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1. Cristalização.
2. Coleta de dados de difração de raios X.
3. Interpretação do padrão de
difração de raios X
4. Resolução da estrutura.
5. Análise.
Etapas para resolução da
estrutura 3D de
macromoléculas biológicas por
cristalografia
2
Cristalografia
Fenômenos ondulatórios são comuns,
desde de exemplos bucólicos, como uma
onda formada num lago a fenômenos não
tão óbvios, como as ondas
eletromagnéticas que compõem a luz. A
representação gráfica de ondas,
normalmente satisfatória para os
propósitos da biologia estrutural, faz uso
de funções periódicas, como a função
seno. Na figura ao lado, temos uma gota
d’água que caiu sobre uma superfície
calma de um reservatório de água. O
impacto da gota deforma a superfície,
criando uma cratera na água. A fluidez da
água faz com que a cratera formada seja
rapidamente preenchida gerando um
padrão de ondas. A foto é um instante
congelado do fenômeno, onde vemos as
ondas que se formaram a uma certa
distância de onde a gota incidiu.
Foto de alta velocidade de uma gota incidindo sobre a
superfície d’ água.
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/75567/view >
Acesso em: 21 de setembro de 2018. 3
Ondas
Para representarmos o instante
congelado da figura, temos que
considerar a variação senoidal da
amplitude (altura da onda) em função da
posição (x). A origem é o ponto x = 0,
indicado ao lado. Picos sucessivos de
amplitude máxima (A) têm uma distância
fixa entre eles, indicada na figura, tal
distância é o comprimento de onda ().
Como o instante está congelado no
tempo, o fenômeno não apresenta
variação com o tempo. A amplitude (y),
varia com a posição (x), ou seja, y(x).
Assim, a representação da variação da
amplitude (y(x)) em função da posição (x)
da onda ao lado, com amplitude máxima
(A) e comprimento de onda (), tem a
seguinte forma:Imagem que se forma devido à queda de uma gota
d´água sobre a superfície.
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/75566/view >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
X =0
)2
Asen( y(x) x
Eixo x
4
Ondas
Vamos considerar a onda mostrada na
foto ao lado (parte superior). A onda
apresenta um comprimento de onda ()
de 1,5 cm e a amplitude máxima (A) é 0,5
cm. Assim, sua representação matemática
é dada por:
O gráfico de y(x) está mostrado na figura
abaixo, onde vemos claramente a relação
entre o fenômeno físico (figura superior) e
a representação gráfica (figura inferior).
As linhas tracejadas verticais indicam a
equivalência entre os picos da onda na
água (fenômeno físico) e os picos da
função seno da representação
matemática.
x)1,5cm
2πcm)sen( (0,5 y(x)
x)λ
2π Asen( y(x)
Fonte da imagem: http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge
5
Ondas
Da mesma forma que representamos a
onda em função da sua variação com a
distância x, podemos analisar a variação
temporal da onda. Podemos pensar na
representação em função do tempo, como
se fixássemos nossa visão em um ponto
específico da água (ponto vermelho da
figura). Tal ponto subiria e desceria,
submetido a um movimento oscilatório,
devido à passagem da onda. A onda viaja
com velocidade v, assim, o tempo (t) que
a onda demora da origem até o nosso
ponto de observação (ponto vermelho da
figura), com coordenada x é dado por:
v
x t
0 x
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
6
Ondas
A altura da onda no ponto x (y(t)) varia
com o tempo t. O tempo que o ponto x
demora para descrever um ciclo completo
do movimento é o período da onda (T).
Considerando que o ponto x está na
altura máxima, ele demora um tempo T
para voltar a este ponto de altura máxima.
O número de vezes que o ponto x sobe e
desce em 1 segundo é a frequência da
onda (f), e é dada pelo inverso do
período, como segue:
A frequência é medida em Hertz (Hz).
