Download - CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Transcript
Page 1: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE WILLIAM ANTHONY GRANVILLE

Ejercicios resueltos por : LIWINTONG MARQUEZ REYES

Problemas “ Pagina 14 “

1. Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que a. f (1) = 12 f (1) = (1)3 - 5 (1)2 - 4 (1) + 20 = 1 - 5 - 4 + 20 = 21 - 9 = 12

f (1) = 12

b. f (5) = 0 f (5) = (5)3 - 5 (5)2 - 4 (5) + 20 = 125 - 125 - 20 + 20 = 0 f (5) = 0.

c. f (0) = - 2f (3) Primero calculamos f (3) f (3) = (3)3 –5 (3)2 - 4 (3) + 20 = 27 - 45 - 12 + 20 = 47 - 57 =

f (3) = - 10

Luego, calculamos f (0). f (0) = (0)3 + 5 (0)2 - 4 (0) + 20 = 0 + 0 - 0 + 20 = 20. f (0) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (0) en la función original. f (0) = - 2 f (3). 20 = -2 (-10) 20 = + 20.

Page 2: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d. f (7) = 5 f (-1) Primero calculamos f (-1) . f (-1) = (-1)3 -5 (-1)2 - 4 (-1) + 20 = - 1 -5 + 4 + 20 = - 6 + 24 = f (-1) = 18.

Luego, calculamos f (7). f (7) = (7)3 - 5 (7)2 - 4 (7) + 20 = 343 - 245 - 28 + 20. f (7) = 363 - 273 = 90. Sustituyendo, f (-1) y f (7) en la función original. f (7) = 5. f (-1).

90 = 5 (18). 90 = 90.

2. Si f (x) = 4 - 2x2 + x4, calcular :

a. f (0) f (0) = 4 - 2 (0)2 + (0)4 = 4 - 0 + 0 = 4 f (0) = 4.

b. f (1) f (1) = 4 - 2 (1)2 + (1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2. f (1) = 3.

c. f (-1) f (-1) = 4 -2 (-1)2 + (-1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2

f (-1) = 3.

d. f (2) f (2) = 4 -2 (2)2 + (2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 f (2) = 12.

e. f (-2) f (-2) = 4 - 2 (-2)2 + (-2)4

= 4 - 8 + 16 = 20 - 8 =

f (-2) = 12.

Page 3: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3. Si f () = sen 2 + cos . Hallar :

a. f (0) f (0) = sen 2 (0) + cos (0) = sen 0 + cos 0 = 0 + 1 =

f (0) = 1.

b. f (1/2 ) . f (1/2 ) = sen 2 + cos = sen + cos 900 = 0 + 0 = 0 .

2 2 c. f () f () = sen 2 () + cos = sen 3600 + cos 1800 = 0 + (-1) = -1.

f () = -1.

4.- Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que : f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12.

f (t + 1) = (t + 1)3 - 5(t + 1)2 - 4(t + 1) + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20. f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 - 4t - 4 + 20.

Haciendo operaciones:

f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12.

5. Dado f (y) = y2 - 2y + 6 , demostrar que :

f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2 ( y - 1) h + h2. f (y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6. f (y + h) = y2 + 2yh + h2 - 2y - 2h + 6. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2. f (y + h) = y2 - 2y + 6 + h (2y - 1) + h2. f (y + h) = y2- 2y + 6 + ( 2y - 1) h + h2.

Page 4: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

6. Dado f (x) = x3 + 3x , demostrar que

f (x + h) - f (x) = 3(x2 + 1) h + 3xh2 + h3. Primero encontramos f (x + h)

f (x + h) = (x + h)3 + 3(x + h).f (x + h) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h.

Luego : f (x + h) - f (x) f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x). f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - x3 - 3x.

Efectuando : f (x + h) - f (x) = 3x2h + 3h + 3xh2 + h3.f (x + h) = 3h (x2 + 1) + 3xh2 + h3.

f (x + h) = 3 (x2 + 1) h + 3xh2 + h3.

7. Dado f (x) = 1 , demostrar que : f (x + h) - f (x) = _ 1 . x x2 + xh

Primero encontramos f (x + h) :

f (x + h) = 1 . x + h

Luego : f (x + h) - f (x) = 1 - 1 . x + h x

f (x + h) - f (x) = x - (x + h) (x + h) x

f (x + h) - f (x) = x - x - h = _ h . (x + h) x x2 + xh

Page 5: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

8. Dado (z) = 4z , demostrar que: (z + 1) - (z) = 3 (z)

Primero encontramos (z + 1)

(z+1) = 4z +1

Luego: (z + 1) - (z) = 4z +1 - 4z. (z + 1) - (z) = 4z.4 - 4z. (z + 1) - (z) = 4z (4 - 1) = 4z (3) = 3 (4z). Pero : (z) = 4z. (z + 1) - (z) = 3 (z).

9. Si (x) = ar ,demostrar que: (y). (z) = (y + z)

(y) = ay

(z) = az

(y).(z) = ay.az = ay + z

Si: (x) = ax (y). (z) = ay + z = (y + z).

10. Dado (x) = log 1 - x ,demostrar que: (y) + (z) = y + z .

1+ x 1+ yz

Primero calculamos (y) , sustituyendo en (x): (y) = log 1 - y .

1+ y Luego calculamos (z) , sustituyendo en (x) : (z) = log 1 - z . 1 + z

Ahora: (y) + (z) = log 1 - y + log 1 - z = log (1 - y)(1 - z) . 1 + y 1 + z (1 + y)(1 + z)

(y) + (z) = log 1 - y - z + yz = (1 + yz) - (y + z) . 1+ y + z + yz (1+ yz) + (y + z)

Ahora calculamos (y + z) , sustituyendo en : (x) = log 1 - x .

Page 6: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(1 + yz) 1 + x

1-(y + z) 1 + yz - (y + z) (y + z) = log 1 + yz = log (1 + yz) = log (1 + yz) - (y + z)

(1 + yz) 1 + y + z 1 + yz + y + z (1 + yz) + (y + z) 1+ yz (1 + yz)

(y) + (z) = y + z = log (1 + yz) - (y + z) 1 + yz (1 + yz) + (y + z)

11. Dado : f (x) = sen x , demostrar que

f (x + 2h) - f (x) = 2 cos (x + h). (sen h) Primero encontramos f (x + 2h) sen (x + 2h) = sen x. cos 2h + cos x. sen 2h. Por Trigonométria : cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2sen2 x. sen 2x = 2sen x.cos x. sen (x + y) = sen x. cos y + cos x. sen y. Sustituyendo en : sen (x + 2h) sen x (cos2 h - sen2 h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + cos x (2 sen h. cos h) sen x (1 - 2 sen2h) + 2 cos x . sen h. cos h. Luego : f (x) = sen x f (x + 2h) = sen x (1 - 2 sen2h) + 2cos x. sen h. cos h f(x + 2h) - f(x) = sen x(1 - 2 sen2h) + 2cos x . sen h.cos h -sen h Haciendo operaciones , simplificando y ordenando: sen x - 2 sen x. sen2h + 2 cos x. sen h. cos h - sen x 2 cos x. sen h. cos h - 2sen x. sen2h Factorando : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) Pero : según formula , cos x. cos y - sen x. sen y = cos (x+y) Sustituyendo en : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h) 2 sen h [(cos (x + h)] = 2 sen h. cos (x + h) = 2 cos (x + h). sen h.

f (x+2h) - f (x) = 2 cos (x+h). sen h .

Page 7: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas “Paginas 21 – 22 “

Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

2. lim 4x + 5 = 2 x∞ 2x + 3

Dividiendo númerador y denominador por x y luego sustituyendo por .

4x + 5 4 + 5 4 + 5 .

lim x x = x = = 4 + 0 = 4 = 2. x∞ 2x + 3 2 + 3 2 + 3 2 + 0 2 x x x

3. lim 4t 2 + 3t + 2 = - 1 .

t0 t3 + 2t - 6 3

Se sustituye t 0 en el numerador y denominador.

lim 4 (0) 2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 = - 1 . t0 (0)3 + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 - 6 3

4. lim x 2 h + 3xh 2 + h 3 = x . h0 2xh + 5h2 2

lim h (x 2 + 3xh + h 2 ) = x 2 + 3xh + h 2 h0 h (2x + 5h) 2x + 5h

Se sustituye h 0 tanto en el numerador como en el denominador.

lim x 2 + 3x(0) + (0) 2 = x 2 + 0 + 0 = x 2 = x .x = x . h0 2x + 5(0) 2x + 0 2x 2 x 2

5. lim 6x 3 - 5x 2 + 3 = 3

Page 8: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x 2x3 + 4x - 7

Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x3.

6 x 3 - 5 x 2 + 3 6 - 5 + 3 .

lim x 3 x 3 x 3 = x x 3 = x 2 x 3 + 4 x - 7 2 + 4 - 7 x3 x3 x3 x2 x3

Luego sustituyendo x y teniendo presente que todo número para = 0 .

6 - 5 + 3 . 3 = 6 - 0 + 0 = 6 = 3 . 2 + 4 - 7 2 + 0 - 0 2 2 3

6. lim (2z + 3k) 3 - 4k 2 z = 1 k 0 2z ( 2z - k )2

lim (2z) 3 + 3(2z) 2 (3k) + 3(2z)(3k) 2 + (3k) 3 - 4k 2 z . k0 2z [(2z)2 - 2zk + (k)2]

lim 8z 3 + 36z 2 k + 54zk 2 + 27k 3 - 4k 2 z . k0 2z (4z2 - 2zk + k2)

Sustituyendo k 0

lim 8z 3 + 36z 2 (0) + 54z (0) 2 + 27 (0) 3 - 4(0) 2 z . k0 2z [4z2 - 2z(0) + (0)2]

lim 8z 3 + 0 + 0 + 0 - 0 = 8z 3 = 1 k0 2z (4z2 - 0 + 0) 8z3 .

7. lim ax 4 + bx 2 + c = 0

Page 9: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x dx5 + ex3 + fx

Dividiendo numerador y denominador para x4 .

a x 4 + b x 2 + c a + b + c .

lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 . x en la operación. x d x 5 + e x 3 + f x dx + e + f .

x4 x4 x4 x x3

a + b + c .

lim 2 4 = a + 0 + 0 . x d. + e + f + 0 + 0 3

lim a = 0 x

8. lim ax 4 + bx 2 + c = . x dx3 + ex2 + fx + g

Dividiendo numerador y denominador para x4.

a x 4 + b x 2 + c a + b + c .

lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 .

x d x 3 + e x 2 + f x + g d + e + f + g .

x4 x4 x4 x4 x x2 x3 x4

Sustituyendo x en la operación.

lim a + b + c .

x 2 4 = a + 0 + 0 = a = d + e + f + g 0 + 0 + 0 + 0 0

2 3 4

9. lim s 4 - a 4 = 2a2

sa s2 - a2

Page 10: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

lim (s 2 + a 2 ) (s 2 - a 2 ) = s2 + a2.sa ( s2 - a2 )

Sustituyendo s a en la operación.

lim a2 + a2 = 2a2

sa

10. lim x 2 + x - 6 = 5 .

x2 x2 - 4 4

lim (x + 3) (x - 2) = (x + 3) . Sustituyendo x2 : x2 (x + 2) (x - 2) (x +2)

lim (2 + 3) = 5 .x2 (2 + 2) 4

11. lim 4y 2 - 3 = 0y 2y3 + 3y2

Dividimos para y3. 4 y 2 - 3 4 - 3.lim y 3 y 3 = y y 3 .

y 2 y 3 + 3 y 2 2 + 3 y 3 y 3 y

Sustituyendo y en la operación :

4 - 3 .

lim = 0 - 0 = 0 = 0 y 2 + 3 2 + 0 2

12. lim 3h + 2xh 2 + x 2 h 3 = - 1 .h 4 - 3xh - 2x3h3 2x

Page 11: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Dividiendo todo para h3. 3h + 2xh 2 + x 2 h 3 3 + 2x + x2

lim h 3 h 3 h 3 = h 2 h .

h 4 - 3xh - 2x 3 h 3 4 - 3x - 2x3

h3 h3 h3 h3 h2

Sustituyendo h en la operación :

lim 3 + 2x + x2 3 + 2x + x2

h 2 = = 0 + 0 + x 2 = x 2 = - 1 . 4 - 3x - 2x3 4 - 3x - 2x3 0 - 0 - 2x3 -2x3 2x 3 2

13. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = ao . x boxn + b1xn-1 + … + bn bo

lim aox n + a 1x n .x -1 + … + a n . Dividiendo todo para el mayor exponente xn x boxn + b1xn.x-1 + … + b

aox n + a1x n .x -1 + … + an ao + a1.x-1 + … + an .

lim x n x n x n = x n .

x box n + b1.x n .x -1 + … + bn bo + b1.x-1 + … + bn

xn xn xn xn

Sustituyendo en x.

ao + a1 + … + an lim = lim ao + 0 + … + 0 = ao . x bo + b1 + … + bn x bo + 0 + … + 0 bo

14. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = an

x0 boxn + b1xn-1 + … + bn bn

Sustituyendo x0 en x

Page 12: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

lim ao ( 0 ) n + a 1 ( 0 ) n-1 + … + a n = ao (0) + a1 (0) + … + an . x0 b0 ( 0 )n + b1 ( 0 )n-1 + … + b n bo (0) + b1 (0) + … + bn lim 0 + 0 + … + an = an .

x 0 + 0 + … + bn bn

15. lim (x + h) n - x n = nxn-1

h0 h

Desarrollando el Binomio de Newton.

lim xn + nxn-1h + n(n-1).x n-2 .h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 3 + … + hn - xn.h0 1x2 1x2x3

lim nxn-1.h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + … + hn

h0 2 6

Dividiendo todo para h .

lim nx n-1 . h + n(n-1).x n-2 . h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 . h 3 + … + h n . h0 h 2 h 6 h h .

lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 .h + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 2 + … + hn-1

h0 2 6

Sustituyendo h0 en la operación.

lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 ( 0 ) + n(n-1)(n-2).x n-3 ( 0 ) 2 + … + ( 0 )n-1

h0 2 6

lim nxn-1 + 0 + 0 + … + 0 = nxn-1

h0

16. lim √ x + h - √ x = 1 . h0 h 2 √x

Racionalizando el numerador:

Page 13: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

lim ( √ x + h - √ x ) ( √ x + h + √ x ) h0 h (√x + h + √x)lim ( √ x + h ) 2 - ( √ x ) 2 = x + h - x . h0 h(√x + h + √x) h(√x+h + √x)

lim h = 1 .

h0 h (√x + h + √x) (√x + h + √x )

Sustituyendo h0 en la operación.

lim 1 = 1 = 1 . h0 (√x + 0 + √x ) (√x + √x ) 2√x

17. Dado f (x) = x2 , demostrar que :

lim f (x+h) - f (x) = 2xh0 h

Si f (x) = x2

f (x+h) = (x+h)2

lim (x + h) 2 - x 2 = x 2 + 2xh + h 2 - x 2 = 2xh + h 2 = h (2x + h) = 2x + h h0 h h h h .

Sustituyendo h 0 en la operación:

lim 2x + h = 2x + 0 = 2x h0

18. Dado f (x) = ax2 + bx + c , demostrar que:

lim f (x + h) - f (x) = 2ax + b.h0 h

Page 14: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f ( x ) = ax2 + bx + c.f (x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c.f (x + h) = a (x2 + 2xh + h2 ) + bx + bh + c.f (x + h) = ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c.

Reemplazando en la función:

lim f (x + h) - f (x) = ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - (ax 2 + bx + c) .h0 h h

lim ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - ax 2 - bx - c = 2axh + ah 2 + bh .h0 h h

lim h (2ax + ah + b ) = 2ax + ah + b ; h0 h .

lim 2ax + a ( 0 ) + b = 2ax + bh0

19. Dado f (x) = 1 ,demostrar que : x

lim f (x + h) - f (x) = - 1 .h0 h x2

f(x) = 1 . xf(x+h) = 1 .

x + h

1 - 1 x - (x + h) x - x - h - h .

lim x + h x = x (x + h) = x (x + h) = x (x + h) = h0 h h h h .

Page 15: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 1 1lim - 1 .

h0 x (x + h).

Sustituyendo h 0 en la operación final:lim - 1 = - 1 = - 1 .h0 x (x + 0) x . x x2

20. Si f (x) = x3 , hallar

lim f (x + h) - f (x) = 3x2

h0 h

f (x) = x3.f (x + h) = (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3.

Reemplazando estos valores:

lim f (x+h) 3 - f (x) = x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 - x 3 = 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 . h0 h h h

lim h (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x2 + 3xh + h2

h0 h .

Sustituyendo h0 en la operación.

lim 3x2 + 3x ( 0 ) + ( 0 )2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2

h0

Problemas “ Página 32 “

Page 16: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1. y = 2 - 3x

Se sustituye en la función "x" por "x + x" y se calcula el nuevo valor de la función y + y .

y + y = 2 - 3 (x + X) . Se resta el valor dado de la función delnuevo valor y se obtiene y.

Y + y = 2 - 3 (x + X) Y + y = 2 – 3X -3X

y + y - y = 2 - 3x - 3x – 2 + 3X . y = - 3x.

Se divide y para x.

y = - 3 x x x

Se calcula el límite de este cociente cuando x 0 . El límite así hallado es la derivada buscada.

y = - 3 x . X x . lim x0 dy = - 3 Y’ = -3dx

2. y = mx + b.

Page 17: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y + y = m (x + x) + b. Y + y = mX + mx + b

y + y - y = mx + mx + b – mX - by = mX y = m x

x x y = m x lim x0 dy = m . Y ‘ = m

dx

3. y = ax2

y + y = a ( X + x)2. y + y = a ( X2 +2X X + x2 ) y + y = aX2 +2aX X + ax2 y + y - y = aX2 +2aX X + ax2 - aX2

y = 2aX X + ax2

y = 2ax. x + a . x 2 .

x x x .

y = 2ax + a.x .x

lim x0

dy = 2ax + a (0) dx

dy = 2ax . Y ‘ = 2 ax

dx 4. s = 2t - t2.

s + s = 2(t + t) - (t + t)2. s + s = 2t + 2t - (t2 +2t t + t 2 ) s + s = 2t + 2t - t2 -2t t - t 2

s + s - s = 2t + 2t - t2 -2t t - t 2 – 2t +t2

Page 18: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

s = 2. t - 2t. t - t 2 s = t (2 - 2t - t)

t t .

s = 2 - 2t - t t lim x0

ds = 2 - 2t - 0 Y’ = 2 – 2t dt

5. y = cx3

y + y = c ( x + x)3. y + y = c ( x3 + 3x2. x + 3x.x2 + x3 )

y + y = c x3 + 3cx2. x + 3cx.x2 + c.x3 y + y - y = c x3 + 3cx2. x + 3cx.x2 + c.x3 - c x3

y = 3cx2.x + 3cx.x2 + c x3 y = 3cx 2 . x + 3cx. x 2 + c x 3

x x x x .

y = 3cx2 + 3cx.x + cx2. x lim x0

dy = 3cx2 + 3cx( 0 ) + c ( 0 )2 dx

Y ‘ = 3cx2

6. y = 3x - x3.

y + y = 3 (x + x) - (x + x)3. y + y = 3 x + 3x - (x3 +3X2 x + 3X x2 + x3 ) y + y = 3 x + 3x - x3 -3X2 x - 3X x2 - x3 y + y - y = 3 x + 3x - x3 -3X2 x - 3X x2 - x3 – 3X + X3.

y = 3x - 3X2 x - 3X x2 - x3

Page 19: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 3. x - 3x 2 . x - 3x.( x) 2 - ( x) 3 .

x x x x x y = 3 - 3x2 - 3x (0) - (x)2

x lim x0

dy = 3 - 3x2 . Y’ = 3 – 3x2

dx

7. u = 4v2 + 2v3.

u + u = 4 (v + v)2 + 2 (v + v)3.u + u = 4 ( v2 + 2vv + v2 ) + 2 ( v3 + 3v2v + 3vv2 + v3 )u + u = 4 v2 + 8vv +4v2 + 2v3 + 6v2v + 6vv2 + 2v3

u + u – u = 4 v2 + 8vv +4v2 + 2v3 + 6v2v + 6vv2 + 2v3 – 4v2 – 2v3

u = 8vv +4v2 + 6v2v + 6vv2 + 2v3

u = 8v. v + 4. v 2 + 6v 2 . v + 6v. v 2 + 2. v 3 . v v v v v v

u = 8v + 4. v + 6v2 + 6v. v + 2. v2

v u = 8v + 4(0) + 6v2 + 6v(0) + 2(0 )2

v lim v0

du = 8v + 0 + 6v2 + 0 + 0 dv

du = 8v + 6v2 . U’ = 8v + 6v2

dv

8. y = x4.

y + y = (x + x)4.y + y = x4 + 4X3x + 6X2 x2 + 4Xx3 + x4

y + y - y = x4 + 4X3x + 6X2 x2 + 4Xx3 + x4 - x4

y = 4x3. x + 6x2.x2 + 4x.x3 + x4. y = 4x 3 . x + 6x 2 ( x) 2 + 4x ( x) 3 + ( x) 4 x x x x x .

Page 20: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 4x3 + 6x2. x + 4x (x)2 + (x)3 x

y = 4x3 + 6x2(0) + 4x(0)2 + ( 0 )3 x lim x0

dy = 4x3 . Y ‘ = 4x3

dx

9. e = 2 . + 1

e + e = 2 . ( + ) + 1

e + e - e = 2 - 2 . ( + ) + 1 (+1)

e = 2 ( + 1) - 2[( + ) + 1] . [( + ) + 1] ( + 1)

e = 2 + 2 - 2 - 2. - 2 = - 2. . [( + ) + 1] ( + 1) [( + ) + 1]( + 1) e = - 2. = -2 =

[( + ) + 1]( + 1)() [( + ) + 1]( + 1)

e = - 2 . [( + 0) + 1]( + 1) lim x0

de = -2 = d ( + 1) ( + 1)

de = -2 . d ( + 1)2

Page 21: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Y ‘ = - 2 . ( + 1)2

10. y = 3 . x2 + 2y + y = 3 . (x + x)2 + 2y + y - y = 3 - 3 .

(x + x)2 + 2 x2 + 2

y = 3 (x 2 + 2) - 3 [(x + x) 2 + 2] [(x + x)2 + 2] (x2 + 2)

y = 3x 2 + 6 -3 [x 2 + 2x. x +( x) 2 +2] [(x + x)2 + 2] (x2 + 2)

y = 3x 2 + 6 - 3x 2 - 6x. x - 3( x) 2 - 6 = - 6x. x - 3( x) 2 . [(x + x)2 + 2] (x2 + 2) [(x+x)2 + 2] (x2 + 2)

y = x (- 6x -3. x) = - 6x - 3. x =

x [(x + x)2 + 2] (x2 + 2) x [(x + x)2 + 2] (x2 + 2)

y = - 6x - 3 (0) . x [(x + 0)2 + 2] (x2 + 2) lim x0

dy = - 6x - 0 = - 6x . dx (x2 + 2) (x2 + 2) (x2 + 2)2

11. s = t + 4 t

s + s = (t + t) + 4

Page 22: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

t + t

s + s - s = t + t + 4 - t + 4 t + t t

s = t (t + t + 4) - (t + 4) (t + t) = (t + t) t

s = t 2 + t. t + 4t -(t 2 + 4t + t. t + 4. t) =

(t + t) t

s = t 2 + t. t + 4t - t 2 - 4t - t. t - 4. t = - 4. t . (t + t) t (t + t) t

s = - 4 ( t ) .t (t + t) t ( t )

s = - 4 . t (t + 0)t

lim t0

ds = - 4 = - 4 .dt t.t t2

S ´= -4 / t2

12. y = 1 . 1 - 2x

y + y = 1 . 1 - 2(x + x)

Page 23: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y + y - y = 1 - 1 . 1 - 2 (x + x) 1 - 2x

y = (1 - 2x) - [1 -2(x + x)] = 1 - 2x -(1 - 2x - 2 x) = [1 - 2(x+x)](1 - 2x) [1 - 2(x+x)](1 - 2x)

y = 1 - 2x - 1 + 2x + 2 x = 2 x . [1 - 2(x+x)](1 - 2x) [1 - 2 (x + x)](1 - 2x)

y = 2 x = 2 . x x [1 - 2(x + x)](1 - 2x) [1 - 2(x + x)](1 - 2x)

y = 2 . x [1 - 2 (x + 0)](1 - 2x) lim x0

dy = 2 = 2 .dx (1 - 2x) (1 - 2x) (1 - 2x)2

dy = 2 dx (1 - 2x)2

13. e = . + 2

e + e = + .

( + ) + 2

e + e - e = + _ . ( + ) + 2 + 2

e =( + 2) ( + ) - [( + ) + 2] = 2 + 2 + . + 2 - 2 - . - 2 .

[( + ) + 2]( + 2) [( + ) + 2] ( + 2)

e = 2 . [( + ) + 2] ( + 2)

Page 24: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Dividiendo a ambos miembros para y simplificando :

e = 2 = 2. .

[( + ) + 2] ( + 2). [( + ) + 2] ( + 2). .

e = 2 = 2 = 2 . [( + 0) + 2] ( + 2) ( + 2) ( + 2) ( + 2)2

lim 0

de = 2 = 2 .d ( + 2) ( + 2) ( + 2)2

14. s = At + B Ct + D

s + s = A(t + t) + B .

C(t + t) + D

s + s - s = A(t + t) + B - At + B [C(t + t) + D] Ct + D

s = [A(t + t) + B] (Ct + D) - [C(t + t) + D] (At + B) [C(t + t) + D] (Ct + D)

s = [A.t + A. t + B](C.t + D) - [C.t + C. t + D](A.t + B) [C(t + t) + D] (Ct + D)

s = ACt 2 + ADt + AC . t . t + AD t + BCt + BD .

[C(t + t) + D] (Ct + D)

- ACt 2 - BCt - ACt t - BC t - Adt - BD . [C(t + t) + D] (Ct + D)

Page 25: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

s = A.D. t - B.C. t = t (A.D - B.C) . [C(t + t) + D] (Ct + D) [C(t + t) + D] (Ct + D)

s = t (A.D - B.C) = (A.D - B.C) .

t [C(t + t) + D] (Ct + D) (t) [C(t + t) + D] (Ct + D)

s = (A.D - B.C) = (A.D - B.C) . t [C(t + 0) + D] (Ct + D) (Ct + D)(Ct + D) lim t0

ds = (A.D - B.C) = (A.D - B.C) .dt (Ct + D)(Ct + D) (Ct + D)2

15. y = x 3 + 1 .

x

y + y = (x + x) 3 + 1 . (x + x)

y + y - y = (x + x) 3 + 1 - x 3 + 1 (x + x) x

y = [(x + x) 3 + 1] x - (x 3 + 1) (x + x) (x + x) x

y = {[x 3 + 3x 2 x + 3x( x) 2 + ( x) 3 ] + 1}(x) - x 4 - x 3 ( x) - x - x (x + x) x

y = x 4 + 3x 3 x + 3x 2 ( x) 2 + ( x) 3 (x) + x - x 4 - x 3 ( x) - x - x (x + x) x

y = 2x 3 . x + 3x 2 ( x) 2 + ( x) 3 (x) - 3x 2 ( x) 2 + ( x) 3 (x) - x (x + x) x

Page 26: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = x [2x 3 + 3x 2 x + ( x) 2 (x) - 3x 2 ( x) + ( x) 2 (x) - 1] (x + x) x

Dividiendo a ambos miembros para x, tenemos :

y = x [2x 3 + 3x 2 x + ( x) 2 (x) - 3x 2 ( x) + ( x) 2 (x) - 1] x (x + x) (x) (x)

y = x [2x 3 + 3x 2. x + ( x) 2 .x - 3x 2 . x + ( x) 2 .x - 1] x (x + x)(x)( x)

y = [2x 3 + 3x 2 ( 0 ) + (0) 2 (x) - 3x 2 (0) + (0) 2 (x) - 1] x ( x + 0 ) x lim x0

y’ = 2x 3 + 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 2x 3 - 1 = 2 x 3 - 1 x . x x2 x2 x2

dy = 2x - 1 dx x2

16. y = 1 . x2 + a2

y + y = 1 .

(x + x)2 + a2

y + y - y = 1 _ 1 .

(x + x)2 + a2 x2 + a2

y = 1 (x 2 + a 2 ) - 1 [(x + x) 2 + a 2 ] = x 2 + a 2 -[x 2 + 2x. x + ( x) 2 + a 2 ] [(x + x)2 + a2] (x2 + a2) [(x+x)2 + a2] (x2 + a2)

y = x 2 + a 2 - x 2 - 2x. x -( x) 2 - a 2 = - 2x. x -( x) 2 . [(x + x)2 + a2](x2 + a2) [(x + x)2 + a2] (x2 + a2)y = - x (2x + x) .

[(x + x)2 + a2] (x2 + a2)

Page 27: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Dividiendo a ambos miembros para x, tenemos :

y = - x (2x + x) = - (2x + x) .x [(x + x)2 + a2](x2 + a2). x [(x + x)2 + a2] (x2 + a2)

y = - (2x + 0) . x [(x + 0)2 + a2] (x2 + a2) lim x0

dy = - 2x = - 2x .

dx (x2 + a2) (x2 + a2) (x2 + a2 )2

dy = - 2x dx (x2 + a2 )2

17. y = x . x2 + 1

y + y = x + x .

(x + x)2 + 1

y + y - y = x + x - x . [(x + x)2 + 1] (x2 + 1)

y = (x + x) (x 2 + 1) - x [(x + x) 2 + 1] .

[(x + x)2 + 1] (x2 + 1)

y = x 3 + x + x. x 2 + x - x [x 2 + 2x. x + ( x) 2 + 1] [(x + x)2 + 1] (x2 + 1)

y = x 3 + x + x. x 2 + x - x 3 - 2. x. x 2 - x. ( x) 2 - x . [(x + x)2 + 1] (x2 + 1)

y = - x.x 2 - x.( x) 2 + x = - x (x 2 + x . x - 1 ) .

Page 28: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

[(x + x)2 + 1] (x2 + 1) [(x + x)2 + 1](x2 + 1)

y = - x (x 2 + x. x - 1) = - (x 2 + x. x - 1) . x [(x + x)2 + 1](x2 + 1) . x [(x + x)2 + 1](x2 + 1)

y = - [x 2 + x(0) - 1] . x [(x + 0)2 + 1] (x2 + 1)

lim x0

dy = -(x 2 - 1) = 1 - x 2 dx (x2 + 1) (x2 + 1) (x2 + 1)2

18. y = x 2 . 4 - x2

y + y = (x + x) 2 . 4 - (x + x)2

y + y - y = (x + x) 2 - x 2 . [4 - (x + x)2] (4 - x2)

y = (x + x) 2 (4 - x 2 ) - [4 - (x + x) 2 ] x 2 .

[4 - (x + x)2] (4 - x2)

y = [x 2 + 2x. x + ( x) 2 ](4 - x 2 ) - [4-(x 2 +2x. x + ( x) 2 ]( x 2 ) [4 - (x + x)2] (4 - x2)

y = 4x 2 + 8x. x + 4( x) 2 - x 4 - 2x 3 . x - x 2 .( x) 2 -[4 -x 2 -2x. x-( x) 2 ](x 2 ) [4 - (x + x)2] (4 - x2)

y = 4x 2 + 8x. x + 4( x) 2 x 4 - 2x 3 . x - x 2 . ( x) 2 - 4x 2 + x 4 + 2x 3 . x + x 2 . ( x) 2 [4 - (x + x)2](4 - x2)

Page 29: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 8x. x + 4. ( x) 2 = x (8x + 4. x) . [4 - (x + x)2](4 - x2) [4 - (x + x)2](4 - x2)

Dividiendo, para x , tenemos :

y = x (8x + 4. x) . y [4 - (x + x)2](4 - x2) . x .

y = 8x + 4. x = 8x + 4( 0 ) = x [4 - (x + x)2](4 - x2) [4 - (x + 0)2](4 - x2) lim x0

dy = 8x + 0 = 8x dx [4 - x2] (4 - x2 ) (4 - x2 )2

19. y = 3x2 - 4x - 5.

y + y = 3 (x + x)2 - 4 (x + x) - 5

y + y - y = 3 (x + x)2 - 4 (x + x) - 5 - (3x2 - 4x -5)y = 3 [x2 + 2x. x + (x)2] - 4 (x + x) - 5 - (3x2 - 4x -5)

y = 3x2 + 6x. x + 3.(x)2 - 4x - 4. x - 5 - 3x2 + 4x + 5 .

y = 6x. x + 3 (x)2 - 4.(x) = (x) [6x + 3 (x) - 4]

Dividiendo para x :

y = ( x)[6x + 3 ( x) - 4] = x [6x + 3 ( x) - 4] = 6x + 3(0) - 4 x x x lim x0

dy = 6x - 4 = 2(3x - 2) dx

Page 30: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

20. s = at2 + bt + c.

s + s = a (t + t)2 + b (t + t) + c .

s + s - s = a (t + t)2 + b (t + t) + c - (at2 + bt + c) .

s = a [t2 + 2t. t + (t)2] + bt + b.t + c - at2 - bt - c .

s = at2 + 2at. t + a.( t)2 + bt + b. t + c - at2 - bt - c .

s = 2at. t + a.( t)2 + b. t

Dividiendo para t , factorizando y simplificando :

s = t (2at + a. t + b) = t (2at + a. t + b) t t t

s = 2at + a( 0 ) + b = 2at + 0 + b . t

lim t0

ds = 2at + b .dt

21. u = 2v3 - 3v2

u + u = 2 (v + v)3 - 3 (v + v)2

u + u - u = 2(v + v)3 - 3 (v + v)2 - (2v3 - 3v2)

u = 2[v3 + 3v2. v + 3v.( v)2 + (v3)] - 3[v2 + 2v. v + (v)2] - 2v3 + 3v2

u = 2v3 + 6v2. v + 6v (v)2 + 2 (v)3 - 3v2 - 6v. v - 3(v)2 - 2v3 + 3v2 .

u = 6v2. v + 6v (v)2 + 2 (v)3 - 6v. v - 3(v)2

Factorizando y dividiendo para v :

Page 31: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

u = v [6v 2 + 6v. v + 2. ( v) 2 - 6v - 3. v] v v .

u = 6v2 + 6v. v + 2 (v)2 - 6v - 3. v v lim v0

u = 6v2 + 6v (0) + 2 (0)2 - 6v - 3 (0) .v

du = 6v2 - 6v dv

22. y = ax3 + bx2 + cx + d .

y + y = a (x + x)3 + b (x + x)2 + c (x + x) + d .

y + y - y = [a (x + x)3 + b (x + x)2 + c(x + x) + d] - (ax3 + bx2 + cx + d) .

y + y - y = a[x3 + 3x2x + 3x(x)2 + (x)3] + b[x2 + 2x. x + (x)2

+ cx + c. x + d - (ax3 + bx2 + cx + d)

y = ax3 + 3ax2.x + 3ax.(x2) + a.(x)3 + bx2 + 2bx.x + b(x)2

+ cx + c. x + d - ax3 - bx2 - cx - d .

y = 3ax2.x + 3ax.(x2) + a.(x)3 + 2bx.x + b(x)2 + c. xFactorizando y dividiendo para x :

y = x (3ax 2 + 3ax. x + a.( x) 2 + 2bx + b. x + c ) x x

y = 3ax2 + 3ax ( 0 ) + a.( 0 )2 + 2bx + b.( 0 ).x + cx

lim v 0

dy = 3ax2 + 0 + 0 + 2bx + 0 + c dx

Page 32: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

23. e = (a - b)2

e + e = [a - b ( + )]2

e + e - e = [a - b ( + )]2 - (a - b)2

e = (a - b - b.)2 - (a - b)2

e = [a + (-b) + (- b.)]2 - (a - b)2

e = a2 + (-b)2 + (- b.)2 + 2a.(-b) +2a.(- b.) +2.(-b).(- b. ) - [a2-2a.b + (b)2]

e = a2 + (b)2 +(b.)2- 2a(b) -2a(b.) +2(b)(b.) - a2 + 2a.b - (b)2

e = (b. )2 -2a(b. ) + 2(b)(b. )

e = b2()2 - 2a(b. ) + 2(b)(b.)

Factorando y dividiendo para .

e = {b 2 .( ) - 2a.b + 2b 2 . } .

. e = b2.() - 2a.b + 2b2. = b2.(0) - 2a.b + 2b2.

lim 0

de = 0 - 2ab + 2b2. = 2b2. - 2ab = 2b (b. - a ) d

24. y = (2 - x) (1 - 2x) .

y + y = [2 - (x + x)] [1 - 2 (x + x)]

y + y - y = [2 - (x + x)] [1 - 2 (x + x)] - (2 - x) (1 - 2x)

y = (2 - x - x) (1 - 2x - 2.x) - (2 - x) (1 - 2x)

y = [2 + (-x) + (-x)] [1 + (-2x) + (-2.x)] - (2 - 4x - x + 2x2)

y = 2 - 4x - 4.x - x + 2x2 + 2x.x - x + 2x.x + 2.(x)2 - 2 + 5x - 2x2.

y = - 5 x + 4x. x + 2.(x)2

Page 33: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Factorando y dividiendo para x :

y = x (-5 + 4x + 2 x) x x .

y = - 5 + 4x + 2( 0 ) x

lim 0

dy = - 5 + 4x = 4x - 5 dx

25. y = (Ax + B) (Cx + D)

y + y = [A (x + x) + B] [C (x + x) + D]

y + y - y = [A (x + x) + B] [C (x + x) + D] - (Ax + B) (Cx + D). y - y + y = (Ax + A. x + B ) (Cx + C. x + D ) - (Ax + B) (Cx + D).

y = ACx 2 + ACx.x + ADx + ACx.x + AC(x)2 + AD(x) + BCx + BC.x + BD - ACx 2 - ADx - BCx - BD .

y = 2 ACx. x + AC(x)2 + AD(x) + BC. x

Factorando y dividiendo para x.

y = x (2Acx + AC. x + AD + BC) x x .

y = 2ACx + AC.x + AD + BC = 2Acx + [AC(0)] + AD + BC x

lim x 0 y = 2ACx + 0 + AD + BC lim x0

dy = 2ACx + AD + BC dx

Page 34: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

26. s = (a + bt)3

s + s = [a + b (t + t)]3

s + s - s = [a + b (t + t)]3 - (a + bt)3

s = [a + bt + bt]3 - [a3 + 3a2bt + 3a(bt)2 +(bt)3]

s = a3 + (bt) 3 + (bt)3+ 3a2(bt) + 3a2(bt) + 3a(bt) 2+ 3(bt)2(bt) + 3a(bt)2 + 3(bt)(bt)2 + 6a(bt) (bt) - a 3 - 3a2(bt) - 3a(bt) 2 - (bt) 3

s = (bt)3+ 3a2(bt) + 3(bt)2 (bt) + 3a (bt)2 + 3 (bt) (bt)2 + 6a (bt) (bt)

Factorando , dividiendo y simplificando para t .

s = t {(b t) 2 + 3a 2 b + 3b 3 t 2 + 3ab 2 t + 3b 3 t. t + 6ab 2 t} t t .

s = [b (0)2 + 3a2b + 3b3t2 + 3ab2.(0) + 3b3t.(0) + 6ab2t t

lim t0

ds = 0 + 3a2b + 3b3t2 + 0 + 0 + 6ab2t = 3a2b + 3b3t2 + 6ab2t. dt

ds = 3a2b + 6ab2t + 3b3t2 = 3b ( a2 + 2abt + b2t2 ) = dt

ds = {3b [a + (bt)]2}dt

Page 35: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

27. y = x . a + bx2

y + y = x + x . a + b (x + x)2 y + y - y = x + x - x .

a + b (x + x)2 a + bx2

y = (x + x) (a + bx 2 ) - x {a + b (x + x) 2 } [a + b (x + x)2] [a + bx2]

y = ax + bx 3 + a. x + bx 2 . x - x{a + b[x 2 + 2x. x + ( x) 2 ]} [a + b (x + x)2] [a + bx2]

y = ax + bx 3 + a. x + bx 2 . x - x{a + bx 2 + 2bx. x + b.( x) 2 } [a + b (x + x)2] [a + bx2]

y = ax + bx 3 + a. x + bx 2 . x - ax - bx 3 - 2bx 2 . x - bx.( x) 2 . [a + b (x + x)2] [a + bx2]

y = a. x - bx 2 . x - bx.( x) 2 . Factorando y dividiendo para x: [a + b (x + x)2] [a + bx2]

y = x (a - bx 2 - bx. x) .x [a + b (x + x)2] [a + bx2] x .

y = a - bx 2 - bx. x = a - bx 2 - bx ( 0 ) . x [a + b (x + x)2] [a + bx2] {a + b [x + ( 0 )]2}[a + bx2] lim x0

y = a - bx 2 - 0 . x [a + bx2] [a + bx2] x0

dy = a - bx 2 dx [a + bx2]2

28. y = a + bx 2 x2

y + y = a + b (x + x) 2

Page 36: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x + x)2

y + y - y = a + b (x + x) 2 - [a + bx 2 ] (x + x)2 x2

y = {a + b (x + x) 2 } (x 2 ) - (x + x) 2 (a + bx 2 ) (x + x)2 x2

y ={a + b[x 2 +2x. x + ( x) 2 ]}(x 2 ) - {x 2 + 2x. x + ( x) 2 }(a +bx 2 ) (x + x)2 x2 y ={a + bx 2 + 2bx . x + b. ( x) 2 }(x 2 ) - {ax 2 + bx 4 + 2ax. x (x + x)2 x2

+ 2bx 3 . x + a ( x) 2 + bx 2 .( x) 2 } (x + x)2 x2

y = ax 2 + bx 4 + 2bx 3 . x + bx 2 ( x) 2 - ax 2 - bx 4 -2ax. x - (x + x)2 x2

y = 2bx 3 . x - a( x) 2 - bx 2 . ( x) 2 (x + x)2 x2

y = - 2ax. x - a( x) 2 (x + x)2 x2

Factorando , dividiendo y simplificando para x : y = x {-2ax - a ( x)} = ( x) {-2ax - a ( x)} x (x + x)2. x2. (x) (x + x)2. x2. (x)

y = {-2ax - a ( x)} = - 2ax - a ( 0 ) = - 2ax - 0x (x + x)2. x2 (x + 0 )2 .x2 x2.x2

lim x0

dy = - 2ax = - 2a. x = - 2a dx x 4 x3.x x3

29. y = x 2 . a + bx2

y + y = (x + x) 2 . a + b (x + x)2

y + y - y = (x + x) 2 - x 2 . [a + b (x + x)2] (a + bx2)

Page 37: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = (x + x) 2 (a + bx 2 ) - {a + b (x + x) 2 }( x 2 ) [a + b (x + x)2 ] ( a + bx2 )

y = {x 2 + 2x. x + ( x) 2 }(a + bx 2 ) - {a + b [x 2 + 2x. x + ( x) 2 ]}( x 2 ) [a + b (x + x)2 ]( a + bx2 )

y = {ax 2 +bx 4 +2ax( x)+2bx 3 ( x)+a( x) 2 +bx 2 ( x) 2 }-{a+bx 2 +2bx( x)+b( x) 2 }(x 2 ) [a + b (x + x)2 ] ( a + bx2)

y = ax 2 + bx 4 +2ax. x+ 2bx 3 x +a( x) 2 + bx 2 ( x) 2 - ax 2 + bx 4 + 2bx 3 . x + bx 2 ( x) 2 [a + b (x + x)2 ] ( a + bx2 )

y = 2ax. x + a( x) 2 .

[a + b (x + x)2 ] ( a + bx2 )

Factorando , dividiendo y simplificando para x:

y = ( x) {2ax + a( x)} = [a + b (x + x)2]( a + bx2 )(x)

y = ( x) {2ax + a( x)} .

[a + b (x + x)2](a + bx2) (x) .

y = (2ax + a. x) = 2ax + a ( 0 ) .

x [a + b (x + x)2 ] ( a + bx2) [a + b (x + 0)2] (a + bx2)lim x0

dy = 2ax + 0 = 2ax dx (a + bx2) (a + bx2) (a + bx2)2

Problemas - Paginas : 34 y 35

Aplicando las Derivadas, hallar la pendiente y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se indica.

1. y = x2 - 2 , siendo x = 1.

Page 38: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = 2x = 2 ( 1 ) = 2tg = 2 = m.

= arc tg 2 = 63o26'5''

2. y = 2x - 1 x2 , siendo x = 3. 2

dy = 2 - 1 . (2x) = 2 - xdx 2

dy = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1dx

m = dy = - 1 dx

tg = - 1

= arc tg - 1 = 135o

3. y = 4 , siendo x = 2. x - 1

dy = (- 4 ) .d(x-1) = (- 4 ) .( 1 ) = (- 4 ). dx (x-1)2 dx (x-1)2 (x-1)2

Sustituyendo x = 2, en y'.

dy = (- 4 ) = - 4 = - 4 = - 4 .

Page 39: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx (2-1)2 (1)2 1

m = - 4tg = - 4 = arc tg (- 4) = 104o 2' 10''

4. y = 3 + 3x - x3 , siendo x = -1 y' = 3 - 3x2

y' = 3 - 3 (-1)2 = 3 - 3 (1) = 3 - 3 = 0 .m = tg 0 = 0 .

= arc tg (0) = 0o

5. y = x3 - 3x2 , siendo x = 1y' = 3x2 - 6x.

Sustituyendo: x = 1 , en y'.y' = 3 (1)2 - 6(1) = 3 (1) - 6 = 3 - 6 = - 3 .m = tg = - 3 .

= arc tg ( - 3 ) = 108o 26' 5''

6. Hallar el punto de la curva y=5x - x2 en el que la inclinación de la tangente es de 45o.

y = 5x - x2. Según dato del problema tg 45º = 1 .y' = 5 - 2x. m = 1 .m = y' = 5 - 2x = 1.solucionando la ecuación: 5 - 2x = 1 ; 5 - 1 = 2x2 = x ; x = 2 .Sustituyendo x = 2 en la ecuación original.

Page 40: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 5x - x2.y = 5 ( 2 ) - ( 2 )2

y = 10 - 4 = 6.y = 6 .

P ( 2 , 6 )

7. En la curva y = x3 + x hallar los puntos en los que la tangente es paralela a la recta y = 4x.

Derivando la "curva" y "la recta":

y = x3 + x. y = 4x.

y' = 3x2 + 1. y' = 4

m1 = 3x2 + 1. m2 = 4

Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales.

m1 = m2

3x2 + 1 = 4 . Solucionando:

x = 1.

En la curva reemplazamos x = 1.

y = x3 + x . y = x3 + x

y1 = (1)3 + (1) y2 = (-1)3 + (-1)

y1 = 1 + 1 y2 = -1 -1 = -2

y1 = 2 y2 = -2

P1 (1 , 2) P2 (-1 , -2)

Page 41: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

En cada uno de los siguientes problemas hallar:

a) Los puntos de intercepción del par de curvas dado.b) La pendiente y la inclinación de la tangente a cada curva, y el ángulo formado por las tangentes en cada punto de intercepción.

8. y = 1 - x2.y = x2 - 1.

