1 - (D 53) UM TOPÓGRAFO FOI CHAMADO PARA
OBTER A ALTURA DE UM EDIFÍCIO. PARA FAZER
ISTO, ELE COLOCOU UM TEODOLITO (INSTRUMENTO
ÓTICO PARA MEDIR ÂNGULOS) A 200 METROS DO
EDIFÍCIO E MEDIU UM ÂNGULO DE 30°, COMO
INDICADO NA FIGURA A SEGUIR.
SABENDO QUE A LUNETA DO TEODOLITO ESTÁ A 1,5
METROS DO SOLO, PODE-SE CONCLUIR QUE, DENTRE OS
VALORES ADIANTE, O QUE MELHOR APROXIMA A
ALTURA DO EDIFÍCIO, EM METROS, É: (USE OS
VALORES: SEN 30° = 0,50; COS 30° = 0,86 E TG 30° =
0,57).
(A) 110
(B) 114
(C) 118
(D) 122
(E) 126
Lembre-se que:
sen 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
tg 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
sen 𝛼 = 𝐶𝑂
𝐻 ou
cos 𝛼 = 𝐶𝐴
𝐻
tg 𝛼 = 𝐶𝑂
𝐶𝐴
ou
ou
30° 45° 60°
Seno 1
2
2
2
3
2
cosseno 3
2
2
2
1
2
tangente 3
3
1 3
Como construir a tabela dos ângulos notáveis?
1,5
x
Solução:
Perceba que buscamos a soma
de x + 1,5,
Logo teremos que encontrar o
valor de x, mas como fazer
isso? 200 m
Utilizando a relação que envolve cateto oposto
e cateto adjacente, no caso do ângulo de 30°.
tg 30° = 𝐶𝑂
𝐶𝐴 0,57 =
𝑥
200 x = 114
Portanto o prédio tem 114 + 1,5 = 115,5 m
2 – (D67) CONSIDERE QUE OS ÂNGULOS
DE TODOS OS CANTOS DA FIGURA ABAIXO
SÃO RETOS E QUE TODOS OS ARCOS SÃO
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIAS DE RAIO
5CM, COM CENTROS SOBRE OS PONTOS EM
DESTAQUE.
A ÁREA DA REGIÃO SOMBREADA É IGUAL A:
(A) 400 m²
(B) 204π m²
(C) 225π m²
(D) 100 cm²
(E) 50 cm²
Solução:
Perceba que procuramos a área
rasurada que equivale a:
Acirculo + Aquadrado – Acirculo
Acirculo + Aquadrado – Acirculo
Aquadrado = l²
Aquadrado = 10²
Aquadrado = 100 cm²
3 - (D67) CALCULE A ÁREA DA VARANDA
REPRESENTADA NA FIGURA ABAIXO (ADOTE
= 3).
(A) 7,875 m²
(B) 12,15 m²
(C) 12,25 m²
(D) 12,50 m²
(E) 13,00 m²
Solução: Perceba que procuramos a área
de um retângulo e da metade de
um circulo... Ar + 1
2 Ac
Ar + 1
2 Ac = 3 x 1,5 +
1
2 x 3 x 1,5²
Ar + 1
2 Ac = 7,875 m²
Lembre-se:
Área de um quadrado é:
A = b.h
Área de um circulo é:
𝐴 = 𝜋𝑟2
A = 𝑏.ℎ
2
Área de um triângulo é:
Comprimento da circunferência
𝐶 = 2𝜋𝑟
(MARIA PRECISA AZULEJAR SUA COZINHA DE 3M DE
COMPRIMENTO, 2M DE LARGURA E 2,80M DE ALTURA,
AS PORTAS E JANELAS OCUPAM UMA ÁREA DE 4M2.
QUANTOS M2 DE AZULEJOS MARIA PRECISA
COMPRAR?
D(67) Desafio
4 – (D50) UM AVIÃO QUE LEVANTA VOO DE UM
PONTO X DA PISTA E SOBE FORMANDO UM
ÂNGULO CONSTANTE DE 15º COM A PISTA. A
QUE ALTURA ESTARÁ O AVIÃO E QUAL A
DISTANCIA PERCORRIDA QUANDO ESTE
ALCANÇAR A VERTICAL QUE PASSA SOBRE UMA
IGREJA SITUADA A DOIS MIL METROS DO PONTO
DE PARTIDA?