T
1 f
0 x
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
7
Ondas
Se consideramos uma situação particular,
onde a onda se deslocou um
comprimento de onda, ou seja, onda x =
, temos que o tempo que a onda leva
para percorrer 1 é o período (T), assim t
= T. Usando tal informação, temos que,
para t = T e x = a seguinte relação:
Se lembrarmos que 1/T é a frequência (f),
temos:
Ou seja,
T
t
x v
0 x
T
1.
T v
f v
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
8
Ondas
Agora podemos representar a amplitude
(y) em função do tempo, sabemos que:
Onde e
Substituindo tais igualdades, temos:
Chegando à relação que representa a
onda em função do tempo:
0 x
)2
Asen( y(x) x
f
v v.t x
v.t).v
fAsen(2 )
2Asen( y(t)
x
f.t) Asen(2 y(t)
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
9
Ondas
Assim temos duas formas principais de
representarmos a variação da amplitude
(y) de uma onda. Em função da posição
(x),
Onde é o comprimento de onda.
Ou em função do tempo (t):
Onde f é a frequência. A igualdade 2f
aparece rotineiramente no estudo das
ondas, e recebe o nome de frequência
angular ().Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2302/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
)2
Asen( y(x) x
f.t) Asen(2 y(t)
A variação da amplitude da onda pode ser representada em
função do tempo (y(t) ou em função da posição (y(x)), como
indicado nas equações ao lado.
10
Ondas
Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação
dos átomos e moléculas que compõem o meio onde a onda se propaga. A frequência
da onda (f) é a frequência de oscilação dos átomos e moléculas do meio. O período (T
= 1 / f ) é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo
completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda () é a distância entre
dois átomos (ou moléculas) que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação
da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude (A) em
função da posição x.
A
11
Ondas
E
B
x
As ondas eletromagnéticas são constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B)
oscilantes, que propagam-se com velocidade constante. Podemos imaginar o campo
como uma região do espaço onde atuam forças. O campo gravitacional é a região do
espaço onde atuam forças gravitacionais. O campo elétrico é a região do espaço onde
atuam forças elétricas. O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético, como
vemos na figura abaixo.
12
Ondas Eletromagnéticas
Exemplos de ondas eletromagnéticas: raios X, radiação gama, ondas de rádio, luz
visível, radiação ultravioleta e radiação infravermelha. A onda eletromagnética pode
propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas como as ondas
sonoras. Para efeitos da interação dos raios X com a matéria, desconsideramos o
campo magnético, visto que este é bem menos intenso que o campo elétrico.
E
B
x
13
Ondas Eletromagnéticas
f = cComprimento de onda
frequência
Velocidade da luz
Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos c = 3.108 m/s.
14
Ondas Eletromagnéticas
Comprimento de onda (m) Radiação
10-15
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
10
102
103
Raios gama e raios X
Ultravioleta
Luz visível
Infravermelha
Ondas de rádio
A radiação eletromagnética pode ser
representada pelo comprimento de onda.
Ondas de rádio apresentam
comprimentos de onda da ordem de
metros. Se diminuirmos mais o
comprimento de onda, chegamos na faixa
do infravermelho, a radiação presente no
seu controle remoto. A próxima faixa é o
espectro visível. Avançando temos
radiação ultravioleta, que pode causar
danos nas células. Raios X e radiação
gama são as radiações mais energéticas
do espectro de radiação.
15
Ondas Eletromagnéticas
As figuras ao lado mostram interferência
entre ondas, temos duas ondas em fase,
ondas 1 e 2, onde seus máximos e
mínimos coincidem e as ondas
apresentam o mesmo comprimento de
onda. O resultado da soma das duas
ondas (1 e 2) é uma onda com a
amplitude resultante igual à soma das
amplitudes das ondas 1 e 2 e
comprimento de onda igual ao das ondas
1 e 2. No caso de interferência destrutiva,
temos as ondas fora de fase (3 e 4),
exatamente meio comprimento de onda,
onde o máximo da onda 3 coincide com o
mínimo da onda 4. O resultado da soma é
uma onda de amplitude zero.
