referncia paraClculo de Concreto Armado

Conceitos BsicosCargas CaractersticasEsforos Solicitantes e ReaesRegras de Pr-dimensionamento de PeasFlexo SimplesDiagramasEstado Limite ltimo convencional na FlexoDomnio de DeformaoVigas de Seo Retangular com Armadura SimplesViga de Seo T com Armadura SimplesViga de Seo Retangular com Armadura DuplaLajes Retangulares MaciasLajes Armadas em uma DireoEsforos SolicitantesDimensionamento FlexoAltura tilClculo das ArmadurasEscolha das BarrasLajes Armadas em Duas DireesEsforos nas Lajes IsoladasMtodo simplificado aplicvel a pisos usuais de edifciosAltura tilArmaduras MnimasEscolha das BarrasLajes NervuradasPilaresTipos de PilaresSituao de ClculoDimensionamento da Seo Retangular (armadura simtrica)Dimenses mnimasDisposies Construtivas, Bitolas e EspaamentosTravamentos Adicionais na Seo Transversal

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NDICE

1123445679

10121313141515161717181920212223252627282929

Compilao e Projeto Grfico:Karin Regina de Castro Marins, Roberto Issamu Takahashi e Tiago Gimenez Ribeiro[ Baseado no resumo de Marcos Silveira ]a partir das Apostilas do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes da Escola PolitcnicaSo Paulo - 2000

UNIVERSIDADE DE SO PAULO - ESCOLA POLITCNICADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAES

CONCEITOS BSICOS

Ao se calcular uma estrutura de concreto precisemos, primeiramente, determinar os seguintes itens:

Concreto simples = 24 KN/mConcreto armado = 25 KN/mArgamassa = 19 KN/mAlvenaria de tijolo macio = 16 KN/mAlvenaria de tijolo furado = 10 KN/mAlvenaria de blocos de concreto = 13 KN/m

- Cargas Variveis ou Acidentais (NBR 6120): so as cargas que podem atuar sobre as estruturas de edificaes em funo de seu uso. Abaixo esto alguns exemplos de cargas acidentais verticais atuando nos pisos das edificaes, devidas a pessoas, mveis, utenslios, etc., e so supostas uniformemente distribudas:

Salas, quartos, cozinhas e wcs = 1.5 KN/mEscadas, corredores e terraos = 3.0 KN/mRestaurantes e salas de aula = 3.0 KN/mAuditrios = 3.0 KN/mBibliotecas (estantes) = 6.0 KN/mCinemas (platia) = 4.0 KN/m

Esforos Solicitantes e Reaes

Esforos solicitantes e reaes foram objeto de matrias bsicas desta seqncia de disciplinas. Na figura abaixo, a ttulo de recordao, esto representados os esforos solicitantes e reaes de algumas situaes em vigas:

Esforos Mximos na Viga Biapoiada

Cargas Caractersticas;Reaes;Esforos Solicitantes;

Cargas Caractersticas

Dividem-se em cargas permanentes e variveis (ou acidentais).

- Cargas Permanentes: so cargas constitudas pelo peso prprio da estrutura e pelos pesos de todos os elementos fixos e instalaes permanentes. Abaixo esto alguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais conhecidos, fornecidas por peso especfico:

M = q l 2 /8V = q l /2

M = q l 2/2V = q l + P

Esforos Mximos na Viga em Balano

Esforos Mximos na Viga com trs apoios

V

l

VM

q P

V

l

V

M

q

V

l

V

M

q

V

l

V

M

q

1 2

M

1 2

2Clculo de Concreto Armado1

Regras de pr-dimensionamento de peas

Ao se pr-dimensionar uma pea de concreto deve-se seguir os seguintes passos lgicos:

- Determinao das aes; - Determinao das resistncias; - Verificao da segurana.

As aes so as solicitaes pea, as resistncias levam em conta a seo transversal e as caractersticas mecnicas dos materiais, e a segurana deve ser garantida com um dimensionamento que supere os esforos que incidam sobre a pea com uma certa folga.

