UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL
AVALIAO DA CONFIABILIDADE DE VIGAS METLICAS DIMENSIONADAS PELA NBR 8800
APARECIDA MUCCI CASTANHEIRA
ORIENTADOR: Prof. Marclio Sousa da Rocha Freitas
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao do Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil, rea de concentrao: Construo Metlica.
Ouro Preto, maio de 2004.
Catalogao: [email protected]
Castanheira, Aparecida Mucci. C346a Avaliao da confiabilidade de vigas metlicas dimensionadas pela NBR 8800. / Aparecida Mucci Castanheira. Ouro Preto: UFOP, 2004. xvii, 111p. : il.; grafs., tabs. Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil.
1. Construo metlica - Teses. 2. Engenharia civil - Teses. 3. Confiabilidade (Engenharia). 4. Estruturas metlicas Vigas. 5. Mtodo deMonte Carlo. 6. Mtodo FORM. I. Universidade Federal de Ouro Preto.Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. II. Ttulo.
CDU: 624.014
III
Aos meus pais,
meus primeiros e grandes professores.
IV
Agradecimentos Passamos por momentos de plena felicidade em nossa vida. Momentos estes que nos marcam de uma forma surpreendente, e nos transformam, nos comovem, nos ensinam e muitas vezes, nos machucam profundamente. As pessoas que entram em nossa vida, sempre entram por alguma razo, algum propsito. Elas nos encontram ou ns as encontramos meio que sem querer, no h programao da hora em que encontraremos estas pessoas. Assim, tudo o que podemos pensar que existe um destino, em que cada um encontra aquilo que importante para si mesmo. Ainda que a pessoa que entrou em nossa vida, aparentemente, no nos oferea nada, mas ela no entrou por acaso, no est passando por ns apenas por passar. O universo inteiro conspira para que as pessoas se encontrem e resgatem algo com as outras. Discutir o que cada um nos trar, no nos mostrar nada, e ainda nos far perder tempo demais desperdiando a oportunidade de conhecer a alma dessas pessoas. Conhecer a alma significa conhecer o que as pessoas sentem, o que elas realmente desejam de ns, ou o que elas buscam no mundo, pois s assim que poderemos t-las por inteiro em nossa vida. A amizade algo que importa muito na vida do ser humano. Sem esse vnculo ns no teremos harmonia e nem paz. Precisamos de amigos para nos ensinar, compartilhar, nos conduzir, nos alegrar e tambm para cumprirmos nossa maior misso na Terra: "Amar ao prximo como a si mesmo". E para que isso acontea, preciso que nos aceitemos em primeiro lugar, e depois olhemos para o prximo e enxerguemos o nosso reflexo. Essas pessoas entram na nossa vida, s vezes de maneira to estranha, que nos intrigam at. Mas cada uma delas especial, mesmo que o momento seja breve, com certeza elas deixaro alguma coisa para ns.
Ao professor Marclio Sousa da Rocha Freitas pela orientao fornecida durante
a elaborao deste trabalho.
minha famlia pelo apoio e incentivo.
Aos amigos do mestrado e da Repblica Koxixo, pela amizade e colaborao na
realizao deste trabalho.
Aos professores e funcionrios da Escola de Minas, pela convivncia e auxlio
prestado.
CAPES, pela concesso da bolsa de pesquisa durante o perodo de Abril de
2002 a Maro de 2004.
V
Resumo
O estudo da confiabilidade estrutural se relaciona com a avaliao da
probabilidade de violao de um estado limite para um sistema estrutural. Isto inclui
tanto a segurana contra a falha estrutural ou colapso de parte da estrutura, conhecida
como estado limite ltimo, quanto disfuno no uso da estrutura, conhecida como
estado limite de utilizao. Uma vez definidos pelo projetista os estados limites
relevantes ao sistema estrutural, pode-se calcular o nvel de segurana com respeito a
esses estados.
As normas atuais de projeto estrutural, baseadas no Mtodo dos Estados Limites,
buscam a padronizao dos critrios de dimensionamento e a uniformizao do nvel de
confiabilidade, para uma determinada classe de estruturas, atendendo aos anseios dos
engenheiros, proprietrios e usurios. Este trabalho apresenta uma reviso do processo
de transio das Normas em Tenses Admissveis para Normas em Estados Limites, e
de alguns mtodos de confiabilidade estrutural.
Neste trabalho apresenta-se um estudo do nvel de confiabilidade de vigas de
perfis I laminados fabricados pela AOMINAS, para o estado limite de flexo,
projetadas segundo a NBR 8800 e o projeto de reviso da referida norma. Finalmente
so mostrados os resultados da anlise, indicando a variabilidade encontrada no ndice
de confiabilidade do estado limite ltimo de flexo.
VI
Abstract
The study of structural reliability is concerned with the assessment of the
probability of limit state violation for structural system. It includes safety against
structural failure or collapse of structural components, known as ultimate limit state,
and disruption of normal use, known as serviceability limit state. Once the limits states
are defined by the designer, the safety level can be assessed.
Structural design codes, based on limit states methods, try on standardizing
design criteria and to uniform reliability level for classes of structures. This work
presents a review of the transition between allowable stress and limits states design
codes, and structural reliability methods.
The study presents reliability of hot rolled I beams made by AOMINAS in a
flexure limit state, according to the Brazilian code for steel structures NBR 8800 and its
draft version (2003). Finally are showed the results indicatives the variability in
reliability index.
VII
Sumrio
RESUMO......................................................................................................................... V
ABSTRACT.................................................................................................................... VI
LISTA DE TABELAS.................................................................................................... IX
LISTA DE FIGURAS...................................................................................................... X
LISTA DE SMBOLOS................................................................................................XIII
CAPTULO 1 INTRODUO ..................................................................................... 1
1.1 Consideraes Iniciais .............................................................................................. 1
1.2 Objetivos................................................................................................................... 3
1.3 Apresentao............................................................................................................. 4
CAPTULO 2 NORMAS EM ESTADOS LIMITES.................................................... 7
2.1 Mtodo das Tenses Admissveis............................................................................. 7
2.2 Mtodo dos Estados Limites..................................................................................... 9
2.2.1 Estados Limites ltimos.................................................................................... 15
2.2.2 Estados Limites de Utilizao............................................................................ 16
2.2.3 Procedimento de Projeto.................................................................................... 16
2.2.4 Aes ................................................................................................................. 17
2.3 Calibrao de normas.............................................................................................. 18
2.3.1 Princpios de Calibrao da Norma ................................................................... 18
2.3.2 O Processo de Calibrao da Norma ................................................................. 19
2.3.3 Algumas Consideraes sobre a Calibrao da Norma ANSI A58................... 21
CAPTULO 3 MTODOS DE CONFIABILIDADE ................................................. 27
3.1 Problema Bsico ..................................................................................................... 27
3.2 Mtodo do Segundo Momento ............................................................................... 32
3.2.1 Funo Desempenho.......................................................................................... 34
3.2.2 ndice de Confiabilidade.................................................................................... 35
3.3 Simulao de Monte Carlo ..................................................................................... 45
3.3.1 Introduo .......................................................................................................... 45
VIII
3.3.2 Formulao ........................................................................................................ 46
CAPTULO 4 FLEXO DE VIGAS METLICAS SEGUNDO A NBR 8800 ......... 49
4.1 Estado Limite de Flexo ......................................................................................... 49
4.2 Clculo do Momento Resistente Segundo a NBR 8800 ......................................... 52
4.3 Clculo do Momento Resistente Segundo o Projeto de Reviso da NBR 8800..... 55
4.4 Clculo das Aes................................................................................................... 58
4.4.1 Combinaes de Aes para os Estados Limites ltimos................................. 59
4.4.1 Combinaes de Aes para os Estados Limites Utilizao ............................. 60
CAPTULO 5 AVALIAO DA CONFIABILIDADE DE VIGAS METLICAS
PROJETADAS SEGUNDO A NBR 8800 .................................................................... 61
5.1 Introduo ............................................................................................................... 61
5.2 Estatstica das Variveis Bsicas ............................................................................ 62
5.3 Funo de Estado Limite ........................................................................................ 65
5.4 Programa CALREL ................................................................................................ 66
5.5 Avaliao do ndice de Confiabilidade................................................................... 68
CAPTULO 6 DETERMINAO DOS FATORES DE MINORAO DA
RESISTNCIA............................................................................................................... 77
6.1 Introduo ............................................................................................................... 77
6.2 Cossenos Diretores ................................................................................................. 78
6.3 Critrio de Clculo.................................................................................................. 84
6.3.1 Exemplo ............................................................................................................. 87
6.4 Coeficientes de Resistncia para Trs Nveis de Confiabilidade ........................... 91
6.4.1 Exemplo de Aplicao ..................................................................................... 101
CAPTULO 6 CONCLUSES E SUGESTES ...................................................... 105
Referncias Bibliogrficas ............................................................................................ 108
Anexo............................................................................................................................ 110
IX
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 Fatores de majorao de carga requeridos Carga nica (Ellingwood et al.,
1982) ......................................................................................................................... 24
Tabela 2.2 Fatores de minorao de resistncia e majorao de cargas timos para
cargas gravitacionais (Ellingwood et al., 1982)........................................................ 26
Tabela 4.1 Resumo do anexo D da NBR 8800 ............................................................ 54
Tabela 4.2 Resumo do anexo D do texto base de reviso da NBR 8800..................... 57
Tabela 5.1 Coeficiente de variao das propriedades geomtricas do perfil resultante
da variabilidade das dimenses do perfil .................................................................. 65
Tabela 6.1 ndice de confiabilidade alvo e o alcanado aps nova simulao de
verificao................................................................................................................. 90