Interferência construtiva Interferência destrutiva
1 3
2 4
1 + 2 3 + 4
16
Interferência de Ondas
Podemos representar matematicamente ondas e, consequentemente, fenômenos
ondulatórios, por meio de funções periódicas como seno e cosseno, ou combinações
dessas funções. A onda abaixo pode ser representada pela seguinte função:
E1 (t) = A . sen ( .t) , onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular (
= 2.f ), onde f é a frequência. O campo é expresso em unidades de campo (uc) e o
tempo em unidades de tempo(ut)
A
17
Representação Matemática de Ondas
As figuras abaixo mostram os gráficos de duas ondas, sendo que a segunda
apresenta o dobro da frequência da primeira. Vemos claramente que dobramos o
número de ondas completas no mesmo período.
E1 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,318 Hz
18
Representação Matemática de Ondas
Abaixo temos a representação gráfica de 6 ondas, com a frequência variando de 0,159
Hz até 15,9 Hz.
f = 0,159 Hz f = 1,59 Hz f = 2,385 Hz
f = 3,18 Hz f = 3,975 Hz f = 15,9 Hz
19
Representação Matemática de Ondas
Vamos considerar agora a influência da amplitude na representação gráfica das
ondas. Temos abaixo a representação gráfica de 3 ondas, com amplitudes 1, 2 e 4. A
representação matemática de cada onda está colocada abaixo. Todas as ondas têm a
mesma frequência (f = 0,159 Hz).
E1 = 1.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E3 = 4.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 HzE1
E2
E3
20
Representação Matemática de Ondas
Outra característica física da onda é sua fase. A fase representa a posição da onda
com relação a origem do sistema de coordenadas no qual a onda é desenhada. Por
exemplo, a onda E2 = 2.sen(.t + ) está deslocada radianos em relação à onda E1
= 2.sen(.t). Abaixo temos a representação gráfica de duas ondas, sendo que a
segunda está deslocada /2 radianos com relação à primeira.
E1 = 2.sen(.t)
E2 = 2.sen(.t + /2)E1E2
21
Representação Matemática de Ondas
Na figura abaixo temos 3 ondas representadas. A onda 1 com fase zero, a onda 2 com
fase /6 e a onda e com fase /3. Vemos que a adição da fase positiva desloca a onda
para a esquerda, como se tivéssemos adiantado a onda com relação à origem. Todas
as ondas têm a mesma amplitude (A = 2) e frequência (f = 0,159 Hz).
E2 = 2.sen(.t + /6)
E3 = 2.sen(.t + /3)
E1 = 2.sen(.t )
E1
E2
E3
22
Representação Matemática de Ondas
Na sequência abaixo temos 6 ondas desenhadas, a onda 1 com fase zero, e as
seguintes somando-se /6, sucessivamente até chegar na onda 6 com uma fase de
5/6.
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E1 = 2.sen(.t )
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E E2 = 2.sen(.t + /6)
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E3 = 2.sen(.t + /3)E
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E4 = 2.sen(.t + /2)
t(s)
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E5 = 2.sen(.t + 2/3)
t(s) 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
t(s)
E E E6 = 2.sen(.t + 5/6)
t(s)
23
Representação Matemática de Ondas
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
Subtraindo-se uma fase /6, teremos a ondas representadas abaixo. Vemos
claramente que com a subtração a onda fica atrasada com relação à origem.
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E1 = 2.sen(.t ) E
E2 = 2.sen(.t - /6) E3 = 2.sen(.t - /3)
E
E
t(s)
E4 = 2.sen(.t - /2)
t(s)
E5 = 2.sen(.t - 2/3)
t(s)t(s)
E EE6 = 2.sen(.t - 5/6)
t(s)
24
Representação Matemática de Ondas
Vamos considerar a soma de duas ondas (E1 e E2), ambas com mesma frequência,
mas com amplitudes 2 uc e 4 uc, respectivamente, como representado abaixo, uc é
unidade de campo elétrico, para deixarmos de uma forma geral.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 4.sen(.t)
E(t) =E1(t) + E2(t) =
E(t) =2.sen(.t ) + 4.sen(.t) = 6. sen(.t)
25
Representação Matemática de Ondas
Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A,
comprimento de onda e deslocada um ângulo de fase , em relação a onda 1.
