CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA
VARIABLEFrancisco Javier Prez GonzlezDepartamento de Anlisis
MatemticoUniversidad de Granada
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idntica a sta.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf.
Javier PrezClculo diferencial e
integralhttp://es.creativecommons.org/licencia/
PrologoEste libro est escrito pensando en un estudiante real
que tambin es, en algunos aspectos,un estudiante ideal. Es un
estudiante llegado hace poco a la Universidad, quiz recin
llegado,que cursa estudios en alguna ingeniera o licenciatura
cientfico tcnica y debe enfrentarse auna difcil asignatura de
clculo diferencial e integral. Debe ser difcil, porque son muy
pocosquienes logran aprobarla en un slo ao y es muy alto el
porcentaje de abandono. Con estelibro quiero ayudarle en sus
estudios de Clculo o Anlisis Matemtico, no solamente para quelogre
una buena calificacin sino para que saque de ellos el mayor
provecho e incluso aprendaa disfrutarlos.Se trata, digo, de un
estudiante real porque llega a la Universidad con importantes
carenciasde las que l puede no ser consciente y de las que no es
del todo responsable. Es muy posibleque nunca haya visto una
demostracin matemtica, que no sepa distinguir entre hiptesis
ytesis, que no entienda el significado de que las matemticas son
una ciencia deductiva. Tienepoca agilidad en los clculos con las
operaciones bsicas y comete frecuentes errores al in-tentar
simplificarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con
dificultad porque tiene que irpensando cada paso y no ha
automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular
algunasprimitivas muy sencillas. Est acostumbrado a realizar
ejercicios muy elementales en los que sedebe aplicar de forma
mecnica una regla recin aprendida. No est acostumbrado a
relacionarconceptos y clasifica sus conocimientos en reas
disjuntas:clculo, lgebra, probabilidad: : :Pero estas carencias,
con ser graves, no son las peores porque son especficas de una
ma-teria y podran solucionarse con facilidad si no vinieran
acompaadas por otras mucho msperjudiciales porque afectan a todo el
proceso de aprendizaje. Me refiero a la falta de hbitosde estudio,
a la pobreza y muy deficiente uso del lenguaje hablado y escrito
con la consiguientedificultad para pensar y expresarse
correctamente, a la pocaprctica de la lectura comprensi-va, a la
escasa capacidad de concentracin, al poco valor quese da a la
memorizacin de loestudiado.Si a este cuadro aadimos que vivimos en
una sociedad que valora ms el xito, identifica-do casi
exclusivamente con el xito econmico, que el esfuerzo; el
apresuramiento compulsivo,hay que ir a toda velocidad aunque so
sepamos a dnde, que la constancia y la dedicacin; elXVI
Prlogo XVIIgregarismo unnime que el pensamiento crtico e
independiente, la autocomplacencia que laexigencia: : : La
conclusin es que no son buenos tiempos para el estudio. Adems, los
jvenesestn permanente solicitados por todo tipo de reclamos
publicitarios, adulados hasta la desver-genza por polticos y
pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene
adecir que no son responsables de sus actos: si suspenden, lesdicen
que es porque el profesorno ha sabido motivarlos para que estudien;
si despus de un botelln de fin de semana, o de unafiesta de la
primavera o de un da de la cruz, las calles amanecen convertidas en
un albaal porla suciedad acumulada durante la noche, el argumente
apropiado para disculpar tan incvicocomportamiento es el de un
supuesto derecho a la diversin. Estos polticos y pedagogos pare-cen
haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jvenesvivan en una
permanente niez,acreedora de todos los derechos pero sin
obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, labazofia,
mezquindad, zafiedad y mal gusto de algunos programas de televisin
contribuyen deforma notable a difundir el mensaje de que todo vale:
puedes vender tus entraas en uno deesos programas o demostrar tu
absoluta ignorancia sin temora hacer el ridculo porque as lohacen
la mayora de quienes participan en ellos. Qu aoranza de aquellos
programas en losque el saber ocupaba lugar!El estudiante al que me
dirijo es real porque es vctima de este sistema y tambin, puedeque
sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su
mantenimiento. Cada vez esms difcil conjugar juventud y lucidez.
Pero tambin es un estudiante ideal porque valora elestudio, quiere
prepararse para ejercer eficazmente una profesin y ser til a los
dems y tieneganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo
que quieres es solamente aprobar y notienes curiosidad ni ests
interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro noes
lo que buscas. Pero si no es as, confo en que las pginas que siguen
sean tiles para queprogreses adecuadamente en tus estudios de
clculo, porquelo nico que se necesita para elloes, adems del inters
y las ganas de aprender, una capacidadbsica lgico deductiva que
sinduda tienes.El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna
y responde a un acuerdo general tcitode lo que debe constituir un
curso bsico de Clculo de funciones de una variable. La novedad,si
la hay, habr que buscarla en el estilo, en la exposicin, en la gran
cantidad de ejemplos yde ejercicios, en la minuciosa presentacin de
los conceptos y de sus relaciones. Comentarseguidamente algunos de
estos aspectos.Este libro est escrito en un estilo deliberadamente
sencillo, he querido huir del estilo pe-dante que se impuso hace
algunos aos y que todava perdura encasos aislados. Escribir
mate-mticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque
no es ajeno a las modas, tieneunas reglas bsicas que deben ser
respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata deuna
sola regla debida a Nicols Boileau (1636 - 1711) que diceas lo que
bien se concibebien se expresa con palabras que acuden con
presteza. Que las palabras acudan con mayor omenor presteza es algo
anecdtico, pero lo que es indudable es que si algo no se concibe
bienes imposible expresarlo con claridad. La primera
condicinnecesaria para escribir matemticases entender con todo
detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y
con distintogrado de generalidad, la gnesis y evolucin de los
conceptos que se exponen, las sutilezas ydificultades de comprensin
que encierran, los errores ms frecuentes en su interpretacin.
Esacondicin necesaria no es suficiente. Hay que exponer esos
conceptos con palabras comprensi-bles para el lector a quien se
dirigen, evitando tecnicismosinnecesarios, y ello sin dejar de
serclaro y preciso.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis
MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e integral
Prlogo XVIIIEste libro est escrito un poco igual que se explica
en clase delante de la pizarra, me hepuesto en el lugar de un
hipottico estudiante medio algo despistado y me hago eco de
suspresumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar
esas dudas, responder a las pre-guntas y aclarar las confusiones.