Igualamos las 2 curvas.1 - x2 = x2 - 1 .1 + 1 = x2 + x2 = 2x2 = 2x2 = 2/2 ; x2 = 1 ; x = 1Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:y = 1 - x2. y = x2 - 1.y' = - 2x. y'= 2x

Cuando: x = 1

m1 = - 2x m2 = 2x m1 = - 2(1) = - 2 m2 = 2(1) = m1 = - 2 m2 = 2

tg = m1 - m2 = - 2 - 2 = - 4 = - 4 = 4 . 1+ m1.m2 1 + (-2) (2) 1 - 4 - 3 3

tg = 4 ; = arc tg 4 = 53º 8' 3 3

Cuando: x = -1

m1 = - 2x = - 2(-1) = 2 m2 = 2x = 2 (-1) = -2

Page 42: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

m1 = 2 ; m2 = - 2

tg = m1 - m2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 = - 4 . 1+ m1.m2 1 + (2) (-2) 1 - 4 - 3 3

= arc tg (- 4/3)

= 126º 52' 11"

Puntos de intercepcióny = 1 - x2 ; Cuando: x = 1y = 1 - (1)2

y = 1 - 1 P1 = ( 1, 0 ) y = 0

Cuando x = -1 y = 1 - x2 .

y = 1 - (-1)2 P2 = ( -1 , 0 ) y = 1 - 1 y = 0

9. y = x2 (1) x - y + 2 = 0 (2)

Igualamos las 2 curvas en función de ''y'' para encontrar sus intercepciones.

y = x2. (1)y = x + 2. (2)

Page 43: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 = x + 2 x2 - x - 2 = 0 (x - 2) (x + 1) = 0

x = 2 ; x = -1

Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:y = x2 y = x + 2y' = 2x m1= 2x y' = 1 m2 = 1

Cuando: x = 2

m1 = 2x m2 = 1m1 = 2(2) = 4 m2 = 1m1 = 4 m2 = 1

tg = m1 - m2 . 1+ m1.m2

tg = 4 - 1 = 3 = 3 = 0,6 1 + (4)(1) 1 + 4 5

= arc tg (0,6) = 30º57'49"

Cuando: x = - 1

m1 = 2x m2 = 1m1 = 2(-1) = - 2 m2 = 1

m1 = - 2 m2 = 1

tg = m1 - m2 = - 2 - (1) tg = - 2 - 1 = - 3 = 3 .

Page 44: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1+ m1.m2 1 + (-2) (1) 1 - 2 -1

= arc tg ( 3)

= 71º 33' 54"

Puntos de intercepción

Cuando x = 2 Cuando x = -1

y = x2 y = x2 y = (2)2 = 4 . y = (-1)2 = 1

P1 (2 , 4) P2 (-1 , 1)

Problemas - Paginas : 44 , 45 y 46

Comprobar cada una de las siguientes derivadas.

9. d (3x 4 - 2x2 + 8) = 12x

3 - 4xdx

d (3x 4) - d (2x2) + d (8)

dx dx dx

Page 45: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3.d (x 4) - 2.d (x2) + 0

dx dx

3 (4x 3) - 2 (2x) = 12x3 - 4x

10. d (4 + 3x - 2x3) = 3 - 6x2.dx

d (4) + d (3x) - d (2x3)dx dx dx

0 + 3.d (x) - 2 d (x3) dx dx

3(1) - 2 (3x2) = 3 - 6x2

11. d (at5 - 5bt3) = 5at 4 - 15bt2.

dt

d (at5) - d (5bt3) = a.d (t5) - 5b.d (t3)dt dt dt dt

a(5t4) - 5b (3t2) = 5at4 - 15bt2

12. d ( z 2 - z 7 ) = z - z6.dz 2 7 d (z 2 ) - d ( z 7 ) = 1 d (z2) - 1 d (z7) dz 2 dz 7 2 7

1 (2z) - 1 (7z6) = z - z6

2 7 .

13. d √v = 1 . dv

Page 46: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2√v dx

dv .

dx = 1 . dv = 1 . dv 2(√v)2-1 2(√v)1 dx 2√v dx

14. d ( 2 - 3 ) = - 2 + 6 .dx x x2 x2 x3

d ( 2 ) - d ( 3 ) = - 2 . dx - ( -3 ) . d ( x2 ) = (-2 ).(1) + 3 (2x) = dx x x2 (x)2 dx ( x2)2 dx x2 x4 = - 2 + 6 x2 x3

15. d (2t 4/3 - 3t 2/3) = 8 t1/3 - 2t -1/3

dt 3

d (2t4/3) - d (3t2/3) = 2 d (t 4/3) - 3 d (t2/3)

dt dt dt dt

2. 4. t 4/3-1 - 3 . 2 . t

2/3-1 = 8 t 1/3 - 2 t -1/3

3 3 .

16. d (2x 3/4 + 4x -1/4) = 3 x -1/4 - x -5/4

dx 2

d (2x 3/4) + d (4x -1/4) = 2 d (x3/4) + 4 d (x -1/4)dx dx dx dx

2 . 3 . x 3/4-1 + 4 (-1). x -1/4-1 = 3 x -1/4 - x -5/4

4 4 2

17. d (x2/3 - a2/3) = 2 x -1/3.dx 3

Page 47: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d (x2/3) _ d (a2/3) = 2 x2/3-1 - 0 = 2 x -1/3

dx dx 3 3

18. d ( a +bx + cx 2 ) = c - a .dx x x2

d ( a + b x + c.x. x ) = d ( a ) + d ( b ) + d ( c.x )dx x x x dx x dx dx

(-a). d (x) + 0 + c.d (x) = -a + c (1) = c - a x2 dx dx x2 x2

19. y = √ x - 2 ; dy = 1 + 1 . 2 √x dx 4√x x √x

dy = 1 .d (√x) - (-2) . d (√x)dx 2 dx (√x)2 dx

dy = 1 .dx/dx + 2 .dx/dx = 1 . 1 + 2 . 1 = 1 + 1

dx 2 2√x x 2√x 2 2√x x 2 √x 4√x x√x

20. s = a + bt + ct 2 ; ds = - a + b + 3c √ t . √t dt 2t √t 2 √t 2

s = a + bt + ct 2 = a + b. t 2/2 + c.t 4/2 = a + b.t1/2 + c.t3/2. √t √t √t t1/2 t1/2 t1/2 t1/2

ds = d ( a ) + d ( b.t1/2) + d ( c.t3/2)dt dt t1/2 dt dt

ds = - a . d ( t1/2) + b . d ( t1/2 ) + c. d ( t3/2) dt (t1/2)2 dt dt dt

Page 48: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ds = - a . 1 .t1/2-1 + b . 1 . t1/2-1 + c. 3 . t3/2-1

dt t 2 2 2

ds = - a . t -1/2 + b . t -1/2 + 3c. t 1/2 = - a + b + 3c.t 1/2 . dt 2t 2 2 2.t.t1/2 2.t1/2 2

ds = _ a + b + 3c. √ t dt 2.t.√t 2.√t 2

21. y = √ax + a . ; dy = a - a . √ax dx 2.√ax 2x.√ax

y = (ax)1/2 + a = a1/2.x1/2 + a = a1/2.x1/2 + a 2/2 . (ax)1/2 a1/2. x1/2 a1/2. x1/2

y = a1/2. x1/2 + a 1/2 . x1/2

dy = d (a1/2. x1/2) + d ( a 1/2 ) = a1/2 . d (x1/2) + a1/2.d ( x -1/2).dx dx dx x1/2 dx dx

dy = a1/2. 1 . x 1/2-1 + a1/2. - 1 . x -1/2-1 = a 1/2 . x -1/2 - a 1/2 . x -3/2 dx 2 2 2 2

dy = a 1/2 - a 1/2 dx 2x1/2 2x3/2

Multiplicamos y dividimos por a1/2 , a cada sumando :

dy = a 1/2 .a 1/2 - a 1/2 .a 1/2 = a - a . dx 2x1/2.a1/2 2x3/2.a1/2 2x1/2.a1/2 2x.x1/2.a1/2

dy = a - a = a - a .

Page 49: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2√x.√a 2x.√x.√a 2.√ax 2x .√ax

22. r = √1 - 2 ; dr = - 1 . d √1 - 2

r = (1 - 2)1/2

dr = d [(1 - 2)1/2] = 1 (1 - 2)1/2-1.d (1 - 2)d d 2 d

dr = (1 - 2 ) -1/2 .( - 2 ) = - (1 - 2) -1/2 = - 1 = - 1 . d 2 (1 - 2)1/2 √1 - 2

23. f ( t ) = (2 - 3t2)3 ; f '(t) = - 18t(2-3t2)2.

f '( t ) = 3(2 - 3t2)3-1.d (2-3t2) dt

f '( t ) = 3(2 - 3t2)2.(0 - 6t) = 3(2 - 3t2)2(-6t) = -18t (2 - 3t2)2

24. f (x) = ∛4 - 9x ; f '(x) = - 3 . (4 - 9x) 2/3

f '(x) = (4-9x)1/3 = 1 (4-9x)1/3-1.d (4-9x) = 1 (4-9x)1/3-1.(0 - 9) =

3 dx 3

= 1 (4-9x)1/3-1 (- 9) = - 3(4-9x) -2/3 = - 3 . 3 (4-9x) 2/3

25. y = 1 ; dy = x .

√a2 - x2 dx (a2 - x2)3/2

Page 50: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 1 = (a2 - x2)- 1/2 . (a2 - x2)1/2

dy = - 1 (a2 - x2)- 1/2 -1.d (a2 - x2) = - (a 2 - x 2 ) - 3/2 .(0 - 2x) .dx 2 dx 2

dy = -1 . (- 2.x) = x . dx 2 (a2 - x2) 3/2 (a2 - x2) 3/2

26. f () = (2 - 5)3/5 ; f '() = - 3 . (2 - 5)2/5

f '() = 3 (2 - 5)3/5-1 . d (2 - 5) 5 d

f '() = 3(2 - 5 ) -2/5 (0 - 5) = 3 (- 5 ) = - 3 . 5 5 (2 - 5)2/5 (2 - 5)2/5

27. y = a - b 2 ; dy = 2b a - b .

x dx x2 x

dy = 2 ( a- b )2-1.d (a - b )dx x dx x

dy = 2 a - b . d (a) - d ( b ) = 2 a - b 0 - d (b.x -1)

dx x dx dx x x dx

dy = 2 a - b [- (-b.x -1-1)] dx x

dy = 2 a - b [b.x-2] = 2 a - b b = 2b a - b . dx x x x2 x2 x

Page 51: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

28. y = a + b 3 ; y' = - 6b a + b 2 .

x2 x3 x2

y'= 3 a + b 3-1 . d a + b .

x2 dx x2

y'= 3 a + b 2 . -b . d (x2) x2 (x2)2 dx

y'= 3 a + b 2 . -b (2x) = - 6b a + b

2

x2 x4 x3 x2

29. y = x √a + bx ; y' = 2a + 3bx . 2(a + bx)1/2

y = x (a + bx)1/2

y'= x.d (a + bx)1/2 + (a + bx)1/2.d (x) dx dx

y'= x. 1 .(a + bx) 1/2-1 .d (a + bx) + (a + bx)1/2(1) 2 dx

y'= x(a + bx) -1/2 (b) + (a + bx)1/2 = bx + (a + bx)1/2

2 2(a + bx)1/2

Page 52: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= bx + 2(a + bx) 1/2 .(a + bx) 1/2 = bx + 2(a + bx) = bx + 2a + 2bx. 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2

y'= 2a + 3bx . 2(a + bx)1/2

30. s = t √a2 + t2 ; s'= a 2 + 2t 2 √a2 + t2

s = t (a2 + t2)1/2

ds = t.d (a2 + t2)1/2 + (a2 + t2)1/2.dtdt dt dt

ds = t. 1 .( a2 + t2)1/2-1.d (a2 + t2) + (a2 + t2)1/2.( 1 ) dt 2 dtds = t( a 2 + t 2 ) -1/2 .( 2.t ) + ( a2 + t2)1/2 = t 2 + ( a2 + t2)1/2 .dt 2 ( a2 + t2)1/2

ds = t 2 + {(a 2 + t 2 ) 1/2 } 2 = t 2 + a 2 + t 2 = a 2 + 2t 2 . ( a2 + t2)1/2 ( a2 + t2)1/2 √( a2 + t2)

31. y = a - x ; y'= - 2a . a + x (a + x)2

(a+x).d (a-x) - (a-x).d (a+x)

dy = dx dx = (a + x) ( -1 ) - ( a - x) ( 1 ) dx (a + x)2 (a + x)2

dy = - a - x - a + x = _ 2a . dx (a + x)2 (a + x)2

32. y = a 2 + x 2 ; y' = 4a 2 x . a2 - x2 (a2 - x2)2

Page 53: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(a2 - x2).d (a2 + x2) - (a2 + x2).d (a2 - x2)dy = dx dx . dx (a2 - x2)2

dy = (a 2 - x 2 ) (2x) - (a 2 + x 2 ) (- 2x) = 2a 2 x - 2x 3 + 2a 2 x + 2x 3 dx (a2 - x2)2 (a2 - x2)2

dy = 4a 2 x .dx (a2 - x2)2

33. y = √ a 2 + x 2 ; y' = - a 2 . x x2 √a2 + x2

y = (a 2 + x 2 ) 1/2 x x.d (a2 + x2)1/2 - (a2 + x2)1/2.d (x)y'= dx dx . x2

x. 1 . (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) - (a2 + x2)1/2(1)y'= 2 dx . x2

x(a 2 + x 2 ) -1/2 (2x) - (a2 + x2)1/2 x(a 2 + x 2 ) -1/2 ( 2 x) - (a2 + x2)1/2

y'= 2 = 2 . x2 x2

x 2 - (a2 + x2)1/2 x 2 - (a 2 + x 2 ) 1/2 . (a 2 + x 2 ) 1/2 y'= (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 . x2 x2

x 2 - (a 2 + x 2 ) x 2 - a 2 - x 2 -a 2 .

y'= (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 =

x 2 x 2 x 2 . 1 1 1

Page 54: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= - a 2 = - a 2 .

x2(a2 + x2)1/2 x2 √a2 + x2

34. y = x ; y'= a 2 . √a2 - x2

(a2 - x2)3/2

y = x . (a2 - x2)1/2

(a2 - x2)1/2.d (x) - x.d {(a2 - x2)1/2}y'= dx dx . {(a2 - x2)1/2}2

(a2 - x2)1/2(1) - x. 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2)}y'= 2 dx .

(a2 - x2)2/2

(a2 - x2)1/2 - x.(a 2 - x 2 ) -1/2 (- 2 x) } (a2 - x2)1/2 + x 2 .y'= 2 = (a 2 - x 2 ) 1/2 .

(a2 - x2)2/2 (a2 - x2)

(a 2 - x 2 ) 1/2 . (a 2 - x 2 ) 1/2 + x 2 .y'= (a 2 - x 2 ) 1/2 = (a 2 - x 2 ) 1/2 . (a 2 - x 2 ) 1/2 + x 2 .

(a2 - x2) (a2 - x2)(a2 - x2)1/2

y'= (a 2 - x 2 ) + x 2 = a 2 - x 2 + x 2 = a 2 . (a2 - x2)3/2 (a2 - x2)3/2 (a2 - x2)3/2

35. r = 2 √3 - 4 ; r'= 6 - 10 2 . (3 - 4)1/2

r = 2 .(3 - 4)1/2

r'= 2.d (3 - 4)1/2 + (3 - 4)1/2.d (2)

Page 55: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d d

r'= 2. 1 .(3 - 4)1/2-1.d (3 - 4) + (3 - 4)1/2(2) 2 d

r'= 2 (3 - 4 ) -1/2 (- 4 ) + (3 - 4)1/2(2) = - 2 2 + (2)(3 - 4)1/2

2 (3 - 4)1/2

r'= - 2 2 + (2 )(3 - 4 ) 1/2 .(3 - 4 ) 1/2 = - 2 2 + (2 )(3 - 4 ) (3 - 4)1/2 (3 - 4)1/2

r'= - 2 2 + 6 - 8 2 = 6 - 10 2 . (3 - 4)1/2 (3 - 4)1/2

36. y = 1 - cx ; y'= - c . 1 + cx (1 + cx ) √1 - c2x2

y = (1 - cx) 1/2 . (1 + cx)1/2

(1 + cx)1/2.d [(1 - cx)1/2] - (1 - cx)1/2.d [(1 + cx)1/2] dy = dx dx .dx [(1 + cx)1/2]2

(1 + cx)1/2. 1 (1 - cx)1/2-1.d (1-cx) - (1 - cx)1/2. 1 .(1 + cx)1/2-1.d (1 + cx)dy = 2 dx 2 dx .

dx (1 + cx)

(1 + cx) 1/2 (1 - cx) -1/2 ( -c) - (1 - cx) 1/2 (1 + cx) -1/2 ( c) dy = 2 2 .dx (1 + cx )

- c (1 + cx ) 1/2 _ c (1 - cx ) 1/2 . dy = 2 (1 - cx) 1/2 2 (1 + cx ) 1/2 = dx ( 1 + cx )

-c [(1 + cx) 1/2 ] 2 - c [(1 - cx) 1/2 ]2

dy = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 .

Page 56: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(1 + cx )

- c (1 + cx ) - c ( 1 - cx ) - c - c 2 x - c + c 2 x .

dy = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 dx ( 1 + cx ) ( 1 + cx ) . 1 1

dy = - 2 c = dx 2 (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2(1 + cx )

dy = - c .

dx (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2(1 + cx )

dy = - c = - c .dx ( 1 + cx ) .√1 - cx . √1 + cx (1 + cx ).√(1 - cx )(1 + cx )

dy = _ c .dx (1 + cx ) √1 - c2x2

37. y = a 2 + x 2 ; y'= 2a 2 x . a2 - x2 (a2 - x2) (a4 - x4)

y = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a2 - x2)1/2

(a2 - x2)1/2.d (a2 + x2)1/2 _ (a2 + x2)1/2.d (a2 - x2)1/2

dy = dx dx .dx [(a2 - x2)1/2]2

(a2 - x2)1/2.1. (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) _ (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)1/2-1.d (a2-x2) dy = 2 dx 2 dx .

Page 57: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx (a2 - x2)

(a2 - x2)1/2.1.(a2 + x2)-1/2(2x) - (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)-1/2(- 2x)dy = 2 2 . dx (a2 - x2)

x .(a 2 - x 2 ) 1/2 + x.(a 2 + x 2 ) 1/2 dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = dx (a2 - x2)

x{(a 2 - x 2 ) 1/2 } 2 + x {(a 2 + x 2 ) 1/2 } 2 dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 .dx (a2 - x2)

x(a 2 - x 2 ) + x (a 2 + x 2 ) a 2 x - x 3 + a 2 x + x 3 . dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = dx (a2 - x2) (a2 - x2) 2 a 2 x . dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = 2 a 2 x =

dx (a 2 - x 2 ) . (a2 - x2) (a2 + x2)1/2 (a2-x2)1/2

1

dy = 2 a 2 x = 2 a 2 x =

dx (a2 - x2).√(a2 + x2)√(a2-x2) (a2 - x2)√(a2 + x2) (a2-x2)

dy = 2 a 2 x .dx (a2 - x2).√(a4 - x4)

38. s = 3 2 + 3t ; s'= 4 . 2 - 3t (2 + 3t)2/3(2 - 3t)4/3

s = (2 + 3t) 1/3 (2 - 3t)1/3

(2 - 3t)1/3.d (2 + 3t)1/3 _ (2 + 3t)1/3.d (2 - 3t)1/3

Page 58: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ds = dt dt .dt [(2 - 3t)1/3]2

(2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)1/3-1.d (2 + 3t) _ (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)1/3-1.d (2 - 3t)ds = 3 dt 3 dt . dt (2 - 3t)2/3

(2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)-2/3( 3 ) - (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)-2/3 (- 3 )ds = 3 3 .dt (2 - 3t)2/3

(2 - 3t) 1/3 + (2 + 3t) 1/3 ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = dt (2 - 3t)2/3

(2 - 3t) 1/3 (2 - 3t) 2/3 + (2 + 3t) 1/3 (2 + 3t) 2/3 ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 .dt (2 - 3t)2/3

(2 - 3t) 1/3+2/3 + (2 + 3t) 1/3+2/3 (2 - 3t) 3/3 + (2 + 3t) 3/3 .ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 .dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3

(2 - 3t) + (2 + 3t) 2 - 3t + 2 + 3t .

ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3 4 .ds = (2+ 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = 4 = (2 + 3t)2/3(2 - 3t)4/3

dt (2 - 3t) 2/3 (2 - 3t)2/3 1

39. y = √2px ; y'= p . y

dy = 1 . (2px)1/2-1.d (2px) = 1 . (2px)-1/2( 2p ) = p .dx 2 dx 2 (2px)1/2

Page 59: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Sustituyendo: y = √2px = (2px)1/2 , en la derivada.

dy = p .dx y

40. y = b √a2 - x2 ; y'= - b 2 x . a a2y

y = b (a2 - x2)1/2

a

dy = b . 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) = b . 1 .(a2 - x2)-1/2 ( - 2x ) dx a 2 dx a 2

dy = - bx . Multiplicamos y dividimos por: "a . b" .dx a (a2 - x2)1/2

dy = - b.x.a.b. = - b 2 x .a. .dx a.a.b.(a2 - x2 )1/2 a2.b.(a2 - x2 )1/2

Según el problema: y = b ( a2 - x2 )1/2 ; 1 = a . a y b (a2 - x2 )1/2

dy = - b 2 x . a = - b 2 x . 1 = _ b 2 x . dx a2 b (a2 - x2 )1/2 a2 y a2y

41. y = (a2/3 - x2/3)3/2 ; y'= - 3 y . xy'= 3 . (a2/3 - x2/3)3/2-1.d (a2/3 - x2/3) = 3 . (a2/3 - x2/3)1/2(0 - 2x2/3-1) 2 dx 2 3

y'= 3 . (a2/3 - x2/3)1/2( - 2x2/3-1) 2 3

y'= - (a 2/3 - x 2/3 ) 1/2 . Elevando al cubo y sacando raiz cúbica x1/3 tanto al númerador y denominador.

Page 60: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 3 -(a 2/3 - x 2/3 ) 1/2

3 = 3 -(a 2/3 - x 2/3 ) 3/2 .

x1/3 x3/3

Pero: y = (a2/3 - x2/3)3/2,sustituimos en y'.

y'= - 3 y .

x

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:

42. f (x) = √2x + ∛3x ; f '(x) = 1 + 1 .

(2x)1/2 (3x)2/3 f (x) = (2x)1/2 + (3x)1/3 .

f '(x) = 1 . (2x)1/2-1.d (2x) + 1 . (3x)1/3-1.d (3x) 2 dx 3 dx

f '(x) = (2x) -1/2 ( 2 ) + (3x) -2/3 ( 3 ) = (2x)-1/2 + (3x)-2/3 = 1 + 1 .

2 3 (2x)1/2 (3x)2/3

43. y = 2 - x ; y'= 2x 2 - 8x - 1 . 1 + 2x2 (1 + 2x2)2

(1 + 2x2).d (2 - x) - (2 - x).d (1 + 2x2) y'= dx dx . (1 + 2x2)2

y'= (1 + 2x 2 )( - 1) - (2 - x)(4x) = - (1 + 2x 2 ) - (2 - x)(4x)

(1 + 2x2)2 (1 + 2x2)2

y'= - 1 - 2x 2 - 8x + 4x 2 = 2x 2 - 8x - 1 . (1 + 2x2)2 (1 + 2x2)2

44. y = x ; y'= 2a - bx .

Page 61: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

√a - bx 2(a - bx)3/2

y = x = x . (a - bx)-1/2 .

(a - bx)1/2

y'= x .d (a - bx)-1/2 + (a - bx)-1/2.d (x) dx dx

y'= x. - 1 . (a - bx)-1/2-1.d (a - bx) + (a - bx)-1/2(1) 2 dx

y'= - x(a - bx) -2/2 (a - bx) -1/2 ( - b) + (a - bx)-1/2

2

y'= bx(a - bx) -2/2 (a - bx) -1/2 + 2(a - bx) -1/2 2 1 bx + 2 .y'= (a - bx) -1/2 {bx(a - bx) -2/2 + 2} = (a - bx) 1/2 (a - bx) .

2 2

1 bx +2(a-bx) bx + 2a - 2bx .

y'= (a - bx) 1/2 (a - bx) = (a - bx) 1/2 (a - bx) 2/2 = 2a - bx . 2 2 2(a - bx)3/2

1

45. s = √ a + bt ; s'= - (2a + bt) . t 2t2(a + bt)1/2

s = (a + bt) 1/2 t

t.d (a + bt)1/2 - (a + bt)1/2.d (t)ds = dt dt . dt t2

Page 62: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

t. 1 .( a + bt)1/2-1.d (a + bt) - (a + bt)1/2.(1) ds = 2 dt .dt t2

t. ( a + bt) -1/2 (b) - (a + bt)1/2 bt - (a + bt)1/2.ds = 2 = 2(a + bt) 1/2 .dt t2 t2

bt - 2{(a + bt) 1/2 } 2 bt - 2(a + bt) bt - 2a - 2bt ds = 2(a + bt) 1/2 = 2(a + bt) 1/2 = 2(a + bt) 1/2 . dt t2 t2 t2

- 2a - bt .ds = 2(a + bt) 1/2 = - 2a - bt = - (2a + bt) .dt t2 2t2(a + bt)1/2 2t2(a + bt)1/2

46. r= 3 a + b ; r'= - (3a + 2b ) . 32 (a + b)2/3

r = (a + b ) 1 /3

.d (a + b)1/3 - (a + b)1/3.d () dr = d d .d 2

. 1 . (a + b)1/3-1.d (a + b) - (a + b)1/3. (1) dr = 3 d . d 2

.(a + b ) -2/3 (b) - (a + b)1/3 b - (a + b)1/3 dr = 3 = 3(a + b ) 2/3 .

Page 63: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d 2 2

b - 3(a + b ) 1/3 .(a + b ) 2/3 b - 3(a + b ) b - 3a - b dr = 3(a + b ) 2/3 = 3(a + b ) 2/3 = 3(a + b ) 2/3 d 2 2 2

dr = - 3a - 2b = - (3a + 2b ) .d 32 (a + b)2/3 32 (a + b)2/3

47. y = x2 √5 - 2x ; y'= 10x - 5x 2 . (5 - 2x)1/2

y = x2(5 - 2x)1/2

dy = x2.d (5 - 2x)1/2 + (5 - 2x)1/2.d (x2)dx dx dx

dy = x2. 1 . (5 - 2x)1/2-1.d (5 - 2x) + (5 - 2x)1/2( 2x ) dx 2 dx

dy = x 2 (5 - 2x) -1/2 (- 2 ) + (5 - 2x)1/2( 2x ) = - x 2 + (5 - 2x)1/2( 2x )dx 2 (5 - 2x)1/2

dy = - x 2 + (5 - 2x) 1/2 . (5 - 2x) 1/2 ( 2x ) = - x 2 + 2x(5 - 2x) dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2

dy = - x 2 + 10x - 4x 2 = 10x - 5x 2 .dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2

48. y = x. ∛ 2 + 3x ; y'= 2(2 x + 1). (2 + 3x)2/3

y = x ( 2 + 3x )1/3

dy = x.d ( 2 + 3x )1/3 + ( 2 + 3x )1/3.d (x)

Page 64: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx dx dx

dy = x. 1 . (2 + 3x)1/3-1.d (2 + 3x) + (2 + 3x)1/3(1) dx 3 dx

dy = x.( 2 + 3x ) -2/3 ( 3 ) + ( 2 + 3x )1/3 = x + ( 2 + 3x )1/3 dx 3 ( 2 + 3x )2/3

dy = x + ( 2 + 3x ) 1/3 .( 2 + 3x ) 2/3 = x + ( 2 + 3x ) = x + 2 + 3x .

dx (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3

dy = 4x + 2 = 2 (2 x + 1 ).dx ( 2 + 3x )2/3 ( 2 + 3x )2/3

49. s = 2t - 1 ; s'= (t 3 + 1) .

t2 t2. ( 2t3 - 1 )1/2

s = 2t - 1 1/2 ; ds = d 2t - 1

1/2

t2 dt dt t2

ds = 1 2t - 1 1/2-1.d 2t - 1 = 1 2t - 1

-1/2.d [(2t - t -2 )] dt 2 t2 dt t2 2 t2 dt

ds = 1 . ( 2t - t-2 )-1/2.[2 -(-2.t -2-1 )] = . 1 .[2 + 2t -3 ] dt 2 2( 2t - t -2 )1/2

2 + 2 . 2t 3 + 2 2(t 3 + 1) .

ds = (2 + 2t -3 ) = t 3 = t 3 = t 3 =

dt 2( 2t - t -2 )1/2 2 2t - 1 1/2 2( 2t 3 - 1 ) 1/2 2( 2t 3 - 1 ) 1/ 2

t2 ( t2 )1/2 t

Page 65: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ds = 2 . t .(t 3 + 1) = (t 3 + 1) . dt 2 . t 3. ( 2t3 - 1 )1/2 t2. ( 2t3 - 1 )1/2

50. y = ( x + 2 )2 √x2 + 2 ; y'= 3x 3 + 6x 2 + 8x + 8 . (x2 + 2)1/2

y = ( x + 2 )2. ( x2 + 2 )1/2

dy = ( x + 2 )2.d ( x2 + 2 )1/2 + ( x2 + 2 )1/2.d ( x + 2 )2 dx dx dx

dy = (x + 2)2. 1 . (x2 + 2)1/2-1.d (x2 + 2) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)2-1.d (x + 2) dx 2 dx dx

dy = (x + 2) 2 (x 2 + 2) -1/2 .( 2 x ) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)(1)dx 2 .

dy = x (x + 2) 2 + 2(x2+2)1/2(x+2) = dx (x2 + 2)1/2

dy = x(x + 2) 2 + 2(x 2 + 2) 1/2 .(x 2 + 2) 1/2 .(x + 2) dx (x2 + 2)1/2

dy = x (x 2 + 2x + 4) + 2( x 2 + 2)(x + 2) =

dx (x2 + 2)1/2

dy = x 3 + 2x 2 + 4x + 2(x 3 + 2x 2 + 2x + 4) dx (x2 + 2)1/2

dy = x 3 + 2x 2 + 4x + 2x 3 + 4x 2 + 4x + 8 = 3x 3 + 6x 2 + 8x + 8 dx (x2 + 2)1/2 (x2 + 2)1/2

51. y = √ 1 + 2x . ; y'= x . ∛1 + 3x (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)4/3

Page 66: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = ( 1 + 2x )1/2

( 1 + 3x )1/3

( 1 + 3x )1/3.d ( 1 + 2x )1/2 - ( 1 + 2x )1/2.d ( 1 + 3x )1/3 dy = dx dx .dx [( 1 + 3x )1/3]2

(1 + 3x)1/3. 1 .(1 + 2x)1/2-1.d(1 + 2x) -(1 + 2x)1/2.1.(1 + 3x)1/3-1.d (1 + 3x) dy = 2 dx 3 dx . dx ( 1 + 3x )2/3

(1 + 3x) 1/3 (1 + 2x) -1/2 ( 2 ) _ (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) -2/3 ( 3 ) dy = 2 3 .dx ( 1 + 3x )2/3

(1 + 3x) 1/3 _ (1 + 2x) 1 /2

dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =

dx ( 1 + 3x )2/3

(1 + 3x) 1/3 (1 + 3x) 2/3 - (1 + 2x) 1/2 (1 + 2x) 1/ 2

dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =

(1 + 3x)2/3

(1+3x) - (1+2x) 1 + 3x - 1 - 2x dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =

dx ( 1 + 3x )2/3 ( 1 + 3x )2/3

x . dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 = x =.

dx ( 1 + 3x )2/3 (1 + 2x)1/2(1 + 3x)2/3(1 + 3x)2/3

dy = x = dx (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)4/3

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dado de x.

52. y = ( x2 - x )3 ; x = 3 .

Page 67: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = 3 ( x2 - x )3-1. d ( x2 - x )dx dx

dy = 3 ( x2 - x )2 (2x - 1 ) ; Sustituyendo x = 3.dx

dy = 3 [ (3)2 - 3 ]2 [2(3) - 1 ) ] dx

dy = 3 (9 - 3)2.(6 - 1) = 3(6)2.(5) = 3.(36)(5) = 540dx

53. y = ∛x + √x ; x = 64.

y = ( x )1/3 + ( x )1/2

dy = 1 . ( x )1/3-1.dx + 1 . ( x )1/2-1.dxdx 3 dx 2 dx

dy = ( x ) -2/3 ( 1 ) + ( x ) -1/2 ( 1 ) = 1 + 1 .dx 3 2 3( x )2/3 2( x )1/2

Cuando x = 64.

dy = 1 + 1 = 1 + 1 . dx 3(64)2/3 2(64)1/2 3(26)2/3 2(26)1/2

dy = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1 . dx 3(2)12/3 2(2)6/2 3(2)4 2(2)3 3(16) 2(8)

dy = 1 + 1 = 1 + 3 = 4 = 1 .

Page 68: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 48 16 48 48 12

54. y = (2x)1/3 + (2x)2/3 ; x = 4

dy = d (2x)1/3 + d (2x)2/3

dx dx dx

dy = 1 . (2x)1/3-1.d (2x) + 2 (2x)2/3-1.d (2x) dx 3 dx 3 dx

dy = (2x) -2/3 (2) + 2 ( 2x )-1/3(2) = 2 + 4 . dx 3 3 3(2x)2/3 3(2x)1/3

dy = 2 + 4 = 2 + 4 =

dx 3(2.4)2/3 3(2.4)1/3 3(8)2/3 3(8)1/3

dy = 2 + 4 = 2 + 4 =

dx 3(23)2/3 3(23)1/3 3(22) 3(2)

dy = 2 + 4 = 2 + 8 = 10 = 5 .dx 12 6 12 12 12 6

55. y = √9 + 4x 2

y = (9 + 4x2)1/2 ; x = 2

dy = 1 .( 9 + 4x2 )1/2-1.d (9 + 4x2) dx 2 dx

dy = (9 + 4x 2 ) - 1/2 ( 8 x) = 4x . Cuando x = 2 .dx 2 ( 9 + 4x2 )1/2

dy = 4(2) = 4(2) = 8 = 8 = 8 .dx ( 9 + 4.22 )1/2 ( 9 + 16 )1/2 ( 25 )1/2 √25 5

Page 69: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

56. y = 1 . √25 - x2

y = 1 = ( 25 - x2 )-1/2. ( 25 - x2 )1/2

dy = - 1 (25 - x2 )-1/2-1.d (25 - x2 ) = - (25 - x 2 ) -3/2 ( - 2 x) = dx 2 dx 2

dy = + x . Cuando x = 3dx (25 - x2 )3/2

dy = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 .dx (25 - 32 )3/2 (25 - 9 )3/2 (16)3/2 (24)3/2 212/2 26 64

57. y = √ 16 + 3x ; x = 3 x

y = (16 + 3x ) 1/2 x

x. d (16 + 3x )1/2 - (16 + 3x )1/2. d ( x )dy = dx dx .dx x2

x. 1 . (16 + 3x )1/2-1.d (16 + 3x ) - (16 + 3x )1/2 ( 1 ) dy = 2 dx .dx x2

x (16 + 3x) -1/2 ( 3 ) - (16 + 3x )1/2 3x - (16 + 3x )1/2 dy = 2 = 2(16 + 3x) 1/2 .dx x2 x2

3x - 2(16 + 3x) 1/2 (16 + 3x) 1/ 2 3x - 2 (16 + 3x) 3x - 32 - 6x

Page 70: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = 2(16 + 3x) 1/2 = 2(16 + 3x) 1/2 = 2(16 + 3x) 1/2 dx x2 x2 x 2 .

1

dy = - 32 - 3x . ; Sustituyendo: x = 3 en: dy/dx . dx 2x2(16 + 3x)1/2

dy = - 32 - 3(3) = - 32 - 9 = - 41 = - 41 = - 41 .dx 2 (3)2 [(16 + 3(3)]1/2 2.9[16 + 9]1/2 18(25)1/2 18(5) 90

58. y = x √8 - x2 ; x = 2

y = x (8 - x2)1/2

dy = x. d (8 - x2)1/2 + (8 - x2)1/2. d (x) dx dx dx

dy = x. 1 .(8 - x2 )1/2-1.d (8 - x2) + (8 - x2)1/2(1) dx 2 dxdy = x(8 - x 2 ) -1/2 (-2x) + (8 - x2)1/2 = - 2 x 2 + (8 - x2)1/2 dx 2 2 .(8 - x2)1/2

dy = - x 2 + (8 - x 2 ) 1/2 (8 - x 2 ) 1/2 = - x 2 + (8 - x 2 ) = - x 2 + 8 - x 2 dx (8 - x2)1/2 (8 - x2)1/2 (8 - x2)1/2

dy = 8 - 2 x 2 . Cuando x = 2dx (8 - x2)1/2

dy = [8 - 2(2) 2 ] = 8 - 2(4) = 8 - 8 = 0 = 0 . dx (8 - 22)1/2 (8 - 4)1/2 ( 4 )1/2 2

Page 71: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

59. y = x2 √1 + x3 ; x = 2

y = x2 (1 + x3)1/2

dy = x2. d (1 + x3)1/2 + (1 + x3)1/2.d (x2) dx dx dx

dy = x2. 1 . (1 + x3)1/2-1.d (1 + x3) + (1 + x3)1/2 (2x) dx 2 dx

dy = x 2 (1 + x 3 ) -1/2 ( 3x 2 ) + (1 + x3)1/2(2x) = 3 x 4 + 2x.(1 + x3)1/2 dx 2 2(1 + x3)1/2

dy = 3x 4 + 2x.2 (1 + x 3 ) 1/2 (1 + x 3 ) 1/2 = 3x 4 + 4x ( 1 + x 3 )

dx 2(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2

dy = 3x 4 + 4x + 4x 4 = 7 x 4 + 4 x .dx 2(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2

Sustituyendo: x = 4 en y'.

dy = 7.(2) 4 + 4(2) = 7 ( 16 ) + 8 = 112 + 8 = 120 = 20 . dx 2(1 + 23)1/2 2( 9 )1/2 2( 3 ) 6

60. y = (4 - x2)3 ; x = 3dy = 3(4 - x2)3-1.d (4 - x2) dx dx

dy = 3(4 - x2)2(- 2x) = - 6x (4 - x2)2 . Sustituyendo: x = 3 en y'.dx

dy = - 6(3) (4 - 32)2 = - 18 (4 - 9)2 = - 18(- 5)2 = -18(25) = - 450

Page 72: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx

61. y = x 2 + 2 2 - x2

(2 - x2).d (x2 + 2) - (x2 + 2).d (2 - x2) dy = dx dx .dx (2 - x2)2

dy = (2 - x 2 )( 2x ) - (x 2 + 2)( -2x ) = (2 - x 2 )(2x) + (x 2 + 2)(2x) dx (2 - x2)2 (2 - x2)2

dy = 2x [ 2 - x 2 + (x 2 + 2 )] = 2x ( 2 - x 2 + x 2 + 2 ) dx (2 - x2)2 (2 - x2)2

dy = 2x ( 4 ) = 8x . Sustituyendo: x = 2 en y'. dx (2 - x2)2 (2 - x2)2

dy = 8( 2 ) = 16 = 16 = 16 = 4 .dx ( 2 - 22 )2 ( 2 - 4 )2 ( - 2 )2 4

62. y = √ 5 - 2x ; x = 1 . 2x + 1 2

y = (5 - 2x) 1 /2

2x + 1

(2x + 1). d (5 - 2x)1/2 - (5 - 2x)1/2.d (2x + 1) dy = dx dx .dx (2x + 1)2

(2x + 1). 1 .(5 - 2x)1/2-1.d ( 5 - 2x) - (5 - 2x)1/2(2) dy = 2 dx .

Page 73: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx (2x + 1)2

(2x + 1)( 5 - 2x) -1/2 ( - 2 ) - 2 (5 - 2x)1/2 - ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x)1/2

dy = 2 = (5 - 2x ) 1/2 . dx (2x + 1)2 (2x + 1)2

- ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x) 1/2 . (5 - 2x) 1/ 2 - 2x - 1 - 2(5 - 2x)dy = (5 - 2x) 1/2 = (5 - 2x) 1/2 .dx (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 .

1 1

-2x - 1 - 10 + 4xdy = (5 - 2x ) 1/2 = 2x - 11 ; Cuando x = 1 .dx (2x + 1) 2 (5 - 2x )1/2 (2x + 1)2 2 1

2 . 1 . - 11 dy = 2 = 1 - 11 = - 10 = - 10 .

dx {5 - 2.1}1/2{ 2 . 1 . + 1}2 (5 -1)1/2(1+1)4/2 (4)1/2(2)4/2 (22)1/2(2)2 2 2 .

dy = - 10 = - 10 = - 10 = - 5 .

dx (22/2)(4) (2)(4) 8 4

63. y = x √(3 + 2x) ; x = 3

y = x (3 + 2x)1/2

dy = x.d (3 + 2x)1/2 + (3 + 2x)1/2.d (x) dx dx dx

dy = x . 1 . (3 + 2x)1/2-1.d (3 + 2x) + (3 + 2x)1/2 (1)

Page 74: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2 dx

dy = x (3 + 2x) -1/2 ( 2 ) + (3 + 2x)1/2 = x + (3 + 2x)1/2 dx 2 ( 3 + 2x )1/2

dy = x + (3 + 2x) 1/2 .(3 + 2x) 1/2 = x + (3 + 2x) = x + 3 + 2x .dx ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2

dy = 3 + 3x ; Cuando x = 3dx ( 3 + 2x )1/2

dy = 3 + 3(3) = 3 + 9 = 12 = 12 = 4.dx ( 3 + 2.3 )1/2 (3 + 6)1/2 91/2 3

64. y = 4x + 1 ; x = 2 5x - 1

y = (4x + 1) 1/ 2

(5x - 1)1/2

(5x - 1)1/2.d (4x + 1)1/2 - (4x + 1)1/2.d (5x - 1)1/2 dy = dx dx .dx [(5x - 1)1/2]2

(5x -1)1/2. 1 .(4x+1)1/2-1.d (4x +1) - (4x +1)1/2. 1 .(5x -1)1/2-1.d (5x -1)dy = 2 dx 2 dx .dx (5x - 1)

(5x - 1) 1/2 (4x + 1) -1/2 ( 4 ) - (4x + 1) 1/2 .(5x - 1) -1/2 ( 5 ) dy = 2 2 .dx (5x - 1)

4(5x - 1) 1/2 - 5(4x + 1) 1/ 2 4(5x - 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 - 5.(4x + 1) 1/2 (4x + 1) 1/2 dy = 2(4x +1) 1/2 2(5x-1) 1/2 = 2(4x +1) 1/2 (5x-1) 1/2 . dx (5x - 1 ) (5x - 1 )

Page 75: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4(5x - 1) - 5(4x + 1) 20x - 4 - 20x - 5 - 9 .dy = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/ 2 = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 dx (5x-1) (5x-1) (5x-1) 1/2 (5x-1) 1/2 . 1

dy = - 9 = - 9 . dx 2(5x - 1)(4x +1)1/2(5x-1)1/2 2(5x - 1)[(4x +1)(5x-1)]1/2

Cuando x = 2.

dy = - 9 = - 9 .

dx 2(5.2 - 1) [(4.2 +1)(5.2-1)]1/2 2(10 - 1) [ ( 9 )( 9 ) ]1/2

dy = - 9 = - 1 = -1 = - 1 .dx 2( 9 ) [81]1/2 2.[81]1/2 2(9) 18

65. y = x 2 - 5 ; x = 3 10 - x2

y = (x 2 - 5) 1/2 (10 - x2)1/2

(10 - x2)1/2.d (x2 - 5)1/2 - (x2 - 5)1/2.d (10 - x2)1/2 dy = dx dx .dx [(10 - x2)1/2]2

(10 - x2)1/2. 1 .(x2 -5)1/2-1.d (x2 -5) - (x2 -5)1/2.1.(10 - x2)1/2-1.d (10-x2)dy = 2 dx 2 dx .dx (10 - x2)

(10 - x 2 ) 1/2 (x 2 -5) -1/2 ( 2 x ) - (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) -1/2 ( - 2 x ) dy = 2 2 .dx (10 - x2)

x(10 -x 2 ) 1/ 2 + x(x 2 -5) 1 /2 x(10 -x 2 ) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 + x(x 2 -5) 1/2 (x 2 -5) 1/2 dy = (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) 1/2 . dx (10 - x2) (10 - x2)

Page 76: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x(10 -x 2 ) + x(x 2 -5) 10x - x 3 + x 3 - 5x 5x .dy =(x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 dx (10 -x2) (10 -x2) (10 -x2)

dy = 5x . ; Cuando x = 3dx (10 -x2) (10 -x2)1/2(x2-5)1/2

dy = 5 ( 3 ) = 15 . dx (10 -32)(10 -32)1/2(32-5)1/2 (10 - 9) (10 - 9)1/2(9 - 5)1/2

dy = 15 = 15 = 15 = 15 . dx ( 1 )( 12 )1/2( 4 )1/2 (1 )( 1 )( 22 )1/2 ( 1 )( 2 ) 2

Problemas - Pagina 50

Hallar dy para cada una de las siguientes funciones : dx

1. y = u6 , u = 1 + 2√x

dy = 6u5 du = 2 . 1 = 1 .du dx 2 √x √x

Pero : dy = dy . du sustituyendo : dx du dx

dy = ( 6u5) 1 = 6u 5 .dx √x √x

2. y = √(2u - u2) , u = x3 - x

Page 77: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = 2 _ 2u . du = 3x2 - 1 du 2 √2u dx

dy = 1 _ 2u .du √2u

Sustituyendo estos resultados en : dy = dy . du dx du dx

dy = 1 _ 2u ( 3x2 - 1 ).dx √2u

3. y = a - u ; u = b - x . a + u b + x

(a + u).d (a - u) -(a - u).d (a + u)

dy = du du .du (a + u)2

dy = (a + u)( - 1 ) - (a - u)( 1 )du (a + u)2

dy = - a - u - a + u = - 2a .du (a + u)2 (a + u)2

(b + x).d (b - x) - (b - x).d (b + x) du = dx dx .dx (b + x)2

Page 78: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

du = (b + x)( - 1 ) - (b - x)( 1 ) = - b - x - b + x = - 2b .dx (b + x)2 (b + x)2 (b + x)2

Sustituyendo: dy y du en dy du dx dx

dy = - 2a . - 2 b = 4ab .dx (a + u)2 (b + x)2 (a + u)2(b + x)2

4. y = u √a2 - u2 ; u = √1 - x2

y = u.( a2 - u2 )1/2

dy = u.d ( a2 - u2 )1/2 + ( a2 - u2 )1/2.d ( u ) du du du

dy = u . 1 . ( a2 - u2 )1/2-1.d ( a2 - u2 ) + ( a2 - u2 )1/2( 1 ) du 2 du

dy = u ( a 2 - u 2 ) -1/2 ( - 2 u ) + ( a2 - u2 )1/2 =

dx 2

dy = - u 2 + ( a 2 - u 2 ) 1/2 . ( a 2 - u 2 ) 1/2 dx ( a2 - u2 )1/2

dy = - u 2 + ( a 2 - u 2 ) = - u 2 + a 2 - u 2 = a 2 - 2 u 2 .dx ( a2 - u2 )1/2 (a2 - u2)1/2 (a2 - u2)1/2

u = √1 - x2 = ( 1 - x2 )1/2

Page 79: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

du = d ( 1 - x2 )1/2

dx dx

du = 1 . ( 1 - x2 )1/2-1.d ( 1 - x2 ) = ( 1 - x 2 ) -1/2 ( - 2 x ) = dx 2 dx 2

du = - x .dx ( 1 - x2 )1/2

Sustituyendo : dy y du en dy du dx dx

dy = ( a 2 - 2 u 2 ).( - x ) = - x( a 2 - 2 u 2 ) 2/2 =

. dx ( a2 - u2 )1/2 ( 1 - x2 )1/2 ( a2 - u2 )1/2 ( 1 - x2 )1/2

du = x(2u 2 - a 2 ) .dx ( a2 - u2 )1/2(1-x2)1/2

5. 15x = 15y + 5y3 + 3y5

15.d ( x ) = 15.dy + 5.3.y3-1.dy + 3.5.y5-1.dy dx dx dx dx

15 ( 1 ) = 15.dy + 15. y2.dy + 15.y4.dy dx dx dx

15 = 15dy + 15y2.dy + 15y4.dy = 15 dx dx dx

15.dy ( 1 + y2 + y4 ) = 15 dx

dy = 15 = 1 . 15 ( 1 + y2 + y4 ) ( 1 + y2 + y4 )

6. x = √y + ∛y

x = ( y )1/2 + ( y )1/3

Page 80: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx = 1 . y1/2-1.dy + 1 . y1/3-1.dydx 2 dx 3 dx

1 = y -1/2 . dy + y -2/3 . dy 2 dx 3 dx

1 = 1 . dy + 1 .dy 2y1/2 dx 3y2/3 dx

1 = dy ( 1 + 1 ) = 1. dx 2y1/2 3y2/3

dy = 1 = 1 = 2y 1/2 . 3y 2/3 =

dx 1 + 1 3y 2/3 + 2y 1/2 3y2/3 + 2y1/2 2y1/2 3y2/3 2y1/2 3y2/3

dy = 2 y 1/2 . 3y 2/3 = 6y 2/3 .

dx y 1/2 (3y1/6 + 2) (3y1/6 + 2)

7. y2 = 2px.