Tabela 6.2 Coeficientes de resistncia para trs nveis de confiabilidade alvo ......... 101
X
Lista de Figuras
Figura 2.1 Fatores de minorao da resistncia e majorao da carga para flexo em
vigas de ao (Ellingwood et al., 1982)...................................................................... 23
Figura 3.1 Funo densidade de probabilidade ( )rf R e ( )sfS (Ang e Tang, 1984).... 29 Figura 3.2 Efeito da posio relativa entre ( )rf R e ( )sfS em fP (Ang e Tang, 1984) 30 Figura 3.3 Efeito da disperso em ( )rf R e ( )sfS em fP (Ang e Tang, 1984)............. 30 Figura 3.4 Funo densidade de probabilidade da margem de segurana (Ang e Tang,
1984) ......................................................................................................................... 32
Figura 3.5 Espao das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984).................................. 34
Figura 3.6 Regio de falha e regio de segurana no espao das variveis reduzidas
(Ang e Tang, 1984)................................................................................................... 36
Figura 4.1 Distribuio das tenses normais nas barras flexo simples
(Andrade, P. B., 1984) .............................................................................................. 50
Figura 4.2 Variao de nM com relao a (Andrade, P. B., 1984)......................... 51
Figura 5.1 Esquema da seo transversal do perfil I laminado ................................... 65
Figura 5.2 Variao do ndice de confiabilidade do perfil W150x18.0 para flambagem
lateral com toro...................................................................................................... 69
Figura 5.3 Variao do ndice de confiabilidade de perfis I (tabela da
AOMINAS)........................................................................................................... 70
Figura 5.4 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 1........................... 71
Figura 5.5 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 2........................... 71
Figura 5.6 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 3........................... 72
Figura 5.7 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 6........................... 72
Figura 5.8 Variao do ndice de confiabilidade de 14 perfis I (tabela da
AOMINAS)............................................................................................................ 73
Figura 5.9 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 1........................... 74
Figura 5.10 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 2......................... 75
XI
Figura 5.11 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 3......................... 75
Figura 5.12 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 6......................... 76
Figura 6.1 Variao do cosseno diretor das variveis aleatrias, segundo a norma em
vigor .......................................................................................................................... 79
Figura 6.2 Variao do cosseno diretor das variveis aleatria, segundo o projeto de
reviso da norma....................................................................................................... 79
Figura 6.3 Cosseno diretor da varivel aleatria yf ................................................... 80
Figura 6.4 Cosseno diretor da varivel aleatria rf .................................................... 81
Figura 6.5 Cosseno diretor da varivel aleatria E .................................................... 81
Figura 6.6 Cosseno diretor da varivel aleatria d ..................................................... 82
Figura 6.7 Cosseno diretor da varivel aleatria fb .................................................... 82
Figura 6.8 Cosseno diretor da varivel aleatria ft .................................................... 83
Figura 6.9 Cosseno diretor da varivel aleatria wt .................................................... 83
Figura 6.10 Fluxograma para obteno de global em funo de ' ............................. 86 Figura 6.11 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 ................ 91 Figura 6.12 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 ................ 92 Figura 6.13 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 ................ 92 Figura 6.14 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de
falha 1 ....................................................................................................................... 93
Figura 6.15 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de falha 2 ....................................................................................................................... 93
Figura 6.16 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de falha 3 ....................................................................................................................... 94
Figura 6.17 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de falha 6 ....................................................................................................................... 94
Figura 6.18 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 Modo de falha 1 ....................................................................................................................... 95
XII
Figura 6.19 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 Modo de falha 2 ....................................................................................................................... 95
Figura 6.20 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 Modo de falha 3 ....................................................................................................................... 96
Figura 6.21 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 Modo de falha 6 ....................................................................................................................... 96
Figura 6.22 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 Modo de falha 1 ....................................................................................................................... 97
Figura 6.23 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 Modo de falha 2 ....................................................................................................................... 97
Figura 6.24 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 Modo de falha 3 ....................................................................................................................... 98
Figura 6.25 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 Modo de falha 6 ....................................................................................................................... 98
Figura 6.26 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W150x18.0.... 99 Figura 6.27 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W360x44.0.. 100 Figura 6.28 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W610x174.0 100
XIII
Lista de Smbolos
Letras Romanas Maisculas:
Ag - rea da seo transversal
Ai - esforos nominais
Cb - coeficiente de majorao do Mcr Cw - constante de empenamento da seo transversal
D - distncia
E - mdulo de elasticidade transversal do ao; ao excepcional
F - domnio de falha
FR - funo de distribuio cumulativa da varivel R
Fx - probabilidade acumulada
FS - fator de segurana
G - vetor gradiente, ao permanente; mdulo de elasticidade transversal do ao
G* - vetor gradiente no ponto mais provvel de falha
It - momento de inrcia toro
I( X ) - funo indicadora do vetor X
Lb - distncia entre conteno lateral
M - margem de segurana
M( X ) - momento resistente
Md( kX )- momento resistente de clculo
Mn( kX )- momento resistente nominal
Mcr - momento crtico
Mpl - momento de plastificao
Mr - momento fletor correspondente ao incio do escoamento, incluindo ou no o
efeito de tenses residuais
Pf - probabilidade de falha
fP - estimador da probabilidade de falha
Ps - probabilidade de sobrevivncia
XIV
R - resistncia
Rn - resistncia nominal
Q - aes estruturais devido s cargas aplicadas
Q1 - ao varivel principal
Qn - mdia do efeito de carga
Qi - demais aes variveis
QnD - mdia do efeito do peso prprio
QnL - mdia do efeito da sobrecarga
Rd - resistncia de clculo
Rn - resistncia nominal
S - combinao dos efeitos das aes
Sd - ao de clculo
W - mdulo de resistncia elstico
Wx - mdulo de resistncia elstico em relao ao eixo x
X - vetor das variveis bsicas de projeto
Xk - vetor dos valores nominais das variveis
X - vetor das variveis reduzidas
X* - ponto mais provvel de falha
Xi - varivel bsica de projeto
Xi - varivel reduzida
Zx - mdulo de resistncia plstico referente ao eixo x
Letras Romanas Minsculas:
bf - largura da mesa
d - altura do perfil; distncia da superfcie de falha (linear) origem no espao
das variveis reduzidas
dmin - distncia mnima
fQ(x) - funo densidade de probabilidade da varivel Q
fr - tenso residual do ao
fy - tenso de escoamento do ao
fM(m) - funo densidade de probabilidade da varivel M
XV
fR(r) - funo densidade de probabilidade da varivel R
fR,S(r,s)- funo densidade de probabilidade conjunta das variveis R e S
fS(s) - funo densidade de probabilidade da varivel S
g(.) - funo do estado limite
g(X) - funo de desempenho
h -distncia entre as faces internas das mesas, menos os dois raios de
concordncia entre mesa e alma nos perfis laminados
hp - duas vezes a distncia da linha neutra plstica (devida ao momento fletor) da
seo transversal face interna da mesa comprimida, menos o raio de concordncia
entre mesa e alma nos perfis laminados
pj - peso relativo na j-sima combinao de carga
ry - raio de girao em relao ao eixo y
tf - espessura da mesa
tw - espessura da alma *x - coordenada no espao original '*x - coordenadas do ponto de projeto associado ao o no espao original
x0 - valor inicial
z - valor particular assumido por Z *z - ponto de projeto no espao gaussiano padro
'*z - coordenadas do ponto de projeto associado ao ' no espao gaussiano padro
Letras Gregas Maisculas
(.) - funo de distribuio acumulada da varivel normal padro
-1(.) - inverso da probabilidade acumulada da distribuio normal
() - funo de distribuio acumulada da distribuio normal padro - somatrio
Letras Gregas Minsculas
- vetor dos cossenos diretores
XVI
*i - cossenos diretores ao longo dos eixos xi correspondente ao ponto mais
provvel de falha
- ndice de confiabilidade - ndice de confiabilidade objetivo 1, 2 - parmetro para o clculo do Mcr na FLT, conforme NBR 8800 - coeficiente de ponderao das aes
g - coeficiente de majorao de ao permanente
m - coeficiente de minorao da resistncia dos materiais
q1 - coeficiente de majorao da ao varivel principal
qi - coeficiente de majorao das demais aes variveis
D - coeficiente de ponderao das aes permanentes
E -coeficiente de ponderao da ao de terremoto
L - coeficiente de ponderao da ao varivel
S - coeficiente de ponderao da ao de neve
W - coeficiente de ponderao da ao do vento
fP - coeficiente de variao da probabilidade de falha
fP - estimador do coeficiente de variao da probabilidade de falha
- parmetro de esbeltez; multiplicador de Lagrange p - parmetro de esbeltez correspondente plastificao r - parmetro de esbeltez correspondente ao incio do escoamento, com ou sem tenso residual
r - valor mdio da resistncia
s - valor mdio da ao
iX - valor mdio da varivel bsica de projeto Xi
x - valor mdio da varivel X
y - valor mdio da varivel Y
- tenso normal
adm - tenso admissvel
lim - tenso limite do comportamento elstico linear
XVII
X - desvio padro da varivel X
Y - desvio padro da varivel Y
iX - desvio padro da varivel bsica
- fator de minorao das resistncias global - coeficiente de resistncia associado ao () - funo densidade de probabilidade da distribuio normal padro i - fatores para combinao de cargas
Lista de Abreviaturas e Siglas
nsi - nmero de simulaes
CDF - funo cumulativa de probabilidade
COV - coeficiente de variao
FDP - funo de densidade de probabilidade
FORM - First Order Reliability Method
FLT - Flambagem Lateral por Toro
FLM - Flambagem Local da Mesa
FLA - Flambagem Local da Alma
FS - Fator de Segurana
LRFD - Load and Resistence Factor Design
NBR - Norma Brasileira Registrada
SORM - Second Order Reliability Method
Captulo 1
Introduo
1.1 Consideraes Iniciais
As estruturas devem oferecer segurana e boas condies de utilizao.
