BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO

BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUOUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAENGF97 -CONTROLE E SISTEMAS NO LINEARES

ADRIANO SILVA MARTINS BRANDO, SUBSTITUTO1

ContedoNoo de estabilidade estrutural;Conceito de bifurcaes e diagrama de bifurcao;Bifurcaes de codimenso um:Bifurcao sela-n;Bifurcao transcrtica;Bifurcao forquilha;

14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO2Diagrama de fases do atrator de LorentzFonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/my-second-problem/Noo de estabilidade estrutural14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO3?Fonte: Monteiro

Noo de estabilidade estruturalEm outras palavras, um sistema estruturalmente instvel onde ocorre uma mudana qualitativa no retrato de fases, com a variao de um parmetro deste sistema. Exemplo 1: 14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO4Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation

Falar, no final do exemplo, que o alfa altera a estabilidade e, portanto, o retrato de fases.4

Conceito de bifurcaoA mudana topolgica no diagrama de fases, causada pela variao de um ou mais parmetros do sistema, chamada de bifurcao;Os valores de parmetros nos quais ocorrem as mudanas no plano de fase so chamados de pontos crticos, ou pontos de bifurcao.Exemplo 1:14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO5Diagrama de bifurcao o grfico dos pontos de equilbrio x valores do parmetro.Exemplo 1:14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO6

Autovalores negativos (n, estvel)

Autovalores com sinais diferentes (sela, instvel)Calcular aqui!!!6Codimenso da bifurcao o nmero de parmetros a serem variados para produzir as bifurcaes;Estudaremos apenas bifurcaes de codimenso um:Bifurcao sela-n;Bifurcao transcrtica;Bifurcao forquilha.

14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO7Bifurcao sela-nTambm conhecida como bifurcao tangente ou bifurcao de dobra;Ocorre quando dois pontos de equilbrio colidem e se anulam;Exemplo 1:

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Autovalores negativos (n, estvel)

Autovalores com sinais diferentes (sela, instvel)

Plano de fasesDiagrama de bifurcao

Bifurcao sela-nExemplo 2:

14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO9Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf

Bifurcao transcrticaNa bifurcao transcrtica, existe sempre um ponto de equilbrio fixo, para todos os valores do parmetro variado (este ponto nunca destrudo). A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variao do parmetro.Exemplo 3: 14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO10

Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation

Ponto fixo, que tm a estabilidade alteradaBifurcao forquilha14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO11Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcationBifurcao forquilha14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO12Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

Caso supercrticoCaso subcrtico

Bifurcao forquilhaExemplo 4 (supercrtico):

Exemplo 5 (subcrtico):14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO13Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

FIMObrigado pela ateno 1414/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO15

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Estabilidade14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO24

Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdfCaso lambda = 0 inconclusivo, pois os termos de segunda ordem da srie de taylor dominam a estabilidade24