2y2-1.dy = 2p.dx dx dx2y.dy = 2p(1) ; dy = 2 p = p . dx dx 2 y y

8. x2 + y2 = r2

2x + 2y2-1.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2 x = - x . dx dx dx dx 2 y y

9. b2x2 + a2y2 = a2b2

d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2)dx dx dx

Page 81: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2b2x + 2a2y2-1.dy = 0 dx

2a2y.dy = - 2b2x . dx

dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .dx 2a2y a2y

10. √x + √y = √a.

x1/2 + y1/2 = a1/2 ; d (x1/2) + d (y1/2) = d (a1/2) dx dx dx

1 . x1/2-1 + 1 .y1/2-1.dy = 0 ; x -1/2 + y -1/2 .dy = 0 2 2 dx 2 2 dx

1 + 1 . dy = 0 ; 1 .dy = - 1 .2 x1/2 2 y1/2 dx 2y1/2 dx 2x1/2

- 1 .

dy = 2x 1/2 = - 2 y 1/2 = _ y 1/2 = - y .dx 1 . 2 x1/2 x1/2 x 2 y1/2

11. x2/3 + y2/3 = a2/3

2 .x2/3-1 + 2 .y2/3-1 = d (a2/3) ; 2 x -1/3 + 2 y -1/3. dy = 0 3 3 dx 3 3 dx

2 + 2 . dy = 0 ; 2 . dy = _ 2 . 3 x1/3 3 y1/3 dx 3 y1/3 dx 3 x1/3

- 2 .dy = 3 x 1/3 = _ y 1/3 = - 3 y . dx 3 y 1/3 x1/3 x

Page 82: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 .

12. x3 - 3axy + y3 = 0

3x2 - 3a[x.dy + y.dx] + 3y2.dy = 3x2 - 3ax.dy - 3ay + 3y2.dy dx dx dx dx dx

3dy ( y2 - ax ) = 3ay - 3x2 ; dy = 3 ay - 3 x 2 = 3 ( ay - x 2 ) = dx dx 3( y2 - ax ) 3 ( y2 - ax )

dy = ( ay - x 2 ) dx ( y2 - ax )

13. x3 + 3x2y + y3 = c3

3x2 + 3 [ x2.dy + y.d ( x2 ) ] + 3y2. dy = d ( c3 ) dx dx dx dx

3x2 + 3[x2.dy + 2xy] + 3y2. dy = 3x2 + 3x2.dy + 6xy + 3y2.dy = dx dx dx dx

3.dy ( x2 + y2 ) = - 3x2 - 6xy ; dy = - 3x 2 - 6xy .

dx dx 3( x2 + y2 )

dy = - 3 x ( x + 2y ) = _ ( x 2 + 2xy ) = _ x ( x + 2y ) dx 3 ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )

14. x + 2√xy + y = a

x + 2.x1/2.y1/2 + y = a

dx + 2[x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2) ] + dy = d ( a )dx dx dx dx dx1 + 2 [x1/2. 1 . y1/2-1. dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + dy = 0 2 dx 2 dx

Page 83: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 + 2[ x 1/2 .y -1/2 . dy + y 1/2 .x -1/2 ] + dy = 0 2 dx 2 dx

1 + 2 x 1/2 . dy + 2 y 1/2 + dy = 0 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx

1 + x 1/2 . dy + y 1/2 + dy = 0 y1/2 dx x1/2 dx

dy (1 + x 1/2 ) = - 1 - y 1/2 dx y1/2 x1/2

( - 1 - y 1/ 2) - x 1/2 - y 1/2 .dy = x 1/2 = x 1/2 = - ( x 1/2 + y 1/2 ) y 1/2 = dx ( 1 + x 1/2 ) y 1/2 + x 1/2 x1/2 ( y1/2 + x1/2 ) y1/2 y1/2

dy = _ y 1/2 = - y .

dx x1/2 x

15. x2 + a x y + y2 = b2

x2 + a . x1/2 . y1/2 + y2 = b2

2x + a [x1/2. d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] + 2y.dy = d ( b2 ) dx dx dx dx

2x + a[x1/2. 1 .y1/2-1.dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + 2y. dy = 0 2 dx 2 dx

2x + a [ x 1/2 . y -1/ 2. dy + y 1/2 . x -1/2 ] + 2y. dy = 0 2 dx 2 dx

2x + a [ x 1/2 . dy + y 1/2 ] + 2y.dy = 2x + a x 1/2 . dy + a y 1/2 + 2y.dy 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 2y.dy + a.x 1/2 .dy = - 2x - a y 1/2 . dx 2.y1/2 dx 2x1/2

Page 84: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

- ( 2x + a y 1/2 )dy ( 2y + a.x 1/2 ) = - 2x - a y 1/2 = 2x 1/2 .

dx 2.y1/2 2x1/2 ( 2y + a.x 1/2 ) 2y1/2

- ( 2x.2x 1/2 + a y 1/2 ) - ( 4 x 3/2 + a y 1/2 ) dy = 2 x 1/2 = 2 x 1/2 = _ y 1/2 ( 4 x 3/2 + a y 1/2 ) dx 2y.2y 1/2 + a x 1/2 4 y 3/2 + a x 1/2 x1/2 ( 4 y3/2 + a x1/2 ) 2.y1/2 2.y1/2

16. x4 + 4x3y + y4 = 20

d (x4) + d (4x3y) + d (y4) = d ( 20 )dx dx dx dx

4x3 + 4 [x3.dy + y.d ( x3 )] + 4y3.dy = 0 dx dx dx

4x3 + 4 [x3.dy + 3x2y] + 4y3.dy = 0 dx dx

4x3 + 4x3.dy + 12x2y + 4y3.dy = 0 dx dx

4x3.dy + 4y3.dy = - 12 x2y - 4x3

dx dx

4dy ( x3 + y3 ) = - 4 x2 (3y + x) dx

dy = - 4 x 2 (3y + x) = _ x 2 (x + 3y ) dx 4 ( x3 + y3) ( x3 + y3 )

17. ax3 - 3b2xy + cy3 = 13ax2 - 3b2 [ x.dy + y.dx] + 3cy2.dy = d (1) dx dx dx

Page 85: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3ax2 - 3b2[x.dy + y] + 3cy2.dy = 3ax2 - 3b2x.dy - 3b2y + 3cy2.dy dx dx dx dx

3cy2.dy - 3b2x.dy = 3b2y - 3ax2 = 3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2)

dx dx dx

3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2) dx

dy = 3 ( b 2 y - ax 2 ) = ( b 2 y - ax 2 ) = ax 2 - b 2 y dx 3 ( cy2 - b2x ) ( cy2 - b2x ) b2x - cy2

18. y + x = 6 . x y

( y ) 1/2 + ( x ) 1/2 = 6( x )1/2 ( y )1/2

x 1/2 .d (y 1/2 ) - y 1/2 .d (x 1/2 ) + y 1/2 .d(x 1/2 ) - x 1/2 .d (y 1/2 ) = 0 [(x1/2)]2 [ (y1/2)]2

x1/2. 1 .y1/2-1.dy - y1/2. 1 .x1/2-1 y1/2. 1 .x1/2-1 - x1/2. 1 .y1/2-1.dy 2 dx 2 + 2 2 dx = 0 x y

x 1/2 .y -1/2 .dy - y 1/2 .x -1/2 y 1/2 .x -1/2 - x 1/2 .y -1/2 .dy 2 dx 2 + 2 2 dx = 0 x y

x 1/2 .dy - y 1/2 y 1/2 - x 1/2 .dy 2y 1/2 dx 2x 1/2 + 2x 1/2 2y 1/2 dx = 0 x y

x 1/2 .dy y 1/2 y 1/2 x 1/2 .dy2y 1/2 dx - 2x 1/2 + 2x 1/2 - 2y 1/2 dx = 0

x x y y .

Page 86: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 1 1 1

x 1/2 . dy - y 1/2 + y 1/2 - x 1/2 . dy = 0. 2. x .y1/2 dx 2.x1/2.x 2.x1/2. y 2.y1/2.y dx

1 . dy - y 1/2 + 1 - x 1/2 . dy = 02x1/2.y1/2 dx 2x3/2 2x1/2.y1/2 2y3/2 dx

1 . dy - x 1/2 . dy = y 1/2 - 1 . 2x1/2.y1/2 dx 2y3/2 dx 2x3/2 2x1/2.y1/2

dy ( 1 - x 1/2 ) = y 1/2 - 1 .dx 2x1/2.y1/2 2y3/2 2x3/2 2x1/2.y1/2

y 1/2 - 1 y 1/2 .y 1/2 - x 2/2 y - x .dy = 2x 3/2 2x 1/2 .y 1/2 = 2x 3/2 .y 1/2 = 2x 3/2 .y 1/2 . 1 - x 1/2 y 2/2 - x 1/2 .x 1/2 . y - x . 2x1/2.y1/2 2y3/2 2x1/2.y3/2 2x1/2.y3/2

dy = (y - x ) . 2 x 1/2 .y 3/2 = x 1/2 .y 3/2 = x 1/2 . y 1/2 . y dx 2 x3/2.y1/2.( y - x ) x3/2.y1/2 x1/2. x . y1/2

dy = x 1/2 . y 1/2 . y = y .dx x1/2. x . y1/2 x

Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado.

19. x2 + xy + 2 y2 = 28 ; ( 2 , 3 )

2x + [ x.dy + y.dx ] + 4y.dy = d (28) dx dx dx dx

2x + x.dy + y(1) + 4y.dy = 0 = 2x + x.dy + y + 4y.dy dx dx dx dx x.dy + 4y.dy = - 2x - y dx dx

Page 87: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy ( x + 4y ) = - (2x + y )dx

dy = _ ( 2x + y ) ; En el punto ( 2 , 3 ) dx ( x + 4y )

m = dy = _ { 2(2) + 3 } = _ ( 4 + 3 ) = _ 7 = - 1. dx { 2 + 4(3) } ( 2 + 12 ) 14 2

m = dy = _ 1 . dx 2

20. x3 - 3xy2 + y3 = 1 ; ( 2 , - 1 )

3x2 - 3 [ x.d ( y2 ) + y2.d ( x ) ] + 3y2.dy = d ( 1 ) dx dx dx dx

3x2 - 3[2xy.dy + y2 (1)] + 3y2.dy = 3x2 - 6xy.dy - 3y2 +3y2.dy . dx dx dx dx

3y2.dy - 6xy.dy = 3y2 - 3x2

dx dx

3ydy ( y - 2x ) = 3 ( y2 - x2 ) dxdy = 3 ( y 2 - x 2 ) = ( y 2 - x 2 ) . En el punto ( 2 , 3 )dx 3 y ( y - 2x ) y ( y - 2x )

m = dy = [ (-1) 2 - (2) 2 ] = [ 1 - 4 ] = - 3 = - 3 . dx (-1)[ -1 - 2 (2)] (-1)( -1 - 4) (-1)(- 5) 5

21. √2x + √3y = 5 ; (2 , 3)

( 2x )1/2 + ( 3y )1/2 = 5

1 .( 2x )1/2-1.d (2x) + 1 .( 3y )1/2-1.d (3y) = d (5)

Page 88: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 dx 2 dx dx

(2x) -1/2 .( 2 ) + ( 3y ) -1/2 .(3) .dy = 1 + 3 .dy = 3 . dy = - 1 . 2 2 dx (2x)1/2 2(3y)1/2 dx 2( 3y)1/2 dx (2x)1/2

_ 1 .dy = ( 2x ) 1/ 2 = _ 2( 3y) 1/2 . En el punto ( 2 , 3) dx 3 3 (2x)1/2

2( 3y)1/2

m = dy = _ 2 [ 3 (3) ] 1/2 = _ 2 ( 9 ) 1/2 = _ 2 ( 3 ) = - 1. dx 3 [ 2 (2) ]1/2 3 ( 4 )1/2 3 ( 2 )

22. x2 - 2√xy - y2 = 52 ; ( 8 , 2 )

x2 - 2.x1/2.y1/2 - y2 = 52

2x.dx - 2 [x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] - 2y.dy = d ( 52 ) dx dx dx dx dx

2x(1) - 2 [x1/2. 1 .(y1/2-1).dy + y1/2. 1 . (x1/2-1).dx ] - 2y.dy = 0 2 dx 2 dx dx

2x - 2 [ x 1/2 .y -1/2 .dy + y 1/2 .x -1/2 .( 1 ) ] - 2y.dy = 0 2 dx 2 dx

2x - 2 [ x 1/2 . dy + y 1/2 ] - 2y.dy = 2x - 2.x 1/2 .dy - 2.y 1/2 - 2y.dy 2y1/2 dx 2x1/2 dx 2y1/2 dx 2x1/2 dx

2x - 2 .y 1/2 = 2 .x 1/2 .dy + 2y.dy = 0 2.x1/2 2.y1/2 dx dx

2x - y 1/2 = x 1/2 . dy + 2y.dy = 2x - y 1/2 x1/2 y1/2 dx dx x1/2 Sacando factor comun : dy .( x 1/2 + 2y ) = 2x - y 1/2 dx y1/2 x1/2

Page 89: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2x - y 1/2 2x.x 1/2 - y 1/ 2 2x 3/2 - y 1/2 dy = x 1/2 = x 1/2 = x 1/2 . dx x 1/2 + 2y x 1/2 + 2y.y 1/2 x 1/2 + 2y 3/2 y1/2 y1/2 y1/2 dy = y 1/2 ( 2x 3/2 - y 1/2 ) . En el punto ( 8 , 2 )dx x1/2(x1/2 + 2y3/2 )

m = dy = (2) 1/2 [ 2(8) 3/2 - (2) 1/2 ) = (2) 1/2 [ 2 (2 3 ) 3/2 - 2 1/2 ] . dx (8)1/2 [(8)1/2 + 2(2)3/2 ) 2(2)1/2 [ (23)1/2 + 2(23/2) ]

m = dy = ( 2) 1/2 [ 2 (2 3 ) 3/2 - 2 1/2 ] = [2.2 9/2 - 2 1/2 ] =

dx 2( 2)1/2 [(23)1/2 + 2(23/2)] 2(23/2 + 22/2.23/2)

m = 2 2/2 . 2 9/2 - 2 1/2 = ( 2 11/2 - 2 1/2 ) = [ 2 1/2 ( 2 10/2 - 1) ] = 2[23/2(1 + 22/2)] 2[23/2(1 + 2)] 22/2[23/2(3)]

m =dy = 2 1/2 ( 2 5 - 1 ) = 32 - 1 = 31 = 31 . dx 21/2. 21/2. 23/2. 3 24/2. 3 4.3 12

23. x3 - axy + 3ay2 = 3a3 ; ( a , a )

3x2.dx - a [ x.dy + y.dx ] + 3a.2y.dy = d ( 3a3) dx dx dx dx dx

3x2 ( 1 ) - a [ x.dy + y ] + 6ay.dy = 3x2 - ax.dy - ay + 6ay.dy = 0 dx dx dx dx

6ay.dy - ax.dy = ay - 3x2 dx dx

a.dy {6y - x} = ay - 3x2

dxdy = a.y - 3x 2 . En el punto (a , a)dx a ( 6y - x )

Page 90: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

m = dy = a(a) - 3(a) 2 = a 2 - 3a 2 = - 2a 2 = - 2 a 2 = _ 2 . dx a(6.a - a) a( 5a ) 5a2 5 a 2 5

24. x2 - x√xy - 2y2 = 6 ; ( 4 , 1 )

x2 - x.x1/2.y1/2 - 2y2 = 6

x2 - x3/2.y1/2 - 2y2 = 6

2x.dx - [ x3/2. 1 .y1/2-1. dy + y1/2. 3 . x3/2-1 ] - 4y. dy = d ( 6 ) dx 2 dx 2 dx dx

2x (1) - [ x 3/2 .y -1/2 . dy + y 1/2 . 3 . x 1/2 ] - 4y. dy = 0 2 dx 2 dx

2x - [x 3/2 . dy + 3.x 1/2 .y 1/2 ] - 4y.dy = 2x - x 3/2 .dy - 3 x 1/2 .y 1/2 - 4y.dy 2y1/2 dx 2 dx 2y1/2 dx 2 dx

x 3/2 . dy + 4y . dy = 2x - 3 x 1/2 .y 1/2 2y1/2 dx dx 2

dy ( x 3/2 + 4y) = 2x - 3 x 1/2 .y 1/2 dx 2y1/2 2

2x - 3 x 1/2 .y 1/ 2 4x - 3 x 1/2 .y 1/ 2 dy = 2 = 2 = (4x - 3 x 1/2 .y 1/2 ).y 1/2 dx ( x 3/2 + 4y ) x 3/2 + 8y.y 1/ 2 ( x3/2 + 8.y3/2 ) 2y1/2 2 y1/2

En el punto (4,1)

dy = {4(4) - 3 (4) 1/2 .(1) 1/2 }.1 1/2 = {16 - (3)(2)(1)} (1) = {16 - 6} (1) .dx {(4)3/2 + 8(1)3/2} {(22)3/2 + (8)(1)} {(26/2) + 8}dy = ( 10 ) ( 1 ) = 10 = 10 = 5 .

Page 91: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx { 23 + 8 } 8 + 8 16 8

25. Demostrar que las parabolas y2 = 2px + p2 y y2 = p2 - 2px se cortan en ángulo recto.

y2 = 2px + p2 1)y2 = p2 - 2px 2)

2px + p2 = p2 - 2px Sustituyendo x = 0 en 1)2px + 2px = p2 - p2 = 0 y2 = p4px = 0 y = p x = 0 P ( 0 , p ) ; P ( 0 , - p )

Derivando ( 1) Derivando (2)

y2 = 2px + p2 y2 = p2 - 2px

2y.dy = 2p.dx + d (p2) 2y .dy = 0 - 2p.dx dx dx dx dx dx

2y.dy = 2p( 1 ) + 0 2y .dy = 0 - 2p.dx = - 2p dx dx dx

2y .dy = 2p dy = _ 2p . dx dx 2y

m = dy = 2p = p . m = dy = _ p . dx 2y y dx y

Pero : y = p Pero : y = p

m = dy = p = p . m = dy = - p = - p . dx y p dx y p

m1 = p = + 1 . m3 = -p = - 1 . p pm2 = p = - 1. m4 = - p = + 1 . -p - p

Page 92: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Las 2 parábolas son perpendiculares , osea que se cortan en ángulo recto , porque el producto de sus pendientes es igual a - 1 .

y

y2 = p2 - 2px

+ p o x y2 = 2px + p2

- p

26. Demostrar que las circunferencias x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0 y x2 + y2 + 2x + y = 10 , son tangentes en el punto ( 2 , 1 ).

Derivando : Derivando :x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0 x2 + y2 + 2x + y = 10

2x + 2y.dy -12.dx - 6.dy +d (25) = 0 2x + 2y.dy + 2.dx + dy = d (10) dx dx dx dx dx dx dx dx

2x + 2y.dy -12(1) - 6.dy + 0 = 0 2x + 2y.dy + 2(1) + dy = 0 dx dx dx dx

2x + 2y.dy -12 - 6.dy = 0 2x + 2y.dy + 2 + dy = 0 dx dx dx dx

2y.dy - 6.dy = 12 - 2x 2y.dy + dy = - 2x - 2 dx dx dx dx

2 dy ( y - 3 ) = 2 ( 6 - x ) dy = ( 2y + 1 ) = - 2 ( x + 1 ) dx dxdy = 2 ( 6 - x ) = ( 6 - x ) . dy = - 2 ( x + 1 )

Page 93: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2 ( y - 3 ) ( y - 3 ) dx ( 2y + 1 )

En el punto ( 2 , 1 ) En el punto ( 2 , 1 )

dy = ( 6 - x ) = ( 6 - 2 ) = 4 . dy = - 2 (2 + 1) = -2 ( 3 ) = - 6 =-2dx ( y - 3 ) ( 1 - 3 ) - 2 dx [2(1) + 1] ( 2 + 1 ) 3

m1 = dy = - 2 m2 = dy = - 2 dx dx

Si sus pendientes son iguales estas curvas son tangentes.

y

x

27. Bajo que ángulo corta la recta y = 2x a la curva x2 - xy + 2y2 = 28 . y

x2 - xy + 2y2 = 28 (2, 4) y = 2x

x

(-2,- 4)

(2,1)

Page 94: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 - xy + 2y2 = 28 y = 2x

Sustituyendo el valor de y = 2x en

x2 - x(2x) + 2(2x)2 = 28

x2 - 2x2 + 2(4x2) = 28 Sustituyendo el valor de x en

x2 - 2x2 + 8x2 = 28 y = 2x

7x2 = 28 y = 2(2) = 4

x2 = 28 = 4 y = 2(-2) = - 4 7

P1 (2,4) Puntos de intercepciónx = 2 P2 (-2,-4)Derivando cada curva para encontrar sus pendientes:

x2 - xy + 2y2 = 28 y = 2x

2x - {x.dy + y.dx } + 4y.dy = d (28) dx dx dx dx

2x - x.dy - y(1) + 4y.dy = 0 dx dx

2x - x.dy - y + 4y.dy = 0 dx dx

4y.dy - x.dy = y - 2x dx dx

dy {4y - x} = y - 2x dx

Page 95: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = y - 2x . dx 4y - x

Sustituyendo el punto P (-2,- 4) .

dy = - 4 -2(-2) = - 4 + 4 = 0 = 0.dx 4(- 4) - (-2) - 16 + 2 - 14

m1 = dy = 0 dx

tg = m2 - m1 = 2 - 0 = 2 = 2 1 + m1.m2 1 + (0)(2) 1 + 0

tg = 2

= arc tg(2) .

= 630 26' 6'' .

Page 96: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas Adicionales

1. El vertice de la parábola y2 = 2px es el centro de una elipse. El foco de

la parábola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse,

y la parábola y la elipse se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación

de la elipse .

y2 = 4px 4x2 + 2y2 = p2

F(p/2,0)

·

Si y2 = 4px es el doble de : y2 = 2px

El lado recto de es 4p

El lado recto de sera la mitad 2p

Si el lado recto es 2p, por gráfico obtenemos que F (p/2,0)

El semi eje principal de la elipse es : a = p/2

El centro de la elipse es el origen (0,0)

(x-h) 2 + (y-k) 2 = 1 a2 b2

(x-0) 2 + (y-0) 2 = 1 ; x 2 + y 2 = 1 a2 b2 a2 b2

0 a

Page 97: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Derivando para obtener la pendiente.

x 2 + y 2 = 1a2 b2

a-2.d (x2) + b-2.d (y2) = d (1) dx dx dx

a-2(2x) + b-2.2y.dy = 0 dx

2y.b-2.dy = - 2x.a-2

dx

dy = - 2 x.a -2 = - b 2 x . m1 = - b 2 x .dx 2y.b-2 a2y a2y

Derivando y2 = 2px para obtener m2.

2y.dy = 2p.d (x) 2y.dy = 2p dx dx dx

dy = 2 p = p m2 = p .dx 2y y y

Para que la parábola y la elipse se corten en ángulo recto,

el producto de sus pendientes tiene que ser igual a -1.

( m1 ) ( m2 ) = - 1 .

- b 2 x p = - 1 . a2y y

b2 = -a 2 .y 2 = a 2 .y 2 . ; Pero: a = p . -p.x p.x 2

Page 98: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

a2 = p 2 . 4

Sustituyendo en el valor de a2 .

p 2 .y2

b2 = 4 = p.y 2 . p.x 4x

Sustituyendo en que es la ecuación de la elipse los valores de a2 y b2.

x 2 + y 2 = 1 4x 2 + 4x = 1 a2 b2 p2 p

x 2 y 2 4x 2 + 4px = 11 + 1 = 1 p2

p 2 p.y 2 4 4x 4x2 + 4px = p2

4x 2 + 4x. y 2 = 1 p2 p.y2

Pero : 2y2 = 4px , sustituyendo este valor en : 4x2 + 4px = p2

4x2 + 2y2 = p2 (Ecuación de la elipse ).

2. Se traza un circulo de centro (2a,0) con un radio tal que el circulo

corta en ángulo recto a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.Hallar el radio.

Tomamos primero a la elipse y encontramos su pendiente.

Derivando : b2x2 + a2y2 = a2b2.

2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2) dx dx

Page 99: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2b2x + 2a2y.dy = 0 dx

dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .dx 2a2y a2y

m1 = - b 2 x . a2y

Luego se toma a la ecuación del circulo y se obtiene su pendiente,

cuyo centro es (2a,0).

( x - 2a )2 + ( y - 0 )2 = r2.( x - 2a)2 + y2 = r2

Derivando:

2 (x-2a) + 2y.dy = d (r2) dx

2 (x-2a) + 2y.dy = 0 dx

m2 = dy = - 2 (x-2a) = - ( x - 2a ) 2y y

Como el circulo corta en ángulo recto a la elipse, tomamos suspendientes.

m1 . m2 = - 1

-b 2 x -(x - 2a) = - 1 a2y y

b 2 x ( x-2a ) = - 1

Page 100: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

a2.y2

b2x2 - 2ab2x = - a2y2

b2x2 + a2y2 = 2ab2x

Tomamos la ecuación de la elipse:

b2 + a2 = a2b2

igualamos y

b2x2 + a2y2 = a2b2

b2x2 + a2y2 = 2ab2x

2ab2x = a2b2

x = a 2 b 2 = a .

2ab2 2

Como en la ecuación de la elipse hay 2 incognitas "x" y "y",

sustituimos el valor de x = a y encontramos el valor de y. 2

b2x2 + a2y2 = a2b2

b2 a 2 + a2y2 = a2b2

2 a 2 b 2 + a2y2 = a2b2

4

a2y2 = a2b2 - a 2 b 2 4

a2y2 = 3a 2 b 2

Page 101: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4y2 = 3a 2 b 2 = 3b 2 4a2 4

Como nos piden hallar el radio del circulo, sustitituimos:

x = a/2 y y2 = 3b2/4 en la ecuación del circulo de centro ( 2a , 0 ).

( x-2a)2 + y2 = r2 r2 = 9a 2 + 3b 2 4

a -2a 2 + 3b 2 = r2 2 4 r = 9a 2 + 3b 2 = 1 √9a2 + 3b2

4 2

- 3a 2 + 3b 2 = r2 r = √ 9a 2 + 3b 2 . 2 4 2

3. Se une un punto cualquiera "p" de una elipse con los focos. Demostrar que estas rectas forman con la normal a la curva en "p" ángulos agudos iguales. Suponiendo la ecuación de la elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2. y Encontrando su pendiente, derivando: P(x,y)

2b2x + 2a2y.dy = 0 dx dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .dx 2a2y a2yAhora la pendiente de la Normal sera: dx- 1 = - 1 = a 2 y = Normal. m - b 2 x b2x a2y

Según el gráfico:

Pendiente FP = y - 0 = y ; Pendiente F'P = y - o = y .

F'(-c,o) F(c,o)

Page 102: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x - c x - c x - (-c) x + c

Aplicando la fórmula de un ángulo formado por 2 rectas:tg = m2 - m1 .

1 + m1.m2

Primero para el ángulo .

y - a 2 y tg = x-c b 2 x . 1 + a 2 y y .

b2x x-c

b 2 xy - (a 2 y ) (x-c) tg = (x-c)b 2 x) = b 2 xy - a 2 xy + a 2 cy = xy (b 2 -a 2 ) + a 2 cy . b 2 x(x-c) + a 2 y 2 b2x2 - b2xc + a2y2 b2x2 - b2xc + a2y2

(b2x)(x-c)

Pero de la ecuación de la elipse :

b2x2 + a2y2 = a2b2 , despejamos a2y2

a2y2 = a2b2 - b2x2

Y según la relación de la elipse:

a2 = b2 + c2

a2 - b2 = c2

Sustituyendo estos valores y en tg

tg = xy (b 2 - a 2 ) + a 2 cy = - xy (a 2 -b 2 ) + a 2 cy . b2x2 - b2xc + a2y2 b2x2 - b2xc + (a2b2 - b2x2)

tg = - xy ( c 2 ) + a 2 cy = - c 2 xy + a 2 cy = cy ( a 2 - cx ) . b2x2 - b2xc + a2b2 - b2x2 a2b2 - b2xc b2 (a2 - cx )

Page 103: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

tg = cy . b2

Luego calculando el ángulo :

a 2 y - y . a 2 y ( x+c)-b 2 xy tg = b 2 x x + c = (b 2 x )(x + c) = a 2 xy + a 2 cy - b 2 xy . 1+ y a 2 y (x+c)(b 2 x)+a 2 y 2 b2x2 + b2cx + a2y2

x+c b2x (x+c)(b2x)

tg = xy ( a 2 - b 2 ) + a 2 cy b2x2 + b2cx + a2y2

Sustituyendo estos valores y en tg

tg = xy (c 2 ) + a 2 cy = c 2 xy + a 2 cy = cy (cx+a 2 ) . b2x2 + b2cx + a2b2 - b2x2 b2cx + a2b2 b2(cx+a2)

tg = cy . b2

Como : tg = tg = cy . sus ángulos son iguales, = b2

4. Demostrar que la recta Bx + Ay = AB es tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.únicamente si se verifica que: B2a2 + A2b2 = A2B2

Para demostrar que la recta es tangente a la elipse, sus pendientes tienen que ser iguales.

Derivamos para cálcular la pendiente de Bx + Ay = AB

d (Bx) + d (Ay) = d (AB)dx dx dx

B.dx + A.dy = B + A.dy = 0 dx dx dx

Page 104: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = _ B .dx APendiente de la elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2

d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2)dx dx dx

2b2x + 2a2y.dy = 0 dx

dy = _ 2 b 2 x = _ b 2 x .dx 2a2y a2y

Igualando ambas pendientes:

_ B = _ b 2 x . A a2y

b 2 x = B .a2y A

x = a 2 By . Sustituyendo en Ab2

b2x2 + a2y2 = a2b2

b2 a 2 By 2 + a2y2 = a2b2

Ab2

a4b2B2y2 + a2.A2.b4.y2 = a2.b2.A2.b4

a2.b2.y2(a2.B2 + A2.b2) = a2.b2.A2.b4

y2 = a 2 .b 2 .A 2 .b 4 . a2.b2(a2.B2 + A2.b2)

Page 105: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = A 2 .b 4 . (a2.B2 + A2.b2)y = √ A 2 .b 4 = A.b 2 = A.b 2 = A .b 2 = b 2 √(a2.B2 + A2.b2) √(a2.B2 + A2.b2) √A2.B2 A.B B

Como esta en función de "y",entonces reemplazamos el valor de y en "x". x = a 2 By .

Ab2

a 2 .B.A.b 2 . x = √ a 2 B 2 + A 2 b 2 = a 2 .B. A . b 2 . A.b 2 A.b2 √a2B2 + A2b2 1

Pero: a2B2 + A2b2 = A2B2, reemplazando en "x".

x = a 2 .B = a 2 . B = a 2 . √A2B2 A.B A

x = a 2 . A

Sustituyendo ahora el valor de "x"e "y"en Bx + Ay = AB

B a 2 + A b 2 = AB A B

a 2 B + Ab 2 = AB A B

a 2 .B 2 + A 2 .b 2 = AB AB

a2B2 + A2b2 = A2B2

B2a2 + A2b2 = A2B2 . { L.q.q.d. (Lo que se queria demostrar)}.

Page 106: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas. Pagina 56

Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las curvas siguientes en el punto dado.

2. y = x3 - 3x ; (2,2)

dy = 3x2 - 3 . Sustituyendo: P(2,2) en la derivada o pendiente.dx

m = dy = 3 (2)2 - 3 = 12 - 3 = 9 dx

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m (x - x1)

y - 2 = 9 (x - 2)

y - 2 = 9x - 18

0 = 9x - y - 18 + 2 = 0

9x - y - 16 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = _ 1 (x - x1) m1

y - 2 = - 1 (x - 2) 9

Page 107: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

9y - 18 = - x + 2

x + 9y - 20 = 03. y = 2x + 1 ; (2,5)

3 - x

(3-x).d (2x+1) - (2x+1).d (3-x)dy = dx dx .dx (3-x)2

dy = (3-x)(2) - (2x+1)(-1)dx (3-x)2

dy = 6 - 2x + 2x + 1 dx (3-x)2

m = dy = 7 . Pero: P (2,5) dx (3-x)2

m = 7 = 7 = 7 = 7 . (3 - 2)2 (1)2 1

Ecuación de la tangente:

y - y1 = m (x - x1)

y - 5 = 7 (x - 2)

y - 5 = 7x - 14 = 0

7x - y = - 9 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

Page 108: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y - 5 = - 1 (x - 2) 77y - 35 = - x + 2

x + 7y - 37 = 0

4. 2x2 - xy + y2 = 16 ; (3,2)

Derivando para encontrar la pendiente:

4x - {x.dy + y.dx } + 2y.dy = d (16) dx dx dx dx

4x - x.dy - y ( 1 ) + 2y.dy = 0 dx dx

4x - x.dy - y + 2y.dy = 0 dx dx

dy (2y - x ) = y - 4xdx

dy = y - 4x . Pero : P (3,2)dx 2y - x

m = dy = 2 - 4(3) = 2 - 12 = - 10 = - 10 dx 2(2) - 3 4 - 3 1

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m(x - x1) . Sustituyendo: m = - 10 y P(3,2).

y - 2 = - 10 (x - 3)

y - 2 = - 10x + 30

Page 109: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

10x + y - 32 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 2 = - 1 (x - 3 ) -10

-10(y - 2) = - (x - 3) ; -10y + 20 = - x + 3

x - 10y + 17 = 0

5. y2 + 2y - 4x + 4 = 0

2y.dy + 2.dy - 4.dx + d (4) = 0 dx dx dx dx

2y.dy + 2.dy - 4(1) + 0 = 0 dx dx

2y.dy + 2.dy - 4 = 0 dx dx

2.dy ( y + 1) = 4 dx

m = dy = 4 = 2 . Pero: P(1,-2) dx 2(y + 1) (y + 1)

m = 2 = 2 = - 2. (-2) + 1 -1

Ecuación de la Tangente:

Page 110: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y - y1 = m (x - x1)

y - (-2) = - 2 (x - 1)y + 2 = - 2x + 2

2x + y + 2 - 2 = 0

2x + y = 0

Ecuación de la Normal:y - y1 = - 1 (x - x1)

y - (-2) = - 1 (x - 1) -2

y + 2 = 1 (x - 1) 2

2y + 4 = x - 1 = 2y + 4 .

x - 2y - 5 = 0

6. Obtener las ecuaciones de la tangente y de la normal en ( x1 , y1) a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.

Derivando la curva: b2x2 + a2y2 = a2b2

2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2) dx dx

2b2x + 2a2y.dy = 0 dx

2a2y.dy = - 2b2x dx

dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .

Page 111: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2a2y a2y

m = - b 2 x .Pero : m1 = - b 2 x 1 . a2y a2y1 Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m(x - x1) en el punto P (x1,y1)

y - y1 = - b 2 x 1 (x - x1) a2y1

a2y1 (y - y1) = - b2x1 (x - x1)

a2y1 y - a2y1.y1 = - b2x1.x + b2x1.x1

a2y1 y - a2y12 = - b2x1.x + b2x1

2

b2x1.x + a2y1.y = a2y12 + b2x1

2

Pero: b2x2 + a2y2 = a2b2

b2x12 + a2y1

2 = a2b2

b2x1x + a2y1y = a2b2

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - y1 = - 1 ( x - x1) -b 2 x 1

a2y1

y - y1 = a 2 y 1 (x - x1) b2x1

b2x1 (y - y1) = a2y1 (x - x1) ;

Page 112: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

b2x1.y - b2x1.y1 = a2y1.x - a2y1.x1

a2y1.x1 - b2x1.y1 = a2y1.x - b2x1.yx1.y1 = (a2 - b2) = a2.y1.x - b2.x1.y . Ordenando:

a2.y1.x - b2.x1.y = x1.y1 = (a2 - b2)

7. Hallar las ecuaciones de la tangente y la Normal, y las longitudes de la sub- tangente y la sub-normal, en el punto(x1,y1) de la circunferencia x2 + y2 = r2.

Primeramente derivando la curva: x2 + y2 = r2.

2x + 2y.dy = 0

dy = - 2 x = - x .Ahora la pendiente en P (x1,y1)dx 2y y

m = - x1 .

y1

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m (x - x1)

y - y1 = - x1 (x - x1) y1

y1 (y - y1) = - x1 (x - x1)

y1.y - y1.y1 = - x1.x + x1.x1

y1.y - y12 = - x1.x + x1

2

x1x + y1y = y12 + x1

2

Pero: x2 + y2 = r2

x12 + y1

2 = r2

Como: y12 + x1

2 = x12 + y1

2 = r2

Page 113: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x1x + y1y = r2

Ecuación de la Normal:y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - y1 = - 1 (x - x1) -x1 y1

y - y1 = y1 (x - x1) x1

x1 (y - y1) = y1 (x - x1)

x1.y - x1.y1 = y1.x - y1.x1

y1x - x1y = x1y1 - y1x1 . ordenando:

y1x - x1y = x1y1 - x1y1

y1x - x1y = 0 o tambien : x1y - y1x = 0

Longitud de la sub-tangente:

y1 . m1

y1 = - y12

-x1 x1

y1

Longitud de la sub-normal:m1.y1

- x1 y1 = - x1.

Page 114: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y1 8. Demostrar que la sub-tangente de la parábola y2 = 2px es bisecada por el vértice, y que la sub-normal es constante e igual a p.

Derivando para obtener la pendiente en P(x1,y1)

y2 = 2px

2y.dy = 2p.dx dx dx

dy = 2 p(1) = p . m = p .dx 2y y1 y1

Ecuación de la tangente:

y - y1 = m(x - x1)

y - y1 = p (x - x1) y1

y.y1 - y1.y1 = p.x - p.x1

y.y1 - y12 = p.x - p.x1

Pero, la ecuación de la parábola: y2 = 2px y1

2= 2px1

y.y1 - 2px1 = p.x - p.x1

y.y1 - 2px1 + px1 - p.x = 0

y.y1 - p.x1 - p.x = 0 (ecuación de la tangente)

Luego encontrando la intercepción de la tangente con el eje "x".

y = 0 x = - x1 las coordenadas de T (- x1, 0)

Por gráfico observamos que las coordenadas de M (x1,0) demostraremos que TO = OM.

TO = {0 -(-x1) + (0 - 0)2} = ( x1 )2 = x1 = TO

Page 115: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

OM = {(x1 - 0)2 + (0 - 0)2 = (x1)2 = x1

TO = OM.

Ahora demostraremos que "P" es igual a la sub-normal.

Según gráfico: MN = sub-normal.

MN = y1.m1 .sabiendo que m = p , m1 = p . y1 y1

MN = y 1.m1 = y1.p = p y1

Obtener las ecuaciones de la Tangente y la Normal, y las longitudes de la sub-tangente y la sub-normal de cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados.

9. ay = x2 ; (a,a)

y = x 2 = 1 .x2

a a

dy = 1 (2x) en el punto (a,a)dx a

dy = 2 a = 2 . dx a .

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m (x - x1)

y - a = 2 (x - a)

y - a = 2x - 2a

Page 116: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2x - y - 2a + a = 0 2x - y - a = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1)

y - a = - 1 (x - a) 22(y - a) = - (x - a)

2y - 2a = - x + a

x + 2y -2a - a = 0 = x + 2y - 3a.

Longitud de la sub-tangente:

y1 = a .

m1 2

Longitud de la Sub-normal:

y1.m1

(a)(2) = 2a.

10. x2 - 4y2 = 9 ; (5,2)

Derivando para obtener la pendiente en P (5,2)

2x - 8y.dy = 0 dx

2 x = dy = x = 5 = 5 .8y dx 4y 4(2) 8

Page 117: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

m = 5 . 8Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = 5 (x - 5) 8

8(y - 2) = 5(x - 5)

8y - 16 = 5x - 25 = 5x - 8y - 25 + 16 = 5x - 8y - 9 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 2 = - 1 (x - 5) 5 . 8

y - 2 = - 8 (x - 5) 5

5(y - 2) = - 8 (x - 5)

5y - 10 = - 8x + 40

8x + 5y - 10 - 40 = 8x + 5y - 50 = 0

Longitud de la sub-tangente: y1 = 2 m1

Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = 5 (2) = 10 = 5 . 8 8 4

11. 9x2 + 4y2 = 72 ; (2,3).

Page 118: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Derivando para obtener la pendiente en P (2,3)18x + 8y.dy = d (72) dx dx

18x + 8y.dy = 0 dx

9 3m = dy = - 18 x = - 9x = - 9(2) = - 18 = - 3 . dx 8 y 4y 4(3) 12 2 4 2

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m (x - x1)

y - 3 = - 3 (x - 2) 2

2(y - 3) = - 3 (x - 2)

2y - 6 = - 3x + 6

3x + 2y - 6 - 6 = 0 = 3x + 2y - 12 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 3 = - - 3 (x - 2) . 2

2(y - 3) = 3 (x - 2)

2y - 6 = 3x - 6

Page 119: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3x - 2y -6 + 6 = 0

3x - 2y = 0Longitud de la Sub-tangente:

y1 = 3 = - 6 = - 2 .m1 -3 3 . 2

Longitud de la Sub-normal:

m1.y1 = - 3 (3) = - 9 . 2 2

12. xy + y2 + 2 = 0 ; ( 3, - 2 ) .

Derivando para obtener la pendiente en P(3, - 2 )

x.dy + y.dx + 2y.dy + 0 = 0 dx dx dx

x.dy + y (1) + 2y.dy = 0 dx dx

x.dy + y + 2y.dy = 0 dx dx

dy (x + 2y) = - ydx

m = dy = - y = - (-2) = 2 = 2 = - 2. dx x + 2y 3 + 2(-2) 3 - 4 - 1

Ecuación de la Tangente:

Page 120: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y - y1 = m (x - x1)

y - (-2) = -2(x - 3)y + 2 = -2x + 6

2x + y + 2 - 6 = 0

2x + y - 4 = 0

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - (-2) = - 1 (x - 3) -2

y + 2 = (x - 3 ) 2

2(y + 2) = x - 3

2y + 4 = x - 3

0 = x - 2y -3 - 4 = x - 2y - 7 = 0

Longitud de la Sub-tangente: y1 = - 2 = 1 m1 - 2

Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = (-2)(-2) = 4

13. Cálcular el área del triángulo que forman el eje de las "x". y la tangente y la normal a la curva y = 6x - x2 en el punto (5,5).

Derivamos para encontrar la pendiente en P(5,5).

Page 121: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 6 - 2xy'= 6 - 2(5) = 6 - 10 = - 4 = m .m = - 4 .

Ecuación de la Tangente:y - y1 = m (x - x1)y - 5 = - 4(x - 5)y - 5 = - 4x + 20 4x + y - 5 - 20 = 0

4x + y - 25 = 0

Ahora encontramos la intercepción de la tangente con el eje "x".

Cuando y = 0 ; 4x + y - 25 = 0

4x + 0 - 25 = 0

4x = 25

x = 25 . 4N(25/4 , 0)

Ecuación de la Normal:y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 5 = - 1 (x - 5) - 4

= - 4(y - 5) = - (x - 5)

= - 4y + 20 = - x + 5

x - 4y + 20 - 5 = 0

Page 122: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x - 4y + 15 = 0 Ahora encontramos la intercepción de la Normal con el eje de las "x".

Cuando y = 0 ; x - 4y + 15 = 0

x - 4(0) + 15 = 0

x - 0 + 15 = 0

x = - 15 M( - 15, 0).

Cálculando la distancia MN = base del triángulo. {25 - (- 15)}2 + (0 - 0)2 = 25 + 15 2 = 85 2 = 85 . 4 4 4 4

Area del Triángulo PMN = b . h . 2Base = 85 ; h = PS = 5 4

85 ( 5). 4 = 85 . 5. 1 = 425 unidades2. 2 4(2) 8

14. Hallar el área del triángulo que forman el eje de las "y" , la tangente y la normal a la curva y2 = 9 - x en el punto (5,2)

Derivamos para encontrar la pendiente en el punto(5,2).

y2 = 9 - x

2y.dy = 0 - dx . dx dx

2y.dy = - 1 dx

m = dy = - 1 = - 1 = - 1 . dx 2y 2(2) 4

Page 123: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Ecuación de la Tangente:

y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = - 1 (x - 5) 44(y - 2) = - (x - 5)

4y - 8 = - x + 5

x + 4y - 8 - 5 = 0

x + 4y - 13 = 0

El intercepto con el eje "y".

Cuando x = 0 ; x + 4y - 13 = 0

0 + 4y - 13 = 0

4y = 13

y = 13 . M(0 ,13/4) 4

Ecuación de la Normal:

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 2 = - 1 (x - 5) - 1 .

4

y - 2 = 4 (x - 5)y - 2 = 4x - 20

Page 124: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4x - y - 18 = 0

El intercepto de la normal con el eje "y".

Cuando x = 0 ; 4x - y - 18 = 04(0) - y - 18 = 0

0 - y - 18 = 0

= - 18 = y = - 18

N(0 , - 18)

Cálculando la distancia MN = base del triángulo.

MN = (0 - 0)2 + (- 18 - 13/4)2 = (- 85/4)2 = 85/4.

Area del triángulo = b.h . 2 base = MN = 85/4.

Altura = 5 ( por gráfico se encontro esta altura).