Segurana significa que a estrutura no ir atingir colapso, durante sua vida til, de uma
maneira que venha a matar ou ferir seus usurios ou ainda provocar um grande prejuzo
econmico. A necessidade de boas condies de utilizao est relacionada
capacidade da estrutura de funcionar sem provocar desconforto, por exemplo, vibraes
excessivas, aos seus ocupantes.
Normalmente, a conformidade com uma norma de projeto estrutural igualada
segurana estrutural tanto pelos engenheiros, pelo governo e pela sociedade. Isto no
totalmente verdade visto que a conformidade com uma norma garante para a sociedade
que existe uma pequena chance, porm aceitvel, que ocorra uma falha no
funcionamento da estrutura (Galambos, 1992). Alm deste aspecto, as normas de
projeto buscam uma uniformizao dos critrios de dimensionamento a serem seguidos
nos projetos, para uma determinada classe de estruturas, atendendo aos anseios dos
engenheiros, proprietrios e usurios.
O estudo da confiabilidade estrutural se relaciona com a avaliao da
probabilidade de violao de um estado limite para um sistema estrutural. Isto inclui
tanto a segurana contra a falha estrutural ou colapso de parte da estrutura, conhecida
como estado limite ltimo, quanto disfuno no uso da estrutura, conhecida como
estado limite de utilizao. Uma vez definidos pelo projetista os estados limites
relevantes ao sistema estrutural, deve-se calcular o nvel de segurana com respeito a
2
esses estados. A identificao das incertezas presentes no projeto constitui o passo
inicial deste processo de clculo.
A identificao de todas as incertezas envolvidas em um projeto estrutural
praticamente impossvel, pois elas envolvem aspectos: (1) de avaliao, relativos
definio de desempenho estrutural e caracterizao dos estados limites; (2) do modelo,
relativa s consideraes de hipteses simplificadoras adotadas nos modelos estruturais
e mtodos simplificados de anlise; (3) devidos a fatores humanos, associados a erros
humanos; (4) fsicos, associados aleatoriedade inerentes ao projeto como o valor das
propriedades fsicas, da geometria, do carregamento; e (5) estatsticos, advindos de
pouca informao para estimar as caractersticas das variveis (Melchers, 1987, Freitas,
1998).
Os mtodos de confiabilidade estrutural so divididos em nveis, de acordo com
a quantidade de informao usada e disponvel sobre as variveis aleatrias associadas
ao problema estrutural em questo. Assim sendo, os mtodos que usam o formato de
tenses admissveis so chamados de mtodos do nvel 0, pois apenas utilizam um fator
de segurana para as tenses elsticas. Os mtodos que empregam um valor
caracterstico para cada varivel incerta, com os formatos do tipo do Mtodo dos
Estados Limites, so chamados mtodos do nvel I. Quando so utilizados dois valores
para cada varivel incerta (usualmente mdia e varincia) e uma medida da correlao
entre parmetros (usualmente covarincia), eles so chamados de mtodos do nvel II, e
quando utilizam a funo densidade de probabilidade das variveis incertas para a
determinao da probabilidade de falha da estrutura (usada com medida de sua
confiabilidade) so chamados de mtodos do nvel III.
Os mtodos de confiabilidade de nveis mais altos, por exemplo, dos nveis II e
III, podem ser utilizados para calibrao dos coeficientes parciais necessrios nos
mtodos de nvel I. Esta uma importante aplicao dos mtodos de confiabilidade
estrutural no desenvolvimento de cdigos do tipo do Mtodo dos Estados Limites,
considerados mais seguros e econmicos.
Trabalhos desenvolvidos por Santos (2000) e Machado (2001) analisaram sobre
diferentes aspectos os nveis de confiabilidade de vigas metlicas e em concreto
armado. Santos (2000) desenvolveu um trabalho sobre a confiabilidade na flexo de
vigas de perfis I soldados, segundo a Norma Brasileira NBR 8800 Projeto e Execuo
3
de Estruturas de Ao de Edifcios. Ele utilizou a tcnica de simulao numrica de
Monte Carlo com Amostragem por Importncia Adaptativa, fazendo uma anlise
qualitativa da variabilidade para um mesmo critrio de dimensionamento (funo de
estado limite). Tambm foi apresentada uma metodologia prtica para a uniformizao
da confiabilidade, permitindo o clculo do coeficiente de resistncia em funo de um ndice de confiabilidade preestabelecido. No presente trabalho, foram, inicialmente,
analisados com o programa computacional CALREL os mesmos perfis soldados
utilizados no trabalho de Santos (2000). Foram utilizados dois mtodos de
confiabilidade: mtodo FORM e simulao de Monte Carlo. Como os resultados de
ambos foram semelhantes, e foram compatveis com os resultados obtidos por
Santos (2000), utilizou-se no presente trabalho apenas os resultados da simulao
numrica de Monte Carlo. Apenas quando se necessitou dos valores dos cossenos
diretores das variveis consideradas aleatrias no clculo das vigas, utilizados durante a
aplicao da metodologia para a uniformizao da confiabilidade, que foram obtidos
pelo mtodo FORM. A funo de estado limite e a metodologia utilizada para a
uniformizao da confiabilidade foram as mesmas adotadas por Santos (2000).
No trabalho de Machado (2001) foi feita a avaliao da confiabilidade de
estruturas em concreto armado dimensionadas segundo critrios da NBR 6118 Projeto
e Execuo de Obras de Concreto Armado e NBR 8681 Aes e Segurana nas
Estruturas, atravs do programa CALREL. Em Machado (2001) dois estados limites
foram analisados: flexo simples e cisalhamento em vigas. Avaliou-se a adequao dos
valores do ndice de confiabilidade associados flexo e ao cisalhamento, bem como, a influncia da resistncia compresso do concreto, das taxas de armaduras
longitudinal e transversal, da geometria da seo transversal e da razo entre os
carregamentos aplicados sobre o valor de .
1.2 Objetivos
Os principais objetivos deste trabalho foram: (1) avaliar o nvel de
confiabilidade de vigas de perfis I laminados produzidos pela Empresa Aominas, para
4
o estado limite de flexo, projetadas segundo a Norma Brasileira NBR 8800 Projeto e
Execuo de Estruturas de Ao de Edifcios (1986) e o projeto de reviso da NBR
8800 Projeto e Execuo de Estruturas de Ao e de Estruturas Mistas Ao-concreto de
Edifcios (2003); (2)analisar a uniformidade de e comparar os resultados obtidos com valores encontrados na literatura; e (3)aplicar uma metodologia para a calibrao
dos fatores de minorao da resistncia. Para a realizao desta tarefa foram utilizados
mtodos de confiabilidade estrutural, em particular os mtodos de nvel III.
Para tanto foram necessrios: (1) estudar os procedimentos propostos pela NBR
8800(1986) e pelo projeto de reviso da NBR 8800 (2003); (2) estudar os mtodos de
anlise de confiabilidade estrutural; (3) descrever estatisticamente as variveis bsicas
de projeto atravs de uma pesquisa bibliogrfica sobre as propriedades mecnicas dos
materiais e a variabilidade geomtrica dos elementos; (4) definir a funo de
desempenho em relao resistncia da estrutura, j que as aes no foram
consideradas aleatrias neste trabalho. Foi necessrio o desenvolvimento das expresses
de estado limite utilizadas pela norma em avaliao; (5) utilizar o programa
computacional CALREL (CAL-RELiability) (1989) desenvolvido pela Universidade da
California em Berkeley; (6) Calcular os ndices de confiabilidade correspondentes s
diversas funes de desempenho (modos de falha); (7) Definir fatores de minorao de
resistncia, isto , calibrar a norma; e (8) Analisar os resultados obtidos.
1.3 Apresentao
A seguir ser apresentado de forma sucinta o contedo de cada captulo
mostrando os passos seguidos para a realizao do trabalho.
No captulo 2 apresentado um breve histrico dos mtodos de
dimensionamento que foram se aperfeioando com os avanos da engenharia estrutural.
descrito o processo do mtodo dos estados limites, que ser utilizado neste trabalho.
Em seguida abordado o processo de calibrao de normas, com enfoque neste mtodo.
No captulo 3 apresentada uma viso sobre dois mtodos de confiabilidade
estrutural: o Mtodo de confiabilidade de primeira ordem (FORM) e a Simulao de
5
Monte Carlo. Tambm apresentada uma breve descrio do programa CALREL, que
permite a determinao do ndice de confiabilidade pelos dois mtodos utilizados.
No captulo 4 so apresentados: (a) os dados estatsticos necessrios para a
realizao do trabalho; (b) a funo de estado limite aplicada a vigas no-esbeltas
utilizada para a determinao do momento resistente flexo; e (c) os resultados de
estudos realizados com o objetivo de verificar os nveis de confiabilidade de um
conjunto de perfis I laminados. Foram apresentados os dados estatsticos das sete
variveis aleatrias envolvidas no clculo da resistncia, que foram consideradas neste
trabalho. Trs referentes s propriedades fsicas do ao e quatro referentes s dimenses
do perfil. Estudou-se nesse trabalho o estado de flexo para vigas metlicas, segundo a
NBR 8800 (1986) e o projeto de reviso da NBR 8800 (2003). Os resultados so
apresentados atravs de grficos das variaes do ndice de confiabilidade, , em funo do ndice de esbeltez, yb rL . A estimativa do ndice de confiabilidade, em cada
caso, foi obtida por meio do mtodo FORM e atravs da simulao de Monte Carlo,
com o auxlio do programa CALREL.