Confo en que los muchos aos que he dedicado a la docenciaen el
primer curso de distintas licenciaturas e ingenierasme hayan
permitido saber ponermeen tu lugar y cumplir este empeo con decoro.
Por todo eso creoque este libro te permitirestudiar por ti mismo y
te ayudar a comprender de forma correcta los conceptos
principalesdel Clculo.Este libro incluye una coleccin de ejercicios
muchsimo ms amplia que lo que suele serusual en un libro de texto.
De hecho este libro es tambin un libro de problemas de Clculoy, se
me disculpar la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de
ejercicios de Clculo queincluyan una coleccin tan variada de
ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejerciciosno
triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de
ejercicios de Clculo danmuchas veces la impresin de que la teora
solamente sirve para proporcionar un conjunto derecetas que despus
hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qu se elige
unareceta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la
receta funcione.Mi intencin ha sido escribir un libro de Clculo que
sea tiltanto para el futuro matemticocomo para el futuro ingeniero,
pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a
susintereses y necesidades. Para ambos ser de gran utilidad
laextensa coleccin de ejerciciosy de ejemplos, pero uno habr de
prestar mayor atencin a los fundamentos tericos y a
lasdemostraciones y otro a las tcnicas de clculo y de resolucin de
diversos tipos de ejercicios.Al final de este prlogo propongo dos
posibles guas de lectura.Digamos algo sobre las demostraciones.
Claro est que razonar y demostrar son aspectosfundamentales de las
matemticas, pero s que el valor que las demostraciones tienen
paralos estudiantes es muy relativo. El empeo en demostrarlo todo
puede ser contraproducente yconstituir un freno en el progreso de
muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes sonlas que
contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no
deben ser extensas,deben ser elegantes y demostrar resultados
importantes quese van a usar con frecuencia. Cuan-do empec este
libro mi intencin era incluir muy pocas demostraciones, al final,
para lograrla autonoma del texto he incluido muchas ms de lo que
inicialmente pensaba. Mi deseo eraequilibrar un desarrollo
intuitivo con uno lgico deductivo, confo en no haberme desviado
mu-cho de este objetivo. Toda ayuda a la intuicin me parece loable,
en este sentido, siempre que lohe credo conveniente, no he dudado
en incluir una figura parafacilitar la comprensin de unadefinicin o
de una demostracin. Pero tambin quiero decir respecto de algunas
demostracio-nes que pueden parecer muy complicadas (como los
teoremas4.13y 4.29de los que tambindoy versiones ms sencillas7.54y
7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que nose debe
renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea
complicado, los detallesson importantes, en matemticas no todo
vale.He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y
evolucin histrica de los prin-cipales conceptos del Clculo. He
incluido apuntes histricos, mucho ms amplios de lo usualen textos
de estas caractersticas, sobre la evolucin de los conceptos de
nmero y magnitud,lmite y funcin, derivadas e integrales, as como al
concepto de infinito y a la algebraizacindel Anlisis llevada a cabo
en el ltimo tercio del siglo XIX.Incluso hay un captulo, el
quinto,cuyo ttulo Nmeros y lmites. El infinito matemticodeja bien
claro cul es su contenido.Naturalmente, nada de original hay en
dichas notas histricas pues no he consultado fuentesUniversidad de
GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo
diferencial e integral
Prlogo XIXoriginales, y su posible valor est en la particular
ordenacin y exposicin que he llevado acabo. Mi propsito al
escribirlas ha sido presentar la gnesis de los conceptos matemticos
ensu contexto, su titubeante y confusa evolucin, las discrepancias
sobre el significado de losmismos... En una palabra, proporcionar
al estudiante una visin de la matemtica viva.Con frecuencia los
estudiantes tienen la idea de que las matemticas son algo cerrado
yacabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de unafra
perfeccin que se transmi-ten dogmticamente de generacin en
generacin y donde no hay lugar para la sorpresa ni lapasin. Nada ms
lejos de la realidad. La historia de las matemticas demuestra que
el queha-cer matemtico, la creacin matemtica, est muy lejos de esa
fra perfeccin formal lgico deductiva, que la intuicin, la induccin,
los procedimientos heursticos son quiz ms im-portantes para el
avance de las matemticas que el razonamiento deductivo. La historia
de lasmatemticas muestra cmo los conceptos nacen para responder a
problemas concretos de cadapoca, cmo esos mismos conceptos llevan a
reformular posteriormente los problemas des-de perspectivas ms
generales, en un avance que no siempre esuna lnea recta, con
intentosfallidos, con controversias y desacuerdos.La historia pone
tambin muy claramente de manifiesto que lasmatemticas son un
saberacumulativo. Esto tiene una particular importancia para
elaprendizaje, quiere decir que paraestudiar y avanzar en
matemticas la memoria es mucho ms importante de lo que usualmentese
cree. La efmera memoria de los estudiantes que llegan a
laUniversidad, que con frecuenciahan olvidado lo que alguna vez
aprendieron de matemticas, es una de las grandes dificultadesque
debemos afrontar los profesores.Un aspecto notable del libro es la
atencin que dedico a los persistentes errores en matem-ticas que
suelen tener casi todos los estudiantes al llegar ala Universidad.
Confo en que misobservaciones al respecto sean tiles no slo para
los estudiantes sino tambin para los pro-fesores de matemticas de
las Enseanzas Medias. Tambin expongo algunas opiniones muycrticas
con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en
la Universidad, estoafecta muy especialmente al estudio de los
nmeros complejos y de las funciones elementalescomplejas y de las
series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas
muy encuenta.Granada, septiembre de 2008Universidad de GranadaDpto.
de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e
integral
Guas de lectura XXGuas de lecturaEl Captulo 5 y los diversos
complementos de contenido histrico solamente debes leerlossi te
gustan. La nica forma de saber si te gustan es que empieces a
leerlos, y si cuando llevesdos pginas sigues interesado en la
lectura seguramente llegars hasta el final.Los captulos 1 y 2 deben
ser ledos con detenimiento. No hay en ellos demostracionesque
merezcan ese nombre. En el Captulo 1 se dan definiciones bsicas
cuyo conocimiento esimprescindible para leer todo lo dems. En el
Captulo 2 se define el importantsimo conceptode funcin y se
estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones
elementales. Elconocimiento de dichas funciones es absolutamente
necesario para leer el resto del libro yrealizar ejercicios.Para
estudiantes orientados hacia ingenieras cuyo inters por las
matemticas esde tipo instrumentalEl Captulo 3 est dedicado a los
nmeros complejos y a las funciones complejas elemen-tales.
