Raquel Almeida
Raquel Almeida 2
Raquel Almeida
O que a Mecnica?Cincia que estuda as condies de repouso ou de movimento doscorpos sujeitos aco de foras.
Corpos deformveis Resistncia dos materiaisMecnica
Corpos rgidosEsttica Trata de corpos em repouso ou em
movimento com velocidade constante.Dinmica Trata de corpos em movimento.
FluidosCompressveis
Incompressveis ...
Hidrulica (gua)
3
Raquel Almeida
Na disciplina de Mecnica Aplicada I estuda-se a Esttica, que a parte daMecnica que se ocupa do estudo das partculas e dos corpos rgidos emrepouso ou em movimento com velocidade constante.
Partcula uma quantidade muito pequena de matria, que se supe ocupar um nico ponto no espao.
4
Modelos ou idealizaes so usados na mecnica para simplificar aaplicao da teoria:
Possui massa, mas em tamanho que pode serdesprezado.Ex: - o tamanho da Terra insignificante quando comparado
com o tamanho da sua rbita e, portanto ela pode sermodelada como uma partcula no estudo do seumovimento orbital
Quando um corpo modelado como uma partcula, a geometria do corpo no estar envolvida na anlise do problema.
Raquel Almeida
Na disciplina de Mecnica Aplicada I estuda-se a Esttica, que a parte daMecnica que se ocupa do estudo das partculas e dos corpos rgidos emrepouso.
Corpo rgido um corpo ideal, resultante da combinao de um grandenmero de partculas ocupando posies fixas no espaoumas em relao s outras, tanto antes como depois daaplicao de uma carga.
Partcula uma quantidade muito pequena de matria, que se supe ocupar um nico ponto no espao.
Isaac Newton (1642-1727) formulou os princpios fundamentais daMecnica Newtoniana, que permanecem ainda hoje na base das Cincias daEngenharia actuais.
5
Raquel Almeida
Fora Representa a aco de um corpo sobre outro, podendo exercer-se porcontacto directo ou distncia. Uma fora caracterizada pelo seuponto de aplicao, intensidade, direco e sentido; representa-se porum vector.
A Mecnica Newtoniana utiliza os seguintes quatro conceitos bsicos:
Espao Conceito associado noo de posio de um ponto P,relativamente origem de um determinado referencial decoordenadas.
Tempo A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo (Importante na dinmica).
Massa Conceito associado quantidade de matria.
6
Raquel Almeida
Fora
Espao Conceito associado noo de posio de um ponto P,relativamente origem de um determinado referencial decoordenadas.
Tempo A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo.
Massa Conceito associado quantidade de matria.
Na Mecnica Newtoniana estes conceitos so conceitosabsolutos, independentes entre si.
Isto no verdade na Mecnica Relativista (Einstein) em que o tempo deum acontecimento depende da sua posio, e em que a massa de umcorpo varia com a sua velocidade.
O conceito de fora no independente dos outros trs. Um dos princpios fundamentais da Mecnica Newtoniana estabeleceque a resultante das foras que actuam num corpo depende da massadeste e com o modo como a sua velocidade varia ao longo do tempo.
A Mecnica Newtoniana utiliza os seguintes conceitos bsicos:
7
Raquel Almeida
A Mecnica Newtoniana baseia-se em princpios fundamentais, baseados emevidncias experimentais:
Regra do paralelogramo para adio de foras Estabelece que duas forasactuando numa partcula podem ser substitudas por uma fora nica, chamadaresultante, obtida traando a diagonal do paralelogramo que tem por lados asduas foras dadas.
8
Raquel Almeida
A Mecnica Newtoniana baseia-se em princpios fundamentais, baseados emevidncias experimentais:
Princpio da transmissibilidade Estabelece que as condies de equilbrioou de movimento de um corpo rgido no se alteram se substituirmos umafora actuando num ponto do corpo por outra fora com a mesmaintensidade, direco e sentido, mas actuando noutro ponto do corpo, desdeque as duas foras tenham a mesma linha de aco.
9
Raquel Almeida
As trs leis fundamentais de Newton ( Sculo XVII):
Primeira lei de Newton Se a resultante das foras que actuam numapartcula nula, esta permanecer em repouso (se estava inicialmente emrepouso) ou mover-se- com velocidade constante segundo uma linha recta (seestava inicialmente em movimento).
Exemplo:Um elevador de um prdio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a aco exclusiva de duas foras opostas: o peso e a traco do cabo, ambas de intensidade igual a 2 000 N. O elevador est parado?