No captulo 5 proposto o uso dos cossenos diretores, que expressam a
importncia relativa de cada varivel envolvida no dimensionamento, como utilizado
por Santos (2000). imposto um peso diferenciado a cada uma das variveis, em
funo de sua importncia no projeto, visando alcanar uma maior uniformidade da
confiabilidade para uma mesma funo de estado limite. Os resultados so apresentados
atravs de grficos com os valores que deveria assumir o coeficiente de minorao da
resistncia para manter a uniformidade em trs nveis distintos de confiabilidade. mostrada tambm a variao de importncia de cada varivel aleatria no
dimensionamento, para diversos valores do ndice de esbeltez, e para cada modo de
falha existente na flexo. Por fim proposta uma tabela, onde condensam-se os
diferentes pesos de cada varivel aleatria para todo o conjunto de perfis analisados, de
acordo com a NBR 8800 (1986), apresentando uma alternativa para a determinao do
coeficiente de resistncia para qualquer nvel de confiabilidade preestabelecido, utilizando a metodologia apresentada (Santos, 2000).
No captulo 6 so apresentadas as concluses obtidas neste trabalho, bem como
sugestes para continuao desse estudo.
6
No anexo apresentada uma tabela das propriedades geomtricas dos perfis I
laminados, utilizados nesse trabalho.
Captulo 2
Normas em Estados Limites
2.1 Mtodo das Tenses Admissveis
O incio da engenharia estrutural baseada na teoria da elasticidade data da poca
de Coulomb e Navier no final do sculo XVIII. No final do sculo XX, com avanos
significativos na engenharia estrutural e com a disponibilidade do computador como
uma ferramenta de anlise, o comportamento de sistemas complexos pde ser
determinado com grande preciso para as finalidades de projeto. Infelizmente, apesar
destes avanos, as aes nas estruturas e a resistncia dos materiais permanecem
descritas imprecisamente, e esta incerteza est na raiz do problema de segurana
estrutural. A incerteza aumenta o risco, representado pela probabilidade de ocorrer um
evento desfavorvel e de suas conseqncias em termos humanos e econmicos. O risco
est presente em todos os empreendimentos humanos. A finalidade essencial das
normas de projeto estrutural controlar e ajustar o risco aos nveis aceitveis pela
sociedade.
O mtodo de dimensionamento que predominou durante o sculo XX foi o
mtodo das tenses admissveis, cujo incio se deu na segunda metade do sculo XIX
quando a teoria da elasticidade comeou a ter o controle do clculo estrutural na prtica.
Esta teoria admite a linearidade entre cargas e foras resultantes ou magnitudes de
deformao na estrutura, bem como entre as foras e as tenses resultantes. A filosofia
de projeto que evoluiu da aplicao da teoria da elasticidade chamada de Mtodo das
Tenses Admissveis (Allowable Stress Design ASD).
No mtodo das tenses admissveis, a filosofia de dimensionamento consiste em
se calcular a tenso , no regime elstico-linear para o carregamento mximo esperado
8
e compar-la tenso admissvel adm , que uma frao da tenso limite lim . A
tenso limite define o nvel de tenso a partir do qual o comportamento elstico-linear
no mais se aplica.
Este critrio de projeto pode ser definido como se segue:
FSadmlim = (2.1)
onde FS o fator de segurana.
A interpretao tradicional do mtodo das tenses admissveis :
Sob cargas de servio a estrutura tem um comportamento elstico-linear;
A resistncia e o carregamento so incertos, mas postulado que, um limite superior
para o carregamento e um limite inferior para a resistncia (valores caractersticos)
podem ser estabelecidos.
Existem muitas objees a este modo de tratar o problema da segurana estrutural,
tanto do ponto de vista cientfico, probabilstico ou econmico, a saber, (Galambos,
1992):
1. Tenses e deformaes nem sempre so lineares, por exemplo, a curva tenso-
deformao do concreto no-linear mesmo para baixas tenses;
2. Efeitos do tempo (fluncia e retrao do concreto), efeitos ambientais (umidade na
resistncia da madeira, corroso de metais) e efeitos de taxa de carregamento
introduzem no-linearidades no espao e no tempo;
3. Efeito de carga e deformao nem sempre so lineares;
4. Comportamento carga-deformao ps-escoamento pode ser: dctil, com grande ou
pequena reserva de resistncia, ou frgil;
5. Sob algumas circunstncias necessrio utilizar a capacidade de absoro de
energia da regio no-linear para resistir a terremotos ou a exploses;
6. A chance de exceder o estado limite de incio da no-linearidade depende da
variabilidade das cargas, dos materiais e do modelo computacional utilizado. A
9
confiabilidade dos elementos dentro da estrutura ou de diferentes estruturas pode
ento variar consideravelmente;
7. Novos materiais de construo e tcnicas de projeto podem demandar anos de testes
at que um fator de segurana possa ser definido;
8. Todas as cargas so assumidas como tendo a mesma variabilidade;
9. A probabilidade de falha desconhecida e o mesmo fator de segurana pode
corresponder a distintas probabilidades de falha.
Estas e muitas outras objees ao mtodo das tenses admissveis j eram, em sua
maioria, conhecidas dos pesquisadores h dcadas. Os esforos para desenvolver outro
mtodo de projeto que acomodaria estas objees comearam na dcada de 30 na Unio
Sovitica e, na dcada de 40 na Inglaterra e nos Estados Unidos (Galambos, 1992). O
mtodo resultante conhecido como Mtodo dos Estados Limites.
2.2 Mtodo dos Estados Limites
A experincia com projetos de aeronaves durante a Segunda Guerra Mundial
mostrou a possibilidade de quantificar as incertezas, que so as bases dos fatores de
segurana, usando a teoria da probabilidade e estatstica. As noes bsicas deste
procedimento probabilstico quantitativo foram desenvolvidas nos anos de 1950 em
uma srie de artigos escritos por Freudenthal.
Ao mesmo tempo a idia de utilizar fatores mltiplos foi sugerida na Inglaterra
por Pugsley, e uma norma utilizando estes fatores foi formulada na Unio Sovitica.
O campo da confiabilidade estrutural desenvolveu-se nos ltimos 50 anos
fornecendo um arcabouo terico analtico e computacional para a quantificao da
segurana estrutural e anlise das incertezas que afetam as variveis de projeto.
O uso da teoria da confiabilidade estrutural como uma ferramenta no
desenvolvimento de normas de dimensionamento de estruturas, nos Estados Unidos,
iniciou-se no final dos anos de 1960. Na teoria clssica da confiabilidade, as aes
estruturais devido s cargas aplicadas, S , e a resistncia, R , so modeladas por
10
variveis aleatrias. Na representao mais simples, a falha ocorre se R for menor do
que S . A probabilidade deste evento :
dssfsFP SRf )()(0= (2.2)
no qual )(sFR a funo de distribuio cumulativa de R e )(sf S a funo
densidade de probabilidade de S . Esta equao pouco prtica para os objetivos de
projeto. Esta requer um conhecimento das distribuies de probabilidade para R e S ,
que podem variar para diferentes aes estruturais e estados limites. Tambm h o
problema de como manipular a integrao numrica no contexto iterativo tpico de um
dimensionamento. Assim, at o final dos anos de 1960, a maioria dos problemas da
literatura referentes teoria da confiabilidade eram principalmente tericos e
relativamente simples.
Dentro do perodo de 1968 a 1972, entretanto, o campo da confiabilidade
estrutural expandiu-se rapidamente de uma comunidade de pesquisa relativamente
pequena para um grupo maior de engenheiros interessados em melhorar o processo de
desenvolvimento de normas. Dentro deste perodo, houve a primeira conferncia
internacional sobre segurana e confiabilidade estrutural (ICOSSAR, 1972); uma
coleo de artigos sobre aspectos prticos de segurana estrutural foi publicada no ACI
Journal, edies de setembro a dezembro de 1969, seguidas por uma sesso tcnica
organizada pelo ACI sobre dimensionamento probabilstico de edifcios de concreto em
1971; e uma conferncia da American Society of Civil Engineers (ASCE, 1972) sobre
confiabilidade de edifcios de ao. Tambm nesse perodo, trabalhos foram
desenvolvidos para transformar a equao 2.2 em algo mais prtico para uso em projeto.
As primeiras mudanas em direo ao que agora se chama de Mtodo dos
Estados Limites (clculo plstico para o ao ou clculo da resistncia para o concreto)
tinham precedido a expanso para aplicaes prticas na rea da confiabilidade por
aproximadamente uma dcada. O Mtodo dos Estados Limites, em contraste ao Mtodo
das Tenses Admissveis (ASD), requer um cuidadoso pensamento sobre como melhor
lidar com os possveis modos do comportamento estrutural (resposta elstica versus
11
no-linear), tcnicas de anlise (primeira ordem versus segunda ordem), e dos limites de
desempenho (utilizao, incio da no-linearidade estrutural, incio da instabilidade do
sistema). O Mtodo das Tenses Admissveis no trata destes aspectos de uma maneira
inteiramente racional.
Um exemplo notvel da mudana em direo implementao prtica pode ser
encontrado na noo do ndice de confiabilidade, , como uma medida alternativa da confiabilidade. O ndice de confiabilidade foi introduzido na tentativa de evitar as
dificuldades conceituais e prticas (problemas na avaliao numrica da probabilidade
de falha, da falta de dados, erros de modelagem) com o uso da equao 2.2. Em sua
implementao inicial, foi avaliado simplesmente em funo das mdias e dos desvios-padro (ou coeficientes de variao) da resistncia e das aes estruturais. Mais
tarde, as tcnicas para incorporar informaes sobre as distribuies da probabilidade
foram desenvolvidas, conduzindo finalmente ao chamado mtodo de confiabilidade de
primeira ordem First Order Reliability Method (FORM).
