Universidade Federal do Par Instituto de Tecnologia - ITEC

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil Linha de Pesquisa: Estruturas e Construo Civil - nfase Estruturas

LUAN HENRIQUE VARO SILVA

EXECCIOS DE CLCULO AVANADO

1 LISTA

Belm - 2015

LUAN HENRIQUE VARO SILVA

EXECCIOS DE CLCULO AVANADO

Trabalho apresentado a Disciplina Clculo Avanado do curso de Mestrado em Engenharia Civil, Linha de Pesquisa em Estruturas, como requisito parcial de avaliao.

Belm - 2015

I) Mostre que 2 de fato o perodo fundamental de senx.

f (x) = Sen(x)

Perodo fundamental, T = 2 p P = T 2 p Sen (x +nP) n (inteiro positivo)

Para n = 1

Sen(x + 1 x 2 p ) =

Sen(x)* Cos(2 p ) + Cos(x) *Sen(2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x) Ento, peridica em 2 pPara n = 2

Sen(x + 2 x 2 p )

Sen(x)* Cos(4 p ) + Cos(x) *Sen(4 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Para n = 3

Sen(x + 3 x 2 p )

Sen(x)* Cos(6 p ) + Cos(x) *Sen(6 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Para n = n

Sen(x + n x 2 p )

Sen(x)* Cos(nx2 p ) + Cos(x) *Sen(nx2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Logo, o Perodo fundamental de f(x) = 2 p

f (x) = Sen(x)

Perodo fundamental, T = 2 p P = T 2 p Sen (x +nP) n (inteiro positivo)

Para n = 1

Sen(x + 1 x 2 p ) =

Sen(x)* Cos(2 p ) + Cos(x) *Sen(2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x) Ento, peridica em 2 pPara n = 2

Sen(x + 2 x 2 p )

Sen(x)* Cos(4 p ) + Cos(x) *Sen(4 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Para n = 3

Sen(x + 3 x 2 p )

Sen(x)* Cos(6 p ) + Cos(x) *Sen(6 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Para n = n

Sen(x + n x 2 p )

Sen(x)* Cos(nx2 p ) + Cos(x) *Sen(nx2 p ) Sen(x)* ( 1 ) - Cos(x) * ( 0 )

f(x) = Sen(x)

Logo, o Perodo fundamental de f(x) = 2 p

II) Encontre um perodo da funo: (x)= 6sen(2x/14) 4cos(x/5).

Cos(x) = sen (x+ /2) ; Sen(x)= - cosx (x+ /2)

Considerando que:

g (x) = 6 Sen(2x/14) = 6 sen (x/7)

h (x) = - 4 cos ( x / 5)

f (x) = g (x) + h(x)

Para as funes peridicas:

f (x) = g (x+Kg*Pg) + h(x+Kh*Ph), Onde Kg e Kh nmero interio positivo.

Considerando que:

Pg / Ph = Kh / Kg = P

Pg = (2 / (1/7)) = 14 , Ph = 2/ (1/5) = 10

Pg / Ph = 7 / 5 5 Pg = 7 Ph

5 * 14 = 7 * 10 = P

P =70

III) Mostre que (x) peridica de periodo T, ento =

+

, isto , o integral de (x) no intervalo de comprimento T no

depende do ponto inicial desse intervalo.

Pela propriedade aditiva da integral, temos que:

=

+ ,

Suponhamos que: nT x (n +1)T. Ento, nT (n+1)T x+T (n+2)T e, portanto,

= + +

+1

+1

+

Observe, tambm, que:

=

+1

+1

Logo,

= [ ] + +

+1

+1

+

Como f peridica de perodo T, e, portanto, fix + T) = f(x). Ento, fazendo t = t T ,

temos: = + =

+

+1

Logo,

= +1

+

Mas,

=

0

+1

Logo,

= ,

0

+

x

IV) Mostre que se a/b racional, ento (x)= sen(ax) + cos(bx), peridica.

Se a= 2 e b=3 ento temos

f(x) = sen (2x)+cos(3x); sen(2x) = g(x) e cos(3x) = h(x) ento

f(x) = g(x)+h(x)

periodo g de g(x)= 2 p /2 = p

periodo h de h(x)= 2 p /3

periodo g /periodo h

= p /(2 p /3) = 3/2

2periodo g = 3 periodo h

2 p = 3* 2 p /3 = 2 p Periodo da funo f(x)

Se a= 5 e b=7 ento temos

f(x) = sen (5x)+cos(7x); sen(5x) = g(x) e cos(7x) = h(x) ento

f(x) = g(x)+h(x)

periodo g de g(x)= 2 p /5

periodo h de h(x)= 2 p /7

periodo g /periodo h= (2/5) / (2/7) = 7/5

5periodo g = 7 periodo h

5*2 p = 7* 2 p /7 = 2 p Periodo da funo f(x)

Sempre o periodo da funo ser 2 p

b) Mostre que (x)= sen(ax) + cos(bx), peridica. Ento a/b racional. Resoluo:

g(x) = sen(ax)

Perodo fundamental, T = 2 p P = T / a 2 p a sen a (x + P))

sen (ax + aP))

sen (ax + 2 p ))

sen(ax)* cos(2 p )) + cos(ax) *Sen(2 p ) sen(ax)* ( 1 ) + cos(ax) * ( 0 )

sen(ax)* ( 1 ) + cos(ax) * ( 0 )

g(x) = sen(ax) perodica em 2 p /ah (x) = cos(bx)

Perodo fundamental, P* = 2 p P = P* / b 2 p / b =

cos(b ( x + 2 p /b) cos(bx + b2 p /b)) = cos(bx + 2 p ))

cos(bx)* cos(2 p )) - Sen(bx) *Sen(2 p ) cos(nx)* ( 1 ) - Sen(nx) * ( 0 )

h(x) = cos(nx) peridica em 2 p /b

Razo entre os perodos:

Perodo de g(x) /Perodo de h (x)(2 p /a) / (2 p /b) = b / a

g(x) / h (x) = b / a

a g(x) = b h (x) = Perodo de f (x) = 2 p

a (2 p /a) = b (2 p /b) = 2 pento, a/b = 1