Solamente t puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides
omitirlo puedes hacerlo contranquilidad.El Captulo 4 est dedicado a
dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lmi-te
funcional. Son conceptos de importancia terica y necesarios para
hacer ejercicios. Debesestudiar y entender las definiciones y
resultados pero no es necesario que leas las demostra-ciones. El
concepto de extremo superior tiene inters desdeun punto de vista
formativo, paraque comprendas que se precisa alguna herramienta que
permita probar ciertas afirmaciones deapariencia evidente (o no tan
evidente). Muchos libros de Clculo orientados hacia la ingenie-ra
omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un
futuro ingeniero, pero esbueno que sepas de su existencia y tengas
una idea de su utilidad y lo que significa.El Captulo 6 estudia las
derivadas y sus aplicaciones. Creoque debes leerlo todo
incluidaslas demostraciones de los resultados principales porque
son cortas y fciles de entender, con laexcepcin, quizs, de las
demostraciones de las Reglas de LHpital, no porque sean
difcilessino porque son algo largas. Pero debes leer la explicacin
de por qu dichas reglas funcionan.Son muy tiles y mi impresin es
que se usan como un recurso casi mgico, sin entender bienlo que se
est haciendo. La seccin en la que se explican tcnicas para calcular
lmites defunciones debes leerla hasta que memorices los lmites
bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos que se
exponen.El Captulo 7 est dedicado al estudio de las sucesiones.
Debes aprender y comprenderbien las definiciones y lo que dicen los
principales teoremaspero, salvo la demostracin deque toda sucesin
montona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna
otrademostracin. Los resultados relativos a la condicin de Cauchy
son una herramienta tericafundamental, pero quizs un ingeniero
puede prescindir de ellos. La seccin en la que se ex-plican tcnicas
para calcular lmites de sucesiones y para resolver las
indeterminaciones msusuales, debes leerla hasta que memorices los
lmites bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos
que se exponen. Las sucesiones que definen al nmero e y las
de-sigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy tiles, debes
memorizarlas y aprender areconocerlas all donde aparezcan. La
continuidad uniforme es algo de lo que puedes prescindirUniversidad
de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo
diferencial e integral
Guas de lectura XXIcon tranquilidad.El Captulo 8 es muy
extenso, en l se estudia la integral de Riemann que es la integral
usualdel Clculo, las integrales impropias, el clculo de primitivas
y las aplicaciones del clculointegral. Con la excepcin de las
demostraciones del Teorema Fundamental del Clculo y dela Regla de
Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura
entender bien ladefinicin de integral y sus propiedades as como el
significado del Teorema Fundamental delClculo. Todo el tiempo que
dediques, y tendrs que dedicar muchas horas, a practicar lastcnicas
de clculo de primitivas ser ampliamente recompensado. Calcular
primitivas es algoque hay que hacer con muchsima frecuencia: en
todas las aplicaciones de la integral tienes quecalcular una
primitiva.El Captulo 9 est dedicado al estudio de las series
numricas. Es importante que aprendasy comprendas bien las
definiciones principales. Hay muchsima confusin en este tema y
loslibros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostracionesde
este captulo puedes omitirlassalvo las de los criterios de
convergencia para series de trminos positivos que son cortas
yfciles de entender. Las tcnicas para sumar algunos tipos de serie
debes estudiarlas, as comoel criterio de Leibniz para las series
alternadas. El apartado dedicado a la expresin de unnmero real en
una baseb 2Z merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por
encima,para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso
de losdecimales infinitos con infinitascifras que no se repiten.El
Captulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme desucesiones
y series de fun-ciones. El concepto de convergencia puntual es muy
sencillo, no lo es tanto el de convergenciauniforme y puede que un
ingeniero no necesite estudiarlo condetenimiento. Es bueno que
se-pas para qu sirve y que muchas operaciones que consisten en
permutar el lmite funcional conla integracin o con la derivacin
requieren para su plena justificacin un tipo de convergenciamejor
que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con
detalle, omitiendo quizsalgunas demostraciones. Su estudio es
importante y muy tila efectos de clculo. Los desarro-llos en serie
de potencias de las funciones elementales, y ladefinicin por series
de potenciasde las funciones exponencial y trigonomtricas debes
estudiarlos bien. Lo que dice el teoremade aproximacin de
Weierstrass es muy fcil de entender, pero puedes omitir su
demostracin.La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo
que dediques a la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa
coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para
aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar
resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que
te parezcan msfciles, antes de consultar las so-luciones. Se
aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que
damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos
al primergolpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado
medio de dificultad: no son trivialespara no ofender a tu
inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas
desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En
cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los
conceptos eideas bsicas, as como el significado preciso de los
teoremas, antes de hacer los ejercicios.Para estudiantes de
matemticas y fsicaTodo lo dicho arriba se mantiene con algunos
aadidos:El Captulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los
conceptos bsicos de los nmerosUniversidad de GranadaDpto. de
Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e
integral
Guas de lectura XXIIcomplejos estn muy confusamente expuestos
en gran nmero de textos y las funciones com-plejas elementales son
definidas con frecuencia de una formapoco correcta.En el Captulo 4
debes estudiar y comprender bien las definiciones de extremo
superiore inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas
deque sabes usarlas con soltura. Ladiferencia entre un curso de
Clculo y uno de Anlisis Matemtico est en los conceptos desupremo e
nfimo. Los libros de Anlisis Matemtico siempre los incluyen, los de
Clculo casinunca. No es preciso, al menos en una primera lectura,
que estudies la demostracin del teo-rema de valores mximos y mnimos
de Weierstrass, en el Captulo 7 hay otra demostracinalternativa de
dicho teorema que es mucho ms fcil. Debes estudiar y comprender la
demos-tracin del teorema de Bolzano y sus consecuencias, as comolas
relaciones entre monotonae inyectividad.Para el Captulo 6 te doy
los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura
debesestudiar la demostracin de las reglas de LHpital.El Captulo 7
estudia las sucesiones numricas. Mantengo los mismos consejos de
arri-ba pero, adems, en una segunda lectura debes estudiar las
demostraciones de los resultadosprincipales, especialmente el
teorema de completitud deR. Por supuesto, debes estudiar
lacontinuidad uniforme.Para el Captulo 8 mantengo los mismos
consejos de arriba conel aadido de que estudieslas demostraciones
de integrabilidad de funciones continuas y de funciones montonas.En
el Captulo 9 puedes omitir la demostracin de la segunda parte del
teorema9.14perodebes entender lo que se afirma en el mismo. Lo dems
debes estudiarlo todo. El tema de lasseries es muy importante para
matemticos y fsicos.El Captulo 10 es de estudio obligado para
matemticos y fsicos. La convergencia uniformees tu primer encuentro
con algunos conceptos que sern ampliamente generalizados en
otroscursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la
comprensinde sus sutilezas estar bienempleado. Todos los teoremas
de este Captulo tiene demostraciones sencillas y cortas quedebes
estudiar. El teorema de aproximacin de Weierstrass es tambin uno de
esos resultadoscuya generalizacin se estudia en cursos ms
avanzados, debes entender bien lo que dice y noest de ms que leas
la demostracin. Por lo dems, mantengo los consejos dados arriba.La
parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a
la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa coleccin de
ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para aprender a
resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos
de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan
msfciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende ms de un
ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la
ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al
primergolpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado
medio de dificultad: no son trivialespara no ofender a tu
inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas
desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En
cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los
conceptos eideas bsicas, as como el significado preciso de los
teoremas, antes de hacer los ejercicios.Universidad de GranadaDpto.