A prescrio Load and Resistance Factor Design (LRFD AISC) representou a
primeira tentativa, nos Estados Unidos, para implementar racionalmente conceitos
probabilsticos no contexto de um moderno cdigo de projeto estrutural em estados
limites. O American Iron and Steel Institute (AISI) e o American Institute of Steel
Construction (AISC) iniciaram um projeto de pesquisa em 1969 para desenvolver uma
especificao prtica de clculo de estruturas de ao usando princpios da teoria da
confiabilidade para tratar incertezas nas cargas e na resistncia estrutural. O projeto
estava sob a direo de Theodore V. Galambos, que foi auxiliado por M. K. Ravindra,
sendo guiado por um comit assessor de especialistas em estruturas de ao, projeto
estrutural, e teoria da confiabilidade. A parte principal do trabalho tcnico foi executada
durante o perodo de 1969 a 1976, na Universidade de Washington em St. Louis. A base
do mtodo LRFD explicada em uma coleo de oito artigos publicados em setembro
de 1978. O primeiro artigo fornece a base geral para o critrio de clculo; cinco artigos
apresentam o desenvolvimento de critrios para vrios elementos estruturais, por
exemplo, vigas, vigas esbeltas, ligaes, vigas mistas, e vigas-colunas; um artigo est
relacionado com cargas de vento e neve; e o artigo final relata o critrio de clculo
proposto, LRFD, juntamente com comentrios detalhados.
12
Um perodo de tentativa de clculo e refinamento seguiu, at que uma verso
inicial do LRFD foi discutida pelo comit de normatizao do AISC, primeiramente em
um encontro em agosto de 1981, e subseqentemente em reunies anuais durante
diversos anos. A primeira especificao LRFD foi publicada em 1986 e a segunda em
1994.
O LRFD utilizou com sucesso a equao clssica da confiabilidade estrutural
resultando em um formato que fosse prtico para o clculo, inclusive para os
engenheiros no familiarizados com os conceitos de confiabilidade.
A maior parte das normas vigentes atualmente esto baseadas no mtodo dos
estados limites e os conceitos fundamentais, suposies e metodologias bsicas das
normas, segundo Galambos et al.(1982), podem ser sumarizados como a seguir:
1. partir da equao 2.2 chegou-se ao formato familiar do LRFD,
=
j
iniin QR
1
(2.3)
O lado esquerdo da equao refere-se resistncia (capacidade) da estrutura enquanto o
lado direito caracteriza a ao do carregamento.
O lado da resistncia do critrio de clculo consiste no produto nR , no qual
nR a resistncia nominal, e o coeficiente de minorao de resistncia. A resistncia nominal a resistncia calculada de acordo com os preceitos da norma de
projeto estrutural e est baseada nos valores nominais das propriedades do material e da
seo transversal. O fator de resistncia , que sempre menor do que 1, juntamente com nR , reflete as incertezas associadas a R . O fator adimensional e nR uma fora generalizada: momento fletor, esforo normal ou esforo cortante associados com
um estado limite ltimo ou de utilizao. Equaes de interao, por exemplo, entre
esforo normal e momento fletor, podem tambm ser usadas para definir nR para
estados limites apropriados.
13
O lado do carregamento do critrio de clculo expresso pela equao 2.3 a
soma de produtos nQ , no qual nQ a ao da carga nominal, e o coeficiente
de ponderao das aes correspondente. adimensional e nQ uma fora
generalizada calculada para as cargas nominais para a qual a estrutura est sendo
calculada. Os fatores refletem os desvios dos valores reais de cargas em relao aos
valores especificados e as variaes nos efeitos da carga devido as incertezas nas
anlises. O somatrio na equao 2.3 denota a combinao dos efeitos de carga
proveniente de diferentes aes atuantes. Por exemplo, se somente o peso prprio e a
sobrecarga so considerados, temos:
nLLnDD
j
inii QQQ +=
=1
(2.4)
no qual nDQ e nLQ so os efeitos do peso prprio e da sobrecarga, respectivamente; e
D e L so os correspondentes coeficientes de carga.
2. As especificaes em estados limites reconhecem que as aes, bem como seus
efeitos, e as resistncias, so todas quantidades aleatrias cujos valores reais so
conhecidos somente atravs da distribuio de probabilidade das quantidades
aleatrias individuais em que consistem suas partes componentes. So usados
mtodos de confiabilidade de primeira ordem ou mtodos de confiabilidade de
segunda ordem, onde estes forem apropriados, para desenvolver os coeficientes de
resistncia , de modo a resultar em confiabilidades aproximadamente uniformes para cada tipo de combinao de cargas.
3. O objetivo central que os ndices de confiabilidade resultem aproximadamente
iguais queles das especificaes anteriores em tenses admissveis quando essas
resultavam em desempenhos considerados satisfatrios.
14
4. Para evitar excessivas complicaes no clculo, o nmero de coeficientes de
resistncia conservado relativamente pequeno.
5. Os coeficientes de ponderao das aes, as aes propriamente ditas e suas
combinaes, devem ser indicadas em normas de aes e segurana para serem
utilizadas nos clculos com as normas em estados limites.
6. Os critrios de projeto so baseados nos estados limites alcanados pelos elementos
estruturais (uma viga, pilar, solda individual, parafuso, metal base ou ligao).
Ligaes (parafusos ou soldas) geralmente tm um maior ndice de confiabilidade
do que as barras, para forar a falha nos elementos (carter dctil) e no na ligao
(carter frgil).
7. No feita distino explicita quanto s conseqncias de falha
Os coeficientes de ponderao das aes foram desenvolvidos por calibrao,
usando mtodos analticos para o clculo da confiabilidade, (Ellingwood et al., 1982),
para casos padres de estruturas determinadas estaticamente, calculadas pelas
especificaes correntes para ao, concreto armado e protendido, madeira, alumnio e
estruturas de alvenaria, buscando um resultado final com aproximadamente a mesma
confiabilidade. Os coeficientes de majorao das cargas foram desenvolvidos para um
tempo de vida til da estrutura de 50 anos.
Um dos objetivos iniciais do clculo semi-probabilstico era a obteno de uma
mesma confiabilidade para todas as estruturas e elementos. Este objetivo contudo no
completamente alcanado. Ellingwood et al., (1982), observam que o ndice de
confiabilidade de elementos fletidos pode variar de 2,5 a 3,5, que a ordem de
magnitude de variao na probabilidade de exceder um estado limite. Uma das razes
para esta variao a utilizao de um nico valor do coeficiente de resistncia (por
exemplo 90,0= para a maioria das normas) que usado para todos os elementos sob flexo, independentes do tipo de estado limite.
Na norma LRFD AISC, uma expresso do tipo dada na equao 2.3 utilizada
para cada conjunto de combinaes de carga que necessitam ser considerados. A
15
resistncia nominal sempre se refere a um estado limite especfico. Duas classes de
estados limites so pertinentes ao clculo estrutural: o estado limite de resistncia
mxima (ou ltimo) e o estado limite de utilizao.
O desenvolvimento da norma LRFD AISC exigiu uma reviso completa dos
preceitos filosficos do Mtodo das Tenses Admissveis(ASD AISC) e conduziu-o
s mudanas nos procedimentos pelo qual a resistncia nominal nR calculada para
diferentes estados limites.
O desenvolvimento da primeira especificao LRFD, nos Estados Unidos, para
as estruturas de ao no perodo de 1969 a 1985, necessitou da colaborao entre
pesquisadores da teoria da confiabilidade, da tecnologia de construo em ao, e
profissionais de projeto estrutural resultando na melhoria de todo o processo pelo qual
as estruturas so projetadas.
No sentido de minorar as objees relativas ao Mtodo das Tenses
Admissveis, foi desenvolvido o Mtodo dos Estados Limites. Um estado limite uma
condio onde a estrutura ou elemento estrutural torna-se inadequado para desempenhar
a funo proposta. Isto significa, que os esforos e deformaes devem ser inferiores a
certos valores limites, que dependem do material usado e do tipo de estrutura adotada.
Distinguem-se dois tipos de estados limites nesse mtodo:
2.2.1 Estados Limites ltimos
So os relacionados ao colapso total ou parcial da estrutura e que podem ser:
Perda de equilbrio
Ruptura por qualquer tipo de solicitao
Instabilidade
16
2.2.2 Estados Limites de Utilizao
So os relacionados com o comportamento da estrutura, impedindo sua
utilizao para o fim ao qual se destina. A ocorrncia de um estado limite de utilizao
pode prejudicar a aparncia, a possibilidade de manuteno, a durabilidade, a
funcionalidade e o conforto dos ocupantes de um edifcio, bem como pode causar danos
a equipamentos e materiais de acabamentos vinculados ao edifcio. Cada estado limite
de utilizao deve ser verificado utilizando-se combinaes de aes nominais
associadas ao tipo de resposta pesquisada. As situaes mais comuns de verificao de
estados limites de utilizao so:
Verificao de flechas em vigas de piso, de coberturas, teras, vigas de rolamento.
Verificao de deslocamento lateral de vigas de rolamento e pilares de edifcios
devido ao de pontes rolantes e do vento.
Verificao de vibraes em pisos devidas ao caminhar de pessoas e vibraes de
estruturas devidas a equipamentos rotativos, pontes rolantes e ao vento.
2.2.3 Procedimento de projeto
No projeto em Estados Limites calcula-se o limite de capacidade da estrutura ou
dos seus elementos constituintes (vigas, colunas, ligaes, etc.). Este limite de
resistncia ento reduzido para avaliar a possibilidade da resistncia ser menor que a
calculada pelas propriedades nominais do material, pelas dimenses de projeto ou pelo
modelo de clculo usado na norma. A resistncia fatorada (de projeto) ento
comparada com o efeito da carga calculada para as cargas mximas apropriadas, que so
ento amplificadas para levar em considerao as incertezas das cargas que atuaro na
estrutura durante sua vida til. A condio de projeto ento:
nn QR (2.5)
17
onde 0.1 o coeficiente de ponderao das aes, nR a resistncia nominal
especificado na norma e nQ a ao da carga nominal calculada (esforo cortante,
momento fletor, esforo normal, etc.). Ambos, a resistncia e a ao da carga referem-se
condio de estado limite, e seus clculos consideram no linearidades fsicas e
geomtricas, e imperfeies iniciais.