85 (5) 4 = 85 . 5 . 1 = 425 unidades2.

2 4 . 2 8 1

Hallar los ángulos de intercepción de cada uno de los siguientes pares de curvas.

15. y2 = x + 1 , x2 + y2 = 13

Primero encontramos los puntos de intercepción.y2 = x + 1

Page 125: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 + y2 = 13

y2 = x + 1 y2 = 13 - x2

x + 1 = 13 - x2

x2 + x - 12 = 0

(x + 4) (x - 3) = 0

Interceptos:

x = - 4 M ( 3 , 2 ) ; R ( - 4 , 3 i ) x = 3 N ( 3 , - 2 ) ; S ( - 4 , - 3 i )

Ahora encontramos las pendientes de cada curva.

y2 = x + 1

2y.dy = dx + 0 dx dx

2y.dy = 1 ; m1 = dy = 1 . dx dx 2y

Sustituyendo para (3,2). dy = 1 = 1 . dx (2)(2) 4

x2 + y2 = 13

2x + 2y.dy = 0 dx

m2 = dy = - 2 x = - x . Para (3,2) ; m2 = - 3 . dx 2y y 2

Page 126: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Concluimos encontrando el ángulo de intercepción.

- 3 - 1 - 6 - 1 - 7 .

tg = m2 - m1 = 2 4 = 4 4 = 4 = - 56 = 1 + m1 . m2 1 + ( -3 ) ( 1 ) 1 - 3 5 20 2 4 8 8tg = - 14 . = arc tg ( - 14 ) = 1090 39' 13". 5 5

16. y = 6 - x2 ; 7x2 + y2 = 32

Primero encontramos los puntos de intercepción.

y = 6 - x2 7x2 + y2 = 32

x2 = 6 - y x2 = 32 - y 2 7

6 - y = 32 - y 2 . 7

7(6 - y) = 32 - y2

42 - 7y = 32 - y2

y2 - 7y + 42 - 32 = 0

y2 - 7y + 10 = 0

(y - 5 ) (y - 2 ) = 0

y = 5 Sustituyendo en y los valores de "y".y = 2 x2 = 6 - y = 6 - 5 = 1 . x = 1. M(1 , 5) M(-1, 5)

Page 127: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 = 32 - y 2 = 32 - 4 = 28 = 4. x = 2. N(2 , 2) 7 7 7 N(-2 , 2)

Ahora encontramos las pendientes de cada curva, trabajamos para esto con los valores positivos, M(1,5) ; N(2,2)Para N(2,2).

y = 6 - x2

m2 = dy = 0 - 2x = - 2x = - 2(2) = - 4 dx

7x2 + y2 = 32

14x + 2y.dy = 0 dx

m1 = dy = - 14 x = - 7x = - 7( 2 ) = - 7. dx 2y y 2

Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (2,2).

tg = m2 - m1 = - 4 - (- 7) = - 4 + 7 = 3 = 0,1034482758621 1 + m1.m2 1 + (-7)(- 4) 1 + (28) 29

= arc tg (0,1034482758621) = 50 54' 22".

El valor de las pendientes de cada curva en (1,5)

m1 = - 2x = - 2( 1 ) = - 2.

m2 = - 7x = - 7 ( 1 ) = - 7 . y 5 5Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (1,5)

Page 128: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Tg = m2 - m1 = - 7/5 - (- 2) = - 7/5 + 2 = 3/5 = 3 . 1 + m1.m2 1 + (-2)(-7/5) 1 + 14/5 19/5 19

Tg = 3 = arc tg ( 3 ) = 0,1578947368421 = 80 58' 21". 19 19

17. y = x2 ; y2 - 3y = 2x

y = x2 y2 - 3y = 2x

Sustituyendo en

(x2)2 - 3(x2) = 2xx4 - 3x2 - 2x = 0x(x3 - 3x - 2 ) = 0x = 0

x3 - 3x - 2 = 0(x + 1) (x+ 1) (x - 2) = 0x + 1 = 0x = - 1

x - 2 = 0x = 2

Page 129: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Cálcular los Máximos y Mínimos de cada una de lasFunciones Siguientes. Página 69.

1. x3 - 6x2 + 9x

Primeramente derivamos:

f(x) = x3 - 6x2 + 9x.

f '(x) = 3x2 - 12x + 9.

Luego igualamos la primera derivada igual a cero.

f '(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3 ) = 0.

f '(x) = (x - 3)(x - 1) = 0 de donde: x = 3 ; x = 1, estos serian los valores críticos.

Luego: Para x = 3, se toma un número menor a 3, el más pequeño, se sustituye en la primera derivada.x 3 = 2,9.f '(x) = (x - 3)(x - 1)f '(x) = ( 2,9 - 3 )( 2,9 - 1 ) = (- 0,1 ) ( + 1,9) = - 0,19 . Para esta clase de resultados, no es necesario hacer el próceso numérico, solamente interesa el signo. Asi en el caso: (- 0,1) ( + 1,9) = " - " . Este signo negativo lo almacenamos como un primer resultado.

Luego:Para x = 3,se toma un número mayor que 3, el más pequeño,este se sustituye en la primera derivada.

Page 130: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x 3 = 3,1f '(x) = (x - 3)(x - 1).f '(x) = (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+) (+) = " + ".

Este signo positivo seria el segundo resultadoPuesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un valor Mínimo .

Para saber cuanto es este valor Mínimo, reemplazamos el valor crítico: x = 3 en f (x).f(x) = x3 - 6x2 + 9x.f(3) = 33 - 6(3)2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 54 - 54 = 0 en, x = 3 hay un Mínimo = 0.

Tomando el otro valor crítico: x = 1.Se toma un número menor que 1, el más pequeño,este se susti- tuye en la primera derivada.x 1 = 0,9.f '(x) = (x - 3)(x - 1)f '(x) = (0,9 -3)(0,9 -1) = ( - )( - ) = " + ". Este signo es el primer resultado.

Luego: para x = 1, se toma un número mayor que 1, el más pequeño,este se sustituye en la primera derivada.x 1 = 1,1.f '(x) = (x - 3)(x - 1).f '(x) = (1,1 - 3)(1,1 - 1) = (-) (+) = "-". Este signo negativo es el segundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un valor "Máximo".

Para saber cuanto es este valor Máximo, reemplazamos el valor crítico , x = 1 en f (x).f(x) = x3 - 6x2 + 9x.f(1) = 13 - 6(1)2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 en, x = 1 hay un Máximo = 4

Page 131: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2. 10 + 12x - 3x2 - 2x3

f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3

f '(x) = 12(1) - 6x - 6x2 = 12 - 6x - 6x2.

f '(x) = - 6 (- 2 + x + x2) = 0f '(x) = - 6 (x2 + x - 2) = 0

f '(x) = - 6(x + 2) (x - 1) = 0

(x + 2) = 0

x = - 2.

(x - 1) = 0

x = + 1.

Primero para x = - 2.x - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)f '(x) = - 6 (- 2,1 + 2)(- 2,1 - 1)f '(x) = - 6 ( - )( - ) = " - ".Luego: x - 2 = - 1,9.Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)f '(x) = - 6 (- 1,9 + 2)(- 1,9 - 1)f '(x) = - ( + )( - ) = " + ".Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un valor Mínimo .

Sustituimos x = -2 en f(x) para encontrar el valor númerico delMínimo. f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3

f(- 2) = 10 + 12(- 2) - 3(- 2)2 - 2(- 2)3

f(- 2) = 10 - 24 - 12 + 16 = 26 - 36 = - 10.f(- 2) = - 10.

Page 132: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

en x = - 2 hay un Mínimo = - 10.

Para x = 1x 1 = 0,9.Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)f '(x) = - 6 (0,9 + 2)(0,9 - 1) f '(x) = - ( + )( - ) = "+".Luego:x 1 = 1,1.Se sustituye este valor en la primera derivada:f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)f '(x) = - 6 (1,1 + 2)(1,1 - 1)f '(x) = - 6 ( + )( + ) = "-".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = 1 en f(x) para encontrar el valor numérico del Máximo. f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3

f(1) = 10 + 12(1) - 3(1)2 - 2(1)3

f(1) = 10 + 12 - 3 - 2 = 17 en x = 1 , hay un Máximo = 17.

3. 2x3 + 3x2 + 12x - 4.

f(x) = 2x3 + 3x2 + 12x - 4.

f '(x) = 6x2 + 6x + 12.

f '(x) = 6(x2 + x + 2).

El trinomio (x2 + x + 2) no se puede factorizar, la función no tiene ni Máximos ni Mínimos.

4. x3 + 2x2 - 15x -20.

Page 133: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.

f '(x) = 3x2 + 4x - 15.

f '(x) = (3x)2 + 4(3x) - 45 = 0f '(x) = ( 3 x + 9 ) (3x - 5) = 0 3 x 1

f '(x) = (x + 3) (3x - 5) = 0

(x + 3) = 0

x = - 3.

(3x - 5) = 0

x = 5 . 3

Primero cálculamos para x = - 3.x - 3 = - 3,1.Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = (x + 3) (3x - 5)f '(x) = (- 3,1 + 3) [3(- 3,1) - 5] = 0f '(x) = ( - 0,1 ) (- 9,1 - 5) = 0f '(x) = ( - ) ( - ) = " + ".

Luego:x - 3 = - 2,9.Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = (x + 3) (3x - 5)f '(x) = (- 2,9 + 3) [3(- 2,9) - 5]f '(x) = ( + 0,1) ( - 5,7 - 5)f '(x) = ( + ) ( - ) = "-".Puesto que el signo de la derivada cambia de "+"a "-"la

Page 134: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

función tiene un valor Máximo .

Sustituimos x = - 3 en f (x) para encontrar el valor del Máximo.f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.f(- 3) = (- 3)3 + 2(- 3)2 - 15(- 3) - 20f(x) = - 27 + 18 + 45 - 20 = - 47 + 63 = + 16. en x = - 3 hay un Máximo = 16.

Para x = 5/3.x 5/3 = 4/3.Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = (x + 3) (3x - 5).f '(x) = (- 4/3 + 3) [3(-4/3 - 5]f '(x) = (-4/3 + 9/3) [3(- 4/3) - 5]f '(x) = (+ 5/3 ) (- 12/3 - 5)f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x 5/3 = 6/3Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = (x + 3) (3x - 5).f '(x) = (6/3 + 3) [3(6/3) - 5]f '(x) = ( 6/3 + 9/3) [3(6/3) - 5)] = (15/3) (18/3 -15/3)f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "- "a "+ " la función tiene un valor Mínimo .

Sustituimos x = 5/3 en f (x ) para encontrar el valor Mínimo.f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.f( 5/3) = (5/3)3 + 2(5/3)2 - 15(5/3) -20.f( 5/3) = 125/27 + 2(25/9) - 75/3 - 20f( 5/3) = 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27f( 5/3) = 125/27 + 150/27 - 675/27 - 540/27f( 5/3) = 275/27 - 1215/27f( 5/3) = - 940/27 en x = 5/3 hay un Mínimo = - 940/27.

Page 135: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

5. 2x2 - x4

f (x) = 2x2 - x4

f '(x) = 4x - 4x3

f '(x) = 4x(1 - x2) = 04x = 0x = 01 - x2 = 0 1 = x2 = 1x = 1Valores Críticos: x = 0 , x = 1 , x = - 1

Para x = 0x 0 = - 0,1Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 - x2)f '(- 0,1) = 4x(1 + x)(1 - x)f '(- 0,1) = 4(- 0,1)[1 +(-0,1) ][1 - (-0,1)]f '(- 0,1) = (- 4,1) (1 - 0,1) (1 + 0,1)f '(- 0,1) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ".

Luego: x 0 = 0,1Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)f '(0,1) = 4(0,1)(1 + 0,1)(1 - 0,1)f '(0,1) = (+ 4,4)(+ 1,1)(+ 0,9)f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de " - "a " + "la función tiene un valor Mínimo .

Sustituimos x = 0 en f (x) para encontrar el valor Mínimo.f (x) = 2x2 - x4

f (0) = 2(0)2 - (0)4

f (0) = 0 - 0. en x = 0 existe un Mínimo = 0.

Page 136: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = 1x 1 = 0,9, Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)f '(0,9) = 4(0,9)(1 + 0,9)(1 - 0,9)f '(0,9) = ( + )( + )( + ) = " + " .

Luego:x 1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)f '(1,1) = 4(1,1)(1 + 1,1)(1 - 1,1)f '(1,1) = ( + )( + )( - ) = "-".Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = 1 en f (x) para encontrar el valor Máximo.f(x) = 2x2 - x4

f (1) = 2(1)2 - (1)4

f (1) = 2 - 1 = 1f (1 ) = 1 en x = 1 existe un Máximo = 1.

Para: x = - 1.x - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)f '(-1,1) = 4(- 1,1)[1 + (- 1,1)] [1 - (- 1,1)]f '(-1,1) = (- 4,4)(1 - 1,1)(1 + 1,1)f '(-1,1) = ( - )( - )( + ) = "+".

Luego: x -1 = - 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)f '( - 0,9) = 4(- 0,9)[1 + (-0,9)] 1 - (- 0,9)]f '( - 0,9) = ( -3,6) (1 - 0,9) (1 + 0,9)f '( - 0,9) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ".Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "-" la función tiene un valor Máximo.

Page 137: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Como colofon sustituimos x = - 1 en f (x) para encontrar el valor Máximo.f (x) = 2x2 - x4

f (-1) = 2(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1 en x = - 1 existe un Máximo = 1.

6. x4 - 4x

f (x) = x4 - 4xf '(x) = 4x3 - 4f '(x) = 4 (x3 - 1) = 0x3 - 1 = 0 . x = 1 .

Para : x = 1x 1 = 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4 (x3 - 1)f '(x) = 4 [(0,9)3 - 1]f '(x) = 4 [(0,729 - 1]f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x 1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4 [(1,1)3 - 1]f '(x) = 4 (1,331 - 1)f '(x) = ( + ) ( + ) = "+".Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " lafunción tiene un valor Mínimo.

Sustituimos x = 1 en f (x), para encontrar el valor Mínimo.f (x) = x4 - 4xf (1) = (1)4 - 4(1)f (1) = 1 - 4 = - 3f (1) = - 3. en x = 1 existe un Minimo = - 3.

7. x4 - x2 + 1.

f (x) = x4 - x2 + 1.

Page 138: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 4x3 - 2x = 0.

f '(x) = 4x(x2 - 1 ) = 0. 2x = 0

x2 - 1 = 0 2

x2 = 1 = 1 = √ 2 . 2 √2 2

x = √ 2 . 2 x = 0Valores Críticos: x = + √ 2

2 x = - √ 2 2Para: x = 0x 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.f '(x) = 4(- 0,1) [(- 0,1)2 - 1]f '(x) = (- 4,4) [0,01 - 1)f '(x) = ( - ) ( - ) = "+".

Luego: x 0 = 0,1 , al igual que la anterior se reemplaza en f '(x).f '(x) = 4(0,1) [(0,1)2 - 1]f '(x) = (0,4) (0,01 - 1)f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = 0 en f (x), para encontrar el valor Máximo.

Page 139: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f (x) = x4 - x2 + 1.f (0) = (0)4 - (0)2 + 1 = 0 - 0 + 1.f (0) = 1.

en x = 0 hay un Máximo = 1Para: x = + √ 2 = 1,414213562373 = 0,7071067811865

2 2

x 0,7071… = 0,7. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.f '(x) = 4(0,7) [(0,7)2 - 1/2]f '(x) = (2,8) [(0,49 - 0,5]f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x 0,7071… = 0,71. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = 4(0,71) [(0,71)2 - 1/2) f '(x) = (2,84) [0,5041 - 0,5]f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un valor Mínimo.

Sustituimos x = √2/2 ,en f(x) para encontrar el valor Mínimo.f (x) = x4 - x2 + 1.f(√2/2) = (2/2)4 - (√2/2)2 + 1 f(√2/2) = ( √ 2) 4 - ( √ 2) 2 + 1 24 22

3f(√2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 = 12 = 3 . 16 4 16 16 16 16 4 4 en x = √ 2 hay un Mínimo = 3 . 2 4 Para: x = - √ 2 = - 1,414213562373 = - 0,7071067811865 2 2

Page 140: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x - 0,7071… = - 0,71. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 4(- 0,71) [(- 0,71)2 - 1/2]f '(x) = (- 2,84) (0,5041 - 0,5)f '(x) = ( - ) ( + ) = " - ".

Luego: x - 0,7071 = - 0,69 .Se sustituye este valor en la 1ra derivada.f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.f '(- 0,69) = 4(-0,69) [(- 0,69)2 - 1/2] f '(- 0,69) = (- 2.76) (0.4761 - 0,5)f '(- 0,69) = ( - ) ( - ) = "+".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la función tiene un Mínimo . Sustituimos x = - 2/2 en f (x ) para encontrar el Mínimo.

f (x) = x4 - x2 + 1

f (- √2/2) = - √ 2

4 - - √ 2 2 + 1 2 2

f (- √2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 = 12 = 3 . 16 4 16 16 16 16 16 16 4

en x = - √ 2 hay un Mínimo = 3 . 2 4

8. 3x4 - 4x3 - 12x2

f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2

f '(x) = 12x3 - 12x2 - 24x.

f '(x) = 12x(x2 -x - 2) = 0

f '(x) = x (x - 2) (x + 1) = 0

Valores Críticos : x = 0 ; x = 2 ; x = - 1.

Page 141: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = 0x 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera deriovada.f '(x) = x (x -2) (x + 1)f '(x) = (-0,1) (- 0,1 - 2) (- 0,1 +1)f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = "+ ".

Luego: x 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x (x -2) (x + 1)f '(x) = (0,1) ( 0,1 -2 ) (0,1 + 1)f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = "-".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la funcion tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo.f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2

f(x) = 3(0)4 - 4(0)3 - 12(0)2

f(x) = 0 - 0 - 0 = 0 Cuando : x = 0 Máximo = 0

Para : x = 2x 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x (x -2) (x + 1)f '(x) = (1,9) (1,9 -2) (1,9 + 1)f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = " - ".

Luego: x 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x (x -2) (x + 1)f '(x) = (2,1)( (2,1 -2) (2,1 + 1)( + ) ( + ) ( + ) = "+".

Puesto que el signo de la derivada cambia de "- " a "+" la función tiene un valor Mínimo .

Page 142: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2

f(2) = 3(2)4 - 4(2)3 - 12(2)2 = 48 - 32 - 48 = - 32f(2) = - 32. en x = 2 existe un Mínimo = - 32.

Para: x = - 1.x - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x (x -2) (x + 1)f '(x) = (- 1,1) (-1,1 -2) (- 1,1 + 1)f '(x) = ( - ) ( - ) ( - ) = " - ".

Luego: x - 1 = - 0,9. Se sustituye este este valor en la primera derivadaf '(x) = (- 0,9) (- 0,9 -2) (- 0,9 + 1)f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = " + ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la x función tiene un valor Mínimo.

Sustituimos x = - 1 en f(x) para encontrar el valor Mínimo.f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2.f(-1) = 3(-1)4 - 4(-1)3 - 12(-1)2

f(-1) = 3(1) - 4(-1) - 12(1) = 3 + 4 - 12.f(-1) = - 5. en x = - 1 existe un Mínimo = - 5

9. x5 - 5x4.

f(x) = x5 - 5x4.

f '(x) = 5x4 - 20x3.

f '(x) = 5x4 - 20x3 = 0

Page 143: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 5x3(x - 4) = 0

f '(x) = x3 = 0. x = 0. x - 4 = 0.

x = 4.

Para: x = 0x 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 5x3(x - 4)f '(x) = (+ 5)(- 0,1)3 [(- 0,1) - 4].f '(x) = (+ 5)(- 0,001) (- 4,1)f '(x) = ( + ) ( - ) ( - ) = " + ".

Luego: x 0 = 0,1. Se sustituye en la primera derivada.f '(x) = 5x3(x - 4)f '(x) = 5(0,1)3 [(0,1) - 4]f '(x) = (5)( 0.001) ( 0,1 - 4)f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo.f(x) = x5 - 5x4

f(0) = (0)5 - 5(0)4 = 0 - 0 = 0 en x = 0 hay un Máximo = 0 .

Para: x = 4x 4 = 3,9. Sustituimos este valor en la primera derivada.f '(x) = 5x3(x - 4)f '(x) = 5(3,9)3 (3,9 - 4)f '(x) = (5)(59.319)( - )f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = ''-".

Luego: x 4 = 4,1. Sustituimos este valor en la primera derivada.

Page 144: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 5x3(x - 4)f '(x) = 5(4,1)3(4,1 - 4)f '(x) = (+ 5) (68.921) (+ 0,1)f '(x) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ".

Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a "+" la función tiene un valor Mínimo.

Sustituimos x = 4 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. f(x) = x5 - 5x4

f(4) = (4)5 - 5(4)4

f(4) = 1024 - 1280 = - 256 en x = 4 existe un Mínimo = - 256.

10. 3x5 - 20x3

f(x) = 3x5 - 20x3

f '(x) = 15x4 - 60x2

f '(x) = 15x2(x2 - 4) = 0f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) = 0x2 = 0x = 0x + 2 = 0x = - 2x - 2 = 0x = 2

Valores Críticos : x = 0 ; x = - 2 ; x = 2 .

Para: x = 0x 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en la primera derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)f '(- 0,1) = (- 0,1)2(- 0,1 + 2)(- 0,1 - 2)f '(- 0,1) = ( + 0.01) ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)

Page 145: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(0,1) = (+ 0,1)2(0,1 + 2)(0,1 - 2)f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-".Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo No hay ni Máximos ni Mínimos.Para: x = -2x - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)f '(- 2,1) = (- 2,1)2(- 2,1 + 2)(- 2,1 - 2)f '(- 2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) = "+".

Luego: x - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)f '(- 1,9) = (-1,9)2(-1,9 + 2)(-1,9 - 2).f '(- 1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Máximo.f(x) = 3x5 - 20x3.f( - 2) = 3(-2)5 - 20(-2)3.f( - 2) = 3( - 32) - 20(- 8) = - 96 + 160 = 64. en x = - 2 existe un Máximo = 64.

Para: x = 2.x 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)f '(1,9) = (1,9)2(1,9 + 2)(1,9 - 2)f '(1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-".

Luego: x 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)f '(2,1) = (2,1)2(2,1 + 2)(2,1 - 2)f '(2,1) =`( + ) ( + ) ( + ) = "+".Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ",la función tiene un valor Mínimo. Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo.

Page 146: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = 3x5 - 20x3.f(2) = 3(2)5 - 20(2)3 = 96 - 160 = - 64.f(2) = - 64. en x = 2 existe un Mínimo = - 64.

11. x2 + 2a 3 . x

f(x) = x2 + 2a 3 . x

f (x) = x2 + 2a3.x-1

f '(x) = 2x + (2a3)(- 1)(x -1-1)

f '(x) = 2x + -(2a3)(x -2) = 2x _ 2a 3 = 2x 3 - 2a 3 = 2(x3 - a3) . x2 x2

f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2) = 0

x - a = 0x = ax2 + ax + a2 = 0 no se puede factorizar.

Para: x = a.x a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2)f '(0,9a) = [2(0,9a - a)] [(0,9a)2 + a(0,9a) + a2)]f '(0,9a) = 2( - ) ( + ) = " - ".

Luego: x a = 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2)f '(1,1a) = 2(1,1a - a) [(1,1a)2 + a(1,1a) + a2)f '(1,1a) = 2 ( + ) ( + ) = "+".Puesto que el signo de la derivada cambia de "-" a "+", la función tiene un valor Mínimo .

Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo.

Page 147: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = x2 + 2a 3 . xf(a) = (a)2 + 2a 3 . a f(a) = a2 + 2a2 = 3a3. en x = a existe un Mínimo = 3a3.

12. 2x - a 3 . x2

f(x) = 2x - a 3 . x2

f(x) = 2x - a3.x -2

f '(x) = 2 - a3.(-2x -2-1) = 2 + 2a3x -3 = 2 + 2a 3 = 2x 3 + 2a 3 = 0.

x3 x3

f '(x) = 2(x3 + a3) = 0

(x + a)(x2 - ax + x2) = 0 .

x + a = 0x = - a

x2 - ax + x2 = 0 no se puede factorizar.

Valor Crítico : x = - a .

Para: x - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.

f '(x) = 2x 3 + 2a 3 x3

f '(x) = 2(- 1,1a) 3 + 2a 3 = 2( - 1,331a 3 ) + 2a 3 = - 2,662a 3 + 2a 3 (- 1,1a)3 -1,331a3 -1,331a3

f '(x) = ( - ) = " + " . ( - )

Luego: x - a =- 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.

f '(x) = 2x 3 + 2a 3

Page 148: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x3

f '(x) = 2(- 0,9a) 3 + 2a 3 = - 1,8a 3 + 2a 3 = ( + ) = " - " . x3 (- 0,9a)3 ( - )

Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un valor Máximo.

Sustituimos x = -a en f(x) para encontrar el Máximo.

f(x) = 2x - a 3 . x2

f(-a) = 2(-a) - a 3 = - 2a - a 3 = - 2a - a . (-a)2 a2

f(-a) = - 3a.

en x = - a hay un Máximo = - 3a.

13. x2 + a 4 . x2

f (x) = x2 + a 4 = x2 + a4.x -2

x2

f '(x) = 2x + a4(-2x -2-1) = 2x - 2a4x-3 = 2x - 2a 4 = 2x 4 - 2a 4 = 0 x3 x3

f '(x) = 2x4 - 2a4 = 2(x4 - a4) = 0

f '(x) = (x4 - a4) = (x2 + a2)(x2 - a2) = 0f '(x) = x2 + a2

= 0

x2 = - a2

x = √-a2 = a.i ( imaginario).x2 - a2 = 0x2 = a2

x = a .

Para: x = a . Tomamos un x a = 0,9a.

Page 149: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Se sustituye este valor en la primera derivada.

f '(x) = 2x 4 - 2a 4 x3

f '(0,9a) = 2(0,9a) 4 - 2a 4 = 2 (0,6561a 4 ) - 2a 4 = 1,3122a 4 - 2a 4 (0,9a)3 0,729a3 0,729a3

f '(0,9a) = ( - ) = " - ". ( + )

Luego: x a = 1,1a.

Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = 2x 4 - 2a 4

x3

f '(x) = 2(1,1a) 4 - 2a 4 = 2(1,4641a 4 ) - 2a 4 = 2,9282a 4 - 2a 4 = (1,1a)3 1,331a3 1,331a3

f '(x) = ( + ) = "+". ( + )

Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un Mínimo. Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo.f(x) = x2 + a 4 . x2

f(a) = a2 + a 4 . a2

f(a) = a2 + a2 = 2a2.

en x = a hay un Mínimo = 2a2.

Para: x = - a.

Page 150: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.

f '(x) = 2x 4 - 2a 4 x3

f '(-1,1a) = 2(-1,1a) 4 - 2a 4 = 2(1,4641a 4 ) - 2a 4 = 2,9282a 4 - 2a 4 . (-1,1a)3 - 1,331a3 - 1,331a3

f '(-1,1a) = ( + ) = " - ". ( - )

Luego: x -a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.

f '(x) = 2x 4 - 2a 4 x3

f '(- 0,9a) = 2(- 0,9a) 4 - 2a 4 = 2(0,6561a 4 ) - 2a 4 = (- 0,9a)3 - 0,729a3

f '(- 0,9a) = 0,86093442a 4 - 2a 4 = ( - ) = " + ". - 0,729a3 ( - ) Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la función tiene un valor Minimo. Sustituimos x = - a en f (x) para encontrar el valor Mínimo.f (x) = x2 + a 4 . x2

f (- a) = (- a)2 + a 4 = a2 + a 4 = a2 + a2 = 2a2. (- a)2 a2

en x = - a hay un Mínimo = 2a2.

14. ax .x2 + a2

f(x) = ax . x2 + a2

Derivando:

Page 151: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2)f '(x) = dx dx .

(x2 + a2)2

f '(x) = (x 2 + a 2 ).a - (ax).2x = ax 2 + a 3 - 2ax 2 = a 3 - ax 2 = 0 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2

(x2 + a2)2 ( 0 ) = 0

f '(x) = a3 - ax2 = 0

f '(x) = a(a2 - x2) = 0

a (a + x)(a - x) = 0

a + x = 0

x = - a

a - x = 0

a = x o x = a .Valores Críticos: x = a ; x = - a.Para: x = a.x a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = a3 - ax2

f '(0,9a) = a3 - a(0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + )

Luego: x a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = a3 - ax2

f '(1,1a) = a3 - a(1,1a)2 = a3 - 1,21a3 = ( - ).

Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la función tiene un Máximo.

Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Máximo.

f(x) = ax .

Page 152: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 + a2

f(a) = a.a = a 2 = 1 . a2 + a2 2a2 2 en x = a hay un Máximo = 1/2.

Para: x = - a.x - a = -1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = a3 - ax2

f '(- 1,1a) = a3 - a(- 1,1a)2

f '(- 1,1a) = a3 - 1,21a3 = ( - ).

Luego: x - a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivadaf '(x) = a3 - ax2

f '(- 0,9a) = a3 - a(- 0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + ).

La función tiene un Mínimo,el signo va de " - " a " + ".

Sustituimos x = - a en f(x) para encontrar el valor Mínimo.

f(x) = ax . x2 + a2

f(x) = a(-a) = - a 2 = - a 2 = - 1 . (-a)2 + a2 a2 + a2 2a2 2

en x = - a hay un Mínimo = - 1/2.

15. x 2 .x + a

f(x) = x 2 . x + a

(x + a).d (x2) - x2. d (x + a)f '(x) = dx dx . (x + a)2

f '(x) = 2x(x + a) - x 2 (1) = 2x 2 + 2ax - x 2 = 2ax + x 2 .

Page 153: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x + a)2 (x + a)2 (x + a)2

f '(x) = x(2a + x) = 0 (x + a)2

x(2a + x) = 0x = 02a + x = 0 x = - 2a .

Valores Críticos: x = 0 ; x = - 2 a.

Para: x = 0 x 0 = - 0,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x(2a + x)f '(-0,1a) = (- 0,1a) [2a + (- 0,1a)]f '(-0,1a) = ( - ) ( + ) = " - ".

Luego: x 0 = 0,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada. f '(x) = x(2a + x)

f '(0,1a) = (0,1a)(2a + 0,1a)f '(0,1a) = ( + )( + ) = " + ".La función tiene un Mínimo ,el signo va de " - " a " + ".

Sustituimos x = 0 en f(x).f(x) = x 2 . x + a

f(x) = 0 = 0. 0 + a

en x = 0 hay un Mínimo = 0.

Para: x = - 2a .x -2a = - 2,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.f '(x) = x(2a + x)

Page 154: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(-2,1a) = (-2,1a)[2a + (-2,1a)] f '(-2,1a) = ( - 2,1a)(2a - 2,1a)f '(-2,1a) = ( - ) ( -) = " + ".

Luego: x -2a = -1,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivadaf '(x) = x(2a + x)f '(-1,9a) = (-1,9a)[2a + (-1,9a)] f '(-1,9a) = (-1,9a) (2a - 1,9a) = ( - ) ( + ) = " - ".La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ".

x = -2a se sustituye en f(x).

f(x) = x 2 . x + a

f(x) = (-2a) 2 = 4a 2 = - 4a. -2a + a -a

en x = -2a existe un Máximo = - 4a .

16. x 2 .x2 + a2

f(x) = x 2 . x2 + a2

(x2 + a2). d (x2) - x2. d (x2 + a2)f '(x) = dx dx . (x2 + a2)2

f '(x) = (x 2 + a 2 ) (2x) - x 2 (2x) (x2 + a2)2

f '(x) = 2x 3 + 2a 2 x - 2x 3 = 2a 2 x = 0 . (x2 + a2)2 (x2 + a2)2

Page 155: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 2a2x = 0 x = 0 .

Valor Crítico : x = 0 .

Para: x = 0 ; x 0 = - 0,1a . Este valor se reemplaza en f '(x).f '(x) = 2a2xf '(-0,1a) = 2a2(-0,1a) = ( - )

Luego: x 0 = 0,1a. Este valor se reemplaza en f '(x).f '(x) = 2a2xf '(0,1a) = 2a2(0,1a) = ( + ).La función tiene un Mínimo , el signo va de " - " a " + ".

x = 0 se sustituye en f(x) para saber el valor Mínimo.f(x) = x 2 . x2 + a2

f(x) = 0 = 0 = 0 02 + a2 a2

en x = 0 hay un Mínimo = 0.

17. x 2 + 2a 2 x2 + a2

f(x) = x 2 + 2a 2 x2 + a2

(x2 + a2).d (x2 + 2a2) - (x2 + 2a2). d (x2 + a2) f '(x) = dx dx . (x2 + a2)

f '(x) = (x 2 + a 2 ).(2x) - (x 2 + 2a 2 ).(2x) = 2x 3 + 2a 2 x - 2x 3 - 4a 2 x (x2 + a2) (x2 + a2)

f '(x) = - 2a 2 x = 0 .

Page 156: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x2 + a2

f '(x) = -2a2x = 0x = 0 valor crítico.

Para: x = 0x 0 = - 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = -2a2x f '(- 0,1a) = -2a2(- 0,1a) = ( + )

Luego: x 0 = 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = -2a2x f '(0,1a) = -2a2(0,1a) = ( - ).La función tiene un Máximo , el signo va de " + " a " - ".

Sustituimos x = 0 en f(x).

f(x) = x 2 + 2a 2 x2 + a2

f(x) = (0) 2 + 2a 2 = 2a 2 = 2 (0)2 + a2 a2

en x = 0 hay un Máximo = 2 .

18. (2 + x)2 (1 - x)2

f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2

f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)2 + (1 - x)2. d (2 + x)2 dx dx

f '(x) = (2 + x)2. 2(1 - x)2-1.(-1) + (1 - x)2.2(2 + x)2-1

f '(x) = - 2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x)

f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) [2 + x - (1 - x)]

f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) (2 + x - 1 +x) = - 2(2 + x)(1 - x)(2x + 1)

Page 157: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) = 0

2 + x = 0

x = - 2.

x - 1 = 0

x = 1

2x + 1 = 0

x = - 1 . 2

Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1/2.Para: x = - 2x - 2 = -2,1. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(-2,1) = 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1]f '(-2,1) = 2(2 - 2,1) ( - 2,1 - 1) (- 4,2 + 1)f '(-2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) = " - ".

Luego: x - 2 = - 1,9. Este valor se reemplaza en f '(x).f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(-1,9) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(-1,9) = 2[2 + (-1,9)](-1,9 - 1)[2(-1,9) + 1]f '(-1,9) = ( 2 )(2 - 1,9) (- 1,9 - 1)(-3,8 + 1)f '(-1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = "+".La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

Se sustituye x = - 2 en f(x).f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2

f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]2

f(-2) = ( 2 - 2 )2 ( 1 + 2)2 = ( 0 )2 ( 3 )2 = (0)(9) = 0 en x = - 2 hay un Mínimo = 0.

Page 158: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = 1x 1 = 0,9. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(0,9) = (2) (2 + 0,9) (0,9 - 1) [2(0,9) + 1]f '(0,9) = ( + )( + )( - )( + ) = " - ".

Luego: x 1 = 1,1. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(1,1) = (2)(2 + 1,1)(1,1 - 1)[2(1,1) + 1]f '(1,1) = ( + )( + )( + )( + ) = " + ".La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ".

Se sustituye x = 1 en f(x).f(x) = (2 + x)2(1 - x)2

f(1) = (2 + 1)2(1 - 1)2 = ( 3 )2( 0 )2 = ( 9 )( 0 ) = 0 en x = 1 hay un Mínimo = 0

Para x = - 1/2.x - 1/2 = - 0,6. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(-0,6) = ( 2 )[2 + (-0,6)](-0,6 - 1) [2(-0,6) + 1]f '(-0,6) = ( 2 )[2 - 0,6](- 0,6 - 1) [- 1,2 + 1]f '(- 0,6) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = " + ".Luego: x - 1/2 = - 0,4. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 + (- 0,4)] (- 0,4 - 1) [2(- 0,4) + 1]f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 - 0,4] (- 0,4 - 1) [ - 0,8 + 1]f '(- 0,4) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = " - ".La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".

Se sustituye x = - 1/2 en f(x).f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2

f(- 0,5) = [2 + (- 0,5)]2 [1 - (- 0,5)]2

f(- 0,5) = ( 2 - 0,5)2 ( 1 + 0,5)2 = (1,5)2 (1,5)2 = (1,5)4 = 5,0625.

Page 159: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = 5,0625. en x = - 1/2 hay un Máximo = 5,0625.

19. (2 + x)2 (1 - x)3

f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3

f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)3 + (1 - x)3. d (2 + x)2 dx dx

f '(x) =(2 + x)2.3(1 - x )2.d (1 - x) + (1 - x)3. 2(2 + x)2-1.d (2 + x) dx dx

f '(x) = 3(2 + x)2(1 - x )2 ( - 1) + 2(1 - x)3(2 + x)(1)f '(x) = -3(2 + x)2(1 - x )2 + 2(1 - x)3(2 + x)f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [-3(2 + x) + 2(1 - x)]f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [ - 6 - 3x + 2 - 2x]f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) = 0(2 + x) = 0x = - 2.(1 - x) = 0 = 1 - xx = 1 - 4 - 5 x = 0 = - 4 - 5 x

5x = - 4x = - 4 .

5

Valores Críticos: x = 1 ; x = - 2 ; x = - 4/5.

Para: x = 1.x 1 = 0,9. Sustituyendo este valor en f '(x).f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 5(0,9)]f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 4,5]f '(0,9) = ( + ) ( + )2 ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x 1 = 1,1. Sustituyendo este valor en f '(x).

Page 160: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5(1,1)]f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5,5]f '(1,1) = ( + ) ( - ) ( - )2 = ( + ) ( - ) ( + ) = "-".

La función no tiene ni Máximo ni Mínimo , no hay cambio de signo.

Para: x = - 2.x - 2 = - 2,1. Sustituyendo este valor en f '(x).f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 (- 4 - 5x)f '(-2,1) = [2 + (-2,1)] [1 - (-2,1)]2 [- 4 - 5(-2,1)]f '(-2,1) = [2 - 2,1] [1 + 2,1]2 [ - 4 + 10,5]f '(-2,1) = ( - ) ( + )2 ( + ) = " - ". [no es necesario elevar ( + )2 , pues siempre es positivo; perosi cuando ( - )2,pues al elevarse al cuadrado se hace "+".]Luego: x - 2 = - 1,9. Sustituyendo este valor en f '(x).f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)f '(-1,9) = (2 + (-1,9)] [1 - (-1,9)]2 [ - 4 - 5(-1,9)]f '(-1,9) = (2 - 1,9] [1 + 1,9]2 [ - 4 + 9,5]f '(-1,9) = ( +) ( + ) ( + ) = " + ".La función tiene un Mínimo, el signo cambia de " - " a " + ".

Se sustituye x = - 2 en f(x).f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3

f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]3

f(-2) = ( 2 - 2)2 (1 + 2)3 = ( 0 ) ( 3)3 = 0 en x = - 2 existe un Mínimo = 0.

Para: x = - 4/5 = - 0,8.x - 4/5 = - 0,9. Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)f '(- 0,9) = [2 + (-0,9)] [1 - (-0,9)]2 [- 4 - 5(-0,9)]f '(- 0,9) = [2 - 0,9] [1 + 0,9]2 [- 4 + 4,5]f '(- 0,9) = ( + ) ( + ) ( + ) = "+".

Luego: x - 4/5 = - 0,7. Se sustituye este valor en f '(x).

Page 161: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)f '(- 0,7) = [2 + (- 0,7)] [1 - (- 0,7)] 2 [ - 4 - 5(-0,7)]f '(- 0,7) = [2 - 0,7] [1 + 0,7]2 [ - 4 + 3,5]f '(- 0,7) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ".

x = - 4/5 = - 0,8. Se sustituye en f(x).f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3

f(- 0,8) = [2 + (- 0,8)]2 [1 - (- 0,8)]3

f(- 0,8) = [2 - 0,8]2 [1 + 0,8]3

f(- 0,8) = (1,2)2 (1,8)3 = (1,44) (5,832) = 8,39808 en x = - 4/5 existe un Máximo = 8,39808 .

20. b + c(x - a)2/3

f(x) = b + c(x - a)2/3

f '(x) = d (b) + c.d (x - a)2/3

dx dx

f '(x) = 0 + c. 2 . (x - a)2/3-1.d (x - a) 3 dx

f '(x) = 2c. (x - a)-1/3(1) = 2c = 0 .

3 3(x - a)1/3

Si f '(x) = 0 , se anulan los valores críticos; por tanto hacemos: 1 = 0 f '(x) 1 = 1 = 3(x - a) 1/3 = 0 .

f '(x) 2c 2c .

3(x - a)1/3

3(x -a)1/3 = (2c) (0)

3(x -a)1/3 = 0

(x -a)1/3 = 0

Page 162: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

[(x -a)1/3]3 = 03

(x -a) = 0

x = a. 1 = (0,9c - c)2/3 = ∛ (0,9c - c)2 = ∛(-)2 = ∛(-) =

Para: x = a.

x a = 0,9a. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = 2c = 2c = 2c = + = " - " . 3(x - a)1/3 3(0,9a - a)1/3 3∛- 0,1a -Luego: x a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = 2c = 2c = 2c = + = " + " . 3(x - a)1/3 3(1,1a - a)1/3 3∛ 1,1a +La función tiene un Mínimo , va de " - " a " + ".

x = a se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo.f(x) = b + c(x - a)2/3

f(a) = b + c(a - a)2/3 = b + c( 0 )2/3 = b + 0 = b en x = a existe un Mínimo = b.

21. a - b(x - c)1/3.

f(x) = a - b(x - c)1/3.

f '(x) = d (a) - b .d (x - c)1/3 dx dx

f '(x) = 0 - b . 1 . (x - c)1/3-1. d (x - c) 3 dx

f '(x) = - b (x - c) -2/3(1) = - b = 0 3 3(x - c)2/3

Page 163: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 = - 3(x - c) 2/3 = 0 f '(x) b f '(x) = - 3(x - c)2/3 = 0 .

f '(x) = (x - c)2/3 = 0 .

f '(x) = [(x - c)2/3]3/2 = 03/2 .

f '(x) = (x - c) = 0 .

x - c = 0 ; x = cPara: x = c.

x c = 0,9c. Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = - b = - b = - b = - = - = " - ". 3(x - c)2/3 3(0,9c - c)2/3 ∛(- 0,1c)2 ∛+ +

Luego: x c = 1,1c. Se reemplaza este valor en f '(x). f '(x) = - b = - b = - b = - = " - " . 3(x - c)2/3 3(1,1c - c)2/3 3(0,1c)2/3 +

La función no cambia de signo, entonces no hay ni Máximo ni Mínimo.

22. ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3.

f(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3.

f '(x) = ( 2 + x)1/3. d (1 - x)2/3 + (1 - x)2/3. d ( 2 + x)1/3. dx dx

Page 164: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = (2 + x)1/3. 2 .(1 - x)2/3-1.d (1 - x) + (1 - x)2/3. 1 . (2 + x)1/3-1.d (2 + x) 3 dx 3 dx

f '(x) = 2( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3( - 1) + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3( 1 ) . 3 3

f '(x) = - 2 ( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3 + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3 3 3

f '(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3 -2(1 - x) -1/3 (1 - x) -2/3 + 1(2 + x) -2/3 (2 + x) -1/3

3 3

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(1 - x) -1 + 1(2 + x) -1 . 3 3

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2 + 1 . 3(1 - x) 3(2 + x)

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(2 + x) + (1 - x) . 3(1 - x) (2 + x)

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 4 - 2x + 1 - x . 3(1 - x) (2 + x)

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 3 - 3x . 3(1 - x) (2 + x)

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 3 (x + 1) . 3 (1-x)(2+x)

f '(x) = - (2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (x + 1) = 0 (1 - x) (2 + x)

El signo negativo , hace cambiar el signo a un factor, en este caso (x + 1) .

f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) = 0

(2 + x)1/3 = 0 (1 - x)2/3 = 0 - x - 1 = 0 = - x - 1 [( 2 + x)1/3]3 = 03 [(1 - x)2/3]3/2 = 03 x = - 1

Page 165: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 + x = 0 1 - x = 0 = 1 - x x = - 2 x = 1

Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1.Para: x = - 2.x - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x)

f '(-2,1) = [ 2 + (-2,1)] 1/3 [ 1 - (-2,1)] 2/3 [- (-2,1) - 1] [1 - (-2,1)] [2 + (-2,1)]

f '(-2) = (2 - 2,1) 1/3 (1 + 2,1) 2/3 (2,1 - 1) ( 1 + 2,1) (2 - 2,1)f '(-2) = ( - ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( - ) ( + ) ( + ) = ( - ) = " + "

( + ) ( - ) ( - ) ( - )

Luego: x - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x)

f '(-1,9) = [ 2 + (-1,9)] 1/3 [ 1 -(-1,9)] 2/3 [- (-1,9) - 1] (1 - x) (2 + x)

f '(-1,9) = ( 2 - 1,9) 1/3 (1 + 1,9) 2/3 (1,9 - 1) [1 - (-1,9)][2 + (-1,9)]

f '(-1,9) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = " + " . (1 + 1,9)(2 - 1,9) ( + ) ( + ) ( + )

La función no cambia de signo,por tanto no tiene ni Máximo ni Mínimo en x = - 2.

Para: x = 1.

Page 166: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x 1 = 0,9. Se remplaza este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x)(2 + x)

f '(0,9) = ( 2 + 0,9) 1/3 ( 1 - 0,9) 2/3 (- 0,9 - 1) (1 - 0,9)(2 + 0,9)

f '(0,9) = ( 2 + 0,9) 1/3 ( 1 - 0,9) 2/3 (- 0,9 - 1) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) = " - ". (1 - 0,9)(2 + 0,9) ( + ) ( + ) ( + )

Luego: x 1 = 1,1. Se remplaza este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x)(2 + x)

f '(1,1) = ( 2 + 1,1) 1/3 ( 1 - 1,1) 2/3 (- 1,1 - 1) = ( + )( - ) 2/3 ( - ) . (1 - 1,1)(2 + 1,1) ( - )( + )

f '(1,1) = ( + ) [( - ) 2 ] 1/3 ( - ) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) = ( + )( + )( - ) = ( - ) = " + " ( - ) ( - ) ( - ) ( - )

La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ".

Se reemplaza x = 1 en f(x).f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3

f(1) = ( 2 + 1)1/3(1 - 1)2/3 = ( 3 )1/3( 0 )2/3 = 0 en x = 1 hay un Mínimo = 0 .Para: x = - 1 .x - 1 = - 1,1 . Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x) (2 + x)

f '(-1,1) = [ 2 + (-1,1)] 1/3 [ 1 - (-1,1)] 2/3 [- (-1,1) - 1] [1 - (-1,1)] [2 + (-1,1)]

Page 167: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(-1,1) = [ 2 - 1,1] 1/3 [ 1 + 1,1] 2/3 [ + 1,1   - 1] [1 + 1,1] [ 2 - 1,1]

f '(-1,1) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) = " + " ( + )( + ) ( + )

Luego: x -1 = - 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) (1 - x)(2 + x)

f '(-0,9) = [ 2 + (-0,9)] 1/3 [ 1 - (-0,9)] 2/3 [- (-0,9) - 1] [1 + 0,9] [2 - 0,9]

f '(-0,9) = ( 2 - 0,9) 1/3 ( 1 + 0,9) 2/3 ( + 0,9 - 1) (1 + 0,9)(2 - 0,9)

f '(-0,9) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( - ) = ( - ) = " - " . ( + ) ( + ) ( + )

La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".

x = -1 se sustituye en f(x) para cálcular el valor Maximo.f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3

f(-1) = [ 2 + (-1)]1/3[1 - (-1)]2/3

f(-1) = [ 2 - 1]1/3[1 + 1]2/3 = ( 1 )1/3( 2 )2/3 = ∛4 en x = - 1 hay un Máximo = ∛4

23. x(a + x)2 (a - x)3.

f(x) = x(a + x)2 (a - x)3.