Como a resultante das foras actuantes nula, o elevador pode encontrar-se tanto em repouso (equilbrio esttico) quanto em movimento rectilneo uniforme (equilbrio dinmico).
10
Raquel Almeida
As trs leis fundamentais do movimento de Newton :
Segunda lei de Newton Se a resultante das foras que actuam numapartcula no nula, ento esta ter uma acelerao cuja intensidade proporcional intensidade da resultante, com a mesma direco e o mesmosentido.
fora resultante que actua na partculam massa da partcula
acelerao da partcula
F m a=
F
a
11
Raquel Almeida 12
Terceira lei de Newton As foras de aco e reaco entre corpos emcontacto tm a mesma intensidade, a mesma linha de aco e sentidosopostos.
Ao aplicarmos a terceira lei de Newton, no podemos esquecer que as foras de aco e reaco:
a) esto associadas a uma nica interaco, ou seja, correspondem s foras trocadas entre apenas dois corpos;
b) tm sempre a mesma natureza, logo, possuem o mesmo nome (o nome da interaco);
c) actuam sempre em corpos diferentes, logo, no se equilibram.
Par aco-reaco
Raquel Almeida 13
Terceira lei de Newton As foras de aco e reaco entre corpos emcontacto tm a mesma intensidade, a mesma linha de aco e sentidosopostos.
Raquel Almeida 14
2MmF Gr
=
r
Lei da atraco gravitacional de Newton Estabelece que duas partculasde massas M e m atraem-se mutuamente com foras iguais e opostas F e -F,cuja intensidade dada por:
distncia entre as duas partculas
G Constante de gravitao universal( )12 3 266 73 10G m kg s= ,
No caso de uma partcula localizada sobre ou prxima superfcie daTerra, a nica fora da gravidade com intensidade considervel aquela que a Terra exerce sobre a partcula.
Raquel Almeida 15
Contudo para clculos de engenharia suficientemente preciso considerar g = 9,81 m/s2.
P m g =2
GMP mR
=
Esta lei utilizada para calcular a fora de atraco da Terra sobre umapartcula de massa m situada sobre a sua superfcie. Essa fora designa-sepeso da partcula.
massa da partcula
massa da Terra
raio da Terra
O valor de R depende da altitude do ponto considerado e da latitude, visto aTerra no ser perfeitamente esfrica. Por isso, o valor de g varia de ponto paraponto.
Lei da atraco gravitacional de Newton
245 98 10M kg= ,
66 35 10R m , Acelerao da gravidade
Raquel Almeida 16
Comprimento Tempo Massa
Fora
Unidadesmecnicas
Unidades fundamentais
Unidades derivada
Unidade derivada chama-se newton (N) e define-se como a fora queproduz uma acelerao de 1 m/s2 numa massa de 1 kg.
( ) ( )2 21 1 1 kg mN kg m s s
= =
F m a=
- metro (m)- segundo (s)- kilograma (kg)
Raquel Almeida
Temos como objectivo estudar o efeito das foras que actuam sobas partculas, para tal temos de:
- Substituir um conjunto de foras actuantes numa partcula por uma sfora que tenha o mesmo efeito que as foras originais, esta fora chamada de resultante.
- Obter as relaes entre as vrias foras actuantes numa partculaque se encontra em estado de equilbrio.
17
Raquel Almeida
Ateno:O uso da palavra partcula no implica que o nosso estudo venha alimitar-se a corpsculos; significa sim, que o tamanho e a forma doscorpos em considerao no afectaro significativamente a resoluodo problema.
18
Raquel Almeida
Vectores: grandezas matemticas possuindo intensidade,direco e sentido, que se somam de acordo com a regrado paralelogramo. Exemplos: deslocamento, velocidade,acelerao.
Classificao dos vectores: Fixos - tm pontos de aplicao bem definidos e que
no podem ser mudados sem afectar a anlise. Livres - vectores que se podem mover livremente no
espao, ex: binrios e momentos. Deslizantes - vectores que se podem mover, ou
deslizar ao longo das suas linhas de aco.
Escalares: quantidades fsicas que tm intensidade mas no direco.Exemplos: massa, volume, temperatura.
19
Todas as quantidades fsicas na mecnica so medidas utilizando: escalares ouvectores.
Raquel Almeida
Vectores Iguais tm a mesma intensidade, direco esentido, independentemente de terem ou no o mesmoponto de aplicao.