Algumas hipteses bsicas devem tambm ser adotadas:

- Manuteno da seo plana: as sees transversais da pea, quando fletidas, no perdem a configurao plana;- Aderncia perfeita entre o concreto e armadura: no h escorregamento entre os materiais;- A tenso do concreto nula na regio da seo transversal sujeita deformao de alongamento.

FLEXO SIMPLES

Na flexo simples a ao pode ser admitida como sendo representada apenas pelo Momento de Projeto = Md ; so adotadas como resistncias aquelas oferecidas pelo concreto (fck), pelo ao (fyk) e pela seo transversal (Mud); e a segurana adequada quando verificada a condio: Md Mud. Por razo de economia, faz-se Md = Mud.

O concreto mais utilizado tem como caracterstica um fck entre 20 e 28 MPa (KN/m), sendo 24 MPa o mais usual, enquanto que o ao mais utilizado, o CA50A, tem como fyk um valor de 50 KN/m.

Alm da resistncia, existem ainda outras caractersticas inerentes ao concreto e ao ao, que sero utilizadas para efeito de clculo, a saber:

Concretofck = 24 MPac = 1,4Ec = 30.000 MPa

Aofyk = 50 KN/cms = 1,15Es = 210.000 MPa

onde fck , como dissemos, o valor caracterstico da resistncia do concreto, fyk o valor caracterstico de resistncia da armadura correspondente ao patamar de escoamento, c o coeficiente de ponderaro de resistncia do concreto (coeficiente de segurana), s o coeficiente de ponderao de resistncia de armadura (coeficiente de segurana), Es o mdulo de elasticidade do concreto e Es o mdulo elasticidade do ao.

Diagrama Tenso-Deformao (de Clculo) da Armadura:- Ao de dureza natural (com patamar de escoamento)

ykf

ydf

sd

ydsd

0,010

diagrama de clculo

arctg Es

4Clculo de Concreto Armado3

Diagrama Tenso-Deformao (de Clculo) do Concreto:- Diagrama parbola-retngulo

cd0,85 f

cd

cd0,010

patamar

0,0035

encoriamento

0,8 x x

kfcd

M

As udeformao de estado limite ltimo (ELU)

ud

M

As

cu= 0,0035

s

ud

M

As

c

= 0,0035su

ud

-A deformao de alongamento na armadura mais tracionada (Esu) atinge 0,010; denomina-se estado limite ltimo (ELU) por alongamenlo plstico excessivo de armadura:

Diagrama retangular simplificado

x = altura da zona comprimida, medida a partir de borda comprimidak = 0,86 , quando a altura de zona comprimida no diminui em direo borda comprimida (seo retangular)

Estado limite ltimo convencional na flexo

atingido quando ocorro uma dos seguintes situaes

-A deformao de encurtamento no concreto (Ecu) atinge 0,0036; denomina-se estado limite ltimo (ELU) por esmagamento do concreto:

Domnios de Deformao:

Conforme foi visto no tem anterior, o estado limite ltimo convencional ocorre quando o diagrama de deformao passa por um dos dois pontos, A ou B, na figura seguinte:

d = altura til da seo = distncia do CG da armadura borda comprimidax = altura de zona comprimida

- Diagrama D2: o concreto pouco solicitado e a armadura est em escoamento: a ruptura do tipo dtil (com aviso).

- Diagrama D3: o concreto est adequadamente solicitado e a armadura em escoamento: a ruptura tambm dtil. As sees acima so ditas subarmadas ou normalmente armadas.

- Diagrama D4: o concreto muito solicitado e a armadura pouco solicitada. A ruptura do tipo frgil (sem aviso). A seo dita superarmada e uma soluo antieconmica pois a armadura no explorada ao mximo.

M

As

0,0010

ud

dh

0,0035

23xx34

D2

D3

D4

6Clculo de Concreto Armado5

VIGA DE SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Tem as seguintes caractersticas:Com o valor de x, tem-se o domnio de deformao correspondente, podendo ocorrer as seguintes situaes:

-Domnio 2, onde x x23 = 0,269d ; e sd = fyd

-Domnio 3, onde x23 x x34 = 0,0035d/(0,0035 + yd); e sd = fyd

-Domnio 4, se x x34 , neste caso convm alterar a seo para se evitar a pea superarmada, aumentando-se h ou adotando-se armadura dupla.