Suponiendo que: u = x(a + x)2 y v = (a - x)3 , aplicamos la derivada del producto: y'= u.v' + v.u' .

f '(x) = x(a + x)2.d (a - x)3 + (a - x)3.d [x(a + x)2] dx dx

f '(x) = x(a + x)2. 3(a - x)3-1.d (a - x) + (a - x)3[x.d (a + x)2 + (a + x)2.d (x)]

Page 168: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx dx dx

f '(x) = x(a + x)2.3(a - x)2( - 1) + (a - x)3[x.2(a + x)2-1 + (a + )2(1)]

f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 [ 2x(a + x) + (a + x)2]

f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(2x + a + x)

f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(a + 3x)

Factorizando: (a + x)(a - x)2

f '(x) = (a + x)(a - x)2 {-3x(a + x) + (a - x) (a + 3x)} = 0 .

f '(x) = (a + x)(a - x)2 {- 3ax - 3x2 + a2 + 3ax - ax -3x2}.f '(x) = (a + x)(a - x)2 { -6x2 -ax + a2} = 0 .

Cambiandole el signo al factor {- 6x2 - ax + a2}.

f '(x) = - (a + x)(a - x)2 { 6x2 + ax - a2} = 0.

f '(x) = - (a + x)(a - x)2 (2x + a) (3x - a) = 0.

Cambiandole el signo al factor (3x - a) y anulando el signo negativo.

f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) = 0.

(a + x) = 0 x = - a .

a - x = 0 a = x

2x + a = 0 x = - a . 2a - 3x = 0 = a = 3x

3x = a

Page 169: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = a . 3

Valores Críticos: x = - a ; x = a ; x = - a/2 ; x = a/3

Para: x = - ax < -a = -1,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) f '(-1,1a) = {a + (-1,1a)}{a - (-1,1a)}2 {2(-1,1a) + a} {a - 3(-1,1a)} = 0 f '(-1,1a) = (a - 1,1a) (a + 1,1a)2{- 2,2a + a} (a + 3,3a) = 0f '(-1,1a) = ( - ) ( + )2 { -} ( + ) = ( + )

Luego:x - a = - 0,9a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(- 0,9a) = {a + (- 0,9a) }{a - (- 0,9a)}2 {2(- 0,9a) + a} {a - 3(- 0,9a)}f '(- 0,9a) = {a - 0,9a) (a + 0,9a)2 (-1,8a + a) (a + 2,7a)f '(- 0,9a) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = ( - ) . La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".

x = - a se sustituye en f(x) para encontrar el valor del Máximo.f(x) = x(a + x)2 (a - x)3

f(-a) = (-a){a + (-a)}2 {a - (-a)}3

f(-a) = (-a ){a - a)2 (a + a)3 = ( - a) ( 0 ) ( 2a)3 = 0 en x = - a existe un Máximo = 0 .

Para: x = ax a = 0,9a .Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(0,9a) = {a + (0,9a)} {a - (0,9a)}2 {2(0,9a) + a} {a - 3(0,9a)}f '(0,9a) = (a + 0,9a) (a - 0,9a)2 (1,8a + a) (a - 2,7a) f '(0,9a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ).

Luego: x a = 1,1a . Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(1,1a) = {a + (1,1a)} {a - (1,1a)}2 {2(1,1a) + a} {a - 3(1,1a)}

Page 170: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(1,1a) = (a + 1,1a) (a - 1,1a)2 (2,2a + a) (a - 3,3a)f '(1,1a) = ( + ) ( - )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - )

Para x = a la función no tiene Máximos ni Mínimos, pues no cambian los signos.

Para: x = -a/2 = - 0,5a.x -a/2 = - 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(- 0,6a) = {a + (- 0,6a)} {a - (- 0,6a)}2 {2(- 0,6a) + a} {a - 3(- 0,6a)}f '(- 0,6a) = (a - 0,6a) (a + 0,6a)2 {- 1,2a + a) (a + 1,8a)f '(- 0,6a) = ( + ) ( + )2 ( - ) ( + ) = ( - ).

Luego: x - a/2 = - 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(- 0,4a) = {a + (- 0,4a) } {a - (- 0,4a)}2 {2(- 0,4a) + a} {a - 3(- 0,4a)}f '(- 0,4a) = {a - 0,4a) (a + 0,4a)2 ( - 0,8a + a) (a + 1,2a)f '(- 0,4a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + )La función tiene un Mínimo, va de " - "a " + ".

x = - a/2 = - 0,5a. se reemplaza en f(x).f(x) = x(a + x)2 (a - x)3

f(- 0,5a) = (- 0,5a) {a + (- 0,5a)}2 {a - (-0,5a)}3

f(- 0,5a) = (- 0,5a) (a - 0,5a)2 (a + 0,5a)3 f(- 0,5a) = (-0,5a) ( 0,5a)2 ( 1,5a)3 = (-0,5a) ( 0,25a2) ( 3,375a3)f(- 0,5a) = - 0.421875 a6 = - 421875 a6. 1'000.000

Dividiendo tanto al númerador y denominador para 15.625 .f(- 0,5a) = - 421875 = - 27 a6 . 1'000.000 64

Para: x = a/3 = 0,33…a .

x 0,33a = 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)

Page 171: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(0,32a) ={a + (0,32a)}{a - (0,32a)}2{2(0,32a) + a}{a - 3(0,32a)}f '(0,32a) = (a + 0,32a) (a - 0,32a)2 (0,64a + a) (a - 0,96a)f '(0,32a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + )

Luego: x a/3 = 0,34a. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)f '(0,34a) ={a + (0,34a)}{a - (0,34a)}2{2(0,34a) + a}[a - 3(0,34a)}f '(0,34a) = (a + 0,34a) (a - 0,34a)2 (0,68a + a) (a - 1,02a)f '(0,34a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( - )La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".

x = a/3 se sustituye en f(x).f(x) = x(a + x)2 (a - x)3

f(a/3) = (a/3) {a + (a/3)}2 {a - (a/3)}3 f(a/3) = (a/3) (a + a/3)2 ( a - a/3)3

f(a/3) = (a/3) ( 4a/3)2 ( 2a/3)3 = (a/3) ( 16a2/9) ( 8a3/27)f(a/3) = 128a6/729.

en x = a/3 existe un Máximo = 128 a6 . 729

24. (2x - a)1/3 (x - a)2/3.

f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3.

f '(x) = (2x - a)1/3 .d (x - a)2/3 + (x - a)2/3 . d (2x - a)1/3. dx dx

f '(x) = (2x - a)1/3. 2 . (x - a)2/3-1.d (x -a) + (x - a)2/3. 1 . (2x - a)1/3-1.d (2x-a) 3 dx 3 dx

f'(x) = 2 (2x-a)1/3(x-a)-1/3 d (x) - d (a) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 d (2x) - d (a)

3 dx dx 3 dx dx

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3{ 1 - 0} + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3{2 - 0} 3 3

Page 172: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3( 1 ) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3( 2 ) 3 3

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3 + 2 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 = 0 3 3

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 1 + 1 = 0 3 x - a 2x - a

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 1 + 1 = 0 3 x - a 2x - a

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 2x - a + x - a = 0 3 (x - a) (2x - a)

f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 3x - 2a = 0 3 (x - a) (2x - a)

f '(x) = 2(2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) = 0 3(x - a) (2x - a)

{3(x - a)(2x - a)}( 0 ) = 0

f '(x) = 2(2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) = 0

(2x-a)1/3 = 0 (x - a)2/3 = 0 3x - 2a = 0 {(2x-a)1/3}3 = 03 {(x - a)2/3}3 = 03 x = 2a . 2x - a = 0 x - a = 0 3 x = a/2 . x = a Valores Críticos: x = a/2 ; x = a ; x = 2a/3

Para: x = a/2 = 0,5a . x 0,5a = 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x).

Page 173: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a)(2x - a)

f '(0,4a) = 2 {2(0,4a)-a} 1/3 {(0,4a)-a} 2/3 { 3(0,4a) - 2a } 3{(0,4a) - a} {2(0,4a) - a}

f '(0,4a) = 2 (0,8a -a) 1/3 (0,4a - a) 2/3 ( 1,2a - 2a ) 3(0,4a - a) ( 0,8a - a)

f '(0,4a) = ( + ) ( - ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) . ( + ) ( - ) ( - )

"Recordar: (-)2 = "+" y ∛ - = "-".

f '(0,4a) = ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) = ( + ) = ( + ). ( + ) ( - ) ( - ) ( + ) Luego: x a/2 = 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)

f '(0,6a) = 2 {2(0,6a)-a} 1/3 {(0,6a)-a} 2/3 {3(0,6a) - 2a} 3{(0,6a) - a} {2(0,6a) - a}

f '(0,6a) = 2 (1,2a - a) 1/3 (0,6a -a) 2/3 (1,8a - 2a) 3(0,6a - a) (1,2a - a)

f '(0,6a) = ( + ) ( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) = ( + ) ( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) ( + )( - )( + ) ( + )( - ) ( + ) f '(0,6a) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) = ( + ) ( + )( - ) ( + ) ( - )

Como no hay variación de signos:Para x = a/2 no hay ni Máximos ni Mínimos.

Page 174: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Luego, para: x = ax a = 0,9a . Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)

f '(0,9a) = ( + ) {2(0,9a) - a} 1/3 {(0,9a) - a} 2/3 {3(0,9a) - 2a} ( + ){(0,9a) - a} {2(0,9a) - a}

f '(0,9a) = ( + ) (1,8a - a) 1/3 (0,9a - a) 2/3 (2,7a - 2a) =

( + ) (0,9a - a) (1,8a - a)

f '(0,9a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( - )

Luego: x a = 1,1a . Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)

f '(1,1a) = ( + ) {2(1,1a) - a} 1/3 {(1,1a) - a} 2/3 {3(1,1a) - 2a } ( + ) {(1,1a) - a} {2(1,1a) - a}

f '(1,1a) = ( + ) (2,2a - a) 1/3 (1,1a - a) 2/3 (3,3a - 2a) ( + ) (1,1a - a) (2,2a - a)

f '(1,1a) = ( + ) ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )

La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = a se sustituye en f(x).f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3

f(a) = {2(a) - a}1/3 {(a) - a}2/3

f(a) = (2a - a)1/3 (a - a)2/3 = ( a )1/3 ( 0 )2/3 = 0. en x = a existe un Mínimo = 0

Page 175: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = 2 a = 0,66…a . 3x 2 a = 0,6 a . Se sustituye este valor en f '(x). 3f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)

f '(0,6a) = ( + ) {2(0,6a) - a} 1/3 {(0,6a) - a} 2/3 {3(0,6a) - 2a } ( + ){(0,6a) - a} {2(0,6a) - a}

f '(0,6a) = ( + ) (1,2a - a) 1/3 (0,6a - a) 2/3 (1,8a - 2a) ( + ) (0,6a - a) (1,2a - a)

f '(0,6a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) = ( + )( + )( + )( - ) = ( - ) = ( + ) ( + )( - )( + ) ( - ) ( - )

Luego: x 0,66… a = 0,67a . Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 3(x - a) (2x - a)

f '(0,67a) = ( + ) {2(0,67a) - a} 1/3 {(0,67a) - a} 2/3 {3(0,67a) - 2a} ( + ){(0,67a) - a} {2(0,67a) - a}

f '(0,67a) = ( + ) (1,34a - a) 1/3 (0,67a - a) 2/3 (2,07a - 2a) ( + )(0,67a - a) (1,34a - a)

f '(0,67a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = (-) ( + )( - ) ( + ) ( - ) ( - )

La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ''.

Se sustituye x = 2 a en f(x). 3

f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3

Page 176: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(2a/3) = {2(2a/3) - a}1/3 {(2a/3) - a}2/3

f(2a/3) = (4a/3 - a)1/3 (2a/3 - a)2/3

f(2a/3) = (4a/3 - 3a/3)1/3 (2a/3 - 3a/3)2/3

f(2a/3) = ( a/3 )1/3 ( - a/3)2/3 3 3 3

a - a 2 = a a

2 = a 3 = a . 3 3 3 9 27 3 en x = 2 a existe un Máximo = a . 3 3

25. x + 2 . x2 + 2x + 4

f(x) = x + 2 . x2 + 2x + 4 (x2 + 2x + 4). d (x + 2) - (x + 2). d (x2 + 2x + 4) f '(x) = dx dx . (x2 + 2x + 4)2

f '(x) = (x 2 + 2x + 4).(1) - (x + 2).(2x + 2) (x2 + 2x + 4)2

f '(x) = x 2 + 2x + 4 - 2x 2 - 2x - 4x - 4 = - x 2 - 4x = 0 (x2 + 2x + 4)2 (x2 + 2x + 4)2

-x2 - 4x = 0 x + 4 = 0 - x (x + 4) = 0 x = - 4 -x = 0 Valores Críticos: x = 0 x = 0 ; x = - 4.

Para: x = 0x 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = - x 2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2

Page 177: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(- 0,1) = - (- 0,1) 2 - 4(- 0,1) = - (+ 0,01) + 4,4 . {(- 0,1)2 + 2(- 0,1) + 4}2 ( 0,01 - 2,2 + 4)2

f '(- 0,1) = - 0,01 + 4,4 = ( + ) = ( + ) ( + ) ( + )

Luego: x 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = - x 2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2

f '(0,1) = { - (0,1) 2 - 4(0,1) } = (- 0,01 - 4,4) = ( - ) = ( - ) {(0,1)2 + 2(0,1) + 4}2 {(0,01 + 0,2 + 4)2 ( + )

La función tiene un Máximo, va de " + " a " - " .

x = 0 se sustituye en f(x), para encontrar el valor Máximo.

f(x) = x + 2 . x2 + 2x + 4

f(0) = 0 + 2 = 2 = 1 . (0)2 + 2(0) + 4 4 2

en x = 0 hay un Máximo = 1 . 2

Para: x = - 4 .x - 4 = - 4,1 . Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = - x 2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2

f '(- 4,1) = {- ( - 4,1 ) 2 - 4 } = - ( 16,81 - 4 ) = -16,81 + 4 . {(- 4,1)2 + 2(- 4,1) + 4}2 {16,81 - 8,2 + 4}2 (20,81 - 8,2)

Page 178: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(- 4,1) = ( - ) = ( - ) ( + )Luego: x - 4 = - 3,9. Se reemplaza este valor en f '(x).

f '(x) = - x 2 - 4x . (x2 + 2x + 4)2

f '(- 3,9) = {- (- 3,9) 2 - 4(- 3,9)} = {- (15,21- 4(- 3,9)} = {(- 3,9)2 + 2(- 3,9) + 4}2 (7,8 - 7,8 + 4)2

f '(- 3,9) = -15,21 + 15,6 = ( + ) = ( + ) (11,8 - 7,8)2 ( + )

La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = - 4 se sustituye en f(x).f(x) = x + 2 . x2 + 2x + 4

f(- 4) = - 4 + 2 = - 2 = - 2 = - 2 = - 1 . (- 4)2 + 2(- 4) + 4 16 - 8 + 4 20 - 8 12 6

en x = - 4 hay un Mínimo = 1 . 6

26. x 2 + x + 4 . x + 1

f(x) = x 2 + x + 4 ( x + 1)

(x + 1). d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4).d (x + 1) f '(x) = dx dx . ( x + 1)2

f '(x) = (x + 1).(2x + 1) - (x 2 + x + 4).(1)

Page 179: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x + 1)2

f '(x) = 2x 2 + x + 2x + 1 - x 2 - x - 4 = x 2 + 2x - 3 = ( x + 1)2 ( x + 1)2

f '(x) = (x + 3) (x - 1) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2 ( x + 1)2

x + 3 = 0 ; x - 1 = 0 . x = - 3. Valores Críticos. x = 1

Para: x = - 3.x - 3 = - 3,1. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2

f '(-3,1) = {(-3,1) + 3}{(-3,1) -1} = (-3,1 + 3)(-3,1 -1) = {(-3,1) + 1}2 (-3,1 + 1}2

f '(-3,1) = (-) (-) = ( + ) = " + " . ( - )2   ( + )

Luego: x - 3 = - 2,9. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2

f '(-2,9) = {(-2,9) + 3} {(-2,9) - 1} = (-2,9 + 3) (-2,9 - 1) = 0 {(-2,9) + 1}2 (-2,9 + 1)2

f '(-2,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - " ( - )2 ( + )

La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".

x = - 3 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo.

Page 180: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = x 2 + x + 4 x + 1

f(-3) = (-3) 2 + (-3) + 4 = 9 - 3 + 4 = (13 - 3) = 10 = - 5 (-3) + 1 - 2 ( -2 ) ( -2 )

en x = - 3 existe un Máximo = - 5 .

Para: x = 1.

x 1 = 0,9. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2

f '(0,9) = {(0,9) + 3} {(0,9) - 1} = (0,9 + 3) (0,9 - 1) = {(0,9) + 1}2 (0,9 + 1)2

f '(0,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - " ( + ) ( + )

Luego: x 1 = 1,1. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0 ( x + 1)2

f '(1,1) = {(1,1) + 3}{(1,1) - 1} = (1,1 + 3)(1,1 - 1) = ( + )( + ) =" + " {(1,1) + 1}2 (1,1 + 1)2 ( + )

La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = 1 se reemplaza en f(x) para encontrar el valor Mínimo.f(x) = x 2 + x + 4

x + 1

f(1) = 1 2 + 1 + 4 = 1 + 1 + 4 = 6 = 3

Page 181: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 + 1 2 2

en x = 1 existe un Mínimo = 3

27. x 2 + x + 4 .x2 + 2x + 4

f(x) = x 2 + x + 4 . x2 + 2x + 4

(x2 + 2x + 4).d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4). d (x2 + 2x + 4) f '(x) = dx dx .

(x2 + 2x + 4)2

f '(x) = (x 2 + 2x + 4) (2x + 1) - (x 2 + x + 4) (2x + 2) . (x2 + 2x + 4)2

f '(x) = 2x 3 + 4x 2 + 8x + x 2 + 2x + 4 - 2x 3 - 2x 2 - 8x - 2x 2 - 2x - 8 (x2 + 2x + 4)2

f '(x) = x 2 - 4 = 0 . (x2 + 2x + 4)2

x2 - 4 = (x + 2) (x - 2) = 0x + 2 = 0x = - 2.x - 2 = 0 x = 2.

x = - 2 ; x = 2 Valores Críticos .

Para: x = - 2.

x - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = x 2 - 4 = 0 . (x2 + 2x + 4)2

Page 182: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(-2,1) = {(-2,1) 2 - 4} = (4,41 - 4) = (0 ,41) =

{(-2,1)2 + 2(-2,1) + 4}2 {4,41 - 4,2 + 4)2 (8,41 - 4,2)2

f '(-2,1) = + = " + " +Luego: x - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = x 2 - 4 . (x2 + 2x + 4)2

f '(-1,9) = {(-1,9) 2 - 4} = (3,61 - 4) = ( - ) = {(-1,9)2 + 2(-1,9) + 4}2 (3,61 - 3,8 + 4)2 (7,61 - 3,8)2

f '(-1,9) = ( - ) = " - " ( + )2

La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".

x = - 2 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo.

f(x) = x 2 + x + 4 . x2 + 2x + 4

f(- 2) = {(- 2) 2 + (- 2) + 4} = (4 - 2 + 4) = 6 = 3 . {(- 2)2 + 2(- 2) + 4} {(4 - 4 + 4} 4 2

en x = - 2 existe un Máximo = 3/2 .

Para: x = 2.

x 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = x 2 - 4 . (x2 + 2x + 4)2

Page 183: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(1,9) = {(1,9) 2 - 4} = (3,61 - 4) = ( - ) = " - ". {(1,9)2 + 2(1,9) + 4}2 (3,61 + 3,8 + 4)2 ( + )2

Luego: x 2 = 2,1. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = x 2 - 4 . (x2 + 2x + 4)2

f '(2,1) = {(2,1) 2 - 4} = (4,41 - 4) = ( + ) = " + ". {(2,1)2 + 2(2,1) + 4}2 {(4,41 + 4,42 + 4)2 ( + )

La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = 2. Se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Mínimo.

f(x) = x 2 + x + 4 . x2 + 2x + 4

f(2) = 2 2 + 2 + 4 = 10 = 5 . 22 + 2(2) + 4 12 6

en x = 2 existe un Mínimo = 5/6 .

28. (x - a) (b - x) . x2

f(x) = (x - a) (b - x) x2

x2. d (x - a) (b - x) - (x - a) (b - x) . d (x2)f '(x) = dx dx .

(x2)2

x2 {(x - a).d (b - x) + (b - x). d (x - a)} - {(x - a) (b - x)}.(2x) f '(x) = dx dx . x 4

Page 184: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = x 2 {(x - a).(- 1) + (b - x).(1)} - 2x.(x - a) (b - x) x 4

f '(x) = x 2 (-x + a + b - x) - 2x (bx - x 2 - ab + ax) x 4

f '(x) = - x 3 + ax 2 + bx 2 - x 3 - 2bx 2 + 2x 3 + 2abx - 2ax 2 x 4

f '(x) = - 2x 3 + 2x 3 + ax 2 - 2ax 2 + bx 2 - 2bx 2 + 2abx . x 4

f '(x) = 2abx - ax 2 - bx 2 = x (2ab - ax - bx) = (2ab - ax - bx) = 0 x 4 x 4 x3

f '(x) = (2ab - ax - bx) = 0 x3

(2ab - ax - bx) = 0 x3

(2ab - ax - bx) = (x3) ( 0)(2ab - ax - bx) = 0 = (2ab - ax - bx)ax + bx = 2abx (a + b) = 2ab

x = 2ab ( valor crítico). a + b

Para: x = 2 ab . a + b

x 2 ab = 1,9 ab , se reemplaza este valor en f '(x). a+b a+b

f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) .

Page 185: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x3 x3

x = 1,9ab ,es positivo x3 es positivo, no lo tomamos en cuenta. a+b

f '(x) = 2ab - x (a + b)

f '(1,9ab) = 2ab - x (a + b) a+b

f '(1,9ab) = 2ab - 1,9( ab ) . (a+b) = 2ab - 1,9ab = " + " . a + b ( a+b ) .

Luego: x 2 ( ab ) = 2,1 ( ab ). Se sustituye este valor en f '(x) a+b a+b

f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) f '(2,1ab) = 2ab - 2,1( ab ) (a+b) = 2ab - 2,1ab = "-". (a+b) (a+b)

La función tiene un Máximo, va de "+" a "-".

x = 2 ab se reemplaza en f(x), para encontrar el valor a+b del Máximo.

f(x) = (x - a) (b - x) x2

(2ab - a ) ( b - 2ab ) {2ab - a(a+b)} . {b(a+b) - 2ab}f(2ab) = a+b a+b = a+b a+b . a+b ( 2ab )2 4a 2 b 2 .

a+b (a + b) 2 {2ab - a 2 - ab } {ab + b 2 - 2ab }f(2ab) = (a+b) (a+b) = (ab - a 2 ) (- ab + b 2 ) . a+b 4a 2 b 2 4a2b2.

Page 186: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(a + b)2

f(2ab) = (ab - a 2 ) (b 2 - ab) = a(b - a).b(b - a) = a.b .(b - a) 2 = (b - a) 2 a+b 4a2b 4a2b 4. a .a.b. b 4ab

en x = 2ab existe un Máximo = (b - a) 2 a + b 4ab

30. (a - x) 3 a - 2x

f(x) = (a - x) 3 a - 2x

(a - 2x).d (a - x)3 - (a - x)3. d (a - 2x) f '(x) = dx dx . (a - 2x)2

(a - 2x).3.(a - x)2.d (a - x) - (a - x)3.(- 2) f '(x) = dx . (a - 2x)2

f '(x) = 3(a - 2x)(a - x) 2 (- 1) + 2(a - x) 3 =

(a - 2x)2

f '(x) = 2(a - x) 3 - 3(a - 2x)(a - x) 2 (a - 2x)2

f '(x) = (a - x) 2 {2(a - x) - 3(a - 2x)} (a - 2x)2

f '(x) = (a - x) 2 {2a - 2x -3a + 6x } = (a - x) 2 ( 4x - a ) = 0 (a - 2x)2 (a - 2x)2

f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0

Page 187: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(a - x)2 = 0a = x( 4x - a ) = 04x = ax = a . 4

Valores Criticos : x = a ; x = a/4 Se sustituyen estos valores en f '(x).Para x = a ; x a = 0,9a. se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0f '(0,9a) = {a - (0,9a)}2 { 4(0,9a) - a } = 0f '(0,9a) = (a - 0,9a)2 (3,6a - a) = ( + )2 ( + ) = " + ".Luego: x a = 1,1a .Se reemplaza este valor en f '(x).f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 .f '(1,1a) = {a - (1,1a)}2 {4(1,1a) - a} = (a - 1,1a)2 (4,4a - a)f '(1,1a) = ( - )2 ( + ) = ( + ) ( + ) = " + ".Para x =a como no hay cambio de signos, no existen Máximos y Mínimos.

Para x = a/4 = 0,25a.x a/4 = 0,24a. Se sustituye este valor en f '(x). f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0f '(0,24a) = {a - (0,24a)}2 {4(0,24a) - a} = (a - 0,24a)2 (0,96a - a).f '(0,24a) = ( + )2 ( - ) = ( + ) ( - ) = " - ".

Luego: x a/4 = 0,26a. Se sustituye este valor en f '(x).

f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0f '(0,26a) = {a - (0,26a)}2 {4(0,26a) - a} = (a - 0,26a)2 (1,04a - a)f '(0,26a) = ( + )2 ( + ) = ( + ) = " + ".La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = a/4 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Mínimo.

Page 188: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f(x) = (a - x) 3 . a - 2x

27a 3 .f (x) = (a - a/4) 3 = (3a/4) 3 = 64 = 54a 3 = 27a 2 = 27 a2. a - 2(a/4) a - a/2 a 64a 32 32. 2

en x = a/4 , existe un Mínimo = 27/32 a2.

31. x 2 + x - 1

x2 - x + 1

f(x) = x 2 + x - 1 x2 - x + 1

(x2 - x + 1). d (x2 + x - 1) - (x2 + x - 1). d (x2 - x + 1) f '(x ) = dx dx . (x2 - x + 1)2 f '(x) = (x 2 - x + 1)(2x + 1) - (x 2 + x - 1)(2x - 1) (x2 - x + 1)2

f '(x) = 2x 3 - 2x 2 + 2x + x 2 - x + 1 - 2x 3 - 2x 2 + 2x + x 2 + x - 1 = 0 (x2 - x + 1)2

f '(x) = 4x - 2x2 = 0

2x(2 - x) = 0

x = 0. 2 - x = 0 x = 2 Valores Críticos.

Para: x = 0x 0 = - 0,1 , se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = 4x - 2x2 = 0f '(- 0,1) = 4 (- 0,1) - 2(- 0,1)2 = (- 0,4) - 2(0,01) = f '(- 0,1) = - 0,4 - 0,02 = ( - ) = " - ".Luego: x 0 = 0,1, se sustituye este valor en f '(x).

Page 189: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = 4x - 2x2 = 0f '(0,1) = 4(0,1) - 2(0,1)2 = 4,4 - 2(0.01) = 4,4 - 0.02 = ( + ) = " + ".

La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".

x = 0 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo.

f(x) = x 2 + x - 1 x2 - x + 1f(0) = 0 2 + 0 - 1 = - 1 = - 1 . 02 - 0 + 1 1

en x = 0, existe un Mínimo = - 1.

Para: x = 2.

x 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = 4x - 2x2 f '(1,9) = 4(1,9) - 2(1,9)2 = 7,6 - 2(3,61) = 7,6 - 7,22 = ( + ) = " + ".

Luego:x 2 = 2,1, Se sustituye este valor en f '(x).f '(x) = 4x - 2x2

f '(2,1) = 4(2,1) - 2(2,1)2 = 8,4 - 2(4,41) = 8,4 - 8,82 = ( - ) = "-".La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".

x = 2 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Máximo.

f(x) = x 2 + x - 1 x2 - x + 1

f(2) = 2 2 + 2 - 1 = 5 . 22 - 2 + 1 3

en x = 2 , exixte un Máximo = 5/3.

Page 190: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas. Paginas 90, 91 y 92.

Demostrar cada una de las siguientes Derivaciones.

1. y = 3x4 - 2x3 + 6x . d 2 y = 36x2 - 12x dx2

dy = 12x3 - 6x2 + 6.dx

d 2 y = 36x2 - 12xdx2

2. s = √a + bt

s = ( a + bt )1/2

ds = 1 .(a + bt)1/2-1.d (a + bt) = (a + bt) - 1/2.(b) = b . dt 2 dt 2 2( a + bt )1/2

Page 191: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ds = b . (a + bt)-1/2 dt 2

d 2 s = b .(-1 ) (a + bt)-1/2-1. d (a + bt) = - b (a + bt) -3/2 .(b) dt2 2 2 dt 4

d 2 s = = -b 2 .(a+bt)-3/2 . dt2 4

d 3 s = -b 2 . - 3 . (a+bt)-3/2-1.d (a+bt).dt2 4 2 dt

d 3 s = + 3b 2 . (a+bt)-5/2.(b) = 3b 3 . (a+bt)-5/2 = 3b 3 .dt3 8 8 8(a+bt)5/2

3. y = a + bx . a - bx (a-bx).d (a + bx) - (a + bx). d (a-bx) dy = dx dx .dx (a-bx)2

dy = (a-bx)(b) - (a + bx)(- b) = (a-bx)(b) + (a + bx)(b) = dx (a-bx)2 (a-bx)2

dy = b (a - bx + a + bx ) dx (a-bx)2

dy = b (2a) = 2ab .dx (a-bx)2 (a-bx)2

d 2 y = ( - 2ab ) . d {(a-bx)2}dx {(a-bx)2}2 dx

d 2 y = ( - 2ab ) . 2(a-bx).d (a -bx) dx (a-bx)4 dx

Page 192: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d2y = - 4ab. (a-bx)(- b) = 4ab 2 (a-bx) = 4ab 2 . (a-bx)4 (a-bx)4 (a-bx)3

4. u = √a 2 + v

2

u = (a2 + v2)1/2

du = 1 (a2 + v2)1/2-1.d (a2 + v2) = (a 2 + v 2 ) -1/2 . (2v) = dv 2 dv 2

du = (a 2 + v 2 ) -1/2 . ( 2 v) = v. (a2 + v2)-1/2

dv 2 .

d 2 u = v.{d (a2 + v2)-1/2} + (a2 + v2)-1/2. dv .dv2 dv dv

d 2 u = v. -1 . (a2 + v2)-1/2-1.d (a2 + v2) + (a2 + v2)-1/2.(1) dv2 2 dv

d 2 u = - v (a 2 + v 2 ) -3/2 .( 2 v ) + (a2 + v2)-1/2 = - v2. (a2 + v2)-3/2 + (a2 + v2)-1/2 dv2 2 .

d 2 u = -v 2 + 1 = -v 2 + (a 2 + v 2 ) = - v 2 + a 2 + v 2 = a 2 .

dv2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)1/2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)3/2

5. y = x 2 .

a + x

(a+x).d (x2) - (x2).d (a+x) dy = dx dx = (a + x)(2x) - (x 2 )(1) =

dx (a + x)2 (a + x)2

dy = 2ax + 2x 2 - x 2 = 2ax + x 2 dx (a + x)2 (a + x)2

(a + x)2. d (2ax + x2) - (2ax + x2).d (a + x)2 d 2 y = dx dx .

Page 193: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx2 [(a + x)2]2

(a + x)2(2a + 2x) - (2ax + x2).2. (a + x).d (a + x)d 2 y = dx .dx2 (a + x)4

d 2 y = (a + x) 2 (2a + 2x) - (2ax + x 2 ).2.(a + x)(1) dx2 (a + x)4

d 2 y = (a + x){ (a + x)(2a + 2x) - 2(2ax + x 2 )} = dx2 (a + x)4

d 2 y = (a + x){2a 2 + 2ax + 2ax + 2x 2 - 4ax - 2x 2 } =

dx2 (a + x)4

d 2 y = (a + x) (2a 2 ) = 2a 2 .dx2 (a + x)4 (a + x)3

6. s = t .

√2t + 1s = t . (2t + 1)-1/2

ds = t. d (2t + 1)-1/2 + (2t + 1)-1/2. dt dt dt dt

ds = t. -1 . (2t + 1)-1/2-1.d (2t + 1) + (2t + 1)-1/2(1) dt 2 dt

ds = -t(2t + 1) -3/2 ( 2 ) + (2t + 1)-1/2 = - t ( 2t + 1)-3/2 + (2t + 1)-1/2 dt 2 .

ds = - t + 1 = - t + 2t + 1 = t + 1 . dt (2t + 1)3/2 (2t + 1)1/2 (2t + 1)3/2 (2t + 1)3/2

(2t + 1)3/2. d (t + 1) - (t + 1). d (2t + 1)3/2 d 2 s = dt dt .

Page 194: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dt {(2t + 1)3/2}2

(2t + 1)3/2(1) - (t + 1). 3 . (2t + 1)3/2-1.d ((2t + 1)d 2 s = 2 .

dt (2t + 1)3

(2t + 1)3/2 - 3(t + 1)(2t + 1) 1/2 ( 2 ) d 2 s = 2 .

dt2 (2t + 1)3

d 2 s = (2t + 1) 3/2 - 3(t + 1)(2t + 1) 1/2 .

dt2 (2t + 1)3

d 2 s = (2t + 1) 1/2 {(2t + 1) - 3(t + 1)} = (2t + 1) 1/2 (2t + 1 - 3t - 3) dt2 (2t + 1)6/2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2

d 2 s = (2t + 1) 1/2 (- t - 2) = - ( t + 2) dt2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2 (2t + 1)5/2

7. f (x) = x 3 - 2x 2 1 - x (1 - x). d (x3 - 2x2) - (x3 - 2x2). d (1 - x) f '(x) = dx dx . (1 - x)2

f '(x) = (1 - x).(3x 2 - 4x) - (x 3 - 2x 2 ).(- 1) (1 - x)2

f '(x) = 3x 2 - 4x - 3x 3 + 4x 2 + x 3 - 2x 2 = 5x 2 - 2x 3 - 4x (1 - x)2 (1 - x)2

(1 - x)2.d (5x2 - 2x3 - 4x) - (5x2 - 2x3 - 4x). d (1 - x)2 f ''(x) = dx dx . [(1 - x)2]2

f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) - (5x 2 - 2x 3 - 4x).(2)(1 - x).d(1 - x)/dx (1 - x)4

f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) - 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)(1 - x)(-1)

Page 195: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(1 - x)4

f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) + 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)(1 - x) (1 - x)4

f ''(x) = (1 - x){(1 - x)(10x - 6x 2 - 4) + 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)} (1 - x)4

f ''(x) = (1 - x){10x - 6x 2 - 4 - 10x 2 + 6x 3 + 4x + 10x 2 - 4x 3 - 8x} (1 - x)4

f ''(x) = (1 - x) (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) = (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) (1 - x)4 (1 - x)3

(1 - x)3.d (2x3 - 6x2 + 6x - 4) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).d (1 - x)3

f '''(x) dx dx . [(1 - x)3]2

(1 - x)3.(6x2 - 12x + 6) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).{3(1 - x)2}.d (1 - x)f '''(x) = dx . (1 - x)6

f '''(x) = (1 - x) 3 .(6x 2 - 12x + 6 ) - (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) {3(1 - x) 2 .(- 1)} (1 - x)6

f '''(x) = (1 - x) 3 .(6x 2 - 12x + 6 } + 3(2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) (1 - x) 2 (1 - x)6

f '''(x) = (1 - x) 2 {(1 - x) (6x 2 - 12x + 6 ) + 3(2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) (1 - x)6

f '''(x) = (1 - x) 2 ( 6x 2 - 12x + 6 - 6x 3 + 12x 2 - 6x + 6x 3 - 18x 2 + 18x - 12) (1 - x)6

f '''(x) = (1 - x) 2 ( - 6) = - 6 . (1 - x)6 (1 - x)4

f IV(x) = - {- 6} .d (1 - x)4 = 6 . 4(1 - x)3.d (1 - x)

[(1 - x)4]2 dx (1 - x)8 dx

Page 196: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f IV(x) = 24 (1 - x) 3 (- 1) = - 24 = - 4 . (1 - x)8 (1 - x)5 (1 - x)5

nota. factorial 4 = 4x3x2x1 = 24

8. y = 2 ; d n y = 2(-1) n n . x + 1 dxn (x + 1)n

Aplicamos la fórmula: c = - c . dv . v v2 dx

Para: dy/dx ; n = 1.dy = - (2) . d (x + 1) = - 2 .(1) = - 2 = 2(- 1) 1 1 .

dx (x + 1) 2 dx (x + 1)

2 (x + 1) 2 (x + 1)1+1

Nota. 1 = 1 x 1 . (factorial 1).

(-1)1= -1,porque un # negativo elevado a una potencia impar da

como resultado un # negativo.

Para:d 2 y/dx 2 ; n = 2.d 2 y = - (- 2) . d {(x+1)2}= 4 (x + 1) = 4 = 2(-1) 2 2 .

dx2 {(x + 1)2}2 dx (x + 1) 4 (x + 1)3 (x + 1)2+1

Nota. 2

= 2 x 1 . (factorial 2).(-1)2 = +1 , porque un # negativo elevado a una potencia par da comoresultado un # positivo.Para:d 3 y/dx 3 ; n = 3. (factorial 3 = 3x2x1)d 3 y = - (4) . d {(x+1)3}= - 4 [3 (x + 1) 2 ] = - 12 = 2(-1) 3 3 .

dx3 {(x + 1)3}2 dx (x + 1)6 (x + 1)4 (x + 1)3+1

Nota. 3

= 3x2x1 . (factorial 3).(-1)3 = - 1 , porque un # negativo elevado a una potencia impar da como resultado un # positivo.

Ahora hacemos: d n y = 2(-1) n n . dxn (x + 1)n+1

Al igual que el denominador (x + 1) n+1 , (-1)n , toma los valores deacuerdo a como se presente la derivada, sea esta "par" o "impar". El denominador (x + 1) n+1 , "n" recibe los valores correspondientes,de acuerdo al exponente de la derivada. Ejm. Si es: dy . n sera igual a 1 ; d 2 y . n sera igual a 2 ; d 3 y . n sera igual a 3.

Page 197: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx dx2 dx3

n = Factorial "n" ; Ejm 3 = 3x2x1

9. x2 + y2 = r 2

2x + 2y.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2 x = - x . dx dx dx dx 2 y y

y.d (-x) - (-x).dyd 2 y = dx dx . Sustituyendo dy en d 2 y .dx2 y2 dx dx2

y(-1) - (-x)( -x ) - y - x 2 - y 2 - x 2 d 2 y = y = y = y = -x 2 - y 2 =

dx2 y2 y2 y2 y3

d 2 y = - (x 2 + y 2 ) . Pero: x2 + y2 = r2

dx2 y3

d 2 y = - r 2 . dx2 y3

10. y2 = 4ax

2y.dy = 4a.dx ; 2y.dy = 4a(1) ; dy = 4 a = 2a . dx dx dx dx 2y y

d 2 y = - (2a) . dy . Pero: dy = 2adx2 y2 dx dx y

d 2 y = - 2a . 2a = - 4a 2 .

dx2 y2 y y3

11. b2x2 + a2y2 = a2b2

Page 198: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2b2x + 2a2y.dy = 0 dx

dy = - 2 b 2 x = - b 2 x

dx 2a2y a2y

(a2y).d (-b2x) - (-b2x).d (a2y) d 2 y = dx dx = dx2 (a2y)2

(a2y).(-b2).dx - (-b2x).(a2).dyd 2 y = dx dx =

dx2 a4y2

d 2 y = - a 2 b 2 y(1) + a 2 b 2 x.dy/dx . Sustituyendo: dy/dx = - b2x/a2ydx2 a4y2

- a2b2y(1) + a2b2x. -b 2 x - a2b2y - b 4 x 2 - a 2 b 2 y 2 - b 4 x 2 d 2 y = a 2 y = y = y . dx2 a4y2 a4y2 a 4 y 2 . 1d 2 y = - a 2 b 2 y 2 - b 4 x 2 = - b 2 (a 2 y 2 + b 2 x 2 ) = - b 2 .a 2 b 2 =

dx2 a4y3 a4y3 a4.y3 d 2 y = - b 2 .a 2 b 2

= - b 4 . Reemplazando: (a2y2 + b2x2) = a2b2.dx2

d 2 y = - b 2 .a 2 b 2 = - b 2 .a 2 b 2 = - b 4 .

dx2 a4.y3 a2. a2.y3 a2.y3

d 3 y = - (- b 4 ) . d (a2.y3)dx3 (a2.y3)2 dx

d 3 y =+ b 4 . 3a2y2.dy . Sustituyendo: dy = - b 2 x dx3 a4.y6 dx dx a2y

d 3 y = 3 .a 2 .b 4 .y 2 . (- b 2 x ) = - 3b 6 x .

Page 199: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx3 a2.a2.y2.y4 a2y a4y5

12. ax2 + 2hxy + by2 = 1

2ax + 2h{x.dy + y.dx } + 2by.dy = d (1) dx dx dx dx

2ax + 2h{x.dy + y(1)} + 2by.dy = 0 dx dx

2ax + 2hx.dy + 2hy + 2by.dy = 0 dx dx

2hx.dy + 2by.dy = - 2ax - 2hy dx dx

dy (2hx + 2by) = - 2 (ax + hy)

dx

dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) .

dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by)

dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) .

dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by)dy = - (ax + hy) = - ax - hy .dx (hx + by) (hx + by)

(hx + by).d {-ax - hy)} - {-ax - hy}.d (hx + by) d 2 y = dx dx . dx2 (hx + by)2

(hx + by).(-a.dx - h.dy ) - {-ax - hy}.(h.dx + b.dy )d 2 y = dx dx dx dx .dx2 (hx + by)2

(hx + by).(-a(1) - h.dy ) - {-ax - hy}.(h(1) + b.dy )d 2 y = dx dx .

Page 200: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx2 (hx + by)2

- a.h.x - a.b.y - h2.x.dy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + a.b.x.dy + b.h.y.dy d 2 y = dx dx dx dx dx2 (hx + by)2

- a.h.x - a.b.y - h2xdy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + abx.dy + b.h.y.dy .

d 2 y = dx dx dx dx . dx2 (hx + by)2

- a.b.y - h2.x.dy + h2.y + a.b.x.dy a.b.x.dy - h2.x.dy - a.b.y + h2.y d 2 y = dx dx = dx dx . dx2 (hx + by)2 (hx + by)2

Factorizando el númerador.

x.dy (ab - h2) - y (ab - h2 ) (ab - h2) (x.dy - y )d 2 y = dx = dx .dx2 (hx + by)2 (hx + by)2

Pero: dy = - ax - hy

dx hx + by (ab - h2) {x [-(ax - hy)] - y} (ab - h2) { - ax 2 - hxy -hxy - by 2 }d 2 y = (hx + by) = (hx + by) .dx2 (hx + by)2 (hx + by)2

(ab - h2) [- (ax 2 + 2hxy + by 2 ) ] d 2 y = (hx + by) . Pero: (ax2 + 2hxy + by2) = 1.dx2 (hx + by)2

(ab - h 2 ) [- ( 1)] d 2 y = (hx + by) = - (ab - h 2 ) =

dx2 (hx + by) 2 (hx + by)2 (hx + by). 1

d 2 y = - (ab - h 2 ) = h 2 - ab .dx2 (hx + by)3 (hx + by)3.

Page 201: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

13. x3 + y3 = 1

d (x3) + d (y3) = d (1)dx dx dx

3x2 + 3y2.dy = 0 dx

dy = - 3x 2 = - x 2 .

dx 3y2 y2

y2. d (- x2) - (- x2). d (y2) (y2)(- 2x) + (x2)(2y).dy d 2 y = dx dx = dx . dx2 (y2)2 y4

Sustituyendo: dy = - x2/y2. dx

- 2xy2 + 2x2y . - x 2 - 2xy2 - 2x 4 - 2xy 3 - 2x 4 d 2 y = y 2 = y = y = dx2 y4 y4 y 4 .

1d 2 y = - 2x(x 3 + y 3 ) dx2 y5

Pero: x3 + y3 = 1 d 2 y = - 2x(x 3 + y 3 ) = - 2x ( 1) = - 2x .

dx2 y5 y5 y5

14. x4 + 2x2y2 = a4

d (x4) + 2.d (x2y2) = d (a4)dx dx dx

4x3 + 2 {x2.d (y2) + (y2).d (x2)} = 0 dx dx

4x3 + 2{(x2) (2y).dy + (y2) (2x) } = 0 dx

Page 202: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4x3 + 2{2x2y.dy + 2xy2} = 0 dx

4x3 + 4x2y.dy + 4xy2 = 0 dx

dy = - 4x 3 - 4xy 2 = - 4x( x 2 + y 2 ) = - (x 2 + y 2 ) dx 4x2y 4x2y xy

(x.y).d{-(x2+y2)}-{-(x2 + y2)}.d (x.y) d 2 y = dx dx = dx2 (xy)2

(x.y).d (-x2-y2) + (x2+y2).d (xy)d 2 y = dx dx .dx2 (xy)2

(x.y).(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y.dx }d 2 y = dx dx dx =

dx2 (xy)2

(x.y)(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y(1)}d 2 y = dx dx .dx2 (xy)2

- 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3

d 2 y = dx dx dx .dx2 (xy)2

- 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3

d 2 y = dx dx dx .dx2 (xy)2

- x2y - xy2.dy + x3.dy + y3 x3.dy - xy2.dy - x2y + y3

d 2 y = dx dx = dx dx . dx2 (xy)2 (xy)2

x.dy ( x2 - y2 ) - y ( x2 - y2 ) ( x2 - y2) { x.dy - y } d 2 y = dx = dx . dx2 (xy)2 (xy)2

Page 203: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Pero: dy = - x 2 - y 2 . dx xy

( x2 - y2) { x.(- x 2 - y 2 ) - y} ( x2 - y2) { x .(- x 2 - y 2 ) - y}d 2 y = xy = x .y .

dx2 x2y2 x2y2

( x2 - y2)( - x 2 - y 2 - y 2 ) ( x 2 - y 2 ) (- x 2 - 2y 2 ) d 2 y = y = y =

dx2 x2y2 x 2 y 2 . 1

d 2 y = ( x 2 - y 2 ) (- x 2 - 2y 2 ) = - x 4 - 2x 2 y 2 + x 2 y 2 + 2y 4 dx2 x2.y2.y x2y3

d 2 y = = - x 4 - 2x 2 y 2 + x 2 y 2 + 2y 4 = 2y 4 - x 2 y 2 - x 4 .

dx2 x2y3 x2y3

En los problemas 15 a 25 , obtener los valores de y' y y" para los valores dados de las variables.