de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e
integral
Captulo1Axiomas de R. Principio de induccionDios cre los nmeros
naturales, lo dems es obra de los hombres.L. Kronecker1.1.
IntroduccinLos temas tradicionales del Clculo son el estudio de las
funciones continuas, las derivadase integrales, las sucesiones y
las series. T ya debes saber algo de todo eso. En principio,
pare-cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base
comn, que es, precisamente, delo que nos vamos a ocupar en este
Captulo. Me estoy refiriendoa los nmeros reales que repre-sentamos
porR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los nmeros reales.
Sabes quese pueden sumar y multiplicar y que hay nmeros reales
positivos y negativos. Tambin puedesextraer races de nmeros reales
positivos y elevar un nmero real positivo a otro nmero real.Lo que
quizs no sepas es que todo lo que puedes hacer con los nmeros
reales es consecuenciade unas pocas propiedades que dichos nmeros
tienen que, adems, son muy elementales. Eneste Captulo
estableceremos dichas propiedades. Sern nuestro punto de partida
para todo loque sigue; constituyen losaxiomas del Clculo. Te
advierto que no voy a decrtelo todo,voy a guardarme una carta en la
manga que te mostrar ms adelante cuando su necesidad seamanifiesta
(si echas algo en falta, ve alCaptulo 4).1.1.1. Axiomas,
definiciones, teoremas, lemas, corolarios.Al terminar este
apartado, entenders el significado de la frase deBertrand
Russellque fueuno de los ms grandes matemticos y filsofos del siglo
XX.La matemtica pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qu
est hablandoni si lo que est diciendo es
verdad.1http://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2Siempre
que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sites en su
contexto apro-piado. Esto ya lo haces de forma automtica en muchas
ocasiones. Por ejemplo, sabes que unproblema de lgebra y otro de
probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero
lositas en lgebra y al segundo en Clculo de Probabilidades. Pero no
siempre las cosasson tan claras, no siempre tienes un marco de
referencia tan explcito. Para quesientaslo quequiero decirte, voy a
proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se
suponeque x;y son nmeros reales.1. Prueba que0 x D 0.2. Prueba
que.x/y Dxy.3. Prueba que six 0 entoncesx2 > 0.Supongo que hace
ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los nmeros quehas
olvidado cundo las aprendiste. Y ahora te pido que lasdemuestres!
Puedo imaginar tureaccinque demuestre que0 x D 0?, pero si eso es
evidente! siempre me han dicho que esas! cmo se puede demostrar tal
cosa?.Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio est en
que no sabes qu es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te
dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo ms
frecuente esquedarse colgadocon lamente en blancosin saber qu
hacer.Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco
de referencia muy claro que vaa consistir en unas propiedades de
los nmeros axiomas, si quieres llamarlas as que vamosa aceptar como
punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con
lasreglasde inferencia lgicausuales y condefinicionesapropiadas nos
permitirndemostrarresultados(teoremas) que podremos usar para
seguir avanzando.Simplificando un poco, puede decirse que en
matemticas no hay nada ms que axiomasy teoremas (bueno, tambin hay
conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que
sedemuestra es un teorema; por ejemplo0 x D 0 es un teorema. Ocurre
que el nombreteoremase reserva para resultados que se consideran
realmente importantes y que ha costado esfuerzollegar a probarlos.
Se usan tambin los trminos:corolario, lema, proposiciny otros.
Perola estructura de unateora matemtica elaboradase resume en un
conjunto de axiomas y deteoremas que se deducen de ellos mediante
reglas de inferencia lgica.Los axiomas de una teora matemtica
proporcionan el marco de referencia ms general dedicha teora. Son,
por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teora empieza a
caminary se demuestran los primeros resultados ms bsicos, es
frecuente recurrir de forma explcitaa los axiomas. Ms adelante,
cuando la teora va avanzando, los axiomas no suelen citarse
contanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados ms elaborados
previamente demostrados.Pero los axiomas siempre estn presentes
aunque sea de formadiscreta y no ostensible.Entre las
particularidades que distinguen a las Matemticas de las dems
ciencias hay unamuy especial: las Matemticas avanzan dando
definiciones. Las definiciones no son nuevosaxiomas. Una definicin
lo que hace es introducir un trmino nuevo y establece cmo
dichotrmino se expresa en funcin de los axiomas de la teora.