2.2.4 Aes
As aes so as causas que provocam esforos ou deformaes nas estruturas.
Na prtica, as foras e as deformaes impostas pelas aes so consideradas como se
fossem as prprias aes.
As aes a serem adotadas no projeto das estruturas de ao e seus componentes
so as estipuladas pelas normas apropriadas e as decorrentes das condies a serem
preenchidas pela estrutura. Essas aes devem ser tomadas como nominais, devendo ser
considerados os seguintes tipos de aes nominais:
Aes Permanentes: Tm pequena variao em torno da mdia, durante o tempo
de vida da construo. (Peso prprio, revestimentos, acabamentos, etc.).
Aes Variveis: Tm grandes variaes em torno da mdia, durante a vida da
construo. (Sobrecarga, divisrias, equipamentos, vento, etc.).
Aes Excepcionais: Tm duraes extremamente curtas e de baixa ocorrncia
durante a vida da construo. (Exploses, choques de veculos, terremotos,
incndio, etc.).
Na evoluo do Mtodo dos Estados Limites, logo se pde compreender que
alguns tipos de aes so conhecidos mais precisamente do que outros. Por exemplo, o
peso prprio tem uma menor variabilidade do que a sobrecarga ou carga de vento. O
conceito de vrios fatores de carga foi introduzido para levar em considerao este fato.
Uma vez introduzidos estes fatores, um outro problema necessita de ateno.
No conveniente adotar para aes de pouca durao, tais como os devidos
ocupao, vento ou terremoto, valores mximos de vida til, simultaneamente. Tm-se
18
tomado cuidado com este fenmeno, adotando-se os chamados fatores de combinao
de cargas.
O mtodo dos estados limites tambm conhecido como mtodo
semiprobabilstico. Os fatores de majorao de cargas e minorao de resistncia so
ajustados de tal maneira a se obter maior uniformidade da probabilidade de falha fP ,
considerada aceitvel para uma determinada classe de estruturas. O processo de ajuste
dos fatores e conhecido como calibrao de norma.
2.3 Calibrao de Normas
2.3.1 Princpios de Calibrao da Norma
Um formato de norma um sistema formal de variveis juntamente com um
conjunto de regras. As regras definem as relaes entre estas variveis e suas relaes
com o modelo mecnico da estrutura e com as aes sobre a mesma. Para um formato
de norma do tipo de fatores de segurana parciais, as variveis so os valores
caractersticos e os coeficientes parciais. Uma norma pode ser calibrada usando nveis
diferentes de mtodos superiores. Os nveis de calibrao podem ser categorizados
como uso de valor julgado adequado, calibrao para prtica de projetos em uso, ou um
melhor julgamento a um mtodo de avaliao de confiabilidade superior (otimizao da
norma).
O modo predominante para designar um valor, at aproximadamente 30 anos
atrs, era o uso de julgamento. Uma norma que fornece experincias satisfatrias de
projeto seguro por vrios anos de uso na prtica era considerada como tendo valores
razoavelmente corretos dos parmetros. Motivos econmicos podem conduzir a
alteraes dos valores, na inteno de reduzir o custo, diminuindo a segurana das
estruturas. Por outro lado, experincias sobre muitas falhas estruturais levaram a
revises com mudanas nos valores dos parmetros, na direo de proporcionar maior
segurana estrutural.
19
Deste modo, os valores indicados para o formato da norma estabilizavam-se
quando no apareciam motivos que indicassem a necessidade de novas revises.
Obviamente existem algumas objees ao processo de calibrao via julgamento. Em
particular, este processo tem uma influncia restritiva no uso de novos materiais, novos
princpios estruturais, e desenvolvimentos em novos campos onde haviam experincias
limitadas sobre as aes extremas. Exatamente pela carncia de critrios racionais como
base para a calibrao, a norma resultante, quando utilizada em tais novas experincias,
freqentemente conduzia para estruturas com nveis de segurana desnecessariamente
altos e dispendiosos e dessa forma era restritiva com relao ao desenvolvimento
tecnolgico.
A calibrao dos fatores parciais para ajustar os nveis de confiabilidade
resultantes aos nveis obtidos pela prtica de projeto existente freqentemente usada
como mtodo para indicao de um valor em situaes onde uma mudana relevante do
formato da norma. A motivao para uma tal mudana do formato da norma pode ser o
desejo de um cdigo mais simples ou isso pode ser causado por um objetivo superior de
harmonizao nacional ou internacional de diferentes normas. Dessa forma a calibrao
baseada exclusivamente em resultados comparativos de clculos.
O maior nvel de calibrao de norma consiste no ajuste otimizado objetivando
atingir os resultados de um modelo de anlise de confiabilidade de ordem superior.
Algumas normas nos ltimos 15-20 anos esto baseadas em maior ou menor grau
nesses princpios de otimizao.
2.3.2 O Processo de Calibrao de Normas
Apesar de diferenas de detalhes, o procedimento geral para a calibrao de
norma quase o mesmo, independente do refinamento da teoria da confiabilidade
usada. Segundo Melchers, (1987), os seguintes passos devem ser seguidos para a
calibrao da norma:
20
Passo 1: Definir o escopo
Uma vez que no podemos ainda contar com um formato de norma de projeto
estrutural para representar todas as situaes de projeto, conveniente delimitar o
escopo da norma a ser calibrada. Dessa forma, pode-se estabelecer o material (por
exemplo, estruturas de ao), o tipo estrutural (por exemplo, estruturas de edifcio), etc.
Passo 2: Selecionar os pontos de calibrao
escolhido um espao de projeto, consistindo de todas as variveis bsicas, tais
como comprimento da viga, rea da seo transversal e propriedades, valores das
tenses nominais permitidas, intervalo das cargas aplicadas e tipos de carregamentos.
ento dividido em um conjunto de zonas discretas aproximadamente uniformes. Os
pontos discretos resultantes so usados para calcular os valores do ndice de
confiabilidade o para a verificao do formato da norma existente.
Passo 3: Norma de clculo em vigor
A norma de clculo estrutural em vigor usada para calcular o elemento (por
exemplo, uma viga de 5 m). Isto repetido para todas as combinaes apropriadas dos
pontos de calibrao dentro de cada zona discreta.
Passo 4: Definir estados limites
A funo de estado limite para cada modo de falha ento definida. Isto deve
incluir, por exemplo, no caso de vigas de ao, estados limites para momento fletor,
esforo cortante, flambagem local, flambagem da alma, flexo-toro, etc. Cada um
desses estados limites deve ser expresso em termos das variveis bsicas. A definio
dos estados limites tambm requer uma deciso sobre os modelos de combinao de
cargas que vai ser empregado. Para facilitar a calibrao da norma, usual escolher um
modelo simples de combinao de cargas.
21
Passo 5: Determinar as propriedades estatsticas
Para a determinao do ndice de confiabilidade o so necessrias para cada uma das variveis bsicas as propriedades estatsticas apropriadas (distribuies,
mdias, varincias, valores mdios em funo do tempo).
Passo 6: Empregar mtodos de anlise de confiabilidade
Usando um mtodo de anlise de confiabilidade apropriado, juntamente com as
funes de estados limites (passo 4) e os dados estatsticos (passo5), cada uma das
opes de projeto do passo 3 analisada para determinar o para cada ponto de calibrao dentro de cada zona. Os resultados podem ser convenientemente ajustados de
modo que o carregamento aplicado torne-se o parmetro independente.
Passo 7: Escolher o valor alvo o A partir de diversas anlises, tais como o passo 6 citado, torna-se evidente a
variao de o e a partir desta informao, uma mdia ponderada de o pode ser determinada e usada como uma confiabilidade alvo o.
Passo 8: Selecionar os fatores parciais
Os fatores parciais no so constantes para um dado formato de verificao da
segurana, e um dado valor alvo o. Como, por convenincia, utilizam-se fatores parciais constantes, pelo menos para grandes grupos de situaes de projetos, espera-se
que ocorra algum desvio em relao ao valor alvo o. Portanto, a seleo de fatores parciais apropriados envolve algum julgamento subjetivo.
2.3.3 Algumas Consideraes sobre a Calibrao da Norma ANSI
A58
A escolha do ndice de confiabilidade alvo o deve refletir a importncia do componente para a integridade da estrutura, as conseqncias da falha, o modo de falha
(frgil ou dctil), o tipo de material e as combinaes de cargas. O o pode ser
22
determinado com base em anlises da confiabilidade de normas de projetos anteriores.
Galambos et al. (1982) estabeleceram para determinadas situaes de carregamento e
para 50 anos de vida til da estrutura, os seguintes valores para o : Combinaes de aes envolvendo somente cargas gravitacionais: o =3,0 Combinaes de aes envolvendo cargas gravitacionais e cargas de vento: o =2,5 Combinaes de aes envolvendo cargas de vento atuando em sentido contrrio
aos efeitos das cargas gravitacionais: o =2,0.
Os valores apresentados acima correspondem razoavelmente bem faixa de
valores obtidos nos estudos das normas de projeto americanas. Estes valores esto
associados a componentes estruturais em ao, concreto armado e madeira laminada
colada sob flexo e sob compresso.
O critrio de projeto utilizado nas normas selecionar um conjunto de
coeficientes de majorao das aes para serem aplicados em todas as situaes de
clculo. No entanto, interessante, sempre que possvel, examinar como os coeficientes
de majorao das aes e de resistncia variam para diferentes estados limites e
combinaes de aes.
