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Page 1: Calculo II

CÁLCULO – II

Manoel Benedito Serra da Costa.

Page 2: Calculo II

CALCULO II

AutorManoel Benedito Serra da Costa

2010

2

Page 3: Calculo II

COSTA, Manoel Benedito Serra da / Calculo II – Duque de Caxias:

Escola Técnica Atenew, 2010.32 p.

1.ª impressão

Al: Francisco de Miranda, lt:09 – qd:01Jardim Primavera – Duque de Caxias – RJ

25.215 – 425www.atenew.com

3

Page 4: Calculo II

4

ÍNDICE

ITEM P Á G .

RELAÇÃO DE PITÁGORAS ------------------------------------------------------------- 04

APLICAÇÕES DA RELAÇÃO DE PITÁGORAS ------------------------------------- 06

Exemplos práticos --------------------------------------------------------------------------- 06

Procedimentos ------------------------------------------------------------------------------- 06

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ---------- 07

Hipotenusa ----------------------------------------------------------------------------------- 08

Cateto oposto -------------------------------------------------------------------------------- 08

Cateto adjacente ---------------------------------------------------------------------------- 08

Seno ------------------------------------------------------------------------------------------- 08

Co-seno --------------------------------------------------------------------------------------- 09

Tangente -------------------------------------------------------------------------------------- 09

Co-tangente ---------------------------------------------------------------------------------- 10

APLICAÇÃO PRÁTICA ------------------------------------------------------------------ 14

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS --------------------------------------------------- 17

Tabela 8.1 ------------------------------------------------------------------------------------ 17

Tabela 8.2 ------------------------------------------------------------------------------------ 18

Tabela 8.3 ------------------------------------------------------------------------------------ 19

Tabela 8.4 ------------------------------------------------------------------------------------ 20

EXERCÍCIOS – RELAÇÕES DE PITÁGORAS -------------------------------------- 21

REFERENCIAIS BIBLIOGRAFICAS -------------------------------------------------- 31

Page 5: Calculo II

TRIGONOMETRIA

RELAÇÃO PITÁGORAS.

No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto (o maior) recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados chamam catetos.

A relação entre a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo é:O quadrado da medida da hipotenusa é igual á soma dos quadrados das medidas dos catetos.

a² = b² + c² ou

a = b² + c²

Onde:

a2 = 5² = 25

c² = 4² = 16

b² = 3² = 9

25 = 16 + 9

RESULTADO:

a = medida da hipotenusa

a²= b² + c² a = b² + c²

b = medida do cateto menor _ b² = a² - c²

b = a² - c²

c = medida do cateto maior _ c² = a² - b²

c = a²- b²

5

a (hipotenuza)b (cateto)

c (cateto)

1 2 3

654

7 8 9

321 4

5 6 87

9 10 11 12

13 14 1615

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

1314

15

16

2122

2324

25

1718

1920

c

b a

a -

c2

2

a - b22

2

2

b + c

Page 6: Calculo II

1

200

450

220 1

220

125

X

Aplicações da relação de Pitágoras.

Em relação aos cálculos de diagonais, alturas e lados de polígonos.Nos trabalhos de oficina, como montagens e construção.Na traçagem de peças grandes.

Exemplos práticos:

Usa-se a relação de Pitágoras na determinação da cota de esquadrejamento para peças grandes soldadas ou dobradas.

Ela pode ser usada também na determinação de cotas não especificadas em desenhos.

Procedimentos: .Encontrar o retângulo e destacá-lo; .Dimensioná-lo;.aplicar a relação de Pitágoras:

x² = (125mm)² + (220mm)² x = √(125 mm)² + (220 mm)² x = √ 15625 mm + 48400 mm x = √ 64025 mm x = 253 mm

Pode usá-la ainda na determinação da medida real para traçagem

6

Page 7: Calculo II

SOLTERRA

ESTRELA

120

300

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

A trigonometria é uma parte da matemática aplicada extensivamente na resolução de problemas de