Porejemplo, la definicin de con-tinuidad se expresa mediante
desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas deorden
deR.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier
PrezClculo diferencial e integral
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3Quiero
tambin decirte algo sobre lo que se entiende porreglas de
inferencia lgicas usua-les. Me limitar a la ms importante:
laimplicacin lgica. Los teoremas matemticos tienencasi siempre la
siguiente estructura: se parte de unahiptesisy de ellase deduceuna
tesis.Entremos en detalles. Lahiptesises siempre alguna propiedad
matemtica; por ejemplo, fes una funcin continua en un intervalo. La
tesistambin es una propiedad matemtica; porejemplo,la imagen def es
un intervalo. Representemos porH la hiptesis y porT la tesis.Es
importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse
por laveracidadde la hi-ptesisH . No es ni verdadera ni falsa. Para
queH sea verdadera o falsa debemos particularizarla funcinf .Un
error muy frecuente consiste en pensar que en Matemticaslas
hiptesis son verdade-~ras.Ahora te preguntars, siH no es verdadera
ni falsa, qu quiere decir queH implica To, equivalentemente, queT
se deduce o es consecuencia deH? La respuesta es: H implicaT quiere
decir quesiempre queH sea verdadera tambinT es verdadera. Observa
que noestamos afirmando (no tiene sentido) queH o T sean verdaderas
sino quecuandoH es verda-dera tambin lo esT . Con ms precisin,
demostrar queH implicaT consiste en probar que laproposicinHT es
cierta. Teniendo en cuenta que la proposicinHT es la disyuncinlgica
(noH )_T , resulta que siH es falsa entoncesHT es verdadera (por
eso se dice quede una hiptesis falsa puede deducirse cualquier
cosa) y siH es verdadera entonces para queHT sea verdadera tiene
que ocurrir queT sea verdadera. En consecuencia, si sabemos queH es
verdadera y queHT es verdadera, deducimos queT es verdadera.Ahora
puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.La
matemtica es la ciencia ms exacta, y sus conclusiones son
susceptibles dedemostracin absoluta. Pero eso se debe
exclusivamente a que la matemtica nointenta obtener conclusiones
absolutas.Todas las verdades matemticas son rela-tivas,
condicionales.Tambin comprendes ya el significado de una parte de
la enigmtica frase de Bertrand Russelldel principio:en matemticas
no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de
dichafrase queda por aclarar.Recuerdas los axiomas de la geometra
elemental? En dichosaxiomas se establecen pro-piedades que se
supone satisfacen ciertos objetos llamadospunto,recta y plano. Pero
nose dice nuncalo que esun punto ni una recta ni un plano. De la
misma forma, en la seccinsiguiente estableceremos los axiomas de
los nmeros reales, pero no diremoslo que esun n-mero real. En
matemticas nunca decimos cul es la naturaleza concreta de los
objetos conlos que trabajamos! Sucede que la intuicin nos lleva
muchasveces a una interpretacinna-tural de dichos objetos, pero
otras veces dicha interpretacin natural no est disponible. Y, loms
interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una
misma teora matemtica.Precisamente, las matemticas son unaciencia
abstractaporque trabaja con cosas abstractascuya naturaleza no se
precisa ni es necesario saber, solamente interesan lasrelacionesque
hayentre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya
entiendes por qu afirma BertrandRussell queen matemticas no sabemos
de lo que hablamos.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis
MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e integral
Axiomas de los nmeros reales 41.2. Axiomas de los nmeros
reales1.2.1. Axiomas algebraicosComo ya sabes, se distinguen
distintas clases de nmeros:Losnmeros naturales1; 2; 3; : : : . El
conjunto de todos ellos se representa porN.Losnmeros enteros: : :
;2;1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa porZ.Los nmeros
racionalesque son cocientes de la formap=q dondep 2 Z; q 2 N,
cuyoconjunto representamos porQ.Tambin conoces otros nmeros comop2,
, o el nmero e que no son nmeros racionalesy que se llaman, con una
expresin no demasiado afortunada, nmeros irracionales. Puesbien, el
conjunto formado por todos los nmeros racionales eirracionales se
llamaconjunto delos nmeros realesy se representa porR.Es claro queN
Z Q R.Aunque los nmeros que no son racionales pueden parecer un
poco raros, no merece lapena, al menos por ahora, preocuparse por
cmo son estos nmeros; sino que lo realmenteinteresante es aprender
a trabajar con ellos. Lo interesante del nmerop2 es que su
cuadradoes igual a21.Pues bien, una de las cosas ms llamativas de
los nmeros es que a partir de un pequeogrupo de propiedades pueden
deducirse casi todas las dems.Vamos a destacar estas propie-dades
bsicas que, naturalmente, hacen referencia a las dosoperaciones
fundamentales que sepueden hacer con los nmeros: la suma y el
producto. La suma dedos nmeros realesx;y seescribexCy,
representndose el producto porxy. Las propiedades bsicas a que nos
referimosson las siguientes.P1 Propiedades asociativas.Para
todosx;y; z enR:.x C y/C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/P2
Propiedades conmutativas.Para todosx;y enR:x C y D y C x I x y D
yxP3 Elementos neutros.Hay dos nmeros realesdistintosque
representamos por0 y 1tales que para todox2R se verifica que:0C x D
x 1x D xP4 Elementos opuesto e inverso.Para cada nmero realx hay un
nmero real llamadoopuesto dex, que representamos porx, tal que x C
.x/D 0:Para cada nmero realx distinto de0, x 0, hay un nmero real
llamadoinverso dex,que representamos porx1, tal que xx1D 1:1La
seccinNmeros y medida de magnitudestrata de la aparicin de los
nmeros irracionales y su relacincon la medida de
magnitudesUniversidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf.
Javier PrezClculo diferencial e integral
Axiomas de orden 5P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y
z para todosx;y; z enR.Las propiedades anteriores son de tipo
algebraico y, aunqueson muy sencillas, a partir de
ellaspuedenprobarsecosas tan familiares como que0xD0, o
que.x/yD.xy/. Vamos a hacerlo.1.1 Proposicin. Se verifican las
siguientes igualdades0x D 0; .x/y Dx y; .x/.y/D xy :Demostracin.
Probaremos primero que0x D 0. PorP5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como
con-secuencia deP3 es0 C 0 D 0. Obtenemos as que0 x D 0 x C 0 x.
UsandoP4, sumamos elopuesto de0 x a ambos lados de la igualdad0 xD0
xC0 x y, usando tambinP1 (la propiedadasociativa), obtenemos que0 x
D 0.Probaremos ahora que.x/yD.xy/. Tenemos quexyC.x/yD.xC.x//yD0
yD0.Donde hemos usadoP4, P5y el apartado anterior. La igualdadxy C
.x/y D 0 nos dice, porP4, que.x/y es el opuesto dexy. Eso es
justamente lo que queramos probar.Finalmente, la igualdad.x/.y/D xy
es consecuencia inmediata de la anterior. 2El smbolox debe leerse
siempre el opuesto dex y no menosx. La razn es que~la palabra menos
remite a una idea de orden (si hay menos es porque hay ms) y
elsignificado dex es puramente algebraico y nada tiene que ver con
la idea de orden de la queni siquiera hemos hablado an. No cometas
el error de pensarquex es negativo!Notacin. Suele escribirsex y en
vez dex C .y/. Tambin, supuestoy 0, se escribex=y o xyen vez dex
y1.1.2.2. Axiomas de ordenLos nmeros tienen, adems de las
propiedades algebraicas,otras propiedades que
suelenllamarsepropiedades de orden. Como sabes, los nmeros suelen
representarse como puntos deuna recta en la que se fija un origen,
el0, de forma arbitraria. Los nmeros que hay a la derechade0, se
llamanpositivosy el conjunto de todos ellos se representa porRC.