A escolha de o possibilita uma boa seleo dos fatores de majorao de cargas. Usando-se mtodos do nvel II, para o = 3,0, foram calculados os fatores de minorao da resistncia e os fatores de majorao para o peso prprio D, a sobrecarga L e a carga de neve S, mostrados na figura 2.1(Ellingwood et al.,1982). Foi percebido que o fator de minorao de resistncia relativamente indiferente s cargas variveis no
tempo, sobrecarga(L) ou neve(S), nas combinaes. O fator de majorao do peso
prprio D muito menor que o proposto em norma, dada a pequena variabilidade deste tipo de carga. Estas observaes indicaram que escolhendo D e constantes e separando especificaes de coeficientes de majorao das aes e de resistncia, no
implicaria em desvio significativo de o , em um mtodo do nvel I . Por outro lado, o coeficiente de majorao da ao varivel na combinao,
aumenta quando a importncia desta ao na combinao cresce devido sua maior
variabilidade. Se os coeficientes de majorao das cargas variveis no tempo
23
L (sobrecarga), S (neve), W (vento),...,etc., so assumidos como constantes, como
feito em um mtodo do nvel I, haver desvios significativos da confiabilidade alvo
( o ) para certas situaes de carregamento. Desta forma, era necessrio selecionar um conjunto de coeficientes de majorao das aes e combinaes que minimizassem a
extenso deste desvio de o sobre todas as situaes possveis de projeto (Ellingwood et al.,1982).
Figura 2.1 Fatores de minorao da resistncia e majorao da carga para flexo
em vigas de ao ( ( ( (Ellingwood et al., 1982).
Uma primeira anlise mostrou no ser possvel escolher completamente
independente de , ignorando inteiramente o aspecto da resistncia no problema, pois no seria possvel escolher um critrio de resistncia compatvel com o critrio de carga
(Ellingwood et al., 1982). Para elementos fletidos de concreto armado e ao, os
coeficientes de resistncia deveriam estar no intervalo de 0,80 a 0,90. Quando maior do que 0,90 para tais elementos, h pequena margem de ajustes adicionais para
refletir melhoramentos na fabricao ou controle de qualidade que tenderiam a reduzir a
variabilidade.
24
Como exemplo de como os fatores de majorao de carga so ajustados,
considera-se o caso em que uma nica carga domine a combinao. Assumindo-se = 0,80 ou 0,85, os fatores de majorao de carga requeridos para alcanar o so mostrados na Tabela 2.1. Esta anlise simples sugere valores razoveis para os fatores
de majorao, D = 1,2-1,3, S = 1,6-1,7, W = 1,3-1,4, = 1,4-1,5 (Ellingwood et al., 1982).
Tabela 2.1 Fatores de majorao de carga requeridos Carga nica ( ( ( (Ellingwood
et al., 1982).
Para o prximo passo, considera-se o caso onde a ao permanente D
combinada com uma ao varivel. Um conjunto timo de coeficientes pode ser
selecionado, definindo-se alguma funo que avalie a proximidade entre o nvel de
confiabilidade 0 e a confiabilidade associada ao conjunto de coeficientes de resistncia e de majorao das aes proposto. Em seguida deve-se selecionar os
coeficientes de majorao que minimizem esta funo.
Pode-se observar que associado a um dado conjunto de aes nominais, h uma
resistncia nominal requerida correspondente, )( 0nR , que poderia ser calculada. Por outro lado, uma equao de verificao que inclui um conjunto constante simples de
coeficientes de majorao, tambm levar a uma resistncia nominal, nR' . Para o
formato mais utilizado, isto seria dado pelo critrio de aes, equao 2.4 e nR . Um conjunto de coeficientes de resistncia e de majorao das aes pode ser selecionado
S W E
Neve Vento Terremoto Componente =2,5 =3,0 =2,5 =3,0 =3,0 =2,5 =2,0
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Viga em ao lami nado 0.80 1.18 1.28 1.52 1.78 1.78 1.30 1.44
quente 0.85 1.25 1.35 1.61 1.89 1.89 1.38 1.52 Viga em concreto armado 0.80 1.18 1.33 1.44 1.70 1.66 1.28 1.39
Ao grau 40 0.85 1.26 1.41 1.53 1.81 1.77 1.36 1.48 Viga em co ncreto armado 0.80 1.18 1.29 1.52 1.77 1.79 1.36 1.51
Ao grau 60 0.85 1.26 1.37 1.61 1.88 1.90 1.45 1.61
Carga D L
Peso Prprio Sobrecarga
a
25
de tal forma que minimize o quadrado da diferena ponderada entre estas duas
resistncias nominais, ou:
jnjonji pRRI2]')([),( = (2.6)
sobre um conjunto pr-definido de aes permanentes, vento, neve e terremoto, onde
( )onjR = resistncia nominal requerida para se atingir um dado o . njR' = resistncia nominal obtida para um dado conjunto de fatores parciais.
jp = peso relativo fixado para a j-sima combinao de cargas. Neste procedimento,
desvios conservadores do nvel de confiabilidade so penalizados igualmente queles
no conservadores.
Usando a anlise de confiabilidade, que ser descrita no captulo 3, nR pode
ento ser determinada para uma confiabilidade alvo inicial 0,3=o , por exemplo, para combinaes de aes gravitacionais (permanente e sobrecarga ou neve), e LS , e timos so determinados minimizando a equao 2.4 com o valor de D fixado, por
exemplo, em 1,2. Os coeficientes LS , e timos dependem da combinao para cada material. A tabela 2.2 mostra os coeficientes timos encontrados por Ellingwood
em sua proposta para os coeficientes de ponderao das aes.
O dever ser to prximo quanto possvel dos coeficientes de majorao das
aes listados na coluna 4 da tabela 2.2, e ao mesmo tempo, dever estar dentro do intervalo 0,8 a 0,9 para flexo em vigas de concreto e ao, como considerado
anteriormente. Usando a tabela 2.2 como guia, podem ento ser selecionados
coeficientes L e S que satisfaam estes requisitos. O timo correspondente a 2,1=D e 6,1=L mostrado na coluna 5 da tabela 2.2.
26
Tabela 2.2 Fatores de minorao de resistncia e majorao de cargas timos
para cargas gravitacionais ( ( ( (Ellingwood et al., 1982).
timo para
Material Combinao L , S D = 1.20 , L = 1.6(1) (2) (3) (4) (5)
Viga em ao (0 = 3) D + L 0,96 2,1 0,78D + S 1,05 2,32 0,79
Viga em concreto armado, Ao grau 60 D + L 0,87 1,83 0,81 ( 0 = 3) D + S 0,93 1,93 0,84Viga em concreto armado, Ao grau 40 D + L 0,82 1,61 0,81 ( 0 = 3) D + S 0,85 1,56 0,86Viga em madeira laminada coladaa D + L 0,59 1,38 0,66 ( 0 = 2.5) D + S 0,59 1,08 0,77Parede em alvenaria comuma D + L 0,38 4,1 0,22 ( 0 = 7.5)Parede em alvenaria comum D + L 0,52 2,45 0,41 ( 0 = 5.0)Parede em alvenaria estruturala D + L 0,41 3,28 0,27 ( 0 = 6.5)Parede em alvenaria estruturala D + L 0,49 2,38 0,40 ( 0 = 5.0)
Valores timos( D = 1.2)
a R/R n assumido igual a 1,0 por ilustrao.
Esta anlise pode ser feita para qualquer outra combinao utilizando o mesmo
procedimento e buscando os ndices de confiabilidade alvos para cada situao de
carregamento. Para combinaes com mais de uma varivel deve ser feita a
considerao de apenas uma ao varivel atuar com seu valor mximo e as demais
serem reduzidas por coeficientes de ponderao menores do que um.
Captulo 3
Mtodos de Confiabilidade
3.1 Problema Bsico
Problemas de confiabilidade em engenharia podem ser definidos como a
determinao da capacidade de um sistema que atenda a determinadas condies
(exigncias). Na considerao da segurana de uma estrutura, a preocupao assegurar
que a resistncia da estrutura seja suficiente para suportar a atuao da mxima ao ou
combinao de aes durante a sua vida til.
Tradicionalmente, a confiabilidade de sistemas estruturais alcanada atravs da
utilizao de coeficientes ou margens de segurana e adoo de suposies
conservadoras nos mtodos de clculo.
Na realidade, a determinao da resistncia disponvel bem como da mxima
solicitao da estrutura no so problemas simples. Estimativas e previses so sempre
necessrias para estes tipos de problemas, visto que incertezas so inevitveis pela
simples razo de que as informaes relativas aos problemas de engenharia so
invariavelmente incompletas. Diante de tais incertezas, a resistncia disponvel e a
solicitao real no podem ser determinadas precisamente, sendo geralmente descritas
como pertencentes a determinados intervalos, podendo ser modeladas como variveis
aleatrias. Nestes termos, portanto, a confiabilidade de um sistema pode ser mais
realisticamente medida em termos de probabilidade. Para esta proposta, definem-se as
variveis aleatrias R (resistncia) e S (solicitao).
O objetivo da anlise de confiabilidade assegurar o evento ( )SR > durante toda a vida til da estrutura. Esta garantia possvel somente em termos da probabilidade
( )SRP > .
28
Sejam, ento, R e S , variveis aleatrias com distribuies de probabilidade
conhecidas. A probabilidade de falha fP , para R e S contnuas e estatisticamente
independentes, pode ser calculada atravs da seguinte expresso (Ang e Tang, 1984):
( ) ( )dssfsFSRPP SRf =
29
regio de sobreposios r ou s
Sf (s)
F (s)Rrea = Rf (r)
Figura 3.1 Funo densidade de probabilidade fR (r) e fS(s) (Ang e Tang, 1984).