Para a situao adequada de pea subermada tem-se

sd = fyd . Assim, a equao 3 nos fornece:

- A zona comprimida da seo sujeita flexo tem forma retangular;

- A armadura constituda por barras agrupadas junto borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade.

Resultante dos tenses

No Concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcd

Na Armadura: Rsd = Assd

Equaes de equilibro

De Fora: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Assd 1

De Momento: Mud = Rcd(d - 0,4x) ou Mud = Rcd(d - 0,4x)

substituindo o valor das resultantes de tenso vem:

0,8 x x

0,85fcd

M

As

ud

dh

u

Rcd

Rsd

0,4x

d- 0,4x

sd

b

Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) ou 2Mud = Assd(d - 0,4x) 3

Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck e faz-se Mud = Md, (momento fletor solicitante em valor de clculo). Normalmente, pode-se adotar d = 0,9h. Desta forma, a equao 2 nos fornece o valor de x:

x = 1,25d 1Md

0,425b fcd- -1 d

AsMd

sd (d-0,4x)= =

Mdfyd (d-0,4x)

8Clculo de Concreto Armado7

VIGA DE SEO T COM ARMADURA SIMPLES

A anlise de uma seo T pode ser feita como se indica a seguir:

0,8 x x

0,85fcd

M

As

ud

du Rsdsd

hfRcfd

Rcwd1

2

bw

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retngulos (1 e 2). As resultantes de tenso sobre as partes 1 e 2 valem:

Rcfd = 0,85fcd(bf - bw)hf e Rcwd = 0,85fcdbw(0,8x)

A equao de equilibro de momento fornece:

Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd(d - hf /2) + Mcwd

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que uma seo retangular bw por d, portanto:

A equao de equilbrio de fora permite escrever:

Rcd = Rcfd + RcwdAsfyd = Rcfd + Rcwd

Portanto

VIGA DE REO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Quando se tem, alm da armadura de trao As , outra As posicionada junto borda comprimida, temos uma seo com armadura dupla. Isto feito para se conseguir uma seo subarmada sem alterar as dimenses de seo transversal. A armadura comprimida introduz uma parcela adicional na resultante de compresso, permitindo assim, aumentar a resistncia da seo. Vejamos as equaes de equilbrio:

De Fora: Rsd = Rcd + RsdAssd = 0,68bxfcd + c

De Momento: Md = Rcd(d - 0,4x) + Rsd(d - d)Md = 0,68bxfcd(d - 0,4x) + Ascd(d - d)

Temos assim duas equaes (A e B) e trs incgnitas: x, As e As (pois as tenses na armadura depende de x).Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessa forma podem ser determinadas as armaduras As e As como se indica a seguir. As equaes A e B sugerem a decomposio mostrada na figura seguinte:

A

B

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinado a primeira parcela do momento resistente, designada por Mwd:

x

c

M

As1

ud

d

u

Rcd

Rsd1

0,4x

d- 0,4x

sd

b

x

c

M

As2

ud

d

u

Rsd

Rsd2

d

d- d

sd

b

As

Mwd = 0,68bxfcd(d - 0,4x) e Rsd1 = Mwd /(d - 0,4x)

Como sd = fyd (pea subarmado), tem-se:

As = Rsd1 /fyd

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente:

Md = Md - Mwd

x = 1,25d 1 Mcwd0,425bw fcd- -1 d

As Rcfd + Rcwd

fyd=

10Clculo de Concreto Armado9

Tambm,

Md = Rsd(d - d) = Asdcd(d - d) e

Md = Rsd2(d - d) = As2cd(d - d)

Que permitem determinar as reas restantes de armadura As2 e As . De fato,

Rsd = Rsd2 = Md /(d - d) eAs2 = Rsd2 /fyd

O clculo de As , requer a determinao de tenso sd. Com x xlim, tem-se, no domnio 3 c=0,0035 e, no domnio 2:

c = 0,010x / (d - x) (por semelhana de tringulos)

Logo

s = c (x - d) / x

que permite obter sd (no diagrama x de armadura)

FinalmenteAs= Rsd /s eAs = As1 + As2

LAJES RETANGULARES MACIAS

Lajes so elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos a cargas transversais a seu plano. Os apoios das lajes so, geralmente, constitudos por vigas vigas de piso. Nestes casos, o clculo das lajes feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios livres rotao e indeslocveis translao, considerando, contudo, a continuidade entre lajes contguas.