15. y = √ax + a 2 ; x = a. √ax

y = (ax)1/2 + a2(ax)-1/2

dy = 1 . (ax)1/2-1. d (ax) + a2.(- 1 ) (ax)-1/2-1 d (ax)dx 2 dx 2 dx

dy = (ax) -1/2 .(a) + (-a 2 ) (ax) -3/2 (a) = a - a 3 .

dx 2 2 2 (ax)1/2 2(ax)3/2

dy = a 2/2 - a 6/2 = a 1/2 - a 3/2 . dx 2.a1/2.x1/2 2.a3/2.x3/2 2x1/2 2x3/2

Sustituyendo: x = a.

Page 204: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = y' = a 1/2 - a 3/2 = a 1/2 - a 3/2 = 1 - 1 = 0 dx 2.a1/2 2.a3/2 2. a1/2 2. a3/2 2 2 d 2 y = (- a 1/2 ) .d (2x1/2) - (- a 3/2 ) . d (2x3/2) = dx2 (2x1/2)2 dx (2x3/2)2 dx d 2 y = (-a 1/2 ) . 2 . 1 .x1/2-1 + a 3/2 . 2 . 3 .x3/2-1 = (-a 1/2 ) x

-1/2 + 3a 3/2 .x1/2 dx2 4x 2 4x3 2 4x 4x3

d 2 y = - a 1/2 + 3a 3/2 .x 1/2 = - a 1/2 + 3a 3/2 . Sustituyendo: x = a. dx2 4x.x1/2 4x6/2 4x3/2 4x5/2

d 2 y = - a 1/2 + 3 a 3/2 = - 1 + 3 = - 1 + 3 . dx2 4a3/2 4a5/2 4a2/2 4a2/2 4a 4a

d 2 y = y" = 2 = 2 = 1 .dx2 4a 4 a 2a

16. y = √25 - 3x ; x = 3

y = (25 - 3x)1/2

dy = 1 . (25 - 3x)1/2-1. d (25 - 3x)

dx 2 dx

dy = (25 - 3x) -1/2 .( - 3 ) = - 3 .Sustituyendo: x = 3, en y'.dx 2 2(25 - 3x)1/2

y' = dy = - 3 = - 3 = - 3 .

dx 2(25-3x)1/2 2[25 - 3(3)]1/2 2(25 - 9)1/2

y' = dy = - 3 = - 3 = - 3 .

dx 2(16)1/2 2(4) 8

d 2 y = y" = - (-3) . d {2(25 - 3x)1/2} =

dx2 {2(25 - 3x)1/2}2 dx

Page 205: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y" = 3 . 2 . 1 . (25 - 3x)1/2-1.d (25 - 3x) 22. [(25 - 3x)1/2]2 2 dx

y" = 3 . (25 - 3x)-1/2.(- 3) = - 9 = 4(25 - 3x) 4(25 - 3x). (25 - 3x)1/2

y" = - 9 . Sustituyendo: x = 3 en y". 4(25 - 3x)3/2

y"= - 9 = - 9 = - 9 = - 9 =

4[25 - 3(3)]3/2 4(25 - 9)3/2 22(16)3/2 22(24)3/2

y"= - 9 = - 9 = - 9 . 22(26) 28 256

17. y = x √x2 + 9 ; x = 4

y = x (x2 + 9)1/2.y'= x.d (x2 + 9)1/2 + (x2 + 9)1/2.dx . dx dx

y'= x. 1 . (x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) + (x2 + 9)1/2(1) 2 dx

y'= x (x 2 + 9) -1/2 ( 2 x) + (x2 + 9)1/2 = x2(x2 + 9)-1/2 + (x2 + 9)1/2. 2 .

y'= x 2 + (x2 + 9)1/2 = x 2 + {(x 2 + 9) 1/2 } 2 . (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2

y'= x 2 + (x 2 + 9) 2/2 = x 2 + (x 2 + 9) = 2x 2 + 9 . (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2

Sustituyendo: x = 4 en y'.

Page 206: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 2x 2 + 9 = 2(4) 2 + 9 = 2(16) + 9 = 41 . (x2 + 9)1/2 [42 + 9]1/2 (25)1/2 5

(x2 + 9)1/2.d (2x2 + 9) - (2x2 + 9).d (x2 + 9)1/2. y" = dx dx . [(x2 + 9)1/2]2

(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9). 1 .(x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) . y" = 2 dx . (x2 + 9)2/2

(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9).(x 2 + 9) -1/2 .( 2 x ) . y" = 2 . (x2 + 9)

(x2 + 9)1/2.(4x) - (2x 2 + 9).(x) [(x 2 + 9) 1/2 ] 2 (4x) - (2x 2 + 9).(x) . y" = (x 2 + 9) 1/2 = (x 2 + 9) 1/2 . (x2 + 9) (x2 + 9)

y" = (x 2 + 9)(4x) - (2x 2 + 9).(x) = 4x 3 + 36x - 2x 3 - 9x = 2x 3 + 27x . (x2 + 9)2/2(x2 + 9)1/2 (x2 + 9)3/2 (x2 + 9)3/2

Cuando x = 4.

y" = 2x 3 + 27x = 2(4) 3 + 27(4) = 128 + 108 = 236 = 236 = 236 . (x2 + 9)3/2 [(4)2 + 9]3/2 (25)3/2 (52)3/2 53 125

18. x2 - 4y2 = 9 ; x = 5 ; y = 2 .

2x - 8y.dy = 0 dx

2x = 8y.dy = 2x

dx

y' = dy = 2x = x . Sustituyendo: x = 5 y y = 2 en y' dx 8y 4y

y' = x = 5 = 5 .

Page 207: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4y 4(2) 8

4y.d (x) - x.d (4y) 4y(1) - x. 4 .dy 4y - 4x.dyy"= dx dx = dx = dx . (4y)2 (4y)2 (4y)2

Sustituyendo el valor de y' o dy en y". dx

4y - 4x.dy 4y - 4x. x 4y - 4x 2 . 4y.4y - 4x 2 y"= dx = 4y = 4y = 4y = (4y)2 16y2 16y2 16y2 16y 2 - 4x 2 y"= 4y = 4 (4y 2 - x 2 ) = 4y 2 - x 2 . Cuando x = 5 y y = 2. 16y 2 4y.16y2 16y3

1

y"= 4y 2 - x 2 = 4(2 2 ) - 5 2 = 16 - 25 = - 9 . 16y3 16(23) 16(8) 128

19. x2 + 4xy + y2 + 3 = 0 ; x = 2 ; y = - 1.

2x + 4 {x.dy + y.dx } + 2y.dy + d (3) = 0

dx dx dx dx

2x + 4 { x.dy + y(1)} + 2y.dy + 0 = 0 dx dx

2x + 4 { x.dy + y} + 2y.dy = 0 ; 2x + 4x.dy + 4y + 2y.dy = 0 dx dx dx dx 4x.dy + 2y.dy = - 2x - 4y ; 2dy (2x + y ) = - 2x - 4y dx dx dx

dy = - 2x - 4y = - 2(x + 2y) = - 2 (x + 2y) = - (x + 2y) .dx 2(2x + y) 2(2x + y) 2 (2x + y) (2x + y )

Page 208: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Cuando x = 2 ; y = - 1.

y' = - (x + 2y) = - {2 + 2(-1)} = - (2 - 2) = 0 = 0. (2x + y ) {2(2) + (-1)} 4 - 1 3

(2x + y ).d { - (x + 2y)} - { - (x + 2y)}.d (2x + y ) y" = dx dx . (2x + y )2

(2x + y ).d (- x - 2y) + (x + 2y).{2.dx + dy }y" = dx dx dx . (2x + y )2

(2x + y )(-dx - 2.dy) + (x + 2y).(2.dx + dy) y" = dx dx dx dx . (2x + y )2

(2x + y )(-1 -2.dy) + (x + 2y).{2(1) + dy }y" = dx dx . (2x + y )2

- 2x - 4xdy - y - 2y.dy + 2x + x.dy + 4y + 2y.dy . y" = dx dx dx dx . (2x + y )2

- 3x.dy + 3yy" = dx = Sustituyendo dy = 0 ; x = 2 ; y = -1. (2x + y )2 dx

y"= - 3x(0) + 3y = 0 + 3( -1) = - 3 = - 3 = - 3 = - 1 . (2x + y )2 {2(2) + (-1)}2 (4 - 1)2 (3)2 9 3

20. y = (3 - x2)4 ; x = 1

y' = 4(3 - x2)4-1.d (3 - x2). dx

Page 209: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 4(3 - x2)3 (- 2x) = - 8x(3 - x2)3. Sustituyendo x = 1.

y'= - 8(1)[3 - (1)2]3 = - 8(3 - 1)3 = - 8(2)3 = - 8(8) = - 64 .

y" = (-8x).d (3 - x2)3 + (3 - x2)3.d (- 8x) dx dx

y" = (-8x).(3).(3 - x2)3-1.d (3 - x2) + (3 - x2)3.(-8)

dx

y"= - 24x.(3 - x2)2.(- 2x) - 8.(3 - x2)3

y"= 48x2(3 - x2)2 - 8.(3 - x2)3 = 8(3 - x2)2[6x2 - (3 - x2)] =

y"= 8(3 - x2)2(6x2-3+ x2) . Sustituyendo x = 1, en y".

y"= 8{3 - (1)2}2{6(1)2 - 3 + (1)2} = 8(3 - 1)2(6 - 3 + 1) =

y"= 8(2)2(4) = 8(4)(4) = 128 .

21. y = √1 + 2x ; x = 4

y = (1 + 2x)1/2

dy = 1 . (1 + 2x)1/2-1.d (1 + 2x)dx 2 dxdy = (1 + 2x) -1/2 .( 2 ) = (1 + 2x)-1/2

= 1 . Cuando: x = 4 .

dx 2 (1 + 2x)1/2

dy = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 .dx [1 + 2(4)]1/2 (1 + 8)1/2 (9)1/2 (32)1/2 32/2 3

d 2 y = - 1 . (1 + 2x)-1/2-1. d (1 + 2x)dx2 2 dx

d 2 y = - (1 + 2x) -3/2. (2) = - 1 . Sustituyendo: x = 4 en y". dx2 2 (1 + 2x)3/2

Page 210: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d 2 y = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 .

dx2 [1 + 2(4)]3/2 (9)3/2 (32)3/2 36/2 33 27

22. y = ∛(x2 + 4) ; x = 2 .

y = (x2 + 4)1/3

dy = 1. (x2 + 4)1/3-1. d (x2 + 4)dx 3 dx

dy = 1. (x2 + 4)-2/3.(2x) = 2x = 2 (2) = 4 =

dx 3 3(x2 + 4)2/3 3(22 + 4)2/3 3(8)2/3

dy = y’ = 4 = 4 . 4 = 1 .dx 3(23)2/3 3(2)2 12 3

3(x2 + 4)2/3. d (2x) - (2x).d [3(x2 + 4)2/3] y"= dx dx . {3(x2 + 4)2/3}2

3(x2 + 4)2/3.(2) - (2x).[3. 2 .(x2 + 4)2/3-1.d (x2 + 4) ]y"= 3 dx . 9(x2 + 4)4/3

y"= 6(x 2 + 4) 2/3 - (2x).2(x 2 + 4) -1/3 .(2x) = 6(x 2 + 4) 2/3 - 8x 2 (x 2 + 4) -1/3 9(x2 + 4)4/3 9(x2 + 4)4/3

6(x2 + 4)2/3 - 8x 2 6(x 2 + 4) 2/3 . (x 2 + 4) 1/3 - 8x 2 y"= (x 2 + 4) 1/3 = (x 2 + 4) 1/3 . 9(x2 + 4)4/3 9(x 2 + 4) 4/3 .

1

y"= 6(x 2 + 4) 3/3 - 8x 2 =

6x 2 + 24 - 8x 2 = 24 - 2x 2 .

9(x2 + 4)4/3. (x2 + 4)1/3 9(x2 + 4)5/3 9(x2 + 4)5/3

Cuando: x = 2.

Page 211: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1y"= 24 - 2(2) 2 = 24 - 8 = 16 = 16 = 16 = 1 . 9[22 + 4]5/3 9(8)5/3 9 (23)5/3 9(2)5 9( 32 ) 18 2

23. y = x √(3x - 2) ; x = 2

y = x.(3x - 2)1/2

dy = x.d [(3x - 2)1/2] + (3x - 2)1/2.d (x)

dx dx dx

dy = x. 1 . (3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) + (3x - 2)1/2.(1)

dx 2 dx

dy = x.(3x - 2) -1/2 .(3) + (3x - 2)1/2 = 3x + (3x - 2)1/2

dx 2 2(3x - 2)1/2

dy = 3x + 2{(3x - 2) -1/2 } 2 = 3x + 2(3x - 2) = 3x + 6x - 4 =

dx 2(3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2

dy = 9x - 4 .Cuando: x = 2. dx 2(3x - 2)1/2

y'= dy = 9x - 4 = 9(2) - 4 = 18 - 4 =

dx 2(3x - 2)1/2 2[3(2) - 2]1/2 2(4)1/2

y'= 14 = 14 = 14 = 7 . 2(22)1/2 2(2) 4 2

2(3x - 2)1/2.d (9x - 4) - (9x - 4).d { 2(3x - 2)1/2} y"= dx dx . 2(3x - 2)1/2

2(3x - 2)1/2.(9) - (9x - 4).{ 2. 1 .(3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) y"= 2 dx .

Page 212: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

{2(3x - 2)1/2}2

y"= 18.(3x - 2) 1/2 - (9x - 4).{ (3x - 2) -1/2 .(3)} 4(3x - 2)2/2

18(3x - 2)1/2 - 3(9x - 4) 18(3x - 2) 1/2 (3x - 2) 1/2 - 3(9x - 4) y"= (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2 .

4(3x - 2) 4(3x - 2)

18(3x - 2) - 3(9x - 4) 54x - 36 - 27x + 12 27x - 24 .y"= (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2

4(3x - 2) 4(3x - 2) 4(3x - 2)

y"= 27x - 24 = 27x - 24 . 4(3x - 2)2/2(3x - 2)1/2 4(3x - 2)3/2

Sustituyendo x = 2 en y". y"= 27(2) - 24 = 54 - 24 =

4{3(2) - 2}3/2 4(6 - 2)3/2

y"= 30 = 30 = 30 = 30 = 30 = 15 . 4(4)3/2 4(22)3/2 4(2)3 4(8) 32 16

24. y2 + 2xy = 16 ; x = 3 ; y = 2

2y.dy + 2[x.dy + y.dx] = d (16) dx dx dx dx

2y.dy + 2[x.dy + y.(1)] = 0 dx dx

2y.dy + 2x.dy + 2y = 0 dx dx

2.dy (x + y) = - 2y dx

Page 213: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dy = - 2 y = - y . Cuando: x = 3 ; y = 2.dx 2(x + y) (x + y)

y'= dy = - 2 = - 2 . dx (3 + 2) 5

(x + y).d (- y) - (-y).d (x + y) -(x + y).dy + (y)(dx + dy)y"= dx dx = dx dx dx (x + y)2 (x + y)2

-(x + y).dy + (y)(dx + dy) -(x + y).dy + (y)(1+ dy)y"= dx dx dx = dx dx =

(x + y)2 (x + y)2

y"= - x.y' - y.y' + y + y.y' = y - xy' . (x + y)2 (x + y)2

Sustituyendo: x = 3 ; y = 2 ; y'= - 2/5.

2 - (3)(- 2 ) 2 + 6 16 y"= 5 = 5 = 5 = 16 .

(3 + 2)2 52 25 125 125. x3 - xy2 + y3 = 8 ; x = 2 ; y = 2 .

3x2 - {x.d (y2) + y2.d (x)} + 3y2.dy = d (8) dx dx dx dx

3x2 - {x.2y.dy + y2.(1)} + 3y2.dy = 0 dx dx

3x2 - 2xy.dy - y2 + 3y2.dy = 0 dx dx

y.dy (3y-2x) = y2 - 3x2 ; dy = y 2 - 3x 2 = y 2 - 3x 2 .Cuando: x = 2 ; y = 2 dx dx y(3y - 2x) 3y2 - 2xy

Page 214: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= dy = 2 2 - 3(2 2 ) = 4 - 12 = - 8 = - 8 = - 2 dx 2[3(2) - 2(2)] 2(6 - 4) 2(2) 4

( 3y2 - 2xy).d (y2 - 3x2) - (y2 - 3x2).d {( 3y2 - 2xy)} y"= dx dx . ( 3y2 - 2xy)2

(3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y.dx]} y"= dx dx dx dx .

( 3y2 - 2xy)2

(3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y(1)]} y"= dx dx dx .

( 3y2 - 2xy)2

( 3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2x.dy - 2y} y"= dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2

(6y3.dy-18xy2-4xy2.dy +12x2y) - (6y3.dy-2xy2.dy-2y3-18x2y.dy+6x3.dy + 6x2y) y"= dx dx dx dx dx dx .

(3y2 - 2xy)2

6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y y"= dx dx dx dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2

6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y y"= dx dx dx dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2

- 18xy2 - 2xy2.dy + 6x2y + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy y"= dx dx dx . ( 3y2 - 2xy)2

Sustituyendo: x = 2 ; y = 2 ; y'= -2

y"= -18(2)(2) 2 - 2(2)(2) 2 (-2) + 6(2) 2 (2) + 2(2) 3 + 18(2) 2 (2)(-2) - 6(2) 3 (-2) [3(2)2 - 2(2)(2)]2

y"= - (36)(4) + (8)(4) + (12)(4) + 2(8) - 72(4) + 12(8)

Page 215: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

( 12 - 8 )2

y"= - 144 + 32 + 48 + 16 - 288 + 96 = 192 - 432 = - 240 = - 15 16 16 16

Hallar d 2 y en cada uno de los ejercicios siguientes: dx2

26. y = x3 - 3 . x

dy = 3x2 - { (-3) . dx } = 3x2 + 3 . (1) = 3x2 + 3 .

dx ( x )2 dx x2 x2

d 2 y = 6x + {(-3) . d (x2)} = 6x + {- 3 .(2x)} = 6x + {- 6 x } = 6x - 6.dx2 (x2)2 dx x4 x3. x x3

d 2 y = 6(x - 1 ) = 6(x 4 - 1 ) = 6(x 2 +1)(x 2 - 1) = 6(x 2 +1)(x+1)(x - 1) .dx2 x3 x3 x3 x3

27. y = x 2 . x2 + a2

(x2 + a2).d (x2) - (x2).d (x2 + a2) dy = dx dx . dx (x2 + a2)2

dy = (x 2 + a 2 )(2x) - (x 2 )(2x) = 2x( x 2 + a 2 - x 2 ) =

dx (x2 + a2)2 (x2 + a2)2

dy = 2x( a 2 ) = 2a 2 x .dx (x2 + a2)2 (x2 + a2)2

(x2 + a2)2.d (2a2x) - (2a2x).d (x2 + a2)2 d 2 y = dx dx .dx2 [(x2 + a2)2]2

(x2 + a2)2.[2a2.dx] - (2a2x)(2)(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2)

Page 216: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

d 2 y = dx dx .dx2 (x2 + a2)4

d 2 y = (x 2 + a 2 ) 2 .[2a 2 .(1)] - (4a 2 x)(x 2 + a 2 ).(2x) d2x (x2 + a2)4

d 2 y = 2a 2 (x 2 + a 2 ) 2 - (8a 2 x 2 )(x 2 + a 2 ) = 2a 2 (x 2 + a 2 ) {x 2 +a 2 - 4x 2 } dx2 (x2 + a2)4 (x2 + a2) (x2 + a2)3

d 2 y = 2a 2 (a 2 - 3x 2 ) . dx2 (x2 + a2)3

28. y = ∛2 - 3x

y = (2 - 3x)1/3

dy = 1 . (2 - 3x)1/3-1.d (2 - 3x) dx 3 dx

dy = (2 - 3x) -2/3 (- 3 ) = - 1 = - (2 - 3x)-2/3 . dx 3 (2 - 3x)2/3

d 2 y = - (-2 )(2 - 3x)-2/3-1.d (2 - 3x) = ( 2 )(2 - 3x)-5/3.(- 3)

dx2 3 dx 3 .

d 2 y = - 2 . dx2 (2 - 3x)5/3

29. y = x √a2 - x2

y = x (a2 - x2)1/2

dy = x. d (a2 - x2)1/2 + (a2 - x2)1/2.d (x)dx dx dx

dy = x.1.(a2 - x2)1/2-1.d(a2 - x2) + (a2 - x2)1/2.(1) =

Page 217: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx 2 dx

dy = x(a 2 - x 2 ) -1/2 (-2x ) +(a2 - x2)1/2 = - 2 x 2 + (a2 - x2)1/2 =

dx 2 2 (a2 - x2)1/2

dy = -x 2 + {(a 2 - x 2 ) 1/2 }2 = -x 2 + (a 2 - x 2 )

dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2

dy = -x 2 + a 2 - x 2 = a 2 - 2x 2 .dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2

(a2 - x2)1/2.d (a2 - 2x2) - (a2 - 2x2).d (a2 - x2)1/2 d 2 y = dx dx . dx2 [(a2 - x2)1/2]2

(a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) d 2 y = 2 dx . dx2 [(a2 - x2)1/2]2

(a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)-1/2(- 2x) d 2 y = 2 . dx2 [(a2 - x2)1/2]2

d 2 y = - 4x (a 2 - x 2 ) 1/2 + x (a 2 - x 2 ) 1/2 = x (a 2 - x 2 ) 1/2 {- 4 + 1} =

dx2 (a2 - x2) (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2

d 2 y = - 3x .dx2 (a2 - x2)1/2

30. y2 - 4xy = 16

2y.dy - 4{x.dy + y.dx} = d (16) dx dx dx

2y.dy - 4x.dy - 4y(1) = 0 dx dx

Page 218: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2dy ( y - 2x) = 4y dx

dy = 4 y = 2y .

dx 2 ( y - 2x) ( y - 2x)

( y - 2x).d (2y) - (2y).d ( y - 2x)d 2 y = dx dx .dx2 ( y - 2x)2

( y - 2x)(2.dy) - (2y)[ dy - 2(1)]d 2 y = dx dx .dx2 ( y - 2x)2

2y.dy - 4x.dy - 2y.dy + 4y] 4 (y - x.dy )d 2 y = dx dx dx = dx . dx2 ( y - 2x)2 ( y - 2x)2

Pero: y'= 2y/y - 2x.

4 {y - x.[ 2y ]} 4{ y (y - 2x) - 2xy} 4(y 2 - 2xy - 2xy) d 2 y = y - 2x = y - 2x = y - 2x =

dx2 ( y - 2x)2 ( y - 2x) 2 ( y - 2x) 2 . 1 1

d 2 y = 4(y 2 - 4xy) = 4y (y - 4x) .

dx2 ( y - 2x)3 (y - 2x)3

31. x3 - 3axy + y3 = b3

3x2 - 3a{x.dy + y.dx} + 3y2.dy = d (b3) dx dx dx dx

3x2 - 3ax.dy - 3ay(1) + 3y2.dy = 0 dx dx

3dy ( y2 - ax ) = 3ay - 3x2 dx

Page 219: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3dy ( y2 - ax ) = 3( ay - x2 ) dx

dy = 3 (ay - x 2 ) = (ay - x 2 ) dx 3( y2 - ax ) ( y2 - ax )

( y2 - ax ).d (ay - x2 ) - (ay - x2 ).d ( y2 - ax ) d 2 y = dx dx . dx2 ( y2 - ax )2

( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a.dx ) d 2 y = dx dx dx . dx2 ( y2 - ax )2

( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a ) d 2 y = dx dx . dx2 ( y2 - ax )2

ay2.dy - 2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y + 2x2y.dy - ax2 d 2 y = dx dx dx dx . dx2 ( y2 - ax )2

ay2. dy -2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y +2x2y.dy - ax2 d 2 y = dx dx dx dx . dx2 ( y2 - ax )2

- ay2.dy + ax2 - 2xy2 - a2x.dy + a2y + 2x2y.dyd 2 y = dx dx dx .dx2 ( y2 - ax )2

dy (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) d 2 y = dx .dx2 ( y2 - ax )2

Pero: dy = y'= (ay - x 2 ) ; Sustituyendo en y" o d2y/dx2.

Page 220: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx (y2 - ax)

(ay - x 2 ) (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) d 2 y = (y 2 - ax) .

dx2 ( y2 - ax )2

(ay - x 2 )(- ay 2 - a 2 x + 2x 2 y) + (y 2 - ax) (ax 2 - 2xy 2 + a 2 y) d 2 y = ( y 2 - ax ) .

dx2 ( y2 - ax )2

- a 2 y 3 - a 3 xy + 2ax 2 y 2 + ax 2 y 2 + a 2 x 3 - 2x 4 y + ax 2 y 2 - 2xy 4 + a 2 y 3 - a 2 x 3 + 2ax 2 y 2 - a 3 xy d 2 y = ( y 2 - ax ) . dx2 ( y2 - ax )2

- a 2 y 3 - a 3 xy + 2ax 2 y 2 + ax 2 y 2 + a 2 x 3 - 2x 4 y + ax 2 y 2 - 2xy 4 + a 2 y 3 - a 2 x 3 + 2ax 2 y 2 - a 3 xy d 2 y = ( y 2 - ax ) . dx2 ( y2 - ax )2

-2a 3 xy + 6ax 2 y 2 - 2x 4 y - 2xy 4 . d 2 y = ( y 2 - ax ) . dx2 ( y2 - ax )2

d 2 y = -2a 3 xy + 6ax 2 y 2 - 2x 4 y - 2xy 4 . = 2axy( 3xy - a 2 ) - 2xy ( x 3 + y 3 ). dx2

( y2 - ax )3 ( y2 - ax )3

Problemas -Pagina 94

Calcular los Máximos y Mínimos de cada una de las funciones siguientes:

1. x3 + 3x2 - 2.y = x3 + 3x2 - 2y'= 3x2 + 6x3x2 + 6x = 0

Page 221: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3x(x + 2 ) = 0

x = 0 Valores críticos de la variable.x = - 2

y"= 6x + 6.Se reemplaza en la 2da derivada cada valor crítico.Si es " + " existe un Mínimo.Si es " - " existe un Máximo.

Para: x = 0y(0) = 6(0) + 6 = " + ". Mínimo.Luego se sustituye dicho valor crítico en la función originaly = x3 + 3x2 - 2y(0) = (0)3 + 3(0)2 - 2.y(0) = - 2. x = 0 ; Mínimo = - 2 .

Para: x = - 2 .y" = 6x + 6y"(-2) = 6(-2) + 6 = - 12 + 6 = " - ". Máximo.Luego se reemplaza el valor crítico en la función original.y = x3 + 3x2 - 2y (-2) = (-2)3 + 3(-2)2 - 2 = - 8 + 12 - 2 = + 2. x = - 2 ; existe un Máximo = + 2 .

2. x3 - 3x + 4 .y = x3 - 3x + 4.y' = 3x2 - 3.3x2 - 3 = 0.3 ( x2 - 1) = 0.( x2 - 1) = 0.( x + 1) ( x - 1) = 0.

x + 1 = 0. x = - 1 Valoresx - 1 = 0. x = 1 Críticos.

Page 222: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = - 1.y"= 6x.y"(-1) = 6(-1) = " - " . Máximo. Se sustituye x = -1 en la función original.y = x3 - 3x + 4.y = (-1)3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 x = - 1 ; existe un Máximo = 6 .

Para: x = 1.y"= 6x.y"(1) = 6(1) = " + ". Mínimo. Se sustituye x = 1 en la función original.

y = x3 - 3x + 4.y = (1)3 - 3(1) + 4.y = 1 - 3 + 4 = 2 x = 1 ; existe un Mínimo = 2.

3. 2x3 - 3ax2 + a3

y = 2x3 - 3ax2 + a3

y'= 6x2 - 6ax.6x2 - 6ax = 06x(x - a) = 0x = 0 ; x = a }Valores Críticos.

Para: x = 0y"= 12x - 6a.

y"(0) = 12(0) - 6a = " - ". Máximo. Se sustituye x = 0 en la función original.

y = 2x3 - 3ax2 + a3

y = 2(0)3 - 3a(0)2 + a3 = a3

x = 0 ; existe un Máximo = a3.

Para: x = a .y"= 12x - 6a.y"(a) = 12(a) - 6a = 6a = " + ". Mínimo. Se sustituye x = a en la función original.

Page 223: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 2x3 - 3ax2 + a3

y = 2(a)3 - 3a(a)2 + a3 = 2a3 - 3a3 + a3 = 0

x = a ; existe un Mínimo = 0 .

4. 2 + 12x + 3x2 - 2x3 y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3

y'= 12 + 6x - 6x2.12 + 6x - 6x2 = 0 = 6x2 - 6x - 12 .6(x2 - x - 2) = 0(x - 2) (x + 1) = 0

x = 2 ; x = - 1} Valores Críticos.

Para: x = 2 . y"= 6 - 12 x.y"= 6 - 12(2) = + 6 - 24 = " - " . Máximo. Se sustituye x = 2 en la función original .

y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3

y = 2 + 12(2) + 3(2)2 - 2(2)3 = 2 + 24 + 12 - 16 = 22. x = 2 ; existe un Máximo = 22 .

Para: x = - 1 .y"= 6 - 12 x.y"(-1) = 6 - 12 (-1) = 6 + 12 = " + ". Mínimo. Se sustituye x = -1 en la función original.

y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3

y = 2 + 12(-1) + 3(-1)2 - 2(-1)3 = 2 - 12 + 3 + 2 = - 5. x = - 1 ; existe un Mínimo = - 5 .

5. 3x - 2x2 - 4x 3 3

y = 3x - 2x2 - 4x 3 3

y'= 3 - 4x - 4 ( 3 x 2 ) = 3 - 4x - 4x2 = 0 3 .

Page 224: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

3 - 4x - 4x2 = 0 = 4x2 + 4x - 3 = 0(2x)2 + 2(2x) - 3 = 0[2x + 3] [2x - 1] = 02x + 3 = 0x = - 3/2.2x - 1 = 0x = 1/2.x = - 3/2 ; x = 1/2 } Valores Críticos.

Para: x = - 3/2 .y"= - 4 - 8x

y"(-3/2) = - 4 - 8(-3) = - 4 + 24 = - 4 + 12 = " + ". Mínimo. 2 2

Se reemplaza x = -3/2 en la función original.y = 3x - 2x2 - 4x 3 3

y = 3 -3 - 2 - 3 2 - 4 - 3 3 = - 9 - 2 9 - 4 - 27 =

2 2 3 2 2 4 3 8

y = - 9 - 18 + 108 = - 108 - 108 + 108 =

2 4 24 24 24 24

y = - 108 = - 54 = - 27 = - 9 . 24 12 6 2 x = - 3/2 ; existe un Mínimo = - 9/2 .Para: x = 1/2 .y"= - 4 - 8xy"(1/2) = - 4 - 8(1/2) = - 4 - 4 = " - ". Máximo.Se sustituye x =1/2 en la función original para calcular el valor Máximo.y = 3x - 2x2 - 4x 3 3

y = 3(1/2) - 2(1/2)2 - 4(1/2)3 = 3 - 2 - 4 = 36 - 12 - 4 = 20 = 5 .

3 2 4 24 24 24 24 24 6

Page 225: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 1/2 ; existe un Máximo = 5/6 .

4. 3x4- 4x3 - 12x2 + 2 .

y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.y'= 12x3 - 12x2 - 24x.12x3 - 12x2 - 24x = 0.12x(x2 - x - 2) = 0

x = 0(x2 - x - 2) = 0(x - 2 )(x + 1 ) = 0x = 2.x = - 1.x = 0 ; x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos.

Para: x = 0 .y"= 36x2 - 24x - 24.y"(0) = 36(0)2 - 24(0) - 24 = - 24 = " - " . Máximo.Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor

Máximo.y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.y = 3(0)4- 4(0)3 - 12(0)2 + 2 = 2 x = 0 ; existe un Máximo = 2 .

Para: x = 2 .y"= 36x2 - 24x - 24.y"= 36(2)2 - 24(2) - 24 = 144 - 48 - 24 = + 144 - 72 = " + " .

Mínimo.Se sustituye x = 2 en la función original para calcular el valor

Mínimo.y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.y = 3(2)4- 4(2)3 - 12(2)2 + 2 = 48 - 32 - 48 + 2 = - 30. x = 2 ; existe un Mínimo = - 30 .

Para: x = - 1 .y"= 36x2 - 24x - 24.

Page 226: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= 36(-1)2 - 24(-1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36 = " + ". Mínimo.Se sustituye x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo.y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.y = 3(-1)4- 4(-1)3 - 12(-1)2 + 2.y = 3(+1) - 4(-1) -12(+1) + 2 = 3 + 4 - 12 + 2 = - 3. x = - 1 ; existe un Mínimo = - 3 .

7. x4 - 4x2 + 4y = x4 - 4x2 + 4y'= 4x3 - 8x.

4x3 - 8x = .4x(x2 - 2) = 0x = 0.x2 - 2 = 0x2 = 2x = √2x = 0. ; x = √2. ; x = - √2 } Valores Críticos.

Para: x = 0.y"= 12x2 - 8.y"(0) = 12(0)2 - 8 = 0 - 8 = " - ". Máximo.Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor Mínimo.y = x4 - 4x2 + 4y = (0)4 - 4(0)2 + 4 = + 4. x = 0 ; existe un Máximo = + 4 .

Para: x = √2 .y"= 12x2 - 8.y"(√2) = 12(2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo.Se sustituye x =2, en la función original para calcular el valor

Mínimo.y = x4 - 4x2 + 4y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 x = √2 ; existe un Mínimo = 0 .

Page 227: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = - √2 .y"= 12x2 - 8.y"= 12(- √2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo.Se sustituye x = - √2, en la función origen para calcular el valor Mínimo .

y = x4 - 4x2 + 4 = (- √2)4 - 4(- √2)2 + 4 .

y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. x = - √2 ; existe un Mínimo = 0 .

8. ax .x2 + a2

y = ax . x2 + a2

(x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2) y'= dx dx . (x2 + a2)2

y'= (x 2 + a 2 ).(a) - (ax)(2x) = ax 2 + a 3 - 2ax 2 = a 3 - ax 2 =

(x2 + a2)2 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2

a 3 - ax 2 = 0 . (x2 + a2)2

a3 - ax2 = 0 , a3 = ax2 = a3 , x2 = a2 , x = a.

x = a } Valores Críticos.

Para: x = a .

(x2 + a2)2.d (a3 - ax2) - (a3 - ax2).d (x2 + a2)2 y"= dx dx . [(x2 + a2)2]2

(x2 + a2)2(- 2ax) - (a3 - ax2).2(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2) y"= dx .

Page 228: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x2 + a2)4

y"= (x 2 + a 2 ) 2 (- 2ax) - (a 3 - ax 2 ).2(x 2 + a 2 )(2x) (x2 + a2)4

y"= -2x(x 2 + a 2 ){(x 2 + a 2 )a + 2(a 3 - ax 2 )} =

(x2 + a2)4

y"= -2x (x 2 + a 2 ) {ax 2 + a 3 + 2a 3 - 2ax 2 )} = - 2x (3a 3 - ax 2 ) =

(x2 + a2)4 (x2 + a2)3

Sustituyendo: x = a , en y".

y"(a) = - 2a.a = - 2a 2 = " - ". Máximo. (a2 + a2)3 (2a2)3

Se sustituye x = a, en la función origen para calcular el valor Máximo.

y = ax . x2 + a2

y(a) = a.a = a 2 = 1 . a2 + a2 2a2 2

x = a ; existe un Máximo = 1/2 .

Para: x = - a .y"(-a) = - 2a.x . (x2 + a2)3 y"(-a) = - 2a.(-a) = + 2a 2 = + 2a 2 = " + " . Mínimo. [(-a)2 + a2]3 [a2 + a2]3 + (2a2)3

Se sustituye x = - a, en la función origen para calcular el valor Mínimo.

y = ax . x2 + a2

Page 229: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y(-a) = a.(-a) = - a 2 = - a 2 = - 1 . (-a)2 + a2 + a2 + a2 2 a2 2

x = - a ; existe un Mínimo = - 1/2 .

9. x3 + 9x2 + 27x + 9 .y = x3 + 9x2 + 27x + 9.y'= 3x2 + 18x + 27.3x2 + 18x + 27 = .3(x2 + 6x + 9) = 0.(x2 + 6x + 9) = 0 .(x + 3) (x + 3) = 0 .

x = - 3 } Valor Crítico.

Para: x = - 3 .y"= 6x + 18.y"(-3) = 6(-3) + 18 = - 18 + 18 = 0 .

Se anulan, por tanto no hay ni Máximos, ni Mínimos .

10. 12x + 9x2 - 4x3 y = 12x + 9x2 - 4x3

y'= 12 + 18x - 12x2.12 + 18x - 12x2

= 0.- 6(2x2 - 3x - 2) = 0.(2x2 - 3x - 2) = 0.(2x)2 - 3(2x) - 2 = 0.(2x - 4) (2x + 1) = 0.

2 x 1

(x - 2)(2x + 1) = 0.(x - 2) = 0.x = 22x = - 1.x = - 1 .

Page 230: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2

x = 2 ; x = - 1/2. } Valores Críticos.

Para: x = 2 .y"= 18 - 24x.y"(2) = 18 - 24(2) = 18 - 48 = "-". Máximo.Se sustituye x = 2, en la función origen para calcular el valor Máximo.y = 12x + 9x2 - 4x3

y(2) = 12(2) + 9(2)2 - 4(2)3 = 24 + 9(4) - 4(8) = 24 + 36 - 32 = 28. x = 2 ; existe un Máximo = 28 .

Para: x = - 1/2.y"= 18 - 24x.y"(-1/2) = 18 - 24(-1/2) = 18 + 24/2 = " + ". Mínimo.Se sustituye x = -1/2, en la función para calcular el valor Mínimo.y = 12x + 9x2 - 4x3.y(-1/2) = 12(-1/2) + 9(-1/2)2 - 4(-1/2)3 = - 12/2 + 9(1/4) - 4(-1/8) =

y(-1/2) = - 12/2 + 9/4 + 4/8 = - 12/2 + 9/4 + 1/2 = - 11/2 + 9/4 = - 22/4 + 9/4 = - 13/4. x = - 1/2 ; existe un Máximo = - 13/4 .

11. x2(x - 4)2

y = x2(x - 4)2

y'= x2.d (x - 4)2 + (x - 4)2.d (x2) dx dxy'= x2(2) (x - 4)2-1.d (x - 4) + (x - 4)2(2x) dxy'= x2(2) (x - 4)(1) + (x - 4)2(2x)y'= 2x2(x - 4) + (x - 4)2(2x) = 2x(x - 4)[x + (x - 4)] = 2x(x - 4)(2x - 4)

Igualamos a cero: 2x(x - 4)(2x - 4) = 0.2x = 0 ; x = 0.(x - 4) = 0 ; x = 4.(2x - 4) = 0 ; 2x = 4 ; x = 2.

Page 231: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0 ; x = 4 ; x = 2. } Valores Críticos.

Para: x = 0 .y"= 2x(x - 4).d [(2x - 4)] + (2x - 4).d [2x(x - 4)] dx dx

y"= 2x(x - 4)(2) + (2x - 4).{2x.d (x - 4) + (x - 4).d (2x) } dx

y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x(1) + (x - 4)(2) } y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2(x - 4)}y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2x - 8)} y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)}

y"(0) = 4(0)[(0) - 4] + [2(0) - 4].{4(0) - 8]}y"(0) = (0)[- 4] + [(0) - 4].{0 - 8} = (0) + (- 4)( - 8) = 0 + 32 = " + ". Mínimo

Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo.y = x2(x - 4)2

y(0) = (0)2[(0) - 4]2 = (0) ( - 4)2 = (0)(4)2 = (0)(16) = 0. x = 0 ; existe un Mínimo = 0 .

Para: x = 4 .y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)}y"(4) = 4(4)(4 - 4) + [2(4) - 4][4(4) - 8]y"(4) = 4(4)(0) + [4][16 - 8] = 0 + (4)(8) = "+". Mínimo.

Se sustituye x = 4, en la función para calcular el valor Mínimo.y = x2(x - 4)2

y(4) = 42[4 - 4)2 = 16(0)2(0)2 = 0. x = 4 ; existe un Mínimo = 0 .Para: x = 2 .

y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)}y"(2) = 4(2)(2 - 4) + [2(2) - 4][4(2) - 8] = 8(-2) + (4 - 4)

(8 - 8) =

y"(2) = - 16 + (0)(0) = - 16 = "-". Máximo.

Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo.y = x2(x - 4)2y(2) = 22(2 - 4)2 = 4(-2)2 = 4(2)2 = 4(4) = 16.

Page 232: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 2 ; existe un Máximo = 16 .

12. x2 + x 3 - x 4 3 4

y = x2 + x 3 - x 4 3 4

y'= 2x + 1 .3x2 - 1 . 4x3 = 2x + x2 - x3. 3 4

2x + x2 - x3 = 0.-x(x2 - x - 2) = 0.x = 0.(x2 - x - 2) = 0.(x - 2)(x + 1) = 0.x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos.

Para: x = 0 .y"= 2 + 2x - 3x2.y"(0) = 2 + 2(0) - 3(0)2 = + 2 = " + ". Mínimo.Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo.y = x2 + x 3 - x 4 3 4

y(0) = (0)2 + (0) 3 - (0) 4 = 0 3 4

x = 0 ; existe un Mínimo = 0 . Para: x = 2 .

y"= 2 + 2x - 3x2.y"(2) = 2 + 2(2) - 3(2)2 = 2 + 4 - 12 = 6 - 12 = " - ". Máximo.Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo.

y = x2 + x 3 - x 4 3 4

Page 233: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y(2) = (2)2 + (2) 3 - (2) 4 = 4 + 8 - 16 = 4 + 8 - 4 = 8 . 3 4 3 4 3 3

x = 2 ; existe un Máximo = 8/3 .

Para: x = - 1 .y"= 2 + 2x - 3x2.y"(-1) = 2 + 2(-1) - 3(-1)2 = 2 - 2 - 3 = - 3 = " - ". Máximo.Se sustituye x = - 1, en la función para calcular el valor Máximo.

y = x2 + x 3 - x 4 3 4

y = (-1)2 + (-1) 3 - (-1)4 = 1 - 1 - 1 = 12 - 4 - 3 = 5 . 3 4 3 4 12 12 12 12

x = - 1 ; existe un Máximo = 5/12 .

13. x2 - a 4 . x2

y = x2 - a 4 . x2

y'= 2x - { - a 4 .d (x2) } (x2)2 dx

y'= 2x + { a 4 .(2x)} = 2x + 2a 4 . x = 2x + 2a 4 = 2(x + a 4 ) = 0. x4 x .x3 x3 x3

( x + a 4 ) = 0 x3

x 4 + a 4 = 0 x3

x3 = 0

Page 234: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0x4 + a4 = 0x4 = - a4

x = √- a4 = √(a4)(-1) = √a4 . √-1 = a2.i.x = 0 ; x = a2.i } Valores críticos.

Para: x = 0 .y'= 2x + 2a 4 .

x3

y"= 2 + { (- 2a 4 ) .d (x3) } = 2 - { 2a 4 . 3x2 } = 2 - 6a 4 . x 2 =

(x3)2 x6 x2.x4

y"= 2 - 6a 4 = 2x 4 - 6a 4 . x4 x4

y"(0) = 2x 4 - 6a 4 = 2(0) 4 - 6a 4 = 0 - 6a 4 = - 6a 4 = . x4 (0)4 0 0

Cuando y" = . No hay ni Máximos, ni Mínimos en x = 0.Para: x = a2i, por ser un valor crítico imaginario, tampoco hay ni Máximos ni Mínimos.

Problemas -Pagina 98

Hallar los puntos de inflexión y el sentido de concavidad de la curva .

3. y = x2 .y' = x2.y' (x) = 2x.y"(x) = + 2 = " + ". Siendo: y"(x) = + , por ende la curva es concava hacia arriba

Page 235: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

en todos sus puntos

4. y = 5 - 2x - x2 .y'= - 2 - 2x.y"= - 2 = " - ".

y"= - , por ende la curva es concava hacia abajo en todos sus puntos.

5. y = x3 .y'= 3x2.y"= 6x.

6x = 0 x = 0.

Para: x = 0.Primero, para x < 0 = - 0,1.y"= 6x.

y"= 6(- 0,1) = " - ".

Luego, para x > 0 = 0,1.y"= 6x.

y"= 6( 0,1) = " + ".Como cambia de signo, hay punto de inflexión.x = 0 se sustituye en en la función original.y = x3.y = (0)3 = 0. Punto de inflexión (0,0) .Es concava hacia abajo, a la izquierda de (0,0).Es concava hacia arriba, a la derecha de (0,0).

6. y = x4 .y'= 4x3.y"= 12x2.12x2

= 0 .

Para: x = 0 .Primero, para x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y".

y"= 12x2. y"= 12(- 0,1)2 = 12( 0,1)2 = " + ". Luego, para x > 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en y".

Page 236: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= 12x2. y"(0,1) = 12x2 = 12(0,1) = " + ". Como no hay variación de signos, no hay Puntos de inflexión.

Tambien observamos que: y"= +, la curva es concava hacia arriba en todos sus puntos.

7. y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25 .y'= 6x2 - 6x - 36.y"= 12x - 6.

12x - 6 = 0.6(2x - 1) = 0.2x - 1 = 0 x = 1/2.

Para: x = 1/2 .Primero, para: x < 1/2 = 0,4. Se reemplaza este valor en y".y"= 12x - 6.y"= 12(0,4) - 6 = 4,8 - 6 = " - ".

Luego: x > 1/2 = 0,6. Se reemplaza este valor en y".y"= 12x - 6.y"= 12(0,6) - 6 = 7,2 - 6 = " + ". Como cambia de signo ,hay un punto de inflexión.x = 1/2 = 0,5 en la función para determinar el punto de inflexión.y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25.y = 2(0,5)3 - 3(0,5)2 - 36(0,5) + 25 = 2(0,125) - 3(0,25) - 18 + 25 =

y = 0,25 - 0,75 + 7 = 6.5 = 13/2. en x = 1/2 hay un Punto de inflexión (1/2 , 13/2) .La curva es concava hacia abajo, a la izquierda de x = 1/2.La curva es concava hacia arriba, a la derecha de x = 1/2.

8.- y = 24x2 - x4 .y'= 48x - 4x3.y"= 48 - 12x2.48 - 12x2 = 0- 12(x2 - 4) = 0.(x2 - 4) = 0.x2 = 4x . x = 2.

Page 237: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para: x = 2 .Primero: para x < 2 = 1,9. Se reemplaza este valor en y".y"= 48 - 12x2.

y"= 48 - 12(1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". Luego: x > 2 = 2,1. Se reemplaza este valor en y".y"= 48 - 12x2.y"= 48 - 12(2,1)2 = 48 - 12(4,41) = 48 - 52.92 = " - ". Como cambia de signo hay punto de inflexión.x = 2 , en la función para determinar el punto de inflexión.y = 24x2 - x4.y(2) = 24(2)2 - (2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80. en x = 2,hay punto de inflexión (2 , 80) .

