Propagação & Antenas Página 1
Aula de Programas – 1
Programa 1
Num primeiro programa MATLAB, intitulado PA_1, ilustre a demonstração gráfica do teorema de
Pitágoras.
Usando o Microsoft PowerPoint pode ilustrar melhor o que se pretende provar (como na figura
anexa da página seguinte) importando o gráfico produzido na plataforma MATLAB.
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Programa 2
Num mesmo programa MATLAB, intitulado PA_2, desenhe três figuras. Na Figura 1 desenha-se a
circunferência 2 2 1x y . Considere, para isso, a representação paramétrica
cos0 2
sin
x
y
Na Figura 2 desenham-se os dois ramos da hipérbole 2 2 2 1c t x . Considere, para isso, as
seguintes representações paramétricas (experimente diferentes valores de 0 )
0 0
coshramo superior
sinh
coshramo inferior
sinh
ct
x
ct
x
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Na Figura 3 desenham-se os dois ramos da hipérbole 2 2 2 1x c t . Considere, para isso, as
seguintes representações paramétricas
0 0
sinhramo direito
cosh
sinhramo esquerdo
cosh
ct
x
ct
x
Propagação & Antenas Página 6
Programa 3
Num mesmo programa MATLAB, intitulado PA_3, desenhe quatro figuras dispostas numa matriz
de 2 2 . Na primeira linha pretende-se mostrar o perfil espacial de uma onda em dois instantes
sucessivos 1t t e
2t t . Na segunda linha pretende-se mostrar a evolução temporal dessa mesma
onda em dois pontos 1 e
2 .
A onda que se irá considerar é a seguinte (para um dado valor 1,2,3,m ):
2 1 2
2
0 0
1 1, exp
m m
mf t t t
c c
.
Para efeitos de representação gráfica vai-se considerar 1c e 0 1 . Assim, tem-se:
0
2 1 2
0 0 0 02
0 0
1 1perfil espacial em , exp
m m
t mt t f t t t
c c
0
2 1 2
0 00 0 2
0 0
1 1evolução temporal em , exp
m m
mt f t t t
c c
Considere dois casos: (i) 1m ; (ii) 3m .
Propagação & Antenas Página 9
Programa 4
Admita que um observador O , no interior de um vagão de comboio, emite um sinal
electromagnético a partir do ponto médio do compartimento. Assim, este observador nota que o
sinal emitido chega simultaneamente às duas extremidades 1e e
2e da carruagem cujo
comprimento, do seu ponto de vista, é 0L . Para um outro observador O , na estação de comboios,
que vê o comboio a deslocar-se com uma velocidade v (constante) no sentido positivo do eixo x , o
sinal emitido por O não chega simultaneamente às duas extremidades (como observado por O ).
Com efeito, o sinal emitido por O , chega – do ponto de vista de O – num instante 1t à
extremidade 1e e num instante (posterior)
2t à extremidade 2e .
(a) Usando um diagrama de Minkowski, mostre que – sendo L o comprimento do vagão do ponto
de vista do observador na estação – se tem
2 1 2 2
v Lt t t
c v
onde c representa a velocidade da luz.
(b) Explique, com base na experiência considerada, como traça os eixos ,x ct e ,x ct no
diagrama de Minkowski.
(c) Mostre, ainda, que
2
01v
L Lc
.
Propagação & Antenas Página 10
A experiência aqui considerada encontra-se representada no diagrama de Minkowski seguinte.
A linha de universo 1e é representada por x vt . Já as linhas de universo m e
2e são,
respectivamente, representadas por 2x vt L e por x vt L . O sinal electromagnético 1 que
liga os acontecimentos M a A é dado pela equação x ct x M . Já o sinal electromagnético que
liga os acontecimentos M a B é dado pela equação Mx ct x . Como é óbvio, tem-se 2x LM .
Assim, o instante 1t é tal que
1 1 1 12 2 2
L L Lct vt c v t t
c v
.
Por sua vez, o instante 2t é tal que
2 2 2 22 2 2
L L Lct vt L c v t t
c v
.
