Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
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PRÉ-CÁLCULO
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Uma função polinomial é qualquer função da
forma
n é o grau da função polinomial.
O domínio de uma função polinomial, a não ser
que seja especificado o contrário, é R.
.0,: 01
1
1
n
n
n
n
n aaxaxaxaxf
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Funções de Potências Inteiras.
Se f tem grau n e todos os coeficientes, exceto
an, são zero, então f(x) = axn.
Logo, se n=1, o gráfico da função é uma reta
que passa pela origem.
Se n = 2, o gráfico da função é uma parábola
com vértice na origem.
Se n é um inteiro ímpar, a função é ímpar.
Se n é um inteiro par, a função é par.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Zeros de Polinômios
Se f(c) = 0, c é dito um zero do polinômio f(x).
Divisão de Polinômios
Se um polinômio g(x) é um fator de outro
polinômio f(x), então, f(x) é dito ser divisível por
g(x).
Exemplo: 113 xpordivisíveléx
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Se um polinômio não é divisível por outro, é
possível aplicar a técnica de divisão longa
para encontrar um quociente e um resto,
como no exemplo abaixo:
Exemplo: Encontre o quociente e o resto para:
12/22 224 xxxx
FUNÇÕES POLINOMIAIS
SOLUÇÃO
Arranje o dividendo e o divisor em potências
decrescentes da variável.
Insira termos com coeficientes zero e use o
procedimento da divisão longa.
Então, temos:
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Ou r(x) =0 (f(x) é divisível por g(x)), ou o grau de
r(x) é menor que o grau de g(x).
Então, se o grau de g(x) é 1, significa que o grau
de r(x) é 0 e o resto é um polinômio constante r.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Divisão sintética - Algoritmo de Briot-Ruffini
Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes
denominado apenas como regra de Ruffini, é um
método de resolução de frações polinomiais,
criado por Paolo Ruffini.
Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão
fazendo cálculos apenas com coeficientes e só
serve para divisões de um polinômio por um
binômio.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Exemplo :
Use a divisão sintética para encontrar o
quociente e o resto de:
.4/975 23 xxxx
SOLUÇÃO
Aqui temos c = 4.
A 1ª linha fica, então
Agora escreva o primeiro coeficiente do
dividendo na 3ª linha.
97514
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Teorema do Resto
Quando o polinômio é dividido por x – c, o resto
é f(c).
No exemplo anterior, temos f(4) = 3, que é o
resto.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Exercício 9
Verifique a validade do Teorema do Resto para
o exercício 8.
Solução
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Teorema do Fator
Um polinômio f(x) tem fator x – c, se, e
somente se, f(c) = 0.
Assim, x – c é um fator de um polinômio se, e
somente se, c é um zero do polinômio.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio de grau positivo com
coeficientes complexos admite pelo menos um
zero complexo.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Corolários do Teorema Fundamental
1) Todo polinômio de grau n positivo tem uma
fatoração da forma:
onde os rj não são necessariamente distintos.
Se na fatoração x – rj ocorre m vezes, rj é
chamado um zero de multiplicidade m.
Contudo, não é necessariamente possível
encontrar a fatoração usando métodos
algébricos exatos.
nn rxrxrxaxP 21
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Demais Teoremas sobre zeros
1) Se P(x) é um polinômio com coeficientes
reais, e se z é um zero complexo de P(x), então
o complexo conjugado é também um zero
de P(x).
Ou seja, zeros complexos de polinômios com
coeficientes reais ocorrem em pares de
complexos conjugados.
z
FUNÇÕES POLINOMIAIS
2) Qualquer polinômio de grau n > 0 com
coeficientes reais admite uma fatoração
completa usando fatores lineares e
quadráticos, multiplicados pelo primeiro
coeficiente do polinômio.
No entanto, não é necessariamente possível
encontrar a fatoração usando métodos
algébricos exatos.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
3) Se é um polinômio
com coeficientes inteiros e r = p/q é um zero
racional de P(x) com numerador e denominador
não fatoráveis simultaneamente, então p deve
ser um fator do termo a0 e q deve ser um fator
do primeiro coeficiente an.
01
1
1 axaxaxaxP n
n
n
n
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Exemplo 1
Encontre um polinômio de menor grau com
coeficientes reais e zeros 2 e 1 – 3i.
SOLUÇÃO
Pelo teorema do fator, c é um zero de um
polinômio somente se x – c é um fator.
Pelo teorema sobre zeros de polinômios
com coeficientes reais, se 1 – 3i é um zero
deste polinômio, então 1 + 3i também é.
Logo, o polinômio pode ser escrito como:
SOLUÇÃO
De acordo com o teorema sobre zeros
racionais de polinômios com coeficientes
inteiros, os possíveis zeros racionais são:
Observe que os verdadeiros zeros são:
3
8,
3
2,
3
1,8,4,2,1
3,1
8,4,2,1
3
80
deFatores
deFatores
adeFatores
adeFatores
q
p
n
3
81 e
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Resolvendo equações polinomiais e
fazendo gráficos de polinômios:
As seguintes afirmações são equivalentes:
1. c é um zero de P(x).
2. c é uma solução da equação P(x) = 0.
3. x – c é um fator de P(x).
4. Para c real, o gráfico de y = P(x) tem um
intercepto x em c.
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