Vector Oposto vector que tem a mesma intensidade, amesma direco e sentido oposto.
20
Multiplicao de um vector por um escalar
Raquel Almeida
Fora: representa a aco de um corpo sobreoutro; caracterizada pelo seu ponto deaplicao, sua intensidade, direco esentido.
A evidncia experiencial mostra que o efeitocombinado de duas foras sobre uma partculapode ser representado por uma fora simpleschamada de resultante.
A resultante equivalente diagonal doparalelogramo que contm as duas foras embraos adjacentes.
A fora uma quantidade vectorial.
21
Raquel Almeida
Regra do Paralelogramo
A adio de vectores comutativa, + = +A B B A
22
Regra do tringulo
Raquel Almeida 23
Subtraco de vectores
No caso de vectores colineares, ou seja, ambos possuem a mesma linha de aco, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adio algbrica ou escalar.
Regra do paralelogramo Regra do tringulo
( )= = + R ' A B A B
Raquel Almeida
2 2 2
2 2
2
2
R P QR P Q PQR P Q PQ
= +
= +
= +
cos
cos
Lei dos co-senos
Lei dos senos
sen sen sen
Q R P
= =
24
Raquel Almeida
Para a adio de trs ou mais vectores repetida a regra do tringulo.
Regra do polgono para a adio de trs oumais vectores.
A adio de vectores associativa ,
( ) ( )SQPSQPSQP ++=++=++
25
Raquel Almeida
As duas foras P e Q actuam noparafuso A. Determine a suaresultante.
26
Raquel Almeida
Soluo trigonomtrica Aplicando a regra do tringulo.
A partir da lei dos co-senos,
( ) ( ) ( )( ) +=+=
155cosN60N402N60N40cos222
222 BPQQPR
6015597 73
15 0420
sin A sin BQ R
Qsin A sin B sin
R .A .
A
=
= =
=
= +
N73.97=R
A partir da lei dos Senos,
= 04.35
27
Raquel Almeida
Posteriormente so definidos dois vectores de intensidade unitria, dirigidos segundo o sentido positivo dos eixos x e y, chamam-se versores.Intensidade = 1
Em muitos problemas desejvel decompor uma fora emduas componentes perpendiculares entre si, o paralelogramotraado para obter as duas componentes um rectngulo.
so chamadas componentes cartesianas, e
x yF F F= +
e x yF F
As componentes do vector podem ser expressas como o produto dos versores pelos escalares relativos magnitude das componentes do vector.
x yF F i F j= +
28
Componentes escalares
Raquel Almeida
SQPR ++=
A resultante de trs ou mais foras concorrentese coplanares dada por:
( ) ( )x y x y x y x y
x x x y y y
R i R j P i P j Q i Q j S i S jP Q S i P Q S j
+ = + + + + +
= + + + + +
Decompondo cada fora nas suas componentescartesianas, escreve-se
=++=
x
xxxx
FSQPR
=++=
y
yyyyF
SQPR
2 2 1tan yx yx
RR R R
R = + =
29
Raquel Almeida
Quatro foras actuam numparafuso. Determine a resultantedas foras no parafuso.
30
Raquel Almeida
SOLUO: Separar cada fora nas suas componentes
rectangulares.
1
2
3
4
150 129 9 75 080 27 4 75 2
110 0 110 0100 96 6 25 9
. .
. .
.
. .
fora mag x comp y compF
F
F
F
+ +
+
+
22 3.141.199 +=R 199 6NR = .
Calcular a intensidade e a direco.
N1.199N3.14
tan = 4 1 = .
1.199+=xR 3.14+=yR
31
Raquel Almeida
Uma partcula que esteja actuada por duas foras est em equilbrio se as duasforas actuantes tiverem: mesma intensidade; mesma linha de aco; sentidos opostos.
100 N
100 N
Quando a resultante de todas as foras actuantes numa partcula zero, a partcula est em equilbrio.
32
Raquel Almeida
- Soluo grfica origina um polgono fechado;
- Soluo algbrica0
00
x
y
FR F
F=
= = =
1 Lei de Newton: Se a fora resultante actuando sobre uma partcula nula, apartcula permanecer em repouso ou mover-se com velocidade constante e emlinha recta.