Propagação & Antenas Página 11
Logo, infere-se que
1 1 2 2 2 2
2
2 2 2
L L L v v Lt t t t
c v c v c v c v
.
O eixo ct corresponde à «equiloc» 0x do sistema de coordenadas S , i.e., à linha de universo
1e x vt no sistema de coordenadas S . Ou seja:
1 1Eixo 0
tanct x x ct ct x x
.
O eixo x corresponde à «equitemp» 0ct do sistema de coordenadas S , i.e., é a «equitemp»
paralela à «equitemp» que liga os acontecimentos A a B e que contém o acontecimento 0x x
quando 0t t (i.e., a origem comum dos dois sistemas de coordenadas S e S ).
Do ponto de vista de S , tem-se então
1,
2 2 1 2 1
c L L Lx vt ct ct ct x
c v
A A A A AA
2
2,
2 2 1 2 1 2 1
c L L L Lx vt L ct L ct ct x L
c v
B B B B BB
Logo, a equação que descreve a «equitemp» (em S ) que liga estes dois acontecimentos é:
A A B AA A
B B B A
12
ct p x q ct ct Lct p x q p q ct p x
ct p x q x x
12
Lct x .
Esta última equação prova inequivocamente que, de facto, a «equitemp» de S que passa na origem
dos dois sistemas de coordenadas é dada por ct x . Assim:
1
Eixo 0 tanx ct x ct ct x ct x
.
Note-se que existe, aqui, uma invariância. Como
Propagação & Antenas Página 12
0x A , 1
2 1
Lct
A e
2 1
Lx
A ,
a (seguinte) invariância do intervalo permite calcular ctA :
2 22 2 2 2
A
1 1
2 1 2 1
L Lc t x c t x ct t
c
A A A A A .
Analogamente, tem-se:
2 22 2 2 2c t x c t x B B B B .
Neste caso, com A e B são simultâneos em S , obtém-se
1
2 1
Lct ct
B A e 0Bx , pelo que:
2
2 22 3
2 1
Lc t x
B B .
Logo, como
2 1,
2 1 2 1
L Lx ct
B B ,
daqui resulta, então, que:
2
2 2 2 3
2 1
Lc t x
B B .
Em síntese:
1 10, ,
2 1 2 1 2 1S S
L L Lx ct x ct
A A A AA
0
1 2 1, ,
2 1 2 1 2 1S S
L L Lx L ct ct x ct
B B A B BB
Mas então, vem:
Propagação & Antenas Página 13
2 2
2 22 2
0
1 3
2 1 2 1
L Lc t x L
B B .
Esta última equação permite, agora, determinar a relação entre L e 0L . Vem sucessivamente
22 2
2
0 2 2
2 22
2
2 2
2 2
1 3 11 3
2 1 1 2 1 1
1 2 3 3
2 1
4
2 1 1
L LL
L
L L
donde se infere, por fim, que
2
01 QEDL L .
Era também possível chegar a este mesmo resultado de uma forma alternativa. Vejamos como.
A intersecção da «equitemp» ct x (i.e., o eixo x ) com a linha de universo
2
1e x vt L x ct L ct x L
,
permite definir um novo acontecimento Q , tal que
2 2
1
1 1Q
L Lx x L x ct x
Q Q Q Q .
Porém, do ponto de vista do referencial S , o acontecimento Q ocorre em 0x L no instante
0t . Ou seja:
0 2 2, 0 ,
1 1S S
L Lx L ct x ct
Q Q Q QQ .
Logo, de acordo com a invariância do intervalo, vem
2 22 2 2 2c t x c t x Q Q Q Q .
Propagação & Antenas Página 14
Assim, substituindo nesta última equação as coordenadas do acontecimento Q nos dois sistemas de
coordenadas, obtém-se:
2 2 2 22 2 2
0 0 2 22 2 22 2
1
1 1 11 1
L L LL L L
2
01L L .
É claro que também se poderia inferir a contracção do espaço por outras vias. Mas, como exemplo,
fica aqui apenas referido o processo que se baseia na invariância do intervalo.
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