Las propiedadesbsicas del orden son las siguientes.P6 Ley de
tricotoma. Para cada nmero realx se verifica una sola de las
siguientes tresafirmaciones:x D 0, x es positivo,x es positivo.P7
Estabilidad deRC. La suma y el producto de nmeros positivos es
tambin un nmeropositivo.1.2.2.1. Relacin de ordenObserva que enP6
se dice, en particular, que el0 noes positivo, el0 es el0! Por otra
parte,si x es un nmero positivo, entonces comox C .x/D 0 y el 0 no
es positivo, concluimos,por P7, quex no es positivo. Los elementos
del conjuntoRD fx W x 2 RCg, es decir,los opuestos de los nmeros
positivos, se llamannmeros negativos. Observa que siz 2
Rentoncesz2RC.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf.
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Desigualdades y valor absoluto 61.2 Definicin. Parax;y 2 R
escribimosx < y (lasex es menor quey) o y > x (laseyes mayor
quex) para indicar quey x 2 RC, y escribimosx 6 y o y > x para
indicar quey x 2 RC [ f0g.Notacin.En adelante usaremos las
notaciones:RCo DRC[f0g, RoDR[f0g y RDRnf0g.1.3 Proposicin. Para
todox 0 se verifica quex2 > 0. En particular,1 >
0.Demostracin. Probaremos que six 0 entoncesx2 > 0. En efecto,
six 0 entonces, porP6, o bienx es positivo o bienx es positivo.
Teniendo en cuenta que, como consecuencia de(1.1), es x2 D x x D
.x/.x/, concluimos quex2 es positivo. En particular, tenemos que12
D 1 > 0. Acabamos de probar que1 > 0!. 2Tenemos ahora dos
tipos de propiedades enR, las algebraicasP1-P5 y las de ordenP6
yP7. En la siguiente seccin estudiamos cmo se relacionan entre
s.1.2.3. Desigualdades y valor absolutoLas propiedades del orden de
los nmeros reales son las que nos permiten trabajar
condesigualdades. Es muy fcil equivocarse al trabajar con
desigualdades. Yo creo que en el ba-chillerato no se le da a este
tema la importancia que merece. Fjate que algunos de los
conceptosms importantes del Clculo se definen mediante
desigualdades (por ejemplo, la definicin desucesin convergente o de
lmite de una funcin en un punto).Por ello, tan importante co-mo
saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprender a
manejar correctamentedesigualdades, y la nica manera de hacerlo es
con la prctica mediante numerosos ejemplosconcretos. Por supuesto,
siempredeben respetarse cuidadosamente las reglas generales
quegobiernan las desigualdades entre nmerosy asegurarse de que se
usan correctamente. Apartede tales reglas no hay otros mtodos
generales que nos digan cmo tenemos que proceder encada caso
particular.En el siguiente resultado el primer teorema de este
curso! se enuncian las propiedadesprincipales del orden deR. Son
las que debers usar para trabajar con desigualdades.1.4
Teorema(Reglas para trabajar con desigualdades). Seanx;y; z nmeros
reales.1. x 6 y e y 6 z implican quex 6 z.2. x 6 y e y 6 x implican
quex D y.3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones:x
< y, x D y, o y < x:4. x < y implica que x C z < y C
z.5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.6. x < y , z
< 0 implican que xz > y z.7. xy > 0 si, y slo si,x e y son
los dos positivos o los dos negativos. En consecuenciasi x 0 es x2
> 0 y, en particular, 1 > 0.Universidad de GranadaDpto. de
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integral
Desigualdades y valor absoluto 78. z > 0 implica que1z>
0:9. Supuesto quex e y son los dos positivos o los dos negativos,
se verifica quex < yimplica que1y 0. Si ahora esz > 0, tambin
serz.y x/ > 0, es decir,zy zx > 0 o, sea,zx < zy. Lo nico
que hemos usado aqu ha sido la definicin de lossmbolos y algunas de
las propiedadesP1-P8. Un estupendo ejercicio para quecompruebes tus
habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema
anterior.1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticasLa forma
en que estn escritos los apartados del teorema anterior no me gusta
mucho. Voya decirte por qu y para eso voy a tratar aqu un defecto
en el que solemos caer al leer o estudiarmatemticas. Se trata de
algo que realizamos de una manera mecnica, y por ello no es fcil
deevitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que
entendemos y aprendemos. Paraponerlo de manifiesto vamos a
considerar un ejemplo. En uno delos ejercicios al final de
estaseccin te propongo que pruebes que la igualdad1xC 1yD 1x C y
(1.1)nuncaes cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado.
Seguidamente te pido que me digascundo es cierta la igualdad1x C y2
C1zD 1x C y2 C z (1.2)Tienes 15 segundos para contestar (y sobran
13). Si? No? Son la mismaigualdad! Y, aques a dnde yo quera llegar,
si no te parecen la misma igualdades porqueests leyendo lossmbolos
y no los conceptos, es porque ests leyendo las letras! Claro, me
dirs, las letrasestn para leerse. De acuerdo, pero hay que ir
siempre al significado de lo que se lee y noquedarse en la
superficie de los smbolos. Los smbolos proporcionan mucha comodidad
paraexpresar las ideas matemticas, pero con frecuencia, si no
sabemos leer bien su significado,los smbolos pueden ocultar los
conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad(1.1)
sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo quela suma de dos
inversos nunca esigual al inverso de la suma. Por tanto, la
igualdad (1.2) jams puede darse pues es la mismaigualdad (1.1) en
la que se ha sustituidox por x C y2 e y por z. Pero tantox comox C
y2son nmeros reales cualesquiera e igual ocurre conz e y. Te das
cuenta del problema? No esigual retener la idea de que 1 dividido
porx ms 1 dividido pory nunca es igual a 1 divididopor x C y que
asimilar que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de
la suma.En el primer caso los smbolosx e y tienen un protagonismo
que no les corresponde, ocultanel concepto: si te fijas demasiado
en ellos no sabrs reconocer que (1.2) y (1.1) son la mismacosa.Esto
que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la
mayora de loslibros de texto enuncian el teorema de Bolzano como
sigue.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier
PrezClculo diferencial e integral
Desigualdades y valor absoluto 8Seaf W a; b! R continua y
verificando quef .a/f .b/ < 0. Entonces hay algnc 2 a; b tal
quef .c/D 0.Demasiadas letrasf , a, b, c, demasiadas precisiones
que lo que hacen es confundir y ocultarel resultado. La forma
correcta de leer el enunciado anterior es: toda funcin continua en
unintervalo que toma valores positivos y negativos se anula enalgn
punto de dicho intervalo.Los teoremas deben enunciarse as, a ser
posible sin smbolos. Yo procuro hacerlo siempreque el resultado lo
permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo
hagast. Por ejemplo, la propiedad5) de dicho teorema debe leerse (y
escribirse) en la forma: unadesigualdad se conserva al
multiplicarla por un nmero positivo.1.5 Estrategia. Traduce los
smbolos en conceptos. Cuando leas matemticaspresta atencin~a los
conceptos y no retengas smbolos concretos.1.6 Definicin. Se dice
que un conjunto no vaco de nmeros reales,A R, tienemximosi hay un
nmeroM 2A que es el mayor de todos los elementos deA, es decir,x 6
M paratodo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimosM D mKaxA. Se dice
que un conjunto no vacode nmeros reales,A R, tienemnimosi hay un
nmerom2A que es el menor de todos loselementos deA, es decir,m6 x
para todox 2 A. Cuando esto ocurre, escribimosmDmKnA.Valor
absolutoEl valor absolutode un nmerox2R se define como el nmero:jx
j Dx si x > 0x si x 6 0Para trabajar con valores absolutos es
til recordar la siguiente definicin.1.7 Definicin. 2. Para cada
nmeroz2RCo , representamos porpz al nico nmeromayor oigual que
cerocuyo cuadrado es igual az.1.2.3.2. Una funcin aparentemente
caprichosaAcabamos de definir la funcinraz cuadrada. Ahora te
propongo un juego: voy a ha-certe una pregunta que t vas a
responder de forma inmediata diciendo lo primero que se teocurre.