Podemos representar matematicamente a onda 2 por meio da seguinte função: E2 (t)
= A . sen ( .t + ), onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular =
2.f , onde f é a frequência, indica a fase da onda, como vimos anteriormente.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+)
26
Representação Matemática de Ondas
Estamos em condições de considerar a soma de duas ou mais ondas de fase
qualquer. Por exemplo, as ondas E1 e E2, quando somadas geram a onda E1 + E2, o
resultado gráfico mostrado abaixo.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+)
E1+E2 = 2[sen(.t) + sen(.t+)]
E1+E2
27
Representação Matemática de Ondas
Vamos considerar a soma de 3 ondas, E1, E2 e E3, como indicado abaixo.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+1)
E3 (t) = 2.sen(.t+2)
E1+E2 + E3= 2[sen(.t) + sen(.t+1) + sen(.t+2) ]
E1+E2+E3
Uma forma alternativa de representarmos
soma de ondas, é a partir da soma no
plano complexo, que será descrita a
seguir.
28
Representação Matemática de Ondas
Uma onda com comprimento de onda
constante () é caracterizada por duas
quantidades, a amplitude (A) e o ângulo
de fase (). Essas duas quantidades
caracterizam um vetor de módulo (A), no
plano complexo, que faz um ângulo ()
com o eixo dos reais. Quantidades
complexas (Z) são representadas no
plano complexo (diagrama de Argand),
onde o eixo x é chamado de eixo real, e o
eixo y eixo complexo. A projeção do vetor
A ao longo do eixo real é representado
por “a=Acos()”, e a projeção ao longo do
eixo imaginário por “b=Asen()”, assim
uma quantidade complexa “Z”, pode ser
representada por: Z = a + ib .
Eixo Real
Eix
o I
ma
gin
ário
Z = a + ib
a
bA
29
Diagrama de Argand
A representação gráfica indicada no
diagrama de Argand permite três
representações equivalentes das
características geométricas das ondas.
Inicialmente a representação simples:
Z = a + ib,
onde a e b já foram definidos como
projeções. Depois a indicação explícita
das projeções (representação
trigonométrica):
Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =
= A. [cos() + isen() ]
Por último a representação exponencial,
como cos + isen é o exponencial ei,
temos:
Z = A.ei.
Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =
= A. [cos() + isen() ]
= A. ei, onde i é o número
complexo i = (-1)1/2
Eixo Real
Eix
o I
ma
gin
ário
Z = a + ib
a
bA
30
Diagrama de Argand
E2
E12 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo Real
Abaixo temos o diagrama de Argand (plano complexo) à esquerda e a representação
gráfica de duas ondas E1 e E2, à direita. As representações são equivalentes, as
ondas E1 e E2 estão com uma diferença de fase (figura da direita), o que equivale a
uma diferença no diagrama de Argand à esquerda.
E2
E1
31
Diagrama de Argand
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
A onda E1 tem fase zero, ou seja, começa na origem. A onda E2 apresenta uma fase
com relação à E1. Usando-se a notação complexa exponencial, podemos representar
a onda E2 em função da onda E1, levando-se em conta a diferença de fase. Tal
realidade física é expressa matematicamente como: E2=E1.ei, indicando a diferença
de fase () entre as duas ondas.
32
Diagrama de Argand
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
A somatória das duas ondas pode ser representada como
segue:
E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
33
Diagrama de Argand
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
A representação complexa permite mostrar de forma compacta as ondas, facilitando
operações matemáticas, como a soma de ondas mostrada abaixo. A interação dos
raios X com os cristais nada mais é que o resultado da soma de várias ondas
que incidem sobre o cristal. Aplicaremos os conceitos vistos aqui ao estudarmos
difração de raios X.
E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
34
Diagrama de Argand
Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-
Verlag.
Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.
2nd ed. New York: John Wiley & Sons.
http://www.wolfram.com/
Última atualização em 21 de setembro de 2018. 35
Referências
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