Para: x = - 2 .x < - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en y".y"= 48 - 12x2.y"( - 2,1) = 48 - 12(- 2,1)2 = 48 - 12(+ 4,41) = 48 - 52.92 = " - ". Luego: x > - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en y".y"= 48 - 12x2.y"= 48 - 12(- 1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". Como cambia de signo hay punto de inflexión.x = - 2 , en la función para determinar el punto de inflexión.y = 24x2 - x4.

y = 24(-2)2 - (-2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80. en x = - 2,hay punto de inflexión ( - 2 , 80) .

9. y = x + 1 . x

y'= 1 + {(-1).d (x) } = 1 - { 1 .(1) } = 1 - 1 = x 2 - 1 = 0 .

x2 dx x2 x2 x2

x2 .d (x2 - 1) - (x2 - 1).d (x2) y"= dx dx = x 2 (2x) - (x 2 - 1)(2x) =

Page 238: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(x2)2 x4

y"= 2x{x 2 - (x 2 - 1) } = 2x( x 2 - x 2 + 1) = 2 x .(1) = 2 .

x4 x4 x3. x x3

x3 = 0.x = 0.Cuando x = 0, tanto en la 1ra asi como en la 2da derivada se vuelven infinitas, por lo tanto no hay punto de inflexión.y'(0) = x 2 - 1 = 0 - 1 = - 1 =

x2 0 0

y"= 2 = 2 = . x3 0

10. y = x2 + 1 . x

y = x2 + x -1

y'= 2x + (-1)(x-1-1) = 2x - x -2 .

y'= 2x - x -2 .

y"= 2 - (-2)(x -2-1) = 2 + 2.x-3 = 2 + 2 . x3

2 + 2 = 2x 3 + 2 = 0. x3 x3

2x3 + 2 = 0.2(x3 + 1) = 0x3 = -1 x = - 1 .Para: x = - 1.x < - 1 = - 1,1 . Se reemplaza este valor en y".y"= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = 2 - 2 =

x3 (-1,1)3 (-1,331) 1,331

y" = 2 - 1,502629601803 = " + " .

Luego: x > - 1 = - 0,9. Se reemplaza este valor en y".

Page 239: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 =

x3 (-0,9)3 (- 0,729)

y"= 2 - 2,743484224966 = " - " .

Como cambia de signo hay punto de inflexión.

x = - 1 , en la función para determinar el punto de inflexión.

y = x2 + 1 . x

y = (-1)2 + 1 = 1 - 1 = 0. (-1)

en x = - 1, hay punto de inflexión ( - 1 , 0) .

Es concava hacia arriba a la izquierda de x = - 1 .Es concava hacia abajo a la derecha de x = - 1 .

Problemas - Pagina 100

Hallar las ecuaciones de la Tangente y la Normal en cada punto de inflexión.

2. 3y = x3 - 3x2 - 9x + 11

Page 240: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 3

y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 11 = x 3 - x2 - 3x + 11 . 3 3 3 3 3 3

y'= 1 . 3 x2 - 2x - 3 = x2 - 2x - 3. 3 .

y'= x2 - 2x - 3 = 0.x2 - 2x - 3 = 0.(x - 3)(x + 1) = 0x = 3 ; x = - 1.

Para: x = 3 , se reemplaza en y" .y'= x2 - 2x - 3y"= 2x - 2.

y"= 2(3) - 2 = 6 - 2 = " + ". Mínimo.Luego: se sustituye x = 3 en la función original.y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 3

y = 3 3 - 3(3) 2 - 9(3) + 11 = 27 - 27 - 27 + 11 = - 16 . 3 3 3

en x = 3, hay un Mínimo = - 16/3 .

Para: x = - 1, se reemplaza en y" .y"= 2x - 2.y"= 2(-1) - 2 = - 2 - 2 = " - " . Máximo.Se sustituye x = -1 en la función original.y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 3

y = (-1) 3 - 3(-1) 2 - 9(-1) + 11 = - 1 - 3 + 9 + 11 = - 4 + 20 = 16 .

3 3 3 3

Page 241: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

en x = - 1, hay un Máximo = 16/3 .

Para encontrar el punto de inflexión, hacemos y"= 0.y"= 2x - 2 = 0

2x - 2 = 02(x - 1) = 0 x = 1.

Para: x = 1 .Para: x < 1 = 0,9 .Se sustituye este valor en y".y"= 2x - 2.y"= 2(0,9) - 2 = 1,8 - 2 = " - ". Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en y".y"= 2x - 2.y"(1,1) = 2(1,1) - 2 = 2,2 - 2 = " + ".Como cambia de signo hay punto de inflexión.x = 1 , en la función original para determinar el punto de inflexión.

y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 3

y = 1 3 - 3(1) 2 - 9(1) + 11 = 1 - 3 - 9 + 11 = 12 - 12 = 0 = 0 3 3 3 3

en x = 1, hay punto de inflexión ( 1 , 0) .

Ecuación de la Tangente:en el punto (1,0) .Primero calculamos la pendiente :y'= m .m = y'(1) = 12 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = 1 - 5 = - 4.

m = - 4.y - y1 = m(x - x1)y - 0 = - 4 (x - 1).y = - 4x + 4.4x + y - 4 = 0 Ecuación de la Tangente .

Page 242: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Ecuación de la Normal: en el punto (1,0) .

y - y1 = - 1 (x - x1) m1

y - 0 = - 1 (x - 1) - 4

y = x - 1 4

4y = x - 1 = 4y ; x - 4y - 1 = 0 Ecuación de la Normal.

3. 6y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3 .

y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 .

6

y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 = 2 - 4x - 5x 2 - x 3 .

6 6 6 6 2 3

y'= - 4 - 5 .2x - 1 . 3x2 = - 4 - 5x - x2 2 3 .

y'= - 4 - 5x - x2 = 0 = x2 + 5x + 4 = 0.(x + 4)(x + 1) = 0.x = - 4 ; x = - 1.

Se sustituye x = 4 en y" para ver si hay Máximos o mínimos. y'= - 4 - 5x - x2

y"= - 5 - 2x .

y"(4) = - 5 - 2(- 4) = - 5 + 8 = " + ". Mínimo .Ahora: x = - 4 en la función original .

y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 .

Page 243: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

6

y(- 4) = 12 - 24(- 4) - 15(- 4) 2 - 2(- 4) 3 = 12 + 96 - 240 + 128 =

6 6

y(- 4) = - 452 = - 4 = - 2 . 6 6 3

en x = - 4, hay un Mínimo = - 2/3 .

Se sustituye x = - 1 en y" para ver si hay Máximos o mínimos.y"= - 5 - 2x .

y"(-1) = - 5 - 2(-1) = - 5 + 2 = " - ". Máximo.Ahora: x = - 1 en la función original .y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 .

6

y = 12 - 24(-1) - 15(-1) 2 - 2(-1) 3 = 12 + 24 - 15 + 2 = 23 .

6 6 6 en x = - 1, hay un Máximo = 23/6 .

Luego pasamos a ver si hay puntos de inflexión.y"= - 5 - 2x = 0.

- 5 - 2x = 0 .- 5 = 2x x = - 5/2 = - 2,5.

x < - 2,5 = - 2,6 . Se sustituye este valor en y".y"= - 5 - 2x .y"(- 2,6) = - 5 - 2(- 2,6) = - 5 + 5,2 = " + " .

x > - 2,5 = - 2,4. Se sustituye este valor en y".

y"= - 5 - 2x = 0.y"(- 2,4) = - 5 - 2(- 2,4) = - 5 + 4,8 = " - " .

Page 244: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Hay cambio de signo, hay punto de inflexión.

x = - 5/2 = - 2,5. Se sustituye en "y",para encontrar el valor del punto de inflexión.

y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 .

6

y = 12 - 24(- 2,5) - 15(- 2,5) 2 - 2(- 2,5) 3 .

6

y = 12 + 60 - 93,75 + 31,25 = 9,5 = 19/2 = 19 . 6 6 6 12

en x = - 5/2, hay punto de inflexión ( - 5/2 , 19/12) .

Ecuación de la Tangente:en el punto (- 5/2 , 19/12) .Primero calculamos la pendiente :m = y'= - 4 - 5x - x2

m = y'= - 4 - 5(- 2,5) - (- 2,5)2 = - 4 + 12,5 - 6,25 = 2,25 = 9/4.y - y1 = m(x - x1)y - 19 = 9 [x - ( - 5/2)] 12 4m.c.m = 12.12y - 19 = 27[x - ( - 5/2)]12y - 19 = 27(x + 5/2)12y - 19 = 27x + 135/2 = 12y - 19.27x - 12y + 135/2 + 19 =

27x - 12y + 173/2.(Ecuación de la tangente) .

Ecuación de la Normal: en el punto (- 5/2 , 19/12) = ( - 2,5 , 19/12).

y - 19 = - 1 [x - ( -5 )] 12 9/4 2

Page 245: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y - 19 = - 4 [x + 5 ]

12 9 2y - 19 = - 4 [2x + 5 ]

12 9 2

y - 19 = - 4 [2x + 5 ]

12 18 m.c.m. = 36 .36y - 57 = - 8 ( 2x + 5 )

36y - 57 = - 16x - 40 .36y + 16x - 57 + 40 = 0 .36y + 16x - 17 = 0 . Ecuación de la Normal.

4. y = x4 - 8x2 .y '= 4x3 - 16x. 4x3 - 16x = 0.4x(x2 - 4) = 0.x = 0. (x2 - 4) = 0. x2 = 4. x = 2 .

y"= 12x2 - 16.x = 0 en y".

y"= 12x2 - 16.y"(0) = 12(0)2 - 16 = 0 - 16 = " - ". Máximo.x = 0 se sustituye en la función original.y = x4 - 8x2.y(0) = (0)4 - 8(0)2 = 0 - 0 = 0. en x = 0, hay un Máximo = 0 .

x = 2 en y".y"= 12x2 - 16.y"(2) = 12(2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo.x = 2 se sustituye en la función original.y = x4 - 8x2.y(2) = (2)4 - 8(2)2 = 16 - 32 = - 16.

en x = 2, hay un Mínimo = - 16 .

Page 246: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = - 2 en y".y"= 12x2 - 16.y"(-2) = 12(- 2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo.x = - 2 en función original.y = x4 - 8x2.y(- 2) = (- 2)4 - 8(- 2)2 = 16 - 32 = - 16 . en x = - 2, hay un Mínimo = - 16 .

Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexióny"= 12x2 - 16 = 0.4(3x2 - 4) = 0(3x2 - 4) = 03x2 = 4 .x2 = 4/3 .x = √4/3 = √1,33 = 1,154700538379 .

Para: x = 1,15 .x < 1,15 = 1,14 se sustituye en y".

y"= 12x2 - 16 = 0.y"(1,14) = 12(1,14)2 - 16 = 12(1,2996) - 16 = 15,5952 - 16 = " - ".x > 1,15 = 1,16 se sustituye en y".y"= 12x2 - 16 = 0.y"(1,16) = 12(1,16)2 - 16 = 12(1,3456 0) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ".Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = + √4/3 en la función original.y = x4 - 8x2.y(√4/3) = (√4/3)4 - 8(√4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 =

y(√4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9. en x = (√4/3) , hay punto de inflexión (+√4/3 , - 80/9) = (+1,15… ,- 80/9)

Para: x = - 1,15 .x < - 1,15 = - 1,16 , se sustituye en y".

y"= 12x2 - 16 = 0.y"(-1,16) = 12(-1,16)2 - 16 = 12(1,3456) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ".x > - 1,15 = - 1,14 , se sustituye en y".y"= 12x2 - 16 = 0.y"(- 1,14) = 12(- 1,14)2 - 16 = 12(1.2996) = 15,5952 - 16 = " - ".

Page 247: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = - √4/3 en la función original. y = x4 - 8x2.y(- √4/3) = (- √4/3)4 - 8(- √4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 =

y(- √4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9. en x = (- √4/3) , hay punto de inflexión (- √4/3 , - 80/9) = (-1,15 … , - 80/9).

5. y = 5x - x5 .y'= 5 - 5x4 = 0.5 - 5x4 = 0.- 5(x4 - 1) = 0.(x4 - 1) = 0.(x2 + 1)(x2 - 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1).

(x2 + 1) = 0 x2 = - 1 . x = i(x + 1) = 0 x = - 1 . (x - 1) = 0 x = 1 .y'= 5 - 5x4 = 0.

Para: x = 1 , se sustituye en y".y"= - 20x3 .

y"(1) = - 20(1)3 = - 20 (1) = " - ". Máximo.

x = 1 en la función original para conocer el valor Máximo.y = 5x - x5.y(1) = 5(1) - (1)5 = 5 - 1 = 4. en x = 1, hay un Máximo = 4 .

Para: x = - 1, se sustituye en y".y"= - 20x3 .

y"(- 1) = - 20(- 1)3 = - 20(- 1) = " + ". Mínimo.

x = - 1 en la función original para conocer el valor mínimo.y = 5x - x5.y(-1) = 5(-1) - (-1)5 = - 5 + 1 = - 4. en x = - 1, hay un Mínimo = - 4 .

Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexióny"= - 20x3 .

- 20x3 = 0

Page 248: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0.

x < 0 = - 0,1 . Se sustituye en y".y"= - 20x3 .

y"(- 0,1) = - 20(- 0,1)3 = - 20(- 0,001) = " + ". x > 0 = 0,1. Se sustituye en y".y"= - 20x3 .

y"(0,1) = - 20(0,1)3 = - 20(0,001) = " - ". Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = 0 en la función original.y = 5x - x5.y(0) = 5(0) - (0)5 = 0. en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) .

6. y = 6x . x2 + 3

(x2 + 3).d (6x) - (6x).d (x2 + 3) y'= dx dx . (x2 + 3)2

y'= (x 2 + 3)(6) - (6x)(2x) = 6x 2 + 18 - 12x 2 = 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2

18 - 6x2 = 0- 6(x2 - 3) = 0(x2 - 3) = 0x2 = 3x = √3 x = √3 Tomando como referencia al 1er método de Máximos y Mínimos.Para: x = √3 = 1,732050807569.

x < √3 = 1,73 . Sustituimos este valor en y'.y'= 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2

y'(1,73) = 18 - 6(1,73) 2 = 18 - 6(2,9929) =

[(1,73)2 + 3]2 (2,9929 + 3)2

Page 249: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'(1,73) = 18 - 17,9574 = 0,04260 = " + ". (5,9929)2 35,91485041

x > √3 = 1,74 . Sustituimos este valor en y'.y'= 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2

y'(1,74) = 18 - 6(1,74) 2 = 18 - 6(1,74) 2 = 18 - 6(3,0276) =

[(1,74)2 + 3]2 [(1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2

y'(1,74) = 18 -18,1656 = - = " - " . + +Como va de " + " a " - " hay un Máximo.

Sustituyendo √3 en la función.y = 6x = 6( √ 3) = 6 √ 3 = 6 3 = √3 = 1,732050807569 x2 + 3 (√3)2 + 3 3 + 3 6 .

en x = √3, hay un Máximo = √3 .

Para: x = - √3 .Primero: hacemos , x < - √3 = - 1,74. Sustituimos este valor en y'.y'= 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2

y'(- 1,74) = 18 - 6(- 1,74) 2 = 18 - 6(3,0276) = 18 - 18.1656 = - = " - " [(- 1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2 + +

Luego: hacemos , x > - √3 = - 1,72 . Sustituimos este valor en y'.y'= 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2

y'(-1,72) = 18 - 6(-1,72) 2 = 18 - 6(2,9584) = 18 - 17.7504 = + = "+"

[(-1,72)2 + 3]2 [2,9584 + 3]2 (5,9584)2 +

Como va de " - " a " + " hay un Mínimo.

Page 250: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Sustituyendo - √3 en la función.y = 6x . x2 + 3y = 6(- √ 3) = - 6 √ 3 = - 6 √ 3 = - √3 = - 1,732050807569 .

(- √3)2 + 3 3 + 3 6 .

en x = - √3, hay un Mínimo = - √3 = - 1,732050807569 .

Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión.y'= 18 - 6x 2 = 0 (x2 + 3)2

(x2 + 3)2.d (18 - 6x2) - (18 - 6x2).d (x2 + 3)2 y"= dx dx . (x2 + 3)2

(x2 + 3)2(- 12x) - (18 - 6x2)(2)(x2 + 3)2-1.d (x2 + 3) y"= dx . (x2 + 3)2

y"= (x 2 + 3) 2 (-12x) - 2(18 - 6x 2 )(x 2 +3)(2x) = (x2 + 3)2

(x2 + 3)2

y"= - (2x)(x 2 + 3){6(x 2 + 3) + 2(18 - 6x 2 ) =

(x2 + 3)2

y"= - (2x) (x 2 + 3) {6(x 2 + 3) + 2(18 - 6x 2 ) = (x2 + 3)2 (x2 + 3)2

(x2 + 3) (x2 + 3)

y"= - 2x {6x 2 + 18 + 36 - 12x 2 ) = - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3) (x2 + 3)

- 2x ( 54 - 6x2 ) = 0.

Page 251: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0.( 54 - 6x2 ) = 0.54 = 6x2 = 54x2 = 54 = 9 6

x = √9 = 3

Para: x = 0 .x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y".

y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)

y"(- 0,1) = - 2(-0,1) [ 54 - 6(- 0,1) 2 ] = 0,2[54 - 6(0,01)] = 2,7 - 0,06 = + = "+" [(- 0,1)2 + 3] (0,01 + 3) + +Luego: x > 0 = 0,1 . Se sustituye este valor en y".y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)

y"(0,1) = - 2(0,1) { 54 - 6(0,1) 2 } = (- 0,1) { 54 - 6(0,01)} =

[(0,1)2 + 3] +

y"(0,1) = (- 0,1)(54 - 0,06) = ( - )( + ) = - = " - ". + + +

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = 0 se sustituye en la función original, para calcular el valor del punto de inflexión . y = 6x . x2 + 3

y(0) = 6(0) = 0 = 0. (0)2 + 3 3

en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) .

Page 252: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Para : x = 3 . x < 3 = 2,9 . Se sustituye en y".

y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)

y"(2,9) = - 2(2,9) { 54 - 6(2,9) 2 } = (- 5,8) {54 - 6( 5,8)} =

[(2,9)2 + 3] +

y"= (- 5,8)(54 - 34,8) = ( - ) ( + ) = - = " - ". + + +

Luego: x > 3 = 3,1 . Se sustituye este valor en y.

y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)y"(3,1) = - 2(3,1){54 - 6(3,1) 2 } = (- 6,2){ 54 - 6 (9,61)} =

[(3,1)2 + 3] +

y"= (- 6,2) (54 - 57,66) = ( - ) ( - ) = + = " + ". + + +

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.

x = 3, en la función original,para calcular el valor del punto de inflexión .y = 6x . x2 + 3

y(3) = 6(3) = 18 = 3 . (3)2 + 3 12 2

en x = 3 , hay punto de inflexión ( 3 , 3/2) .

Para: x = - 3 . x < - 3 = - 3,1 .Se sustituye este valor en y".

Page 253: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)

y"(-3,1) = - 2(-3,1) { 54 - 6(-3,1) 2 } = (6,2){54 - 6(9,61)} =

[(-3,1)2 + 3] [(3,1)2 + 3]

y"= (6,2) (54 - 57,66) = ( + ) ( - ) = - = " - ". + + +

Luego: x > - 3 = - 2,9 . Se sustituye este valor en y".

y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0. (x2 + 3)

y"(- 2,9) = - 2(- 2,9){54 - 6(- 2,9) 2 } = (5,8){54 - 6(5,8)} =

{(- 2,9)2 + 3] (5,8 + 3)

y"(- 2,9) = (5,8)(54 - 34,8) = (5,8)(54 - 34,8) = ( + ) ( + ) = " + ". + + +

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.

x = - 3 , en la función original.y = 6x . x2 + 3

y(-3) = 6(-3) = - 18 = -18 = - 3 . (-3)2 + 3 9 + 3 12 2

en x = - 3 , hay punto de inflexión ( - 3 , - 3/2) .

7. y = x3 + 6x2 .y'= 3x2 + 12x .3x2 + 12x = 0.3x(x + 4) = 0 .

Page 254: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0 .(x + 4) = 0 .x = - 4 .y"= 6x + 12 .Para: x = 0. Se sustituye este valor en y".y"= 6x + 12 .y"= 6(0) + 12 = "+". Hay un Mínimo. Sustituimos x = 0 en la función. y = x3 + 6x2 .y(0) = (0)3 + 6(0)2 = 0 . x = 0 , existe un Mínimo = 0 .

Para: x = - 4. Se sustituye este valor en y".y"= 6x + 12 .y"(- 4) = 6(- 4) + 12 = - 24 + 12 = "-". Hay un Máximo.Sustituimos x = (- 4) en la función.y = x3 + 6x2 .y(- 4) = (- 4)3 + 6(- 4)2 = - 64 + 6(16) = - 64 + 96 = 32. x = - 4 , existe un Máximo = 32 .Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión.y"= 6x + 12 = 0.6x + 12 = 0.6(x + 2) = 0 . x = - 2 .

Para: x = - 2, para saber si tiene punto de inflexión .x < - 2 = - 2,1 .Se sustituye este valor en y".y"= 6x + 12 = 0.y"(- 2,1) = 6(- 2,1) + 12 = - 12,6 + 12 = " - ".Luego: x > - 2 = - 1,9 . Se sustituye este valor en y".y"= 6x + 12 = 0.y"(- 1,9) = 6(- 1,9) + 12 = - 11,4 + 12 = " + ".Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = - 2 , en la función original.y = x3 + 6x2 .y( -2) = (- 2)3 + 6(- 2)2 = - 8 + 6(4) = - 8 + 24 = 16. en x = - 2 , hay punto de inflexión ( - 2 , 16) .

Page 255: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

8. y = 4 + 3x - x3.y'= 3 - 3x2 .3 - 3x2 = 0. - 3(x2 - 1) = 0. (x2 - 1) = 0. x = 1 . x = 1 , se sustituye en y".y"= - 6x.y"(1)= - 6(1) = " - ". Hay un Máximo .x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo. y = 4 + 3x - x3.y(1) = 4 + 3(1) - (1)3 = 4 + 3 - 1 = 6. x = 1 , existe un Máximo = 6 .

Para: x = - 1. Se sustituye este valor en y".y"= - 6x.y"(- 1) = - 6(- 1) = " + ". Hay un Mínimo .x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo.y = 4 + 3x - x3.y(- 1) = 4 + 3(- 1) - (- 1)3 = 4 - 3 + 1 = 2. x = - 1 , existe un Mínimo = 2 .

Tomando la 2da derivada, para saber si hay puntos de inflexión.y"= - 6x.- 6x = 0x = 0

Para: x = 0.x < 0 = - 0,1 .Se sustituye en y".y"= - 6x.y"(- 0,1) = - 6(- 0,1) = " + ".Luego: x > 0 = 0,1 .Se sustituye este valor en y".y"= - 6x.y"(0,1) = - 6(0,1) = " - ".Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = 0 , en la función original.y = 4 + 3x - x3.y(0) = 4 + 3(0) - (0)3 = 4 + 0 - 0 = 4.

Page 256: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 4) .

9. 3y = 4x3 - 18x2 + 15x .

y = 4x 3 - 18x 2 + 15x = 4 x 3 - 18x 2 + 15x = 4x 3 - 6x2 + 5x . 3 3 3 3 3

y'= 4 .3x2 - 12x + 5 = 4x2 - 12x + 5 . 3

4x2 - 12x + 5 = (4x)2 - 12(4x) + 20 = 0 .

(4x - 10) (4x - 2) = 2 (2x - 5). 2 (2x - 1) = (2x - 5) (2x - 1) = 0 . 2 x 2 2 x 2

(2x - 5) = 0x = 5/2 .(2x - 1) = 0 .x = 1/2 .

y' = 4x2 - 12x + 5 .y"= 8x - 12 .

Para: x = 5/2 .Se sustituye en y".y"= 8x - 12 .y"(5/2) = 8(5/2) - 12 = 20 - 12 = " + ". Hay un Mínimo.

x = 5/2 = 2,5 se sustituye en la función original.y = 4x 3 -18x 2 + 15x = 4(2,5) 3 - 18(2,5) 2 + 15(2,5) =

3 3

y = 4(15,625) - 18(6,25) + 15(2,5) . 3

y = 62,5 -112,5 + 37,5 = 100 -112,5 = -12,5 = -125/10 = - 125 =

3 3 3 3 30

Page 257: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = - 25/6 .

x = 5/2 , existe un Mínimo = - 25/6 .

Para: x = 1/2. Se sustituye en y".y"= 8x - 12 .y"(1/2) = 8(1/2) - 12 = 4 - 12 = " - " . Máximo .x = 1/2 = 0,5 en la función original .y = 4x 3 - 18x 2 + 15x =

3

y(0,5) = 4(0,5) 3 -18(0,5) 2 + 15(0,5) = 4(0.125) -18(0,25) + 7,5 =

3 3

y(0,5) = 0,5 - 4,5 + 7,5 = 8 - 4,5 = 3,5 = 35/10 = 35 = 7 . 3 3 3 30 6 3 x = 1/2 , existe un Máximo = 7/6 .

10. y = (x - a)3 + b .

y'= 3(x - a)3-1.d (x - a) dx

y '= 3(x - a)2(1) = 3(x - a)2 = 0

3(x - a)2 = 0(x - a)2 = 0x = a .y"= 3(2) (x - a)2-1.d (x - a) dx

y"= 6 (x - a)(1) = 6(x - a) .Sustituyendo x = a , en y" , para saber si hay un Máximo o Mínimo.y"= 6 (x - a)y"(a) = 6 (a - a) = 6(0) = 0. No hay ni Máximos ni Mínimos.

Page 258: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Luego: haciendo y"= 0 , para detectar los puntos de inflexión.6 (x - a) = 0(x - a) = 0x = a

Tomamos un x < a = 0,9a .Reemplazamos este valor en y".y"= 6 (x - a)y"(0,9a) = 6 [0,9a - a] = 5 (- 0,1a) = " - ".Tomamos un x > a = 1,1a . Reemplazamos este valor en y".y"= 6 (x - a)y"(1,1a) = 6 (1,1a - a) = 6 (0,1a) = " + ".

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.x = a , en la función original , para encontrar el punto de inflexión. y = (x - a)3 + b .y(a) = (a - a)3 + b = b . en x = a , hay punto de inflexión ( a , b) .

11. 12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .

12.y'= 4(x - 1)4 - 1.d (x -1) - 24(2)(x -1)2-1.d (x -1) dx dx

12y'= 4(x - 1)3(1) - 48(x - 1)(1) . 12y'= 4(x - 1)3 - 48(x - 1) .12y'= 4(x - 1)[ (x - 1)2 - 12] .

y'= 4(x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0 12

y'= (x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0 3

(x - 1)[(x - 1)2 - 12] = 0(x - 1)x = 1

Page 259: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

[(x - 1)2 - 12] = 0(x - 1)2 - (√12)2 = 0 .(Diferencia de Cuadrados) .{(x - 1) + √12} {(x - 1) - √12} = {x - 1 + √12} {x - 1 - √12} = 0 {x - 1 + √12 } = 0x = 1 - √12 = 1 - 3,464101615138 = - 2,464101615138 .

x = - 2,464101615138 .

{x - 1 - √12 } = 0x = 1 + √12 = 1 + 3,464101615138 = 4,464101615138 .

x = 4,464101615138 .

Luego: Veremos si hay Máximos y Mínimos .y'= (x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0 3

y'= (x - 1) (x - 1) 2 - 12(x - 1) = (x - 1)3 - 4(x - 1) 3 3 3

y"= 1 . 3 . (x - 1)3-1.d (x - 1) - 4.d (x - 1) =

3 dx dx

y"= (x - 1)2(1) - 4(1) = (x - 1)2 - 4.

x = 1. en y", para saber si hay Máximos o Mínimos.

y"= (x - 1)2 - 4 .y"(1) = [(1) - 1)]2 - 4 = (1 - 1)2 - 4 = 0 - 4 = " - ". Máximo.x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo.12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .12y = (1 - 1)4 - 24(1 -1)2 = 0. x = 1 , existe un Máximo = 0 .

Para: x = - 2,464101615138; se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"(-2,46…) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = + Mínimo.x = -2,464101615138 en la función original.

Page 260: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .12y = (-2,464101615138 - 1)4 - 24(-2,464101615138 -1)2 .12y = (- 3,464101615138 )4 - 24(- 3,464101615138 )2.

y = 144 - 24(12) = 144 - 288 = - 144 = - 12 . 12 12 12

x = -2,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 .

x = 4,464101615138. Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"(4,46…) = (4,46 - 1)2 - 4 = (3,46)2 = " + ". Mínimo.x = 4,46…en la función original.12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .12y = (4,464101615138 - 1)4 - 24(4,464101615138 -1)2 .12y = (3,464101615138)4 - 24(3,464101615138)2 = 144 - 24(12) = 12y = 144 - 288 = - 144 .y = - 144 = - 12 12 x = 4,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 .

Ahora veremos si hay Puntos de Inflexión:Para: x = 1 .x < 1 = 0,9 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"(0,9) = (0,9 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - .x > 1 = 1,1 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"(1,1) = (1,1 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - .No hay variación de "signos" no hay Punto de Inflexión.

Para: x = -2,464101615138 .x < -2,464101615138 = - 2,47 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"(- 2,47) = (- 2,47 - 1)2 - 4 = ( -3,47)2 - 4 = 12,0409 - 4 = "+".x > -2,464101615138 = - 2,46 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"( -2,46) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = "+".

Page 261: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

No hay variación de "signos" no hay Punto de Inflexión.

Para: x = 4,464101615138 .x < 4,464101615138 = 4,46 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"( 4,46) = ( 4,46 - 1)2 - 4 = ( 3,46)2 - 4 = 11.9716 - 4 = + .x > 4,464101615138 = 4,47 .Se sustituye en y".y"= (x - 1)2 - 4 .y"( 4,47) = ( 4,47 - 1)2 - 4 = ( 3,47)2 - 4 = 12.0409 - 4 = + .No hay variación de "signos" no hay Punto de Inflexión.

12. y = x2(9 - x2)

y'= x2.d (9 - x2) + (9 - x2).d (x2) dx dx

y'= x2(-2x) + (9 - x2).(2x) = - 2x[x2 - (9 - x2)] = - 2x(x2 - 9 + x2) =

y'= - 2x(2x2 - 9) = - 4x3 + 18x .= - 4x3 + 18x = - 2x(2x2 - 9) = 0

x = 0(2x2 - 9) = 0x2 = 9/2 = 4,5 .x = 2,12132034356

"Los valores críticos en y" para obtener los Máximos y Mínimos".Para: x = 0 .y"= - 12x2 + 18 .y"(0) = - 12(0)2 + 18 = 0 + 18 = + . Mínimo .x = 0 en la función original, para calcular el valor Mínimo.y = x2(9 - x2)y(0) = (0)2(9 - 02) = (0)(9) = 0 x = 0 , existe un Mínimo = 0 .

Para: x = 2,12132034356 .x < 2,12132034356 = 2,12. Se sustituye este valor en y".y"= - 12x2 + 18 .

Page 262: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"(2,12) = -12(2,12)2+18 = -12(4,4944)+18 =

y"(2,12) = - 53,9328 + 18 = "-". Máximo.x = 2,12132034356 en el origen, para calcular el valor Máximo .

y = x2(9 - x2)y(2,12…) = (2,12…)2[9 - (2,12…)2] = 4,5(9 - 4,5) = 4,5(4,5) = 20,25

x = 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 .

Para: x = - 2,12132034356 .x < - 2,12132034356 = - 2,13. Se sustituye este valor en y".y"= - 12x2 + 18 .y"(- 2,13) = -12(- 2,13)2 + 18 = -12(4,5369) + 18 =

y"(- 2,13) = - 54,4428 + 18 = - Máximo.x = - 2,12132034356 en la función , para calcular el valor Máximo.

y = x2(9 - x2)y(- 2,12…) = (- 2,12…)2[9 - (- 2,12…)2] =

y(- 2,12…) = (4,5)[9 - (4,5)] = (4,5)(4,5) = 20,25. x = - 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 .

13. y = 2x5 - 5x2 .y'= 10x4 - 10x = 0.10x(x3 - 1) = 0.x = 0 .(x3 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) = 0.x - 1 = 0 .(x2 + x + 1) = 0 (no se puede factorizar).

Para: x = 0. en y" para ver si hay Máximos y mínimos.y"= 40x3 - 10 .

y"(0) = 40(0)3 - 10 = 0 - 10 = " - " . Máximo.x = 0 en la función original para detectar el valor Máximo. y = 2x5 - 5x2 .y(0) = 2(0)5 - 5(0)2 = 0. x = 0 , existe un Máximo = 0 .

Para: x = 1 . Se sustituye este valor en y" .y"= 40x3 - 10 .

y"(1) = 40(1)3 - 10 = 40 - 10 = " + ". Mínimo.

Page 263: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 1 en la función original para detectar el valor Mínimo.y = 2x5 - 5x2 .y(1) = 2(1)5 - 5(1)2 = 2 - 5 = - 3 . x = 1 , existe un Mínimo = - 3 .

14. y = 3x5 - 5x3 .y'= 15x4 - 15x2 .15x4 - 15x2 = 0.15x(x2 - 1) = 0 .x = 0

(x2 - 1) = (x + 1)(x - 1) = 0 .

Primero veremos si hay máximos y Mínimos.Para: x = 0 se sustituye en y".y"= 60x3 - 30xy"= 60(0)3 - 30(0) = 0.Puesto que y"= 0, no hay Máximos y Mínimos.Para: x = 1. Se sustituye en y" .y"= 60x3 - 30xy"= 60(1)3 - 30(1) = 60 - 30 = " + ". Mínimo.x = 1 en la función original.y = 3x5 - 5x3 = 3(1)5 - 5(1)3 = 3 - 5 = - 2 . x = 1 , existe un Mínimo = - 2 .

Para: x = - 1. Se sustituye en y" .y"= 60x3 - 30xy"= 60(-1)3 - 30(-1) = - 60 + 30 = - . Máximo .x = - 1 en la función original para detectar el valor Máximo.y = 3x5 - 5x3 = 3(-1)5 - 5(-1)3 = 3(-1) -5(-1) = - 3 + 5 = + 2 . x = - 1 , existe un Máximo = + 2 .

Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión .y"= 60x3 - 30x .60x3 - 30x = 0 .30x(2x2 - 1) = 0 .x = 0.

Page 264: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(2x2 - 1) = 0.x2

= 1/2 = 0,7071067811865.

Para: x = 0 .x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y".y"= 60x3 - 30x .y"= 60(- 0,1)3 - 30(- 0,1) = 60(- 0,001) + 3 = - 0,06 + 3 = " + " .x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en y".y"= 60x3 - 30x .y"= 60(0,1)3 - 30(0,1) = 60(0,001) - 3 = 0,06 - 3 = " - " .

Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.

x = 0 , en la función original, para saber el punto de inflexión.y = 3x5 - 5x3 .y = 3(0)5 - 5(0)3 = 0.

Punto de Inflexión ( 0 , 0 ) .Para: x = 0,7071067811865 .x < 0,7071067811865 = 0,70. Se sustituye este valor en y".y"= 60x3 - 30x = 60(0,70)3-30(0,70) = 60( 0,343 ) - 21 =

y"= 20,58 - 21 = "-".x > 0,7071067811865 = 0,71. Se sustituye este valor en y".y"= 60x3 - 30x .y"= 60(0,71)3 - 30(0,71) = 60(0,357911) - 21,3 =

y"= 21,47466 - 21,3 = "+".Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.

x = 0,7071067811865 , en la función original.y = 3x5 - 5x3 .y = 3(0,7071067811865)5 - 5(0,7071067811865)3 =

y = 3(0,1767766952966) - 5(0,3535533905933) = y = 0,5303300858899 - 1,767766952966 = -1,237436867077

Punto de Inflexión (0,7071067811865 , -1,237436867077) .

Para: x = - 0,7071067811865 .

Page 265: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x < - 0,7071067811865 = - 0,71. Se reemplaza en y".y"= 60x3 - 30x .y"= 60(- 0,71)3 -30(- 0,71) = 60(- 21,47466) + 21,3 =

y"= - 21,47466 + 21,3 = "-"x > - 0,7071067811865 = - 0,70 . Se reemplaza en y".y"= 60x3 - 30x .y"= 60(- 0,70)3 - 30(- 0,70) = 60(- 0,343) + 21 = - 20,58 + 21 = "+".Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.

x = - 0,7071067811865 , en la función original.y = 3x5 - 5x3 .y = 3(- 0,7071067811865)5 - 5(- 0,7071067811865)3 =

y = 3(- 0,1767766952966) - 5(- 0,3535533905933) = y = - 0,5303300858899 + 1,767766952966 = + 1,237436867077

Punto de Inflexión (- 0,7071067811865 , + 1,237436867077).

15. y = x5- 5x4

y'= 5x4 - 20x3

5x4 - 20x3 = 05x3(x - 4) = 0x = 0.x - 4 = 0x = 4.Sustituimos estos valores críticos en y"= 20x3 - 60x2 ., para detectar los Máximos o Mínimos.Para: x = 0 .y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(0)3 - 60(0)2 = 0.No Hay Ni Máximos Ni Mínimos, para x = 0 . Para: x = 4 .y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(4)3 - 60(4)2 = 20(64) - 60(16) = 1280 - 960 = + .Mínimo .x = 4 se sustituye en la función original.y = x5- 5x4

y = (4)5- 5(4)4 = 1024 - 1280 = - 256 .

Page 266: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 4 , existe un Mínimo = - 256 .

Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión .y"= 20x3 - 60x2 .

20x3 - 60x2 = .20x2(x - 3) = 0.x = 0 .x - 3 = 0x = 3Para: x = 0 .x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y".

y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(- 0,1)3 - 60(- 0,1)2 = 20(- 0,001) - 60(0,01) = - 0,02 - 0,6 = "-" x > 0 = 0,1 . Se reemplaza este valor en y".y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(0,1)3 - 60(0,1)2 = 20(0,001) - 60(0.01) = 0,02 - 0,6 = - 058 = "-".

No Hay Puntos de Inflexión, para x = 0.

Para: x = 3 .x < 3 = 2,9. Se reemplaza este valor en y".y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(2,9)3 - 60(2,9)2 = 20(24,389) - 60(8,41) = 487,78 - 504,6 = "-". x > 3 = 3,1 . Se reemplaza este valor en y".y"= 20x3 - 60x2 .

y"= 20(3,1)3 - 60(3,1)2 = 20(29,791) - 60(9,61) = 595,82 - 576,6 = +.

Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.x = 3 , en la función original.y = x5- 5x4

y = (3)5- 5(3)4 = 243 - 5(81) = 243 - 405 = - 162.

Punto de Inflexión ( 3 , - 162) .

Ecuación de la Tangente:En el punto de inflexión(3 , - 162).Primero calculamos la pendiente.m = y'= 5x4 - 20x3 en el punto(3,-162)m = y'= 5(3)4 - 20(3)3 = 5(81) - 20(27) = 405 - 540 = - 135 .

Page 267: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Luego, calculamos la ecuación de la tangente: y - y1 = m(x - x1)

y - (-162) = - 135(x - 3)y + 162 = - 135x + 405135x + y + 162 - 405 = 0135x + y - 243 = 0 Ecuación de la Tangente .

Ecuación de la normal: En el punto de inflexión(3 , - 162) .y - y1 = - 1 (x - x1)

m1

y - (-162) = - 1 (x - 3) . y + 162 = (x - 3) .

-135 135

135(y + 162) = x - 3x - 3 = 135y + 135(162) .x - 135y - 135(162) = 0 . x - 135y - 21870 = 0 . Ecuación de la Normal .

16. y = x(x2 - 4)2

y'= x.d (x2 - 4)2 + (x2 - 4)2.d (x) dx dx

y'= x(2) (x2 - 4)2-1.d (x2 - 4) + (x2 - 4)2(1) dx

y'= 2x(x2 - 4)(2x) + (x2 - 4)2 = (x2 - 4)[4x2 + (x2 - 4)] =

y'= (x2 - 4)[4x2 + x2 - 4] = (x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. (x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. (x2 - 4) = 0.x2 = 4x = √4 = 2 .

(5x2 - 4) = 0.5x2 = 4 .x2 = 4/5 .

Page 268: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = √4/5 = √ 0,8 = 0,8944271909999 .

Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay Máximos o Mínimos.y'= (x2 - 4)(5x2 - 4)y"= (x2 - 4).d (5x2 - 4) + (5x2 - 4).d (x2 - 4)

dx dxy"= (x2 - 4)(10x) + (5x2 - 4)(2x) = 2x[5(x2 - 4) + (5x2 - 4)] =

y"= 2x(5x2 - 20 + 5x2 - 4) = 2x(10x2 - 24) = 20x3 - 48x.y"= 20x3 - 48x.

Para: x = 2 .Se reemplaza en y" .y"= 20x3 - 48x. y"= 20(2)3 - 48(2) = 20(8) - 96 = 160 - 96 = + . Mínimo .x = 2 se reemplaza en la función original .y = x(x2 - 4)2 .y = (0)[(0)2 - 4]2 = (0)(- 4) = 0 x = 2 , existe un Mínimo = 0 .

Para: x = - 2 .Se sustituye en y" .y"= 20x3 - 48x. y"= 20(-2)3 - 48(-2) = 20(- 8) - (-96) =

y"= - 160 + 96 = - . Máximo .x = - 2.

Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay Máximos o Mínimosy = x(x2 - 4)2

y = (- 2)[(- 2)2 - 4]2 = (- 2)(4 - 4)2 = (- 2)(0) = 0 .

x = - 2 , existe un Máximo = 0 .

Para: x = 0,8944271909999 . Se reemplaza este valor en y".y"= 20x3 - 48x. y"= 20(0,8944271909999)3 - 48(0,8944271909999).y"= 20(0,7155417527999) - 48(0,8944271909999).y"= 14,310835056 - 42,932505168 = - . Máximo .

Page 269: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Máximo.y = x(x2 - 4)2

y = (0,8944271909999)[( 0,8944271909999)2 - 4]2 =

y = (0,89…)(0,8 - 4)2 = (0,89…)( - 3,2)2 =

y = (0,89…)(10,24) = 9,158934435839

x = 0,8944271909999 , existe un Máximo = 9,158934435839 .

Para: x = - 0,8944271909999 .Se reemplaza este valor en y" .

y"= 20x3 - 48x. y"= 20(- 0,8944271909999)3 - 48(- 0,8944271909999).y"= 20(- 0,7155417527999) - 48(- 0,8944271909999).y"= - 14,310835056 + 42,932505168 = + . Mínimo .

x = - 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Mínimo.y = x(x2 - 4)2

y = (- 0,8944271909999)[(- 0,8944271909999)2 - 4]2 =

y = (- 0,89…)(0,8 - 4)2= (- 0,89…)( - 3,2)2

=

y = (- 0,89)(10,24) = - 9,158934435839 . x = - 0,8944271909999 , existe un Mínimo = - 9,158934435839 .

17. ay = x2 + a 4 . x2

a.y'= 2x + ( - a 4 ) .d (x2) ( x2 )2 dx

a.y'= 2x + ( - a 4 ) (2x) = 2x - 2a 4 . x = 2x - 2a 4 =

x 4 x . x3 x3

ay'= 2x 4 - 2a 4 = . x3

2x 4 - 2a 4 ) .y'= x 3 = 2x 4 - 2a 4 = 2x 4 - 2a 4 = 2 x 3 .x - 2 a 3 . a

= a ax3 ax3 ax3 a. x3 a .x3

Page 270: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1

y'= 2x - 2a 3 . a x3

y"= 2 .dx - (- 2a 3 ) . d (x3) = 2(1) + (2a 3 )(3x 2 ) = 2 + 6a 3 .x 2 =

a dx (x3)2 dx a x6 a x2.x4

y"= 2 + 6a 3 . x 2 = 2 + 6a 3 . a x2.x4 a x4

Para: x = a. Se reemplaza este valor en y".

y"= 2 + 6a3 2 + 6 a 3 = 2 + 6 a 3 = 2 + 6 ."+". Mínimo. a x4 a a4 a a .a3 a a

x = a. Se sustituye en la función original .

ay = x2 + a 4 . x2

ay = a2 + a 4 = a2 + a2 = 2a2. a2

y = 2a 2 = 2a . a = 2a. a a.

x = a , existe un Mínimo = 2a .

Para: x = - a .Se reemplaza este valor en y" .

y"= 2 + 6a 3 . a x4

y"= 2 + 6a 3 = 2 + 6 a 3 = 2 + 6 = " + " . Mínimo . a (- a)4 a a3.a a a

Page 271: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

x = - a .Se sustituye en la función original.

ay = x2 + a 4 . x2

ay = (- a)2 + a 4 = a2 + a 2 . a 2 = 2a2 =

(- a)2 a2

y = 2 a .a = 2a.

a .

x = - a , existe un Mínimo = 2a .

Tomamos la 2da derivada. Para detectar Puntos de Inflexión.

y"= 2 + 6a 3 = 0 . a

x4

2 + 6a 3 = 2x 4 + 6a 4 = 0 .

a x4 a . x4

2x4 + 6a4 = 2(x4 + 3a4) = (x4 + 3a4) = x4 = - 3a4 .

x = ∜- 3a4 .

El valor es imaginario,por tanto no hay puntos de inflexión.

18. ay = x2 + 2a 3 . x

a.y'= 2x + (- 2a 3 ) .dx = 2x - 2a 3 (1) = 2x - 2a 3 = 2x 3 - 2a 3 = x2 dx x2 x2 x2

2x 3 - 2a 3 .y'= x 2 = 2x 3 - 2a 3 = 2 x 2 .x - 2a 2 .a = 2x - 2a 2 . a a.x2 a. x2 a .x2

a x2.

Page 272: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 2x - 2a 2 = 2x 3 - 2a 3 = 0 a x2 ax2

x = 0 ; 2x3 - 2a3 = 2(x3 - a3) = 0 ; x3 = a3 x = a .Ahora calculamos y".

y'= 2x - 2a 2 . a x2.

y"= 2 . dx - (- 2a 2 ) .d (x2) = 2 + 2a 2 (2x) =

a dx (x2)2 dx a x4

y"= 2 + 4a 2 .x = 2 + 4a 2 x = 2 + 4a 2 . a x3.x a x .x3 a x3

Para: x = a . Se sustituye en y".y"= 2 + 4a 2 . a x3

y"= 2 + 4a 2 = " + " . Mínimo . a (a3)

x = a en la función original.

ay = x2 + 2a 3 . x

ay = a2 + 2. a .a 2 = a2 + 2a2 = 3a2. a .

y = 3a 2 = 3a a

x = a , existe un Mínimo = 3a .

Page 273: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

La 2da derivada , para ver si hay Máximos y mínimos .

y"= 2 + 4a 2 = 0. a x3

2 + 4a 2 = 2x 3 + 4a 3 = 2x 3 + 4a 3 = 2(x 3 + 2a 3 ) = 0.a x3 a.x3 a.x3 a.x3

x3 + 2a3 = 0 ; x3 = - 2a3 ; x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a .

x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a .

Para: x = -1,259921049895a .

x < -1,259921049895a = - 1,26. Se sustituye en y".

y"= 2 + 4a 2 . a x3

y"= 2 + 4a 2 = 2 + 4 a 2 =

a (-1,259921049895a )3 a (- 1,25…a.a2)3

y"= 2 - 4 = 2 - 2 = 0 a 2a a a

No hay Puntos de Inflexión, porque y"= 0 .