Como mostra a figura 3.1, a sobreposio das curvas ( )rf R e ( )sfS representa uma medida da probabilidade de falha, fP . Com respeito a isso, observa-se o seguinte:
A regio de sobreposio depende das posies relativas de ( )rf R e ( )sfS , como pode ser visto na figura 3.2. Quando as duas curvas ficam mais afastadas, fP
diminui, ao passo que fP aumenta quando as duas curvas ficam mais prximas. A
posio relativa entre ( )rf R e ( )sfS pode ser medida pela relao SR , que pode ser chamada de fator de segurana central ou pela diferena ( )SR que a margem de segurana mdia.
A regio de sobreposio tambm depende do grau de disperso de ( )rf R e ( )sfS , como mostra a figura 3.3. Mantidos os valores das mdias e aumentando-se a
disperso de ( )rf R ou de ( )sfS , ou de ambas, observa-se que a regio de sobreposio aumenta.
30
regio de sobreposio
S R r ou s R
f (r) R
f (s) S
f (r) R
1 2
1 2
regio de sobreposio
Figura 3.2 Efeito da posio relativa entre fR (r) e fS (s) em Pf (Ang e Tang, 1984).
r ou s S R
f (s) S
f (r) R
Figura 3.3 Efeito da disperso em fR (r) e fS(s) em Pf (Ang e Tang, 1984).
31
Nas equaes 3.1 e 3.2 assumido que R e S so variveis aleatrias
estatisticamente independentes. Em geral, entretanto, estas variveis podem ser
correlacionadas e, para tais casos, a probabilidade de falha pode ser expressa em termos
da funo densidade de probabilidade conjunta como segue:
( ) dsdrsrfP s SRf = 0 0 , , (3.4)
Ao passo que a probabilidade de sobrevivncia correspondente :
( ) drdss,rfP0
r
0 S,Rs = (3.5)
O problema resistncia-solicitao anterior pode ser formulado em termos de
margem de segurana M , que definida como SRM = . Como R e S so variveis
aleatrias, M tambm uma varivel aleatria, com funo densidade de probabilidade
( )mf M . Neste caso, a falha obviamente o evento ( )0
32
f (m)
rea = P
0
f
m
f (m)M
M
Figura 3.4 Funo densidade de probabilidade da margem de segurana (Ang e
Tang, 1984).
3.2 Mtodo do Segundo Momento
O clculo da probabilidade de segurana ou da probabilidade de falha requer que
as funes densidade de probabilidade )(rf R e )(sfS ou que a funo densidade de
probabilidade conjunta ),(, srf SR sejam conhecidas. Na prtica, esta informao nem
sempre est disponvel ou difcil de ser obtida devido insuficincia de dados. No
entanto, freqentemente as informaes disponveis so suficientes para estimar os
primeiro e segundo momentos (mdia e varincia) das variveis aleatrias (Ang e
Tang, 1984).
Com o mtodo do segundo momento, a confiabilidade pode ser medida
inteiramente como uma funo do primeiro e do segundo momento (mdia e varincia,
respectivamente) das variveis de clculo, o chamado ndice de confiabilidade )( ; isto quando no existe informao sobre as distribuies de probabilidade. Caso as formas
apropriadas das distribuies sejam conhecidas, a probabilidade correspondente pode
ser avaliada com base nas distribuies normais equivalentes (Ang e Tang, 1984).
Com relao margem de segurana YXM = , o estado seguro de um
sistema pode ser definido como )0( >M , e o estado de falha como )0(
33
contorno que separa o estado seguro do estado de falha o estado limite definido pela
equao 0=M .
Introduzindo as variveis reduzidas:
X
XXX
=' (3.7)
Y
YYY
=' (3.8)
No espao destas variveis reduzidas o estado seguro e o estado de falha podem
ser representados como mostrado na figura 3.5. Tambm, em termos das variveis
reduzidas, o estado limite 0=M , fica:
0'' =+ YXYX YX (3.9)
que uma linha reta como mostrado na figura 3.5. A distncia da linha de falha (linear)
origem, O, por si prpria uma medida do ndice de confiabilidade. Esta distncia, d,
dada na geometria analtica como:
22YX
YXd
+
= (3.10)
34
d
0
y'
x'
Estado de falhaM0
Figura 3.5 Espao das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984).
3.2.1 Funo Desempenho
Visto que a confiabilidade de um sistema ou componente estrutural pode envolver
mltiplas variveis aleatrias, feita a seguir uma generalizao do procedimento
anterior que envolvia apenas duas variveis aleatrias x e y. O desempenho de um
sistema, obviamente, vai depender das propriedades deste sistema. A fim de definir o
desempenho de uma estrutura, uma funo desempenho usada:
g( X ) = g( X1, X2, ..., Xn ) (3.11)
onde X = ( X1, X2, ..., Xn ) o vetor das variveis bsicas de clculo e a funo g( X ) determina o desempenho do sistema. O desempenho limite pode ser definido como
g( X ) = 0, que o estado limite do sistema (Ang e Tang, 1984).
Segue-se, ento que:
35
[g( X ) > 0 ] = regio de segurana e
[g( X ) < 0 ] = regio de falha.
Geometricamente, a equao do estado limite, g( X ) = 0, uma superfcie n-
dimensional, que pode ser chamada de superfcie de falha. Em um lado desta
superfcie est a regio de segurana, g( X ) > 0, enquanto do outro lado, a regio de
falha, g( X ) < 0 (Ang e Tang, 1984).
3.2.2 ndice de Confiabilidade
Variveis No Correlacionadas
Introduzindo-se o conjunto de variveis reduzidas no correlacionadas:
i
i
X
Xii
XX
=
' ; n...,,2,1i = (3.12)
Obviamente, o estado seguro e o estado de falha podem tambm ser interpretados no
espao reduzido das variveis acima, separados pela equao estado limite apropriada.
No caso de duas variveis, esta dever ser como mostrado na figura 3.6. Em termos das
variveis reduzidas, 'iX , a funo do estado limite ser:
0)X,....,X(gnNii X
'nXX
'1X =++ (3.13)
36
g(X1, X
2) = 0
x'2
0
g(X1, X2) > 0
g(X1, X2) < 0
x'1
Figura 3.6 Regio de falha e regio de segurana no espao das variveis
reduzidas (Ang e Tang, 1984).
Pode-se observar na figura 3.6 que quando a superfcie de falha, g( X ) = 0, se
afasta ou se aproxima da origem, a regio de segurana, g( X ) > 0, aumenta ou diminui.
Portanto, a posio da superfcie de falha em relao origem das variveis reduzidas
determinar a segurana ou a confiabilidade do sistema. A posio da superfcie de
falha pode ser representada pela distncia mnima da superfcie g( X ) = 0 at a origem
das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984). Na verdade, Shinozuka (1983) mostrou que
o ponto na superfcie de falha com distncia mnima at a origem o ponto mais
provvel de falha. Assim, esta distncia mnima pode ser usada como uma medida de
confiabilidade.
A distncia de um ponto X = ( X1, X2, ..., Xn ), na superfcie de falha g( X ) = 0,
at a origem 'X ,
2/1'2'2'1 )'(... XX
tnXXD =++= (3.14)
37
O ponto na superfcie de falha, )x,...,x,x( *'n*'
2*'
1 , cuja distncia at a origem
mnima, pode ser determinado atravs da minimizao da funo D , obedecendo a
condio g( X ) = 0. Usando-se o mtodo dos multiplicadores de Lagrange ( o multiplicador de Lagrange), tem-se:
L = D + g( X ) = ( X t X )1/2 + g( X ) (3.15)
Em notao escalar,
)...,,,(... 212'2'
22'
1 nn XXXgXXXL ++++= (3.16)
onde ii XiXi
XX += ' .
Derivando a equao 3.16 em relao a 'iX e ao multiplicador de Lagrange
, obtm-se um sistema de 1+n equaes com 1+n incgnitas
(3.17)
( ) 0...,,,
,...,2,1;0...
21
'1
2'2'2
2'1
'
'
==
==
++++
=
n
n
i
i
XXXgL
niXg
XXXX
XL
(3.18)
A soluo do sistema de equaes acima fornece o valor do ponto mais provvel
de falha ),...,,( *'*'2*'
1 nxxx .
Introduzindo o vetor gradiente
38
= ''2
'1
,...,,nX
gXg
XgG (3.19)
onde i
Xi
i
ii Xg
XX
Xg
Xg
i
=
=
''
Escrevendo o sistema de equaes, equao 3.17 em notao matricial e
substituindo a equao 3.14, obtm-se:
GX D=' (3.20)
Substituindo a equao 3.20 na equao 3.14, tem-se que:
= (Gt G)-1/2
E usando este ltimo resultado na equao 3.20, resulta:
( ) 2/1t'
GGGX D= (3.21)
Pr-multiplicando a equao 3.21 por Gt,
( ) 2/1'
GGGt
t XD = (3.22)
Substituindo a equao 3.21 no sistema equao 3.17, obtm-se uma nica
equao com incgnita D , a soluo desta equao a distncia mnima
=mind , ento
39
( ) 2/1*t*'*'*
GGXG
= (3.23)
onde *G o vetor gradiente no ponto mais provvel de falha ),...,,( *'*'2*'
1 nxxx . Ento o
ponto mais provvel de falha
( ) 2/1*
*'
*'* GGGX = (3.24)
Em sua forma escalar, os componentes de X* so
nix ii ,...,2,1;**'
== (3.25)
Onde
2
*'
'*
=
ii
ii
Xg
Xg
(3.26)
So os cossenos diretores ao longo dos eixos 'ix .
Conhecidos os valores de , a probabilidade de falha pode ser calculada atravs da seguinte relao:
Pf = ( - ) (3.27)
onde ( . ) a funo de distribui
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