Diagrama de corpo-
livre
33
Partcula actuada por trs ou mais foras:
Raquel Almeida
1. Identificar perfeitamente a partcula ou o corpo que se pretende estudar.
2. Identificar todas as foras aplicadas sobre a partcula ou sobre o corpo (sdevem ser consideradas as foras externas).
3. Escrever as equaes de equilbrio.4. Resolver as equaes de equilbrio e obter o valor das foras
desconhecidas.
Esttica das PartculasA esttica de partculas estuda o efeito de foras actuando numa partcula. Esteestudo tambm vlido no caso de foras actuando num corpo, desde quetodas as foras actuando sobre o corpo sejam concorrentes num nico ponto.
O corpo pode ento ser representado por esse ponto e estudado como se deuma partcula se tratasse.
34
Raquel Almeida
Devido sua construo flexvel, um cabo s pode transmitir forasalinhadas com a direco em que se encontra esticado, e apenas nosentido indicado.
Um cabo suporta foras de traco e no de compresso.
Traco
Compresso
35
Raquel Almeida
Uma roldana permite modificar a direco do cabo e da fora que setransmite atravs dele, mas no a sua intensidade (ausncia de atrito).
As duas foras aplicadas sobre o cabo tm a mesma intensidade
Para realizar o equilbrio, necessrio aplicar sobre a roldana uma fora alinhada com a bissectriz do ngulo T
T
F
TT
F
R
/2/2
36
Raquel Almeida
Considere-se o vectorh contido no planoOBAC.F Decompondo nas
componentes vertical ehorizontal.
F
y yF F = cos
h yF F sen=
3725-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Decompondoccccccnas suascomponentes rectangulares
hF
x h
y
z h
y
F FF sen
F F senF sen sen
=
=
=
=
cos
cos
y yF F = cos
h yF F sen=
38
Raquel Almeida
x y
y y
z y
F F sen
F F
F F sen sen
=
=
=
cos
cos
( ) ( ) ( )22 2 x y zF F F F= + +A intensidade da fora resultante dada por
3925-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Conhecendo os ngulos entre e os eixos cartesianos vem:F
cos cos cosx x y y z zF F F F F F = = =
( )cos cos cosx y z x y zF F i F j F k F i j kF
= + + = + +
=
40
Raquel Almeida
Conhecendo os ngulos entre e os eixos vem:F
Co-senos directores
F
vector unitrio com a mesma linha de aco de
2 2 2 1cos cos cosx y z + + =
41
Conhecendo dois dos ngulos pode determinar-se o terceiro
( )cos cos cos
cos cos cos
x y z
x y z
x y z
F F i F j F kF i j kF
i j k
= + +
= + +
=
= + +
Raquel Almeida
A direco de uma fora, pode ser ainda definida pelas coordenadas de dois pontos pelos quais passa a sua linha de aco e ( )2 2 2, ,N x y z( )1 1 1 , ,M x y z
2 1
vector que liga a
em que x y z x
MN M N
d i d j d k d x x=
= + + =
2 1
2 1
y
z
d y yd z z
=
=
4225-09-2014 11:52
F F=
Raquel Almeida
logo:
yx zx y z
dd dF F F F F Fd d d
= = =
( )2 2 2
1x y z
x y z
F F
MN d i d j d kMN d
d d d d
=
= = + +
= + +
43
A direco de uma fora, pode ser ainda definida pelas coordenadas de dois pontos pelos quais passa a sua linha de aco e ( )2 2 2, ,N x y z( )1 1 1 , ,M x y z
Raquel Almeida
2 2 2x y z
yx zx y z
R R R R
RR RR R R
= + +
= = =cos cos cos
x x y y z zR F R F R F= = =
Se duas ou mais foras actuam numa partcula, as componentes daresultante podem ser obtidas somando as correspondentescomponentes das foras aplicadas .
A partcula est em equilbrio quando a resultante das foras que sobreela actuam for zero, isto , quando Rx = Ry = Rz = 0.
0
0
0
x
y
z
F
F
F
=
= = 44
Co-senos directores
Resultante
Raquel Almeida
Calcule a intensidade do peso W e da fora instalada no cabo AB.
No plano vertical, uma carga de peso 400 N suspensa por um cabo AB e doiscabos ACF e ADE que passando pelas roldanas C e D so presos a blocos depesos 3W e W, respectivamente. Considere que na posio ilustrada o sistemaest em equilbrio esttico.