Page 274: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas - Pagina 115

Derivar cada una de las siguientes funciones

1. y = ln (ax + b)

y'= 1 .d (ax + b) (ax + b) dx

y'= 1 . (a) = a . (ax + b) (ax + b)

2. y = ln (ax2 + b)

y'= 1 .d (ax2 + b) (ax2 + b) dx

y'= 1 .(2ax) = 2ax . (ax2 + b) (ax2 + b)

3. y = ln (ax + b)2 .

y'= 1 . d (ax + b)2

(ax + b)2 dx

y'= 1 . 2(ax + b)2-1.d (ax + b) (ax + b)2 dx

y'= 2(ax + b)(a) = 2a. (ax + b) = 2a . (ax + b)2 (ax + b) (ax + b) (ax + b)

Page 275: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

4. y = ln ax n

y'= 1 .d (ax n) ax n dx

y'= 1 (n.a.x n-1) = (n.a.x n-1) = n. a . x n .x -1 = n.x-1 = n . ax n a.x n a.x n x

5. y = ln x3 .

y'= 1 .d (x3) = 1 .d (x3)

x3 dx x3 dx

y'= 1 (3x2) = 3 x 2 = 3 .

x3 x2.x x

6. y = ln 3 x[ = (ln x)3]

y'= 3(ln x)3-1.d (ln x) = 3(ln x)2. 1 .d (x) = 3(ln x) 2 (1) =

dx x dx

y'= 3(ln x) 2 = 3 ln 2 x . x x

7. y = ln (2x3 - 3x2 + 4) .

y'= 1 . d (2x3 - 3x2 + 4) = 1 .(6x2 - 6x) = (2x3 - 3x2 + 4) dx (2x3 - 3x2 + 4)

y'= (6x 2 - 6x) = 6x(x - 1) =

(2x3 - 3x2 + 4) (2x3 - 3x2 + 4) 8. y = log 2 .

x

y'= log e . d (2/x) = log e.(- 2 ).dx = x. log e (- 2 ) =

Page 276: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2/x dx 2/x x2 dx 2 x2

y'= - 2 log e. x = - log e . 2.x.x x

9. y = ln x 2 . 1 + x2

(1+x2).d (x2) - (x2).d (1 + x2) (1 + x2).d (x2) - (x2).d (1 + x2)

y'= 1 d x 2 = 1 + x 2 dx dx . x 2 dx 1 + x2 x2 (1 + x2)2

1 + x2

y'= 1 + x 2 (1 + x 2 )(2x) - (x 2 )(2x) = (1 + x 2 ) (2x + 2x 3 - 2x 3 ) x2 (1 + x2)2 x2 (1 + x2)2

y'= (1 + x 2 ) (2x + 2x 3 - 2x 3 ) = (1 + x 2 ) { 2.x } =

x2 (1 + x2)2 x . x (1 + x2)2

y'= (1 + x 2 ) ( 2. x ) = 2 . x . x. (1 + x2) (1 + x2) x (1 + x2)

10. y = ln √9 - 2x2 .

y = ln (9 - 2x2)1/2 .

y'= 1 . d (9 - 2x2)1/2 (9 - 2x2)1/2 dx

y'= 1 . 1 .(9 - 2x2)1/2-1.d (9 - 2x2) (9 - 2x2)1/2 2 dx

y'= (9 - 2x 2 ) -1/2 (- 4x) = - 4 x = - 2x . 2(9 - 2x2)1/2 2 .(9 - 2x2)1/2.(9 - 2x2)1/2 (9 - 2x2)

Page 277: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

11. y = ln (ax √a + x ) .

y'= 1 .d (ax √a + x ) = (ax √a + x ) dx

y'= 1 .{a[x.d (√a + x ) + (√a + x ).d (x)] } (ax √a + x ) dx dx

y'= 1 .{a[ x + (√a + x )(1)] } . (ax √a + x ) 2√a + x .

y'= {a[ x + 2( √ a + x )( √ a + x ) ] } = a[ x + 2(a + x)] =

2.(ax √a + x ) (√a + x ) 2.a.x.(√a+x)2

y' = a .(x + 2a + 2x ) = 2a + 3x . 2. a .x.(a+x) 2x(a+x)

12. f(x) = x ln x

f '(x) = x .d (ln x) + (ln x).d (x) dx dx

f '(x) = x . 1 .d (x) + (ln x)(1) = 1 + ln x x dx

13. f (x) = ln (x + √1 + x2 )

f '(x) = 1 . d [x + √(1 + x2) ] =

(x + √1 + x2 ) dx

f '(x) = 1 { 1 + 2x } = [(x + √(1 + x2) ] (2√1 + x2)

f '(x) = 1 . [2 √ 1 + x 2 + 2x ] =

[x + √(1 + x2 ) ] (2√1 + x2)

Page 278: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(x) = [2( √ 1 + x 2 ) + 2x ] . [x + √(1 + x2 ) ](2√1 + x2)

f '(x) = 2 (x + √ 1 + x 2 ) = 1 =

(x + √1 + x2 ). ( 2 .√1 + x2) (√1 + x2)

f '(x) = 1 . √ 1 + x 2 = 1 + x 2 = 1 + x 2 √1 + x2 √1 + x2 (√1 + x2)2 (1 + x2) (√1 + x2)2 1 + x2

14. s = ln a + bt = ln a + bt 1/2.

a - bt a - bt

s' = 1 . d a + bt 1/2

a + bt 1/2 dt a - bt a - bt

s'= (a - bt) 1/ 2 . 1 . a + bt 1/2-1.d a + bt (a + bt)1/2 2 a - bt dt a - bt

(a - bt).d (a + bt) - (a + bt).d (a - bt) s'= (a - bt) 1/ 2 . 1 . a + bt -1/2 dt dt . (a + bt)1/2 2 a - bt (a - bt)2

s'= (a - bt) 1/ 2. a - bt 1/2. (a - bt)(b) - (a + bt)(- b) 2(a + bt)1/2 a + bt (a - bt)4/2

s'= (a - bt) 1/2 .(a - bt) 1/ 2 ab - b 2 t + ab + b 2 t . 2(a + bt)1/2(a + bt)1/2 (a - bt)(a - bt)1/2(a - bt)1/2

s'= 1 . ab - b 2 t + ab + b 2 t = 2 .ab = ab . 2(a + bt) (a - bt) 2(a + bt)(a - bt) (a2 - b2t2)

15. f(x) = x2 ln x2 .

f '(x) = x2.d (ln x2) + ln x2.d (x2)

Page 279: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

dx dx

f '(x) = x2( 1 ).d (x2) + ln x2(2x) = x2( 1 )(2x) + ln x2(2x) = 2x(1 + ln x2) . x2 dx x2

16. y = enx .

y'= enx.d (nx) = enx(n) = n enx

dx17. y = 10nx .

y'= (10nx)(ln 10).d (nx) = (10nx)(ln 10)(n) = n(10nx)(ln 10)

dx 2

18. y = ex

2 2 2

y = ex .d (x2) = e x (2x) = 2x. e x .

19. y = 2 .

ex

y'= - 2 . d (ex ) = - 2. e x .d (x) = - 2. e x .(1) = - 2 . {e x}2 dx ex. ex dx ex e x ex

20. s = e√t

s'= e√t.d (t) = e√t . 1 = e √ t . dt 2√t 2√t

21. z = b2y .

z'= b2y.ln b.d (2y) = 2.b2y.ln b. dy

22. u = s es .

u'= s.d (es) + es.d (s) = s. es.ds + es(1) = s. es.(1) + es = s. es + es = es(s + 1) . ds ds ds

23. v = e u . u

Page 280: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

u.d eu - eu.d (u) u.eu.du - eu.(1)v'= du du = du = u.e u (1) - e u = u.e u - e u = e u (u - 1) .

u2 u2 u2 u2 u2

24. y = ln x . x

x.d (ln x) - (ln x).d (x) x . 1 .dx - (ln x)(1)y'= dx dx = x dx = 1 - ln x .

x2 x2 x2

25. y = ln (x2 ex) .

y'= 1 .d (x2 ex) = 1 { x2.d ( ex) + (ex).d (x2) } (x2 ex) dx (x2 ex) dx dx

y'= 1 { x2( ex).d (x) + (ex)(2x) } = { x 2 ( e x )(1) + (e x )(2x) } =

(x2 ex) dx dx (x2 ex)

y'= x 2 ( e x ) + 2x(e x ) = x . e x (x + 2) = x + 2 = x + 2 = 1 + 2 . (x2 ex) x . x. e x x x x x

26. y = e x - 1 . ex + 1

(ex + 1).d (ex - 1) - (ex - 1).d (ex + 1)y'= dx dx . (ex + 1)2

(ex + 1)( ex).d (x) - (ex - 1).(ex).d (x) y'= dx dx . (ex + 1)2

y'= (e x + 1)( e x )(1) - (e x - 1).(e x )(1) = (e x + 1)( e x ) - (e x - 1).(e x ) =

(ex + 1)2 (ex + 1)2

y'= (e x ) [(e x + 1) - (e x - 1) } = (e x ) ( e x + 1 - e x + 1) = e x (2) = 2.e x . (ex + 1)2 (ex + 1)2 (ex + 1)2 (ex + 1)2

27. y = x2 e -x .

Page 281: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= x2.d (e -x) + (e -x).d (x2) = x2(e-x).d (- x) + (e -x)(2x) .

dx dx dx

y'= x2(e-x)(- 1) + (e -x)(2x) = - x2(e-x) + (e -x)(2x) = - x(e-x)(x - 2) = -x(x - 2) ex

28. y = a (ex/a - e-x/a)

y'= a[(ex/a).d ( x ) - (e-x/a).d ( - x ) ] dx a dx ay'= a[(ex/a)( 1 ) - (e-x/a)(- 1 ) ] a a

y'=. a . ( e x/a ) + a . (e -x/a ) = (ex/a) + (e-x/a). a a .

y'= ex/a + 1 = (e x/a . e x/a + 1 ) = ( e x/a ) 2 + 1 ) = ( e 2x/a + 1 ) .

ex/a ex/a ex/a ex/a

29. y = e x - e - x

e x + e -x

(e x + e -x).d (e x - e -x) - (e x - e -x).d (e x + e -x) y'= dx dx . (e x + e -x)2

(e x + e -x)[(e x).d (x) - (e -x).d (-x)] - (e x - e -x)[(e x).d (x) + (e -x).d (-x)] y'= dx dx dx dx . (e x + e -x)2

y'= (e x + e -x ){(e x )(1) - (e -x )(-1)} - (e x - e -x ){(e x )(1) + (e -x )(-1) } (e x + e -x)2

y'= (e x + e -x )(e x + e -x ) - (e x - e -x )(e x - e -x ) = (e x + e -x ) 2 - (e x - e -x ) 2

(e x + e -x)2 (e x + e -x)2

y'= (e x ) 2 + 2 e x e -x + (e -x ) 2 - {(e x ) 2 - 2 e x e -x + (e -x ) 2 } (e x + e -x)2

y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - {e 2x - 2 e x .e -x + e -2x } (e x + e -x)2

Page 282: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x .e -x - e -2x (e x + e -x)2

y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x .e -x - e -2x

(e x + e -x)2

y'= 4 e x e -x . (e x + e -x)2

Pero: e x e -x = e x-x = e0 = 1

4 . y'= 4 (1) = 4 = 4 = 1 = 4(e -x ) 2 = 4(e -2x ) = 1 . e x + 1 2 e x .e -x + 1 2 1 + 1 2 2 2 22 4 e 2x

e -x e -x e -x (e -x)2

30. s = ln t 2 . t2

(t2).d (ln t2) - (ln t2).d (t2) s'= dt dt . (t2)2

( t2 )( 1 ).d ( t2) - (ln t2)(2t) s'= . t 2 dt = 2t - 2t(ln t 2 ) = 2. t (1 - ln t 2 ) = 2 (1 - ln t 2 ) . t4 t4 t . t3 t3

31. f(x) = ln √ x 2 +1 - x √x2+1 + x

Racionalizando el denominador:

f(x) = ln (√ x 2 +1 - x).( √ x 2 +1 - x) = ln (√ x 2 +1 - x) 2 =

(√x2+1 + x).(√x2+1 - x) (√x2+1)2 - (x)2

f(x) = ln ( √ x 2 +1 - x) 2 = 2 ln ( √ x 2 +1 - x) = 2 ln (√ x 2 +1 - x) = (√x2+1)2 - (x)2 (x2+1) - (x)2 x2 + 1 - x2

f(x) = 2 ln (√x2+1 - x) .

d (x2 + 1) f '(x) =2 1 .d (√x2+1 - x) = 2 1 dx - dx (√x2 + 1 - x) dx (√x2 + 1 - x) 2√x2 + 1 dx . f '(x) = 2 2 .x - 1 .

Page 283: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

(√x2+1 - x) 2 √x2 + 1 f '(x) = 2 x - 1 = 2 x - ( x 2 + 1)

(√x2+1 - x) √x2 + 1 (√x2 + 1 - x) √x2 + 1

f '(x) = 2 x - x 2 - 1) = 2 - ( x 2 +1 - x)

(√x2+1 - x) √x2 + 1 (√x2+1 - x) √x2 + 1

f '(x) = - 2 . √x2 + 1

32. y = x x

y'= x.xx-1.dx + ln x . xx. dx = x.xx-1.(1) + ln x . xx. (1) = x.xx-1 + ln x . xx.

dx dx

y'= x.xx.x-1 + ln x . xx = x1-1.xx + ln x . xx = x0.xx + ln x . xx = (1)xx + ln x . xx =

y'= xx + ln x . xx = xx (1 + ln x) .

33. y = xx

y'= √x.xx - 1.d (x) + ln x. xx.d (√x) dx dx

y'= √x.xx.x -1.(1 ). + ln x. xx. 1 . = √x.x x + ln x. x x 2√x x 2√x

y'= 2. √ x. √ x. x x + x.ln x. x x = 2x . x x + x.ln x. x x = 2.x.√x 2.x.√x

y'= x.x x (2 + ln x) 2x√x

34. s = a t

t

s = a t .

t t

(t t).d (at)-(at).d (t t) (t t ){(at)(ln a)d (t)} - (at){t(t t-1).d (t) + (ln t)(tt).d(t)}s'= dt dt = dt dt dt .

(t t)2 t 2t

Page 284: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

s'= (t t ) {(a t )(ln a)(1)} - (a t ){t.t t .t -1 )(1) + (ln t)(t t )(1)} t 2t

s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t ) { t 1 .t t . t -1 ) + (ln t)(t t )} = .

t 2t

s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t ){t t ) + (ln t)(t t )} .

t 2t

s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t )(t t ) - (a t ) (ln t)(t t ) =

t t.t t

s'= ( t t ) (a t ){ln a - 1 - ln t} = (a t ){ln a - ln t - 1} t t. t t t t

(at){ln a - 1}s'= t = a t ln a - 1 = a t ln a - 1.

tt tt t t t

35. y = x ∛ (3x + a) √(2x + b)

y = x(3x + a) 1/3 .Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: (2x + b)1/2 y luego derivando.

ln y = ln x(3x + a) 1/3 (2x + b)1/2

ln y = ln x(3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2

ln y = ln x + ln (3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2

ln y = ln x + 1 ln (3x + a) - 1 ln (2x + b) 3 2

Derivando:

1 . dy = 1 . dx + 1 . 1 .d (3x + a) - 1 . 1 .d (2x + b) y dx x dx 3 (3x + a) dx 2 (2x + b) dx

1 . dy = 1 .(1) + 1 . 1 .(3) - 1 . 1 .(2)

Page 285: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b)

1 . dy = 1 + 1 . 3 - 1 . 2 .

y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b)

1 . dy = 1 + 1 . 3 - 1 . 2 .

y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b)

1 . dy = 1 + 1 - 1 .

y dx x (3x + a) (2x + b)dy = 1 + 1 - 1 y.

dx x (3x + a) (2x + b)

36. y = √ (4 + x 2 ) . x √(4 - x2)

y = (4 + x 2 ) 1/2 . Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: x .(4 - x2)1/2 y luego derivando.

ln y = ln (4 + x 2 ) 1/2 .

x .(4 - x2)1/2

ln y = ln (4 + x2)1/2 - ln {x .(4 - x2)1/2}

ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + ln (4 - x2)1/2} 2

ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + 1 . ln (4 - x2) 2 2

ln y = 1 . ln (4 + x2) - ln x - 1 . ln (4 - x2) 2 2

1 .y'= 1 . 1 .d (4 + x2) - 1 .d (x) - 1 . 1 .d (4 - x2) y 2 (4 + x2) dx x 2 (4 - x2) dx

1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x)y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2)

1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x)y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2)

1 .y'= x - 1 + x .

Page 286: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y (4 + x2) x (4 - x2) y'= x - 1 + x y . (4 + x2) x (4 - x2)

37. y = xn (a + bx)m

Tomando logaritmos naturales a ambos miembros:

ln y = ln [xn (a + bx)m]ln y = ln xn + ln (a + bx)m

ln y = n.ln x + m.ln (a + bx) . Ahora derivando:

1 .y'= n . 1 .d (x) + m. 1 .d (a + bx) y x dx (a + bx) dx

1 .y'= n . 1 .(1) + m .(b)y x (a + bx)

1 .y'= n . + mb .y x (a + bx)

y'= n . + mb y . x (a + bx)

Page 287: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas -Pagina 124

5. y = sen ax

y'= cos ax .d (ax) = (cos ax )(a) = a cos ax dx

4. y = 3 cos 2x

y'= 3(- sen 2x).d (2x) = (- 3 sen 2x)(2) = - 6 sen 2x . dx

5. s = tg 3t

s'= (sec23t).d (3t) = (sec23t)(3) = 3(sec23t) = 3 (sec 3t)2. dt

8. u = 2 cot 1 v 2u'= 2 - csc2 1 v .d 1 v 2 dv 2

u'= 2 - csc2 1 v . 1 = - csc2 1 v

2 2 2

9. y = sec 4x

y'= (sec 4x)(tg 4x).d (4x) dx

y'= (sec 4x)(tg 4x).(4) = 4(sec 4x)(tg 4x).

10. ϱ= a csc b

Page 288: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ϱ'= a [(-csc b)(cot b).d (b)] dϱ'= a [(-csc b)(cot b).(b)] = -ab [(csc b)(cot b)]

11. y = 1 .sen2x 2y = 1 .(sen x)2

2

y'= 1 .[2(sen x).d (sen x)] 2 dx

y'= 1 .[2(sen x)(cos x)] = (sen x)(cos x)

212. s = √cos 2t

s = (cos 2t)1/2

s'= 1 . (cos 2t)1/2-1.d (cos 2t) 2 dt

s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).[d (2t)] =

2 dt

s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).(2) = (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).

2

s'= (- sen 2t) (cos 2t)1/2

13. ϱ= ∛(tg 3)

(sec23).d (3)ϱ'= d . 3(∛tg 3)2

ϱ'= (sec 2 3 ).( 3 ) = (sec 2 3 ) . 3(∛tg 3)2 (∛tg 3)2

14. y = 4 . (sec x)

Page 289: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y = 4 . (sec x)1/2

y'= - 4 . d [(sec x)1/2] [(sec x)1/2]2 dxy'= - 4 . 1 . (sec x)1/2-1.d (sec x) [(sec x)2/2] 2 dx

y'= - 4 . 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x) (sec x) 2 dx

y'= - 4 . 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x) (sec x) 2 dx

y'= - 2 (tg x)(1) = - 2 (tg x) . (sec x)1/2 (sec x)1/2

15. y = x cos x

y'= x.d (cos x) + (cos x).d (x) dx dx

y'= x.(-sen x).d (x) + (cos x)(1) dx

y'= - x.(sen x)(1) + (cos x) = cos x - x.sen x

16. f () = tg -

f '() = sec2 - 1 = tg2 .

17. ϱ= sen

.d (sen ) - (sen ).d ()ϱ'= d d . 2

.(cos ).d () - (sen )(1)ϱ'= d . 2

ϱ'= .(cos )(1) - (sen ) = .(cos ) - (sen ) .

Page 290: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 2

18. y = sen 2x cos xy'= sen 2x .d (cos x) + (cos x).d (sen 2x) dx dx

y'= sen 2x .(-sen x).d (x) + (cos x)(cos 2x).d (2x) dx dx

y'= - sen 2x .(sen x).(1) + (cos x)(cos 2x)(2) . Ordenando: y'= - sen 2x .(sen x) + 2(cos 2x) (cos x) = 2(cos 2x) (cos x) - sen 2x (sen x)

19. y = ln [sen (ax) ]

y'= 1 . d [sen (ax)] sen (ax) dx

y'= cos (ax). d (ax) = cot ax .(a) = a cot ax sen (ax) dx

20. y = ln √(cos 2x)

y = ln (cos 2x)1/2

y = . 1 .ln (cos 2x) 2 Derivando:

y'= . 1 . 1 . d (cos 2x) 2 (cos 2x) dx

y'= . 1 .(-sen 2x). d (2x) 2 (cos 2x) dx

y'= . 1 .(-sen 2x). (2) = . 1 .(-sen 2x). (2) = - tg 2x 2 (cos 2x) 2 (cos 2x)

21. y = ϱax sen bx

y'= ϱax.d (sen bx) + (sen bx).d (ϱax) dx dx

Page 291: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= ϱax.(cosbx).d (bx) + (sen bx).(ϱax).d (ax) dx dxy'= ϱax.(cosbx).(b) + (sen bx).(ϱax).(a) = (ϱax)[b(cosbx) + a (sen bx)]

y'= ϱax[a (sen bx) + b(cosbx)]

22. s = ϱ-t cos 2t

s'= ϱ-t .d (cos 2t) + (cos 2t).d (ϱ-t) dt dts'= ϱ-t .(-sen 2t).d (2t) + (cos 2t).(ϱ-t).d (-t) dt dt

s'= ϱ-t .(-sen 2t).(2) + (cos 2t).(ϱ-t).(-1)

s'= - 2ϱ-t .(sen 2t) - (cos 2t).(ϱ-t).

s'= - ϱ-t [ 2(sen 2t) + (cos 2t)].

23. y = ln tg x . 2

y = 1 . d ( tg x ) = tg x dx 2 .

2

y = 1 . sec2 x .d ( x ) = 1 . sec2 x . 1 . tg x 2 dx 2 tg x 2 2

2 2

sec2 x y = 2 . 1 = . 1 . sec2 x . cot2 x . tg x 2 2 2 2

2

24. y = ln 1 + sen x 1 - sen x

y = ln 1 + sen x 1/2

1 - sen x

y = . 1 . ln 1 + sen x 2 1 - sen x

Page 292: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= . 1 . 1 . d 1 + sen x . 2 1 + sen x dx 1 - sen x 1 - sen x

(1 - sen x).d (1 + sen x) - (1 + sen x).d (1 - sen x) y'= . 1 . 1 - sen x . dx dx . 2 1 + sen x (1 - sen x)2

y'= . 1 . 1 - sen x (1 - sen x)(cos x) - (1 + sen x)( - cos x) 2 1 + sen x (1 - sen x)2

y'= . 1 . 1 - sen x cos x - sen x cos x + cos x + sen x cos x 2 1 + sen x (1 - sen x)2

y'= . 1 . 1 - sen x cos x + cos x = . 1 . 1 - sen x 2 cos x .

2 1 + sen x (1 - sen x)2 2 1 + sen x (1 - sen x)2

y'= . 1 . 1 - sen x cos x + cos x = . 1 . (1 - sen x) 2 cos x .

2 1 + sen x (1 - sen x)2 2 1 + sen x (1 - sen x)(1 - sen x)

Por Algebra y Trigonometría, tenemos:

(1 + sen x)(1 - senx) = 1 - sen2x = cos2x .

y'= 1 cos x = cos x = cos x = cos x .

1 + sen x (1 - sen x) 1 - sen2x cos2x cos x. cos x

y'= 1 = sec x cos x

25. f () = sen( + a) cos( - a)

f '() = sen( + a) .d [cos( - a)] + [cos( - a)] .d [sen( + a)] d d

f '() = sen( + a).[-sen( - a)].d ( - a) + [cos( - a)].[cos( + a)].d ( + a) d d

f '() = - sen( + a)[sen( - a)](1) + [cos( - a)][cos( + a)](1)f '() = - sen( + a)[sen( - a)] + [cos( - a)][cos( + a)] , ordenando:

Page 293: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '() = [cos( - a)][cos( + a)] - sen( + a)[sen( - a)] .

Por Trigonometría:cos(x + y) = cos x cos y - sen x sen y .

[cos( - a)][cos( + a)] - sen( + a)[sen( - a)] = cos 2 .

Sustituimos en f '() .

f '() = cos 2

26. f (x) = sen2(-x) .

f (x) = [sen(-x)]2

f '(x) = 2[sen(-x)]2-1.d sen(-x) dx

f '(x) = 2[sen(-x)] .[cos(-x)].d (-x) dx

f '(x) = 2[sen(-x)] .[cos(-x)].(-1) = - 2[sen(-x)] .[cos(-x)].

27. ϱ= . 1 . tg 3 - tg + 3 ϱ= . 1 . (tg )3 - tg + 3 ϱ'= . 1 . 3 . (tg )3-1 .d (tg ) - sec2 .d () + d () 3 d d dϱ'= . 1 . 3 . (tg )2 .(sec2 ).d () - sec2 .(1) + (1) 3 d ϱ'= (tg )2 .(sec2 ).(1) - sec2 + 1

ϱ'= (tg )2 .(sec2 ) - sec2 + 1

Pero: sec2 = 1 + tg2 sec2 - tg2 = 1 ,sustituyendo en ϱ' .

ϱ'= (tg )2 .(sec2 ) - sec2 + (sec2 - tg2) .

ϱ'= (tg )2 .(sec2 ) - sec2 + sec2 - tg2) .

ϱ'= (tg )2 .(sec2 ) - tg2) = tg2( sec2 - 1) .

Page 294: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Por Trigonometría: sec2 - 1 = tg2 .

ϱ'= tg2 (tg2) = tg4 .

28. y = xsenx

y'= sen x . xsenx-1 .d (x)+ ln x . xsenx . d (sen x) dx dx

y'= sen x . xsenx.x -1.(1) + ln x . xsenx . (cos x).d (x) dx

y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x).(1).

y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x).

y'= . xsenx[sen x . x -1 + ln x . (cos x)].

y'= . xsenx[sen x . + ln x . (cos x)]. x

29. y = (cos x)x

y'= x.(cos x)x-1.d (cos x) + ln cos x . (cos x)x.d (x) dx dx

y'= x.(cos x)x.(cos x)-1.(-senx).d (x) + ln cos x . (cos x)x.(1). dx

y'= x.(cos x)x.(-senx).(1) + ln cos x . (cos x)x. (cos x) y'= - x.(cos x)xtg x. + ln cos x . (cos x)x. Ordenando:

y'= ln cos x . (cos x)x - x.(cos x)xtg x.

y'= (cos x)x[ln cos x - x.tg x]. Pero : y = (cos x)x , sustituyendo en y'.

y'= y [ln cos x - x.tg x].Hallar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:

30. y = sen kx

Page 295: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= (cos kx).d (kx) dx

y'= (cos kx).(k) = k(cos kx)

y'= k(cos kx)

y"= k(- sen kx).d (kx) dx

y"= k(- sen kx).(k) = - k2sen kx

31. ϱ= . 1 . cos 2 . 4

ϱ= . 1 .(-sen 2).d (2) 4 d

ϱ= . 1 .(-sen 2).(2) = - 1 .sen 2 4 2ϱ= - 1 .(cos 2).d (2) 2 dϱ= - 1 .(cos 2).(2) = - cos 2 . 2

32. u = tg v .

u'= sec2v.d (v) = sec2v = (secv)2 . dv

u"= 2(sec v)2-1.d (sec v) = 2(sec v)(sec v)(tg v).d (v)

dv dv

u"= 2(sec v)(sec v)(tg v)(1) = 2(sec2v)(tg v) .

33. y = x cos x

y'= x .d (cos x) + (cos x).d (x) dx dx

y'= x .(-sen x).d (x) + (cos x).(1) dx

y'= - x .(sen x).(1) + (cos x) = (cos x) - x .(sen x) .

Page 296: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= (-sen x).d (x) - [x .d (sen x) + (sen x).d (x)] dx dx dx

y"= (-sen x).(1) - [x .(cos x).d (x) + (sen x).(1)] dx

y"= (-sen x) - [x .(cos x)(1) + (sen x)]

y"= -sen x - x .cos x - sen x = -2 sen x - x .cos x

34. y = sen x x

x .d (sen x) - (sen x).d (x) x .(cos x).d (x) - (sen x).(1) y'= dx dx = dx . x2 x2

y'= x .(cos x).(1) - (sen x) = x .(cos x) - (sen x) . x2 x2

(x2).d [x .(cos x) - (sen x)] - [x .(cos x) - (sen x)] .d (x2)y"= dx dx . (x2)2

(x2){[x .d (cos x).d (x) + cos x .d (x)] - (cos x).d (x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x)y"= dx dx dx . x4

y"= (x 2 ){[x (- sen x)(1) + cos x (1)] - (cos x)(1)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4

y"= (x 2 ){[x (- sen x) + cos x ] - (cos x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4

y"= (x 2 ){ - x sen x + cos x - cos x } - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) . x4

y"= - x 3 sen x - 2x 2 cos x + 2x sen x = x {- x 2 sen x - 2x cos x + 2 sen x} . x4 x . x3

y"= {- x 2 sen x - 2x cos x + 2 sen x} . x3

Ordenando:

Page 297: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y"= 2 sen x - 2x cos x - x 2 sen x . x3

35. s = ϱt . cos t

s'= ϱt .d (cos t) + (cos t).d (ϱt) dt dt s'= ϱt .(- sen t).d (t) + (cos t)(ϱt).d (t) dt dts'= - ϱt .(sen t)(1) + (cos t)(ϱt)(1)s'= - ϱt .(sen t) + (cos t)(ϱt) = (cos t)(ϱt) - ϱt .(sen t) .s'= ϱt (cos t - sen t) .s"= ϱt .d [(cos t - sen t)] + (cos t - sen t) .d (ϱt) dt dt s"= ϱt [(-sen t).d (t) - (cos t).d (t)] + (cos t - sen t)(ϱt).d (t) dt dt dts"= ϱt [(-sen t)(1) - (cos t)(1)] + (cos t - sen t)(ϱt)(1)s"= - ϱt [sen t + cos t] + (cos t - sen t)(ϱt)s"= - ϱt sen t - ϱt cos t + ϱt cos t - ϱt sen t .s"= ϱt { - sen t - cos t + cos t - sen t } .

s"= ϱt { - sen t - cos t + cos t - sen t } .s"= ϱt { - sen t - sen t } = ϱt { - 2 sen t} = - 2 ϱt sen t .

36. s = ϱ-t sen 2t s'= ϱ-t .d (sen 2t) + (sen 2t).d (ϱ-t)

dt dts'= ϱ-t .(cos 2t).d (2t) + (sen 2t).(ϱ-t).d (- t) dt dts'= ϱ-t .(cos 2t)(2) + (sen 2t).(ϱ-t)(- 1) .s'= 2 ϱ-t .(cos 2t) - (sen 2t).ϱ-t s' = ϱ-t {2 cos 2t - sen 2t}s"= ϱ-t .d {2 cos 2t - sen 2t} + {2 cos 2t - sen 2t} .d (ϱ-t) dt dts"= ϱ-t.{2(-sen 2t).d (2t) - (cos 2t).d (2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ-t).d (-t) dt dt dt s"= ϱ-t.{- 2 (sen 2t).(2) - (cos 2t).(2)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ-t).(-1) s"= ϱ-t.{- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(- ϱ-t). s"= - ϱ-t.(-){- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ-t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ-t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. s"= - ϱ-t.{ 3 sen 2t + 4 cos 2t }.

37. y = ϱax sen bx .

Page 298: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= ϱax .d (sen bx) + (sen bx).d (ϱax) . dx dx y'= ϱax .(cos bx).d (bx) + (sen bx).(ϱax).d (ax) dx dx y'= ϱax .(cos bx).(b) + (sen bx).(ϱax).(a)y'= ϱax {b(cos bx) + a(sen bx)} .y"= ϱax .d {b(cos bx) + a(sen bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.d (ϱax) dx dxy"= ϱax.{b(-sen bx).d (bx)+a(cos bx).d (bx)}+{b(cos bx)+a(sen bx)}(ϱax).d (ax) dx dx dx y"= ϱax.{- b(sen bx).(b) + a(cos bx).(b)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.(ϱax)(a)y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.[a ϱax)]y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + a[b(cos bx) + a(sen bx)]}.y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + ab(cos bx) + a2(sen bx)]}.y"= ϱax.{(sen bx)(a2 - b2) + 2ab(cos bx)]}.y"= ϱax.{ (a2 - b2) (sen bx) + 2ab(cos bx)}.

Hallar dy/dx en cada una de las siguientes funciones:

38. y = cos(x - y) .

y'= [ - sen(x - y)].d (x - y) dxy'= [ - sen(x - y)].(dx - y') dx

y'= [ - sen(x - y)].(1 - y') .

y'= - sen(x - y) + sen(x - y).y' .

sen(x - y) = sen(x - y).y' - y'.

sen(x - y) = y'[sen(x - y) - 1] = sen(x - y) .

y'= sen(x - y) . [sen(x - y) - 1]

39. ϱy = sen (x + y)

ϱy.y'= [cos (x + y)].d (x + y) . dxϱy .y'= {[cos (x + y)].[ dx + y']} . dx

Page 299: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

ϱy .y'= {[cos (x + y)].[1 + y' } .

ϱy .y'= cos (x + y) + cos (x + y). y' .

ϱy .y' - cos (x + y). y' = cos (x + y)

y'[ϱy - cos (x + y)] = cos (x + y)

y'= cos (x + y) . [ϱy - cos (x + y)]

40. cos y = ln (x + y)

(- sen y).y'= 1 .d (x + y) (x + y)

(- sen y).y'= (1 + y') (x + y)

(- sen y).y'(x + y) = (1 + y')

y'(-sen y)(x + y) = 1 + y'y'(-sen y)(x + y) - y'= 1y'[(- sen y)(x + y) - 1] = 1 .

y'= 1 = 1 . [(- sen y)(x + y) - 1] - [1 + (sen y)(x + y) ]y'= - 1 = - 1 . [1 + (sen y)(x + y) ] [1 + (x + y) (sen y)]

En los problemas 41 a 50, hallar el valor de dy/dx para el valor dado de x ( en radianes) .

41. y = x - cos x ; x = 1

y'= 1 - (- sen x).d (x) dx

y'= 1 - (- sen x).(1) = 1 + sen x. Cuando : x = 1 .

y'= 1 + sen (1) = 1 + sen 1 = 1 + 0,841470984 = 1, 841470984 .

Page 300: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

42. y = x sen x ; x = 2 2

y'= x .d ( sen x ) + ( sen x ).d (x) 2 2 dx

y'= x ( cos x ).d ( x ) + ( sen x )(1) 2 2 2

y'= [x ( cos x )]( 1 ) + ( sen x ) . Cuando : x = 2 2 2 2

y'= [2( cos 2 )]( 1 ) + ( sen 2 ) . 2 2 2

y'=[2.( cos 1 )]( 1 ) + ( sen 1 ) . 2

y'= ( cos 1 ) + ( sen 1 ) = 0,5403023058681 + 0,8414709848079 .

y'= 1,381773290675 .

43. y = ln cos x . x = 0,5

y'= l . d (cos x) cos x dx

y'= (- sen x) .d (x) cos x dx

y'= - tg x .(1) = - tg x . cuando : x = 0,5 .

y'= - tg 0,5 = - 0,5463024898438 .

44. y = . e x . x x .d (e x ) - (ex).d (x) x .(ex).d (x) - (ex).(1)y'= . dx dx = dx . x2 x2

y'= x .(e x ).(1) - (e x ) = x .(e x ) - (e x ) = (e x ){x - 1} . Cuando: x = - 0,5 . x2 x2 x2

Page 301: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= (e -0,5 ){- 0,5 - 1} = (e -0,5 ){- 1,5} = - 1,5 = - 1,5 . (- 0,5)2 0,25 (0,25)(e0,5) (0,25)(1,648721271)

y'= -1,5 = 3,633705965843 . 0,412180317

45. y = sen x . cos 2x ; x = 1.

y'= sen x .d (cos 2x) + (cos 2x).d (sen x) dx dx

y'= sen x .(- sen 2x).d (2x) + (cos 2x).(cos x).d (x) dx dx

y'= sen x .(- sen 2x).(2) + (cos 2x).(cos x).(1)

y'= - 2sen x .(sen 2x) + (cos 2x).(cos x) .

y'= - 2sen (1) .{sen 2(1)} + {cos 2(1)}.(cos 1) .

y'= - 2sen 1 .{sen 2} + {cos 2}.(cos 1) . Cuando: x = 1 .

y'= - 2sen 1 .{sen 2} +.(cos 1) {cos 2} .

y'= - 2(0,8414709848079)( 0,9092974268257) + (0,5403023058681) ( - 0,4161468365471) .

y'= -1,519653293531 + 0,5403023058681 - 0,4161468365471

y'= - 1,53029480252 - 0.224845095366 = - 1,755139897886

46. y = ln √tg x ; x = 1 4

y = ln [(tg x)1/2]

y'= 1 .d [(tg x)1/2] [(tg x)1/2] dx

y'= 1 . 1 .[(tg x)1/2-1.d (tg x)] [(tg x)1/2] 2 dx

Page 302: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= (tg x) -1/2 .[.(sec2x).d (x)] 2[(tg x)1/2] dx

y'= [.(sec 2 x).(1)] . 2[(tg x)1/2.(tg x)1/2]

y'= [(sec 2 x)] . Cuando: x = . 2[(tg x)] 4

1 1 .y'= [(sec 2 /4)] = cos 2 /4 = (cos 0,7853981633974) 2 = 2[(tg /4)] 2[(tg /4)] 2(tg 0,7853981633974)

1

1 1 .

y'= (0,7071067811865) 2 = 0,5 = 1 = 1 = 1. 2(1) 2 2(0,5). 1 1

47. y = ex sen x ; x = 2 .

y'= ex .d (sen x) + (sen x).d (ex) dx dxy'= ex .(cos x).d (x) + (sen x).(ex).d (x) dx dx

y'= ex .(cos x).(1) + (sen x).(ex).(1)

y'= ex (cos x) + (sen x) (ex).

y'= ex(sen x + cos x) . Cuando : x = 2 .

y'= e2(sen 2 + cos 2) .

y'= (7,389056099)(0,909297426 - 0,416146836) =

y'= (7,389056099)(0,49315059) = 3,643956611 .

48. y = 10 e-x cos x ; x = 1 .

y'= 10[e-x.d (cos x) + (cos x).d (e-x)] dx dx

Page 303: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= 10[e-x.(- sen x).d (x) + (cos x).(e-x).d (-x)] dx dx

y'= 10[e-x.(- sen x).() + (cos x).(e-x).(-1)]

y'= 10[- e-x sen x - e-x cos x]

y'= -10[ e-x ( sen x + cos x] . Cuando: x = 1 .

y'= -10{ e-1 [ sen ()(1)] + [cos ()(1)]} .

y'= -10{ e-1 [ sen + cos ]} .

y'= -10{ e-1 [ (0) + (- 1)]} .

y'= -10{ e-1 [0 - 1]} .

y'= -10{ e-1 [-1]} = + 10. e-1 = 10 = 10 = 3,678794412 e1 2,718281828

49. y = 5 ex/2 sen x ; x = 2 . 2

y'= 5[ex/2.d (sen x ) + (sen x ).d (ex/2)] . dx 2 2 dx

y'= 5[ex/2.(cos x ).d ( x ) + (sen x ).(ex/2).d (x/2)] . 2 dx 2 2 dx

y'= 5[ex/2(cos x )( ) + (sen x )(ex/2)( 1 )] . 2 2 2 2

y'= 5(ex/2). 1 .[ (cos x ) + (sen .x )] . Cuando: x = 2 2 2 2

y'= 5(e2/2). 1 .[ (cos . 2 ) + (sen . 2 )] . 2 2 2

y'= 5(e1). 1 .[ (cos ) + (sen )] . 2

Pero: sen = 0 ; cos = - 1 .

y'= 5(e)[ (-1) + (0)] = 5(e)[- ] = -(2,5)(2,718281828)(3,14159265359).

Page 304: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 2

y'= - 21,34933555308

50. y = 10 e-x/10 sen 3x ; x = 1 .

y'= 10[e-x/10 .d (sen 3x) + (sen 3x).d (e-x/10)] dx dx

y'= 10[e-x/10 .(cos 3x).d (3x) + (sen 3x).(e-x/10).d (- x/10)] dx dx y'= 10[e-x/10 .(cos 3x)(3) + (sen 3x)(e-x/10)( - 1 )] 10

y'= 10.[e-x/10] [3(cos 3x) - (sen 3x)] . Cuando: x = 1 10y'= 10.[e-1/10] [3(cos 3.1) - (sen 3.1)] 10y'= 10 . [3(cos 3) - (sen 3)] [e-1/10] 10

y'= 10 . [3(-0,98992496) - 0,1411200080599] 1,105170918 10

y'= (9,048374180979) [-2,969977489801 - 0,01411200080599]

y'= (9,048374180979) [-2,984089490606]

y'= -27.00115830053 = - 27 .

Page 305: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

Problemas-Pagina 133

4. y = arc cos x . a

d ( x ) _ 1 _ 1 . _ 1 .y'= _ dx a = a = a = a .

1 - x 2 1 - x 2 a 2 - x 2 √ (a 2 - x 2 ) . a a2 a2 √a2

- 1 .

y'= a = - a = - 1 = - √(a2 - x2) . √ (a 2 - x 2 ) a√(a2 - x2) √(a2 - x2) .

a

5. y = arc sec x . a

d ( x ) 1 1 1 . y'= dx a = a = a = a =

x x 2 - 1 x x 2 - 1 x x 2 - a 2 x{ (x 2 - a 2 )} a a a a2 a a2 aa2

Page 306: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

1 .

y'= a = a 2 = a . x √ x 2 - a 2 . ax√x2 - a2 x√x2 - a2 a.a

6. y = arc cot x . a

d x - 1 .

y'= _ dx a = a = - a . a = 1 + x 2 a 2 + x 2 a (a2 + x2) a a2

y'= - a = .

(a2 + x2)

7. y = arc sec 1 .

x

d 1 - 1 - 1 .

y'= dx x = x 2 = x 2 = .

1 1 2 - 1 1 1 - 1 1 1 - x 2 x x x x2 x x2

- 1 .

y'= x 2 = - x 2 = - 1 .

1 √ (1 - x 2 ) x2 √(1 - x2) √(1 - x2) x √x2

8. y = arc csc 2x

d (2x)y'= _ dx = - 2 = - 1 . 2x √(2x)2 - 1 2x √(2x)2 - 1 x √ (2x)2 - 1

9. y= arc sen √x .

d (√x) 1 .

Page 307: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

y'= dx = 2 √ x = 1 = 1 = 1 . √1 - (√x)2 √1 - x 2 √x √ (1 - x) 2 √x(1 - x) 2√(x - x2)

10. = arc vers e2

d (e2)d = de = 2e = 2e = 2e = 2e = de √2e2 (e2)2 √2e2 - e4 √e2(2 - e2) √e2 . √(2 - e2) e √(2 - e2) d = 2 e = 2 .de e √(2 - e2) √(2 - e2)

11. y = x arc sen 2x .

y'= x.d (arc sen 2x) + (arc sen 2x).d (x) dx dx d (2x)y'= x. dx + (arc sen 2x).(1) 1 -(2x)2

y'= x. 2 + (arc sen 2x) = arc sen 2x + 2 x . √1 - 4x2 √1 - 4x2

12. y = x2 arc cos x .

y'= x2.d (arc cos x) + (arc cos x).d (x2) dx dx

- d (x)y'= x2 . dx + (arc cos x).(2x)

√[1 - (x)2]

y'= x 2 . (-1) + 2x(arc cos x) = 2x arc cos x - x 2 .

√(1 - x2) √(1 - x2)

13. f (u) = u √a2 - u2 + a2 arc sen u . a

Page 308: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

f '(u) = {u .d [√(a2 - u2)] + [√(a2 - u2)].d (u)} + a2{d (arc sen u )} du du a

d u .

f '(u) = {u . (- 2 u) + [√(a2 - u2)].(1)} + a2 du a .

2 √(a2 - u2) 1 - u 2 . a

1 .

f '(u) = - u 2 + √ (a2 - u2) + a2 a . √(a2 - u2) 1 - u 2 . a2

f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a . √(a2 - u2) a 2 - u 2 . a2

f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a . √(a2 - u2) √ a 2 - u 2 . √a2

a .

f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + 1 . √(a2 - u2) √ a 2 - u 2 . a

f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a 2 . √(a2 - u2) √a2 - u2

f '(u) = - u 2 + { √ (a 2 - u 2 )} 2 + a 2 = - u 2 + a 2 - u 2 )} 2 + a 2 = 2a 2 - 2u 2 .

√(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2)

f '(u) = 2 (a 2 - u 2 ) = 2(a 2 - u 2 ) 2/2 = 2 (a2 - u2)1/2 = 2 (a2 - u2) √(a2 - u2) (a2 - u2)1/2

14. f(x) = √(a2 - x2) + a arc sen x . a

d (a2 - x2) d x 1 .

f '(x) = dx + a dx a = - 2 x + a a .

Page 309: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

2 √(a2 - x2) √{1 - ( x )2} 2√(a2 - x2) √1 - x 2 . a a2

a .

f '(x) = - 2 x + a = - x + 1 . 2 √a2 - x2 √ a 2 - x 2 √(a2 - x2) √ (a 2 - x 2 ) .

a2 √a2

f '(x) = - x + 1 = - x + a = a - x .

√(a2 - x2) √ (a 2 - x 2 ) √(a2 - x2) √(a2 - x2) √(a2 - x2) a

f '(x) = (a - x) 2/2 = (a - x) 1/2 (a - x) 1/2 = (a - x) 1/2 = (a - x)

√(a + x)(a - x) (a + x)1/2 (a - x)1/2 (a + x)1/2 (a + x)

15. v = a2 arc sen u - u (a2 - u2) a v'= a2{ d ( arc sen u ) } - { u .d {√(a2 - u2) + √(a2 - u2).d (u) } du a du du

1 .

v'= a2 a - u - 2 u + √(a2 - u2) (1) √{1-( u )2} 2√(a2 - u2) a

a 2 .

v'= a + 2 u 2 - √(a2 - u2) . √ 1 - u 2 2 √(a2 - u2) a2

v'= a + u 2 - √(a2 - u2) =

√ a 2 - u 2 √(a2 - u2) a2

v' = a + u 2

- √(a2 - u2) = a + u 2 - √(a2 - u2) = √(a 2 - u 2 ) √(a2 - u2) √ (a 2 - u 2 ) √(a2 - u2) √a2 a

v'= a 2 + u 2 - √(a2 - u2) = a 2 + u 2 -{ √ (a 2 - u 2 )} 2 . √(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2)

Page 310: CALCULO DIFERENCIAL AMORCITO

v'= a 2 + u 2 - (a 2 - u 2 ) = a 2 + u 2 - a 2 + u 2 = 2 u 2 . √(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2)