Do ponto de vista de comportamento flexo, as lajes retangulares macias podem ser classificadas em:

- Lajes armadas em uma direo: quando a flexo (curvatura) bastante predominante segundo a direo paralela a um dos lados; correspondem s lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e contnuas, com ou sem balanoslaterais), e s lajes alongadas apoiadas em todo o permetro.

- Lajes armadas em duas direes ou em cruz: quando as curvaturas paralelas aos lados so valores comparveis entre si, so lajes apoiadas em todo seu contorno e com lados no muito diferentes entre si (l ly / lx 2).

12Clculo de Concreto Armado11

LAJES ARMADAS EM UMA DIREO

Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir:Abaixo esto os grficos destes 3 casos:

Esforos Mximos na Laje Isolada

Sejam, lx, o vo terico da laje, normalmente, igual distncia entre os eixos dos vigas de apoio, e ly o seu comprimento. Os cortes AA e BB mostram, de forma esquemtica, os deslocamentos apresentados pela laje ao ser submetida uma carga distribuda uniforme de valor p. Constata-se a presena de curvatura e, portanto, de momento fletor segundo o corte AA. Segundo o corte BB ocorre, praticamente uma translao com curvatura e flexo desprezveis.

Considere-se, agora, faixas isolados de larguras unitrias paralelos ao corte AA: o carregamento de uma dessas faixas constitudo de carga uniforme de valor p . Cada uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamento de uma viga isosttica e o diagrama de momento fletor uma parbola de ordenada igual a plx2/8. Representa-se este momento fletor por mx, com mx = plx2/8, na unidade kNm/m. Analogamente, a fora cortante tem diagrama linear e seu valor mximo vx = plx/2. Para que as faces superior e inferior mantenham-se paralelas entre si aparece um momenfo fletor my = mx atuando no plano paralelo ao lado ly, tambm por unidade de largura, sendo my = 0,2mx , pois no concreto = 0,2 . O momenfo fletor mx chamado de momento fletor principal e my de secundrio.

Esforos Solicitantes

- Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde a uma viga isolada sujeita a carga distribuda uniforme;

- Laje em balano: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde a uma viga em balano e o carregamento consiste numa carga uniforme distribuda p mais uma concentrada P aplicada junto extremidade do balano.

- Laje contnua: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde a uma viga contnua.

P1 P2

P3 P4

V1

V2

B B

A

A

xl

yl1 1 V

Mp

Vx

x

x

Esforos Mximos na Laje em Balao

V

l

V

M

q

x

x

x

x

mx = plx2/8my = mxvx = plx/2

mx = plx2/8vx = plx + P

Esforos Mximos na Laje Contnua

Dimensionamento Flexo (Estado Limite ltimo - ELU)

O dimensionamento feito para uma seo retangular de largura unitria (normalmente, b =1 m =100 cm) e altura igual espessura total do laje, h.

V

l

M

q P

x

x

x

l

M

q

l

M

q

x1 x2

M

Vx Vx

Vx Vx

x2x1

14Clculo de Concreto Armado13

Altura til

A armadura de flexo ser distribuda no largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura til; dx para o momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx maior que my; por isso costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx):

Nas lajes, normalmente, a flexo conduz a um dimensionamento como pea subarmada com armadura simples. Assim, conforme a figura acima, a equao de equilbrio conduz a

Asx

Asy

100 cm

dvdxh

vx

c

Conforme a figura acima, tem-se:

dx = h - c - x /2 edy = h - c - x - y /2

ondec = cobrimento mnimo de armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mnima de 1 cm (NBR 6118)x = dimetro da armadura Asx correspondente a m xy = dimefro da armadura Asy correspondente a m y