EF
45
Raquel Almeida
ADT
( )( )( )( )
0;0;0 360;1050;0
480;360;01050;360;0
A
B
CD
EF
ABT
ADT
ACT
Pontos:
Escrever os vectores das foras
400
;AC AC AC AB AB AB
AD AD AD
P jT T T T
T T
=
= =
=
com:
3 e AC ADT W T W= =
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
3480 360 0 0 480 360
0.8 0.6600480 360
logo:
3 0.8 0.6 2.4 1.8
AC AC AC AC
AC
AC AC AC
T T W
i j i j i jC A i jAC
T T W i j W i W j
= =
+ + +
= = = = + +
= = + = +
x
y
P
25-09-2014 11:52 46
Raquel Almeida
( )( )( )( )
0;0;0 360;1050;0 480;360;01050;360;0
A
B
CD
Pontos:
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2 2
360 1050 0 0
360 1050
360 10500.324 0.946
1110logo:
0.324 0.946
AB AB AB
AB
AB AB AB AB
T T
i j i jB AAB
i ji j
T T T i j
=
+ +
= = =
+
+= = +
= = +
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1050 360 0 00.946 0.324
1050 360logo:
0.946 0.324 0.946 0.324
AD AD AD AD
AD
AD AD AD
T T W
i j i jD A i jAD
T T W i j W i W j
= =
+ +
= = = ++
= = + = +
ADT
EF
ABT
ADT
ACT
x
y
47
Raquel Almeida
( ) ( )2.4 1.8AC AC ACT T W i W j
= = +
( )0.324 0.946AB AB AB ABT T T i j = = +
( ) ( )0.946 0.324AD AD ADT T W i W j
= = +
ABT
ADT
ACT
x
y
0 2.4 0.324 0.946 0 1.454 0.324 0 4.4830
0 1.8 0.946 0.342 400 0
4.483 281.741.8 4.2409 0.342 400
x AB AB AB
y AB
AB AB
F W T W W T T WF
F W T W
T W T NW W W W
= + + = + = = =
= + + =
= =
+ + = =
62.84N
400N
25-09-2014 11:52 48
Raquel Almeida 49
Raquel Almeida
Os corpos analisados na mecnica elementar podem ser considerados,na sua maioria, corpos rgidos, entendendo-se por corpo rgido todoaquele que no se deforma.
Tratar um corpo como se de uma partcula se trata-se pode no sersempre possvel. Quando as foras actuantes num corpo no soconcorrentes num ponto, as dimenses do corpo e os pontos deaplicao das foras tm de ser considerados.
5025-09-2014 11:52
Raquel Almeida
1. Foras exteriores representam a aco de outros corpos sobre o corporgido em anlise. Estas foras so responsveis pelo comportamentoexterno do corpo rgido, causaro o seu movimento ou asseguraro asua permanncia em repouso.
2. Foras interiores so aquelas que mantm unidas as diferentespartculas que constituem o corpo rgido. Se o corpo for estruturalmentecomposto por vrias partes, as foras de ligao entre elas so tambmdefinidas como foras interiores.
As foras que actuam num corpo rgido podem ser classificadas emdois grupos:1. Foras exteriores representam a aco de outros corpos sobre o corpo
rgido em anlise. Estas foras so responsveis pelo comportamentoexterno do corpo rgido, causaro o seu movimento ou asseguraro asua permanncia em repouso.
5125-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Vimos que as foras que actuam numa partcula podem ser representadas porvectores, em que estes tm um ponto de aplicao bem definido, que a prpriapartcula, e so, portanto vectores fixos.
No caso de partculas vimos que as foras F e F diziam-se equivalentesquando produziam o mesmo efeito sobre a partcula.
5225-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Princpio da Transmissibilidade -As condies de equilbrio ou de movimentode um corpo rgido permanecem inalteradaspela transferncia da fora ao longo da sualinha de aco.
No caso de foras exteriores que actuam em corpos rgidos, o ponto de aplicao dafora no relevante, desde que a linha de aco permanea inalterada, vectordeslizante.
53
Raquel Almeida
Princpio da Transmissibilidade -As condies de equilbrio ou de movimentode um corpo rgido permanecem inalteradaspela transferncia da fora ao longo da sualinha de aco.
Traco
Compresso
P1 = P2
54
O princpio da transmissibilidade embora possa ser utilizado na determinao das condies de equilbrio de corpos rgidos, deve ser evitado ou, pelo menos, utilizado com precauo, no clculo de foras interiores e deformaes.