La pregunta es la siguiente: dime el valor depx2. Por experiencia s
que la mayorade las veces la respuesta esx. Pues si esa ha sido tu
respuesta te equivocas. Vuelve a leer ladefinicin anterior y
responde ahora de forma meditada. Confo en que ya tengas la
respuestacorrecta que esjxj. En efecto, se tiene quejxj2D x2 y,
adems, jxj> 0, por tantojx j Dpx2.S por experiencia que muchos
estudiantes tienen la idea de que la raz cuadrada de unnmero real
positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos
creen que pue-de tomar los dos valores y, en este caso, deben
pensar quepx2 D fx;xg. Cosas ms ra-ras se han visto. Toda esta
magia lleva a situaciones bastante extraas. Por ejemplo, essabido
que la distancia eucldea entre dos puntos.a; b/ y .c;d/ del plano
viene dada porp.a c/2 C .b d/2. En particular, la distancia entre
los puntos.a; b/ D .1; 2/ y .c;d/ D2Con las herramientas que ahora
tenemos no podemos probar la existencia de races
cuadradasUniversidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf.
Javier PrezClculo diferencial e integral
Desigualdades y valor absoluto 9.1; 3/ esp.1 1/2 C .2 3/2
Dp.1/2 D1. Una distancia negativa? No, la raz cuadra-da no es una
funcin caprichosa y su definicin no deja lugar a dudas: la raz
cuadrada de unnmero positivo es tambin un nmero positivo.Sabes de
dnde procede esta confusin tan extendida? Pues viene de muy atrs,
de cuandoen la escuela se aprende (realmente se aprende?) a
resolver la ecuacin de segundo gradoax2 C bx C c D 0 cuyas
soluciones son los nmerosb pb2 4ac2a(1.3)Ah est el problema: en el
confuso smbolo delante de la raz. Es eso lo que lleva a muchosa
pensar que las races cuadradas pueden tomar dos valores: uno
positivo, que corresponde a laeleccin del sigoC, y otro negativo
que corresponde a la eleccin del signo en la expresin(1.3). Lo ms
lamentable es que toda esta confusin no es ms que producto de la
pereza. Vers,cuando se aprende a resolver la ecuacin de segundo
gradoax2C bxC cD 0 (realmente seaprende?) se obtienen las
solucionesb Cpb2 4ac2a;b pb2 4ac2aComo esto es largo de escribir en
la pizarra, los profesores,por pereza, resumen las
solucionesobtenidas en la expresin nica (1.3). Eso explica cosas
bastante incomprensibles como, porejemplo, escribirCp3 acaso
escribes +7? No, sabes que 7 es un nmero positivo y
parecetotalmente improcedente escribirC7. Entonces, por qu
escribirCp3? Respuesta, porquep3 es caprichoso: unas veces puede
ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se lellama
magia matemtica, est bastante ms extendida de lo que puedes creer y
no solamenteentre estudiantes. Confo en que te haya quedado claro
sin lugar a dudas quepx2 D jxj y quela raz cuadrada no es una
funcin caprichosa.La utilidad de la raz cuadrada para trabajar con
valores absolutos procede de la siguienteestrategia de
procedimiento.1.8 Estrategia. a) Para probar que dos nmeros
positivos son iguales es suficiente probarque sus cuadrados son
iguales.b) Para probar una desigualdad entre dos nmero positivos
essuficiente probar dicha de-sigualdad para sus cuadrados.El
enunciado anterior est hecho como a mi me gusta: con palabras y sin
smbolos. Ponien-do smbolos, lo que se dice en el enunciado es
que:Dadosa; b 2 RCo para probar queaDb es suficiente probar
quea2Db2 y para~probar quea < b es suficiente probar quea2 <
b2.Todo lo dicho es consecuencia de queb2 a2 D .b a/.b C a/ y se
tiene queb C a > 0.Geomtricamente,jxj representa la distancia
dex al origen,0, en la recta real. De manera msgeneral:jx yj D
distancia entrex eyrepresenta la longitud del segmento de extremosx
ey.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier
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Ejercicios propuestos 101.9 Teorema(Propiedades del valor
absoluto). Para x;y 2 R se verifica que:i) jxj6 y es equivalente ay
6 x 6 y.ii) jx yj D jxjjyj.iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad
se da si, y slo si,xy > 0 desigualdad triangular.iv) jjxj jyjj6
jx yj y la igualdad se da si, y slo si,xy > 0.Demostracin. La
primera afirmacin es consecuencia inmediata de la definicin de
valorabsoluto. Para probarii) , iii) y iv) usaremos la estrategia
(1.8).ii) Tenemos quejxyj2 D .xy/2 D x2y2 D jxj2jyj2 D
.jxjjyj/2.iii) Tenemos quejx C
yj2D.xCy/2Dx2C2xyCy2Djxj2C2xyCjyj26jxj2C2jxyjCjyj2D.jxjCjyj/2La
igualdad se da si, y slo si,xy D jxyj, es decir,xy > 0.iv)
Tenemos quejjxj jyjj2 D x2 2jxyj C y2 6 x2 2xy C y2 D .x y/2 D jx
yj2La igualdad se da si, y slo si,xy D jxyj, es decir,xy > 0.
2Te recuerdo que debes leer de forma correcta las
propiedadesanteriores: no te fijes en las letrassino en los
conceptos. La propiedadii) debes leerlael valor absoluto de un
producto es igualal producto de los valores absolutos. Por su
parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:i) El valor
absoluto de una suma es menor o igual que la suma de losvalores
absolutos.ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de
los valores absolutos si, y slo si,todos los sumandos son positivos
o todos todos los sumandos son negativos.1.2.4. Ejercicios
propuestos1. Sabes por qu no se puede dividir por0?2. Qu quiere
decir que un nmero no es racional? Demuestra quep2 no es
racional.3. Sabiendo queaC b > c C d; a > b; c > d I se
verifica necesariamente alguna de lasdesigualdades:a > c; a >
d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo encada
caso.Universidad de GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier
PrezClculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 114. Seax un nmero real. Estudia si cada
una de las desigualdadesx2 < x y x3 < x2es consecuencia de la
otra.5. Calcula para qu valores dex se verifican las desigualdades
siguientes.i)2x 3x C 2 0iii) x2 5x C 9 > x iv) x3.x 2/.x C 3/2
< 0v) x2 .aC b/x C ab < 0 vi) 3.x a/a2 < x 3 a3 < 3.x
a/x26. Prueba las siguientes desigualdades:a) 0 < x C y x y <
1 siempre que0 < x < 1; 0 < y < 1:b)1xC 1aC b x 0 y b
> 0 se verifica quea2.aC b/pb 1 iv) jx y C zj D jxj jz yjv) jx
1j C jx C 1j < 1 vi) jx C y C zj D jx C yj C jzjvii) jxj jyj D
jx yj viii) jx C 1j < jx C 3j9. Supuesto quest 0; c >
0.Sugerencia. Para probar a) considrese.x y/2. Las dems
desigualdades pueden de-ducirse de a).11. Demuestra todos los
apartados del teorema (1.4) y enncialos con palabras.Universidad de
GranadaDpto. de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo
diferencial e integral
Ejercicios resueltos 1212. Seanx ey nmeros distintos de cero.
Prueba que las igualdades1x C y D1xC 1y;qx2 C y2 D x C yson
falsas.13. Comprueba que.x C 1/ 12.2x C 1/2 Dx 12.2x C 1/2. Por
tanto, extrayendoraces cuadradas, se deduce que.xC1/ 12.2xC1/Dx
12.2xC1/, esto esxDxC1y, por tanto,0D 1. Dnde est el error?14.
Calcula los nmeros realesx que verifican cada una de las
igualdadespx C 1 px 1D 2; 1px 2 1pxD 23Comprueba las soluciones
obtenidas.15. Prueba quejxj C jyj C jzj6 jx C y zj C jx y C zj C jx
C y C zj.16. Prueba que sim es un nmeros natural que no es el
cuadrado de ningn nmero natural,es decir,m n2 para todon 2N,
entonces se verifica quepm es un nmero real noracional.Sugerencia.
Usa la descomposicin dem en factores primos.17. Justifica las
siguientes afirmaciones.a) La suma de un nmero racional y un nmero
irracional es un nmero irracional.b) El producto de un nmero
racional no cero por un nmero irracional es un nmeroirracional.c)
La suma y el producto de dos nmeros irracionales puede serracional
o irracional.d) Los nmerosp2Cp3,p6 p2 p3 yp5C 23p5C 4son
irracionales.1.2.5. Ejercicios resueltosAntes de ver la solucin de
un ejercicio debes intentar resolverlo!Ejercicio resuelto 1 Sabes
por qu no se puede dividir por0?Solucin.Si se pudiera dividir por0,
es decir, si hubiera un nmero que fuera el inversodel0, su producto
por0 habra de ser igual a 1, pero ya sabemos que al multiplicar
por0el resultado es siempre0. Conclusin: si se pudiera dividir por
cero habra de ser1D 0,lo cual es falso. Universidad de GranadaDpto.
de Anlisis MatemticoProf. Javier PrezClculo diferencial e
integral
Ejercicios resueltos 13Ejercicio resuelto 2 Qu quiere decir que
un nmero no es racional? Demuestra quep2 noes racional.Solucin. Que
un nmero no es racional quiere decir que no puede escribirse
comocociente de nmeros enteros. Para probar que un nmero es
irracional suele razonarse porcontradiccin: se supone que el nmero
en cuestin es racional y se llega a una situacincontradictoria. Una
prueba clsica de quep2 es irracional es como sigue. Supongamosquep2
fuera racional. Entonces existirn nmeros naturalesm y n sin
factores comunes,en particularm y n no podrn ser ambos pares, tales
quep2Dmn, esto es,2n2Dm2. Laigualdad2n2 Dm2 nos dice quem2 es par
lo cual implica que tambin tiene que serlom. As podemos escribirmD
2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificandotenemos
quen2 D 2p2, y de aqu se sigue, al igual que antes, quen tiene que
ser par ysta es la contradiccin anunciada. Ejercicio resuelto 3
Calcula para qu valores dex se verifica que2x 3x C 2 2, la
desigualdad dada equivale a6x 9 < x C 2, es decir,x < 11=5.
Luegopara2 < x < 11=5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora
qu pasa six < 2. En talcaso, al multiplicar porx C 2 < 0 la
desigualdad equivale a6x 9 > x C 2, es decir,x > 11=5
condicin que no puede darse six C 2 < 0. En resumen, la
desigualdad escierta para2 < x < 11=5.Otra forma de proceder
consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es
equivalen-te a la obtenida al multiplicarla por una cantidad
positiva.Multiplicando la desigualdaddada por.x C 2/2 obtenemos que
dicha desigualdad equivale a la siguiente.2x 3/.x C 2/ < 13.x C
2/2Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta
desigualdad es lo mismo que5x2 x 22 < 0. Las soluciones de la
ecuacin5x2 x 22 D 0 son a D 2 ybD 11=5. Por tanto,5x2x 22D 5.xC
2/.x 11=5/. Resulta as que la desigualdaddada equivale a.x C 2/.x
11=5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un productode dos
nmeros s