Nas lajes macias revestidas, usuais em edficios, pode-se adotar aproximadamente:

dx = h - c - 0,5 cm edy = h - c - 1,0 cm

Clculo das Armaduras

cd

sd

0,85fcd

0,8xMd

R

R

dh

100 cm

md = 0,68bxfcd(d - 0,4x) com md = cm = 1,4 m

Resultando, para a altura de zona comprimida o valor

e a armadura

ondeAd = Asx para m = mx eAd = Asy para m = my

Escolha das barras

A escolha da bitola o espaamento ( e s) feita para as bitolas comerciais com as seguintes recomendaes:

min = 4 mm max = h/10smin = 8 mm s smax = 20 cm (p/ arm. princ. limitar a 2h)

Para as bitolas, adota-se um mnimo de 4 mm e um mximo correspondente a um dcimo da espessura da laje. O espaamento mnimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem da laje, e o espaamento mximo visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos clculos. A tabela a seguir mostra as bitolas comerciais mais utilizadas:

100 cm

h

s

= dimetro nominal da barra em mmAs1 = rea nominal da seo transversal de uma barra

m1 = massa de uma barra por metro linear

dx = 1,25d 1md

0,425bw fcd- -1

As=md

fyd (d-0,4x)

(mm) As1 (cm) m1 (kg/m) 4,0 0,125 0,10

5,0 0,200 0,16

6,3 0,315 0,25

8,0 0,500 0,40

10,0 0,800 0,63

16Clculo de Concreto Armado15

LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES (EM CRUZ)

Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todo o seu contorno sobre vigas, sujeita carga distribuda p e sejam:

onde o carregamento usual constitudo de carga distribuda uniforme, so muito teis as tabelas de Czrny preparadas com coeficiente de Poisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos so dados por:

lx = o menor vo tericolx = o maior vo terico (ly lx)

Normalmente consideram-se as hipteses simplificadoras:- vigas rgidas flexo- continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nvel

A deformada da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (paralela a ly) esto esquematizadas na figura a seguir:

mx = momento por unidade de largura com plano de atuao paralelo a lx;my = momento por unidade de largura com plano de atuao paralelo a ly.

Considere-se o corte genrico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se tambm a presena de momento, podendo este ser expresso por:

mx = mxcos + mysen

Esforos nas lajes isoladas

Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores mximos no vos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos fornecem estes momentos mximos para alguns casos usuais de lajes macias. Nos edifcios,

l x

ly

C

A

B

onde as variveis e esto tabeladas de em funo dos seguintes parmetros:

Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuda uniforme, e os tipos de apoio indicados a seguir:

Mtodo simplificado aplicvel a pisos usuais de edifcios

Para os pisos usuais de edifcios residenciais e comerciais pode ser aplicado o mtodo simplificado exposto a seguir:

Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condies de apoio:

l x

ly

C

A

B

Pode-se notar a presena de curvaturas comparveis segundo os dois cortes, sugerindo a presena de momentos fletores comparveis:

- Tipo de carga (por ex. distribuda uniforme);- Condies de apoio da laje (tipo de apoio);- Relao (ly / lx).

1 2A 6

2B 4B 5B

4A 5A3

l x

ly

engastado

apoiado

- Apoio livre, quando no existir laje vizinha a este apoio;- Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nvel,

permitindo assim a continuidade da armadura negativa de flexo de uma laje para a outra;

- Vigas rgidas de apoio da laje;

mx =plxx

my =plyy

mx=plxx

my=plyy; ; ;

18Clculo de Concreto Armado17

e, calculam-se os momentos fletores mximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx, my).

Correo dos momentos fletores devido continuidade entre as lajes vizinhas:

- Momentos sobre os apoios comuns s lajes adjacentes: adota-se para o momento fletor de compatibilizao, o maior valor entre 0,8 m> e (m1 + m2) / 2, onde m1 e m2 so os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado, e m>, o maior momento entre m1 e m2.

- Momentos no vos: para sobrecargas usuais de edifcios podem ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correo devido continuidade. Para sobrecargas maiores convm efetuar essas correes.