25-09-2014 11:52
Raquel Almeida 55
Quando uma fora aplicada a um corpo, ela produzir umatendncia de rotao do corpo em torno de um ponto que noest na linha de aco da fora.Essa tendncia de rotao denominada de Momento da fora
Se uma fora aplicada no cabo da chave, elatender a girar o parafuso em torno do ponto O (ou oeixo z).
A intensidade do momento directamente proporcional intensidade da fora F e distnciaperpendicular ou brao do momento d.
Intensidade do momento oM F d=
uma grandeza vectorial, uma vez que tem intensidade e direco especificadas
Unidades do momento N m
Raquel Almeida 56
Quando maior a fora ou quanto mais longo o brao do momento, maior ser omomento ou o efeito de rotao.
Fora F aplicada com um ngulo
Brao do momento
90
d d sen=
d d
Raquel Almeida
O conceito de momento de uma fora emrelao a um ponto ser mais facilmenteentendido se introduzirmos o conceito deproduto externo de dois vectores.
O produto externo de dois vectores P e Q definido como sendo o vector que satisfaz asseguintes condies:1. A linha de aco de V perpendicular ao plano
que contm P e Q.2. A intensidade de V dada por3. A direco de V obtida pela regra da mo
direita.
sinQPV =
5725-09-2014 11:52
Raquel Almeida
sinQPV =
O produto externo de vectores:- No comutativo,- distributivo,- No associativo
( ) = Q P P Q
( ) ( ) P Q S P Q S( )1 2 1 2 + = + P Q Q P Q P Q
A intensidade V doproduto externo de P eQ igual rea doparalelogramo que tempor lados os doisvectores.
58
Raquel Almeida
Produtos externos de todas as possveiscombinaes de versores,
00
0
i i j i k k i ji j k j j k j ii k j j k i k k
= = =
= = =
= = =
Produto externo em termos das componentescartesianas
( ) ( )x y z x y zV P i P j P k Q i Q j Q k= + + + + ( ) ( )( )
y z z y z x x z
x y y x
P Q PQ i PQ P Q jP Q P Q k
= +
+
zyx
zyxQQQPPPkji
=Determinante
59
Raquel Almeida
Seja F uma fora e r o vector que define a posiodo ponto de aplicao de F em relao a O.
O momento de F em relao a O definido pelo produto externo de r por F :
( )sin .OM r F
F r Fd N m=
= =
Verifica-se que o momento de F no se altera se emvez de considerar o seu ponto de aplicao em A, forescolhido outro ponto qualquer, desde que este seencontre situado sobre a linha de aco de F.
A intensidade de MO mede a tendncia da fora Fpara produzir uma rotao do corpo rgido em tornodo eixo fixo dirigido segundo MO.
Vector posio
60
Raquel Almeida
Diz-se que duas foras F e F' so equivalentes se, e s se, elas soiguais (mesma intensidade, a mesma direco, o mesmo sentido e amesma linha de aco) e produzem momentos iguais em relao aum dado ponto O.
'
O' e M MO= =F F
6125-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O momento em relao a um dadoponto O da resultante de vriasforas concorrentes igual somados momentos das diversas forasem relao ao mesmo ponto O.
( )1 2 1 2r F F r F r F + + = + + Propriedade distributiva
6225-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O teorema de Varignon torna possvel substituir o clculo directo de ummomento de uma fora F pelo clculo dos momentos de duas ou maisforas suas componentes.
63
O y xM F x F y=
Raquel Almeida 64
O momento em relao a um dado ponto O da resultante devrias foras concorrentes igual soma dos momentos dasdiversas foras em relao ao mesmo ponto O.
(((( )))) 1 2r R r F r F = + + = + + = + + = + +
R
=
6425-09-2014 11:52
Raquel Almeida
( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkji
kMjMiMM
xyzxyz
zyx
zyxO
++=
=
++=
O momento de F em relao a O,
kFjFiFFkzjyixrFrM
zyx
O
++=
++== ,
6525-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O momento de F em relao ao ponto B,
B BAM r F=
( ) ( ) ( )BA A B
A B A B A B
x y z
r r r
x x i y y j z z k
F F i F j F k
=
= + +
= + +
( ) ( ) ( )zyx
BABABAB
FFFzzyyxx
kjiM =
Vector de posio de A relativamente a B
66
BA
Raquel Almeida
O produto escalar (ou produto interno)entre dois vectores P e Q definido como
( )escalarcosP Q PQ =
Produto escalar em termos das componentes cartesianas,
000111 ====== ikkjjikkjjii
( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx ++++=x x y y z zPQ P Q PQ= + +
2 2 2 2x y zP P P P P P = + + =
Projeco do vectorP sobre o vector Q
67
Raquel Almeida
O produto misto de trs vectores dado pela seguinte relao, ( ) scalarS P Q e =
O produto misto de trsvectores igual, emvalor absoluto, ao volumedo paraleleppedo quetem por arestas osvectores P, Q e S.
