Sistemas LinearesParte 2 Mtodos Iterativos
IntroduoMtodos diretos: eliminao por Gauss, fatorao LU, fatorao de Cholesky, ... Fornecem soluo de qualquer sistema. Para minimizar problemas de arredondamento, adota-se o pivoteamento.Mtodos iterativos: podem ser mais rpidos e necessitar de menos memria do computador. Fornecem seqncias que convergem para a soluo sob certas condies.
IntroduoSeja um sistema linear de ordem . A idia generalizar o mtodo do ponto fixo, escrevendo o sistema linear na forma
onde uma matriz de ordem e um vetor coluna . Dado um vetor aproximao inicial , cons-trumos iterativamente:
IntroduoSe a seqncia , , ....., convergir
Ento a soluo do sistema linear
Teste de ParadaSe a seqncia estiver suficientemente prximo de paramos o processo.Dada um preciso , quando
ento a soluo do sistema linear.Computacionalmente, um nmero mximo de iteraes tambm critrio de parada.
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBISeja o sistema linear
Se podemos isolar por separao da diagonal.
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIIterativamente, o sistema reescreve-se como:
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIDesta forma temos , onde
e
Do mtodo de Gauss-Jacobi, dado ,Obtemos , ....., atravs da relao recursiva
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIExemplo:Seja o sistema linear
Seja com . Portanto,
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBISubstituindo
Segue . Calculando
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBI
Continuando com
Segue a soluo, pois
critrio de parada
Critrios de ConvergnciaNos mtodos iterativos so necessrios critrios que garantam a convergncia.
Um critrio para a convergncia do Mtodo de Gauss-Jacobi dado pelo:
1) Critrio das linhas.
Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasTeorema Critrio das linhas
Dado o sistema , seja
Se , ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma srie convergente para asoluo do sistema independentemente da escolha de .
Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasExemplo:Considere o sistema j estudado
Critrio das linhas:
Logo, convergncia OK!
Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasObs1: O sistema converge pelo mtodo de Gauss-
Jacobi. No entanto, . Isto mostra que o Teorema das linhas apenas suficiente para convergncia.
Obs2: O sistema
Contudo, o sistema Equivalente convergepelo critrio das linhas
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELSeja o sistema linear
Se podemos isolar por separao da diagonal.
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELIterativamente, o sistema reescreve-se como:
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELComentrio: Gauss-Jacobi X Gauss-SeidelO Mtodo de Gauss-Seidel uma variao do Mtodo de Gauss-Jacobi, pois para calcular utilizamos os valores
j calculados e os valores restantes
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELExemplo:Seja o sistema linear
Seja com . Portanto,
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a primeira iterao fornece
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a segunda iterao fornece
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a terceira iterao fornece
MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, aps a terceira iterao
soluo do sistema considerado com erro menor do que .
Critrios de ConvergnciaNos mtodos iterativos so necessrios critrios que garantam a convergncia.
Convergncia para o Mtodo de Gauss-Seidel: 1) Critrio das linhas (j visto) 2) Critrio de Sassenfeld
Os critrios acima estabelecem condies suficientes para a convergncia.
Mtodo de Gauss-SeidelConvergncia - Critrio de SassenfeldSejam
e
Critrio de SassenfeldSeja
Se b < 1, o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para qualquer . Quanto menor b, mais rpida a convergncia.
Exemplos Seja o sistema:
ExemplosEnto,
de modo que o mtodo de Gauss-Seidel converge.
ExemplosSeja o sistema:
Neste caso,Trocando a 1 equao pela terceira,
Nesta disposio:
ExemplosAgora se trocarmos a 1 coluna pela terceira,
Nesta disposio: Garantia de convergncia
ExemplosSeja o sistema:
O mtodo de Gauss-Seidel gera uma seqncia convergente, apesar do critrio das linhas no ser satisfeito.Pelo critrio de Sassenfeld O critrio de Sassenfeld no satisfeito.O critrio de Sassenfeld tambm suficiente, mas no necessrio.
Metodos Iterativos - ComparaoSeja o sistema:
Mtodo de Gauss-Jacobi:
Temos a seqncia:
Metodos Iterativos - ComparaoSeja o sistema:
Mtodo de Gauss-Seidel:
Temos a seqncia:
Metodos Iterativos - ComparaoComentrio1: As duas seqncias convergem para a soluo exata do sistema . Vejamos,a) Gauss-Jacobi :b) Gauss-Seidel:Comentrio 2: A convergncia do Mtodo de Gauss-Seidel mais rpida, por construo do mtodo.Comentrio 3: Embora a ordem das equaes num sistema linear no mude a soluo exata, as seqnciasgeradas pelos Mtodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel dependem fundamentalmente da disposio das equaes
Mtodos Direto e Iterativos Comparao1) Convergncia:
Os Mtodos Diretos so processos finitos portanto fornecem soluo para qualquer sistema linear no-singular.
Os Mtodos Iterativos tm convergncia assegurada sob certas condies.
Mtodos Direto e Iterativos Comparao2) Esparsidade da Matriz : Em problemas reais, como a discretizao de EDOs peloMtodo de Elementos Finitos ou Diferenas Finitas, as matrizes dos coeficientes tornam-se esparsas. A forma de armazenamento destes dados tira proveito da esparsidade.Mtodos diretos em sistemas esparsos provocam o preenchimento da matriz e no processo de Eliminao (escalonamento) geram elementos no-nulos, onde originalmente tnhamos elementos nulos. Tcnicas especiais de pivoteamento reduzem este preenchimento. Fatoramento LU do bons resultados. Algumas situaes estes mtodos no so possveis.Mtodos iterativos no alteram a estrutura da matriz dos coeficientes. Vantagem.
Mtodos Direto e Iterativos ComparaoErros de Arredondamento
Mtodos Diretos tm problemas de arredondamento. Tcnicas de Pivoteamento amenizam tais erros.Mtodos iterativos tm menos erros de arredondamento, quando a convergncia estiver assegurada.
Lista de Mtodos para Sistemas Lineares
Fazer exerccios 3, 5, 9,14, 22, 29 do livro texto.