma espessura (sem pontos mais pesados que outros), voce
podera girar o triangulo e para-lo em qualquer posicao, sem que ele se mexa
mais. Parece normal? So que se voce furar o triangulo fora do baricentro e
fizer a mesma coisa, o triangulo vai ter uma ”posicao preferida”, uma parte
que sempre vai tender a ficar para baixo, por ser mais pesada. O baricentro
e para o triangulo, nesse sentido, como o ponto de encontro das diagonais e
para o quadrado.
Centro de Massa,
Baricentro, Centro de
Gravidade e Centroide
Ha varias definicoes para
Centro de Massa de um
corpo. Podemos definir
Centro de Massa de um
corpo como o ponto do
corpo sobre o qual
poderıamos concentrar toda
a massa do corpo ou o ponto
do corpo pelo qual podemos
pendurar o corpo de modo
que fique em equilıbrio.
Do grego, Baros (pesado) +
kentron (centro), o
baricentro e o centro de
massa de um corpo. Esse
tema, muito importante na
Fısica, tem seu maior
conteudo no trabalho de
Ferdinand Mobius (1287):
Der Baricentrische Calcul.
No caso do triangulo, o
Baricentro (e
consequentemente o Centro
de Massa) esta localizado no
ponto de encontro das
medianas do triangulo.
Quando um corpo esta
sujeito a forca da gravidade,
o Centro de Massa e o ponto
em que podemos representar
a resultante das forcas que
atuam sobre todos os pontos
do corpo. E o ponto onde
marcamos a ’forca peso’.
Nesse caso o ponto e
chamado de Centro de
Gravidade.
No caso do corpo ser
homogeneo, o centro de
massa recebe o nome de
Centroide.
Mediatrizes e Alturas de um triangulo
Nos exercıcios desta aula, faremos juntos a prova da seguinte pro-
posicao:
Proposicao 21
As mediatrizes de um triangulo sao concorrentes.
Definicao 28
O ponto de encontro das mediatrizes de um triangulo e chamado de circun-
centro.
Faremos tambem, nos exercıcios desta aula, a prova da proposicao:
Proposicao 22
As alturas de um triangulo sao concorrentes.
Definicao 29
O ponto de encontro das alturas de um triangulo e chamado de ortocentro.
CEDERJ 116
Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
Resumo
Nesta aula voce aprendeu...
• As definicoes de mediana, bissetriz interna, mediatriz e altura de um
triangulo.
• Que as medianas, as bissetrizes internas, as mediatrizes e as alturas de
um triangulo sao concorrentes.
• Que todo triangulo possui um cırculo inscrito.
Exercıcios
1. (Restante da prova da proposicao 18.) Na proposicao 18 provamos
que, se um ponto pertence a bissetriz de um angulo, entao ele equidista
dos lados desse angulo. O objetivo deste exercıcio e provar o inverso:
se um ponto pertence ao interior de um angulo e equidista dos lados
desse angulo, entao esse ponto pertence a bissetriz desse angulo. Para
isso, considere um angulo BAC e um ponto P no interior de BAC
e equidistante dos lados desse angulo. Trace os segmentos PD e PE
perpendiculares respectivamente aos lados−→AC e
−→AB (veja figura 175).
B
E
A D
P
C
Fig. 175: Exercıcio 1.
Agora prove que a semi-reta−→AP e bissetriz de BAC.
2. Na figura 176, m(AC) = 30 cm e B e reto. Determine a medida de
PO.
AB
C
Q
P
O
Fig. 176: Exercıcio 2.
117 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
3. Na figura 177, ABCD e um paralelogramo. Determine x.
A B
CD
Px
16
M
Fig. 177: Exercıcio 3.
4. Na figura 178, ABCD e um paralelogramo. Determine x.
A B
CD
P
x
8
E
Fig. 178: Exercıcio 4.
5. Na figura 179, ABCD e um retangulo eABM e um triangulo equilatero.
Se m(AB) = 15 cm, determine m(AP ).
D M C
A
P
B
Fig. 179: Exercıcio 5.
6. Na figura 180, P pertence a mediatriz de AB. Prove que P equidista
de A e B (ou seja, m(PA) = m(PB)).
A B
P
Fig. 180: Exercıcio 6.
CEDERJ 118
Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9
7. Este exercıcio e o recıproco do exercıcio 6. Se P e equidistante dos
pontos A e B, prove que P pertence a mediatriz do segmento AB.
8. (Circuncentro de um triangulo.) O objetivo deste exercıcio e mos-
trar que as mediatrizes de um triangulo sao concorrentes, ou seja, pas-
sam pelo mesmo ponto. Para isso, considere as mediatrizes r e s dos
lados BC e AC, respectivamente, as quais encontram-se em um ponto
P (figura 181). Use os exercıcios 6 e 7 para mostrar que P pertence a
mediatriz de AB.
A
B C
P
r
s
Fig. 181: Exercıcio 8.
9. (Cırculo circunscrito.) O objetivo deste exercıcio e provar que todo
triangulo possui um cırculo circunscrito. Seja ABC um triangulo e seja
P o circuncentro de ABC (figura 182).
A
B
P
C
Fig. 182: Exercıcio 9.
Prove que PA ≡ PB ≡ PC. Entao o cırculo com centro em P e de
raio PA passa pelos tres pontos de ABC.
Esse cırculo e chamado de cırculo circunscrito ao triangulo ABC (figura
183).A
B
P
C
Fig. 183: Exercıcio 9 (Cırculo circunscrito).
119 CEDERJ
Pontos notaveis de um triangulo
10. (Ortocentro de um triangulo.) O objetivo deste exercıcio e mostrar
que as alturas de um triangulo sao concorrentes. Para isso, considere
um triangulo ABC e, por cada vertice, trace a reta paralela ao lado
oposto. Essas retas determinam um triangulo DEF (figura 184).
A
B C
D E
F
t
r
s
Fig. 184: Exercıcio 10.
Prove que A, B e C sao os pontos medios de DE, DF e EF , respectiva-
mente. Em seguida, mostre que as alturas de ABC sao as mediatrizes
de DEF . Use o exercıcio 8 para concluir que as alturas de ABC sao
concorrentes.
11. Seja O o centro do cırculo circunscrito a um triangulo ABC. Prove
que O pertence ao interior de ABC se e somente se o triangulo ABC
e acutangulo.
CEDERJ 120
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