6825-09-2014 11:52
Raquel Almeida
( ) ( ) ( )( )
zyx
zyx
zyx
xyzxyz
zxxzyyzzyx
QQQPPPSSS
QPQPSQPQPSQPQPSQPS
=
+
+=
Determinante
Em termos de componentes cartesianas,
Os seis produtos mistos que podem ser formados apartir de S, P, e Q tm o mesmo valor absoluto massinais diferentes,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SPQQSPPQS
PSQSQPQPS
===
==
O produto misto de trs vectores dado pela seguinte relao, ( ) scalarS P Q e =
S
P
Q
69
Raquel Almeida
O momento MO da fora F aplicada no ponto Aem relao ao ponto O,
FrM O
=
7025-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O momento MO da fora F aplicada no ponto A em relao ao ponto O,
FrM O
=
Seja OL um eixo que passa em pelo ponto O;define-se o momento MOL da fora F em relaoao eixo OL como sendo a projeco OC do vectormomento MO sobre o eixo OL,
( )FrMM OOL == O momento MOL de F em relaoao eixo OL mede a tendncia dafora F para produzir no corporgido um movimento de rotaoem torno do eixo fixo OL.(escalar)
x y z
x y z
x y zF F F
=
MOL
71
Raquel Almeida
O momento de uma fora F aplicada em A, emrelao a um eixo que no passa pela origem obtido escolhendo um ponto arbitrrio do eixo,ponto B, e determinada a projeco sobre o eixoBL do momento MB da fora F em relao aoponto B.
( )BL B
BA
BA A B
M M
r F
r r r
=
=
=
O resultado independente do pontoescolhido ao longo do eixo.
7225-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Determine o momento da fora F emrelao ao eixo y
( )eixo y OM M r F= =
( ) ( )i
r d sen i d cos k
F F j
==
=
( ) ( ) ( )( ) ( )
00 0
O
i j kM r F d sen dcos
F
F d cos i F d sen k
= =
= +
( )( ) ( )( ) =
=
eixo y OM M r F
i F d cos i F d sen k
Fd cos
= =
+
z
y
x
73
Raquel Almeida
O vector M designa-se momento do binrio. perpendicular ao plano que contm asduas foras
Duas foras F e -F com a mesma intensidade,linhas de aco paralelas e sentidos opostosformam um binrio.
Momento do binrio,
( )( )
B A
B A
M r F r F
r r F
r FM rF sin Fd
= +
=
=
= =
M F d=Distncia medidana perpendicularentre as linhas deaco das foras Fe -F
74
Raquel Almeida
Dado que r independente da escolha da origem O do sistema de eixoscoordenados, i.e., o momento de binrio um vector livre, o resultadoobtido seria o mesmo se tivesse sido considerado o momento das forasem relao a um outro ponto qualquer.
Binrio um vector livre( )
( )B A
B A
M r F r F
r r F
r F
= +
=
=
7525-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Dois binrios tero momentos iguais se:
2211 dFdF =
se os dois binrios se situarem em planos paralelos ou no mesmo plano, e
se tiverem o mesmo sentido.
Dois binrios que possam ser representados pelo mesmo vector binrio dizem-se equivalentes.
76
Raquel Almeida
Binrios que possam ser representados pelo mesmo vector binrio dizem-seequivalentes. Binrios com o mesmo momento tero o mesmo efeitosobre o corpo rgido.
( ) ( ) ( )1 2 30 0 4 0 340
F d F d N . F . F N
= =
=
Exemplo:
7725-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Dado que os binrios so vectores livres, estespodem ser aplicados em qualquer ponto P do corpoe ser adicionados vectorialmente.
Conclui-se que a soma de dois binrios de momentos e um binrio de momento .
1M
RM
2M
78
Raquel Almeida
Um binrio pode ser representado por um vector (seta) comintensidade, direco e sentido ao momento do binrio.
A adio de binrios obedece lei da adio de vectores.
Os vectores binrios so vectores livres, ou seja, o seu pontode aplicao no significante.