Altura til

Da mesma forma que para as lajes armadas em uma s direo, as alturas teis so dadas por:

Armaduras mnimas

- Armaduras de vo:

dx = h - c - x /2 e dy = h - c - x - y /2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por

dx = h - c 0,5 cm e dy = h - c 1,0 cm

clculo de As

e a armadura

ondeAs = Asx para m = mxAs = Asy para m = myAs = As para m = m

armadura nos apoios:

(Asx ou Asy) 0,9 cm/m e

- Armaduras sobre os apoios de continuidade:

As 1,5 cm/m e

Escolha das barras

- Dimetro : 4 mm h/10

- Espaamento entre as barras:

armadura nos vos: As 8 cm s 20 cm3h

As 8 cm s 20 cm2h

x = 1,25d 1 md0,425b fcd- -1 d

As=md

fyd (d-0,4x)

= Asbh 0,15 % (CA50 / 60)0,20 % (CA25)

= Asbh 0,15 % (CA50 / 60)0,20 % (CA25)

20Clculo de Concreto Armado19

LAJES NERVURADAS

As lajes macias podem ser recomendadas para vos at cerca de 5m. Para vos maiores, ela se torna antieconmica devido ao seu grande peso prprio. Uma opo melhor para este caso pode ser conseguida atravs das lajes nervuradas. As nervuras tem a funo de garantir a altura necessria para a armadura de trao resistir flexo.

Para estas lajes tem-se as seguintes recomendaes:

- Os esforos solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placas para faixas de largura unitria; multiplicando estes esforos pelos espaamentos entre nervuras tem-se os esforos atuantes em cada nervura;

- A mesa deve ser verificada flexo se b > 50 cm ou se houver carga concentrada atuando diretamente sobre ela;

- A verificao do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como laje se b 50 cm e, como viga em caso contrrio.

hf > b/5 > 4 cm

100 cmbw bw > 4 cm

PILARES

Pilares so estruturas de concreto armado que transmitem as cargas do edifcio para a fundao. A carga principal, nos edifcios, tem o sentido vertical (peso). Por isso, o esforo solicitante nos pilares constitudo essencialmente pela fora normal de compresso. Aes outras como, por exemplo, a do vento, introduzem solicitaes transversais nos pilares. Como a fora normal de compresso grande, deve-se ainda considerar os efeitos provenientes do desaprumo construtivo, da indefinio do ponto de aplicao das reaes das vigas e dos deslocamentos apresentados pelos pilares (efeito de segunda ordem). De fato, considere-se o pilar em balano esquematizado a seguir e seus esforos solicitantes usuais:

l

P

H

M h

l

P

Ma

a

Conforme a figura acima, tem-se que Mh = momento fletor devido a H, com l= 4 m; P = 800 kN e H = 10 kN. Assim, o momento mximo na base do pilar vale:

Hl = 10 4,0 = 40 kNm

A fora normal N (de compresso) vale 800 kN.Considere-se agora, como mostra a figura seguinte, o efeito de um eventual desaprumo (a) do pilar de, digamos, 2 cm. O deslocamento transversal da carga P produz um momento fletor adicional no pilar. o momento adicional mximo vale:

Ma = Pa = 800 0,02 = 16 kNm

22Clculo de Concreto Armado21

Para se ter uma idia do efeito dos deslocamentos (efeito de segunda ordem), considere-se, no momento, o comportamento elstico linear do concreto com Eo = 3000 kN/cm e seo transversal de 25 x 25 cm (seo quadrada). O deslocamento (usual) do topo do pilar devido a H vale:

O momento fletor adicional mximo vale M2 = Pa, ento M2 = 8000,0466 = 37,3 kNm. A figura a seguir representa M2:

O momento mximo na base do pilar vale:

M = Mh + Ma = M2 = (1 + M1/Mh + M2/Mh) M = 40 ( 1 + 16/40 + 37,3/40) M = 40 (1 + 0,40 + 0,93)

Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mh e, M2, 93%, mostrando a importncia do desaprumo e do deslocamento (efeito de segunda ordem) no esforo solicitante final. Convm lembrar que ainda existem solicitaes adicionais provenientes do comportamento no linear com concreto armado e da fluncia que age sobre o efeito da carga permanente.