Dados: sen 15 º = 0,26; cos 15º = 0,97 e tg 15 º = 0,27
Solução: Utilizando a relação que envolve cateto oposto e
cateto adjacente, no caso do ângulo de 15°,
encontramos a altura.
tg 15° = 𝐶𝑂
𝐶𝐴 0,27 =
ℎ
2000 h = 540 m
Para encontrar a distância percorrida basta usar
o Teorema de Pitágoras ou uma das relações que
envolvem a hipotenusa.( Prefiro Pitágoras)
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²
𝑎2 = 20002 + 540²
𝑎2 = 4291600
𝑎 = 4291600 𝑎 ≅ 2071,618
5 – (D49) ABAIXO, HÁ TRÊS TRIÂNGULOS QUE
SÃO SEMELHANTES DOIS A DOIS. ESSES
TRIÂNGULOS SÃO:
A) I, II E II
B) II, III E V
C) I, III, VI
D) I, III E V
E) II, III E V
0 QUE PODE CAIR A RESPEITO DE TRIÂNGULO:
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
A medida de cada lado é menor que a soma da
dos outros dois.
ATENÇÃO!!!
ENCONTRAR O VALOR DE UM DOS LADOS:
Teorema de Pitágoras.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²
QUE PODE SER CARACTERIZADO DE DUAS
MANEIRAS DIFERENTES:
Quanto aos lados
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Três lados iguais
Dois lados iguais
Todos os lados diferentes
Quanto aos ângulos
Acut ângulo
Ret ângulo
Obtus ângulo
Ângulos internos < 90
Ângulos internos = 90°
Um ângulo interno > 90°
NOME:
6 - (D )SEJAM OS DADOS CONTIDOS NO
GRÁFICO ABAIXO.
Analisando os pagamentos nos anos de 1997
e 2001, é correto afirmar que houve:
a) um decaimento nos pagamentos com cheque,
transação com cartões de credito e com cartões de
debito;
b) um crescimento nas transações com cartões de
credito, de 98%, e com cartões de debito, de 40%;
c) um decaimento de 11,56% nos pagamentos com
cheque e um crescimento de 562,5% nas
transações com cartão de debito;
d) um decaimento de 93,86% nas transações com
cartão de credito;
e) um crescimento de 93,86% nas transações com
cartões de credito e um deslocamento de 15%, nos
pagamentos com cheque.
CHEQUE COMPENSADO
CARTÃO DE DÉBITO
CARTÃO DE CRÉDITO
1997 2940
2001 2600
1997 440
2001 853
1997 56
2001 371
340
413
315
2940
440
56
100
100
100
340 X
X
X 413
315
11,56%
93,86 %
562,5% 315
2940
7 - (D) NO RETÂNGULO ABCD, MOSTRADO
NA FIGURA ABAIXO, M É O PONTO MÉDIO
DO LADO AB.
Se MD e MC são arcos de circunferências que
têm 8 cm de diâmetro, a área da região
sombreada, em centímetros quadrados é:
a) 32(1 – 𝜋)
b) 16(2 – 𝜋)
c) 8(4 – 𝜋)
d) 4(1 – 𝜋)
e) 4 – 𝜋
Solução:
Área procurada é dada por:
AretÂngulo - 1
2 Acirculo
b.h - 1
2𝜋r²
8.4 - 1
2 𝜋.4²
32 - 1
2 16 𝜋 =
Observe que em nenhum dos itens aparece a
resposta encontrada, então esta errada?
Não a resposta esta fatorada...
32 – 8 𝜋
8 - UM TERRENO PLANO TEM A FORMA DE
UM RETÂNGULO CUJO PERÍMETRO É 78M.
SE A SUPERFÍCIE DESSE TERRENO TEM
ÁREA DE 350M2, ENTÃO A DIFERENÇA
POSITIVA ENTRE AS MEDIDAS DO SEU
COMPRIMENTO E DA SUA LARGURA, EM
METROS, É:
a) 11
b) 12,5
c) 13
d) 14,5
e) 15
9 - UM PRISMA TRIANGULAR TEM TODAS AS
ARESTAS CONGRUENTES E 48M² DE ÁREA
LATERAL. SEU VOLUME VALE:
Solução:
A área lateral é a soma de
todas as área das faces laterais
Logo temos:
3 x Aquadrado = 48 m²
3 x a² = 48
a² = 48/3
a² = 48/3
a² = 16 a = 4
O volume de um prisma de base triangular é:
V = Abase. h
Abase = 𝑙² 3
4 Abase =
4² 3
4 Abase =
16 3
4 Abase = 4 3
V = Abase. h V = Abase. h V = 4 3 . 4 V = 16 3
Há dois tipos de pessoas que
nunca chegam a realizar
muito ao longo da vida. Um
deles é quem não faz o que
lhe dizem para fazer e o outro
é quem faz apenas o que lhe
dizem para fazer."
(Andrew Carnegie)