O vector binrio pode ser decomposto, segundo os eixoscoordenados nas componentes segundo x, y e z.
M
7925-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O que fazer para aplicar a fora no ponto O sem alterar os efeitosexternos no corpo rgido?
Podemos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(Princpio da Transmissibilidade).
80
Raquel Almeida
O que fazer para aplicar a fora no ponto O sem alterar os efeitos externos no corpo rgido?
Podemos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(Princpio da Transmissibilidade).
Exemplo:
8125-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Embora possamos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(princpio da transmissibilidade), no a podemos mover para umponto O que no pertena sua linha de aco original, semmodificar a aco de F sobre o corpo rgido .
Qualquer fora F actuando num corpo rgido pode ser movida paraum ponto arbitrrio O, desde que seja acrescentado um binrio demomento igual ao momento de F em relao ao ponto O. Acombinao obtida designa-se sistema fora-binrio.
82
Raquel Almeida
O binrio tende a produzir no corpo rgido a mesma rotao em torno doponto O que a fora F tenderia a provocar antes de ser deslocada para O.O binrio representado pelo vector MO, perpendicular ao plano quecontm os vectores r e F.
Sistema fora-binrio
8325-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Exemplo:
84
Raquel Almeida
Qualquer sistema de foras, F1, F2, , FN pode ser substitudo porum sistema fora-binrio equivalente aplicado num dado ponto O,constitudo pelos vectores R e MRO .
O sistema fora-binrio (fora e momento resultante) obtido pelas equaes :
( )RO OR F M M r F= = =
Os vectores fora e momento
resultante no so regra geral
mutuamente perpendiculares
entre si
8525-09-2014 11:52
Raquel Almeida
O sistema fora binrio num ponto O poder ser movido para um outroponto O. Embora a fora resultante permanea inalterada, o novomomento resultante ser dado por:
RsMM RORO
+='
86
Raquel Almeida
O sistema fora-binrio (fora e momento resultante) obtido pelasequaes :
( )RO OR F M M r F= = =
Exemplo:
8725-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Se a fora resultante das foras que actuam num corpo rgido for nula,kkkk, o sistema fora-binrio reduz-se ao binrio ROM
0R =
0R =
88
Raquel Almeida
Se a fora resultante e o binrio, relativamente a um ponto O foremmutuamente perpendiculares, estes podem ser reduzidos a umanica fora actuando ao longo de uma nova linha de aco.
Fora e binrio resultante mutuamente perpendiculares
8925-09-2014 11:52
Raquel Almeida
ou os sistemas para os quais a fora e o vector binrio so mutuamente perpendiculare, ou seja quando:1) as foras forem concorrentes, 2) se as foras forem coplanares, ou 3) as foras so todas paralelas.2) as foras so todas coplanares, ou 3) se as foras forem paralelas.
Os sistemas de foras que podem ser reduzidos a uma s fora, ouresultante, so portanto, os sistemas em que:
Foras Concorrentes
Foras Coplanares
Foras Paralelas
1) as foras so todas concorrentes num ponto, ROM
R
90
Raquel Almeida
Foras Coplanares
Rx y Oy R x R M + =
9125-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Foras Paralelas
R Ry y x x Z ZR F M M M M= = =
A reduo de um sistema a uma fora nica pode ser conseguida deslocando afora R para um novo ponto de aplicao A (x,0,z) escolhido de modo que omomento de R em relao ao ponto O seja igual a .ROM
( ) e RO
R R R Ry x z y x y z
r R M
xi z k R j M i M k z R M x R M =
+ = + = =
92
Raquel Almeida
Exemplo:
1 2 3RF F F F F= = + +
1 1 2 2 31 1 2 2 3 3
Rz z R
R
F d F d F dM M F d F d F d F d dF
+ += = + + = =
9325-09-2014 11:52
Raquel Almeida
No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.
ROM
R
94
Raquel Almeida
No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.
Contudo pode ser decomposto nas componentes e ,respectivamentecolinear com e normal a . .
ROM
IIM M
ROM
RF
R
RF
9525-09-2014 11:52
Raquel Almeida
Contudo pode ser decomposto nas componentes e , respectivamenteO vector binrio e a fora podem ento ser substitudos por umaunca fora que actua ao longo de uma nova linha de aco. Restandoapenas os dois vectores colineares.
No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.
ROM
M
RF
RF
RF
96
Raquel Almeida
Exemplo:
9725-09-2014 11:52
Top Related