Outro fator de grande importncia a esbeltez do pilar (ndice de esbeltez ), que pode ser notado atravs da expresso a2 , pois quanto maior for o , maior ser o momento de segunda ordem M2. Considere-se, no exemplo visto anteriormente, o efeito da variao da seo transversal de 25 x 25 cm at 90 x 90 cm. A figura a seguir apresenta os resultados obtidos:

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

40 60 80 100 120

(M + M ) / M2 2a

l

P

M2

a

a1=Hl

3EcIc10400

33000(244/12)= 2,18 cm=

a = a1 + a2 = a1 1

1 - P / Pfl

EcIcl

Pfl = =EcAc

=

l ci c

, com eIci c = Ac

I ci c = Ac244/12=25

= 7,22 cm

EcIcl

Pfl = =EcAc

a = a1 + a2 = a1 1

1 - P / Pn

=l ci c

=

A considerao do equilbrio do pilar na sua configurao deformada, acarreta um momento fletor adicional devido ao deslocamento transversal da fora P. O deslocamento transversal final pode ser estimado atravs da expresso:

onde

sendo

l = comprimento de flambagem do pilar l = 2l no pilar em balano; l = l no pilar biarticulado com alongamento livre; l = l, biengastado com deslocamento transversal livre; l = 0,7l, engastado de um lado e articulado do outro; io = raio de girao da seo do pilar

Assim

24007,22 = 111

=300025

111= 1502 kN

11 - 800 / 1502= 2,18 = 4,66 cm

24Clculo de Concreto Armado23

Nota-se que o efeito de segunda ordem desprezvel para valores de l at em torno de 40 e que a partir deste valor a sua influncia cada vez maior. Assim, para efeito de um mtodo de verificao e de clculo, a NBR 6118 prope a seguinte classificao dos pilares em funo do ndice de esbeltez:

- Pilar Curto: para 40; pode-se desprezar o efeito de segunda ordem e fluncia;

- Pilar Medianamente Esbelto: para 40 80; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-se utilizar o mtodo do pilar padro) e pode-se desprezar o efeito da fluncia;

- Pilar Esbelto: para 80 140; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-se utilizar o mtodo do pilar padro) e deve-se considerar o efeito da fluncia (podendo ser estimada atravs de uma excentricidade complementar equivalente);

- Pilar Muito Esbelto: para 140 200; o efeito de segunda ordem e a fluncia devem ser considerados e calculados de forma rigorosa, alm disso o coeficiente de ponderao das aes deve der majorado, passando a valer:

Tipos de Pilares

Normalmente, os pilares de edifcios podem ser agrupados em dois conjuntos:

- Pilares de Contraventamento: so aqueles que, devido sua grande rigidez, permitem considerar os diversos pisos do edifcio como, praticamente, indeslocveis (caixas de elevadores, pilares enrigecidos); o seu clculo exige sua considerao como um todo;

- Pilares contraventados: so constitudos pelos pilares menos rgidos, onde as extremidades de cada lance podem ser consideradas indeslocveis, graas aos pilares de contraventamento; seu clculo pode ser feito de feito de forma isolada em cada lance. Os pilares contraventos podem ser agrupados nos seguintes tipos:

-Pilares internos: situados internamente ao piso; para situao de projeto considera-se como esforo solicitante a forna normal (N) de compresso;-Pilares de estremidade: situados nas bordas do piso; para situao de projeto, considera-se como esforos solicitantes a fora normal (N) de compresso e o momento fletor (M), atuando segundo o plano constitudo pelo pilar e pela viga; este par de esforos normalmente substitudo por (N) e (ei = M/N).

-Pilares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situao de projeto considera-se como esforos solicitantes a fora normal (N) de compresso e dois momentos fletores (Mx e My), atuando segundo os planos constitudos pelo pilar e por cada uma das vigas nele apoiadas; normalmente o conjunto de valores (N, Mx e My) substitudo por (N), (eix = Mx/N) e (eiy = My/N).

Situao de clculo

A situao de clculo corresponde verificao do estado limite ltimo (ELU) de cada seo do pilar; aos esforos provenientes da situao de projeto so acrescentados os seguintes efeitos:- A indefinio do ponto de aplicao da fora normal e o desaprumo do pilar

que podem ser considerados atravs da chamada excentricidade acidental ea estimada, conforme a NBR 6118 por ea 2 cm ou h/30, com h sendo a dimenso do pilar segundo a dimenso considerada;

- Os efeitos de segunda ordem quando 40 que podem ser considerados atravs da excentricidade e2. Esta excentricidade pode ser estimada, para pilares medianamente esbeltos, atravs do mtodo do pilar padro. As hipteses admitidas neste mtodo so:

- Seo constante do pilar (inclusive armadura);- Configurao fletida de forma senoidal.

dM

dx

dx dx

r

l

P

y

e2

26Clculo de Concreto Armado25

Conforme a figura anterior, temos:

Dimenses Mnimas

Para a seo retangular de dimenses hxhy seja b o menor dos lados e h o maior. recomenda-se:

b 20 cm e lo/25 , onde lo o p direito livre. Neste caso, toma-se f = 1,4.

Excepcionalmente 12 cm b 20 cm e h 60 cm, devendo-se utilizar, neste caso, f = 1,8.

Recomenda-se que a armadura tenha distribuio simtrica e que sua taxa geomtrica () obedea a seguinte condio:

min = As / Ao maxonde max = 3% (6% nas emendas) min = 0,8% se > 30 min = 0,5% se 30

hy

hx

dN

Situao de clculo 2

el y

eay

e2 y

ey

= el yey

hy

hx

el x

el y

dNSituao de projeto

d

hy

hx

el x

N

eax e2x

= el yey

Situao de clculo 1

ex

Com tem-se, para a seo do meio do vo

ou

Por outro lado, sendo 1/r = (co + o)/d , a NBR 6118 permite considerar pilares medianamente esbeltos e esbeltos:

onde Es = 21000 kN/cm e d = Nd / Acfcd

O comprimento de flambagem do pilar (lo) tomado aproximadamente igual ao p direito, pois as extremidades de cada lance do pilar podem ser consideradas indeslocveis. Os efeitos de fluncia (quando > 80) podem der considerados atravs da excentricidade complementar equivalente eo.

Dimensionamento da Seo Retangular (armadura simtrica)

Costuma-se dimensionar uma seo retangular com armadura simtrica considerando-se a mais crtica entre as situaes de projeto indicadas na figura a seguir. No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situaes de clculo sujeitas a flexo composta oblqua (FCO); da situao 1 resulta a taxa mecnica 1 e da situao 2, 2; a maior destas taxas define a armadura da seo. Estas situaes de clculo so obtidas atravs do deslocamento mximo do ponto de aplicao da fora normal segundo hx (situao 1) e, segundo hy (situao 2). Para pilares internos, tem-se duas situaes de clculo sujeitas a flexo composta normal (FCN). Nos pilares de extremidade resultam uma FCN e uma FCO. Nesta ltima situao, pode-se, em geral, desprezar a excentricidade inicial resultando, ento, dois dimensionamentos a FCN.

y = e2sen x ; = e2sen x ; = - e2sen x = - y( ) ( )lo lo lo lolo1 = - r

1 = e2( )lor1 lore2 =

1 / r( / lo )

=

1 r

=0,0035 + fyd / Es

h [( d + 0,5 )p 1]

28Clculo de Concreto Armado27

Disposies Construtivas, Bitolas e Espaamentos

As disposies construtivas, bitolas e espaamentos apresentados na figura acima esto assim convencionados:

hysl

b < h

st

10 b/10 ;4 cm ou 4 t sl 40 cm ;t 5 ;7cm s

l 30 cm

b12 t190 t / l

CA50A

Travamentos Adicionais na Seo transversal

A possibilidade de flambagem das armaduras inibida pelos estribos que introduzem pontos de travamento, a cada distncia st. Este travamento integral junto aos cantos, mas travamentos adicionais a cada 20 t, so necessrios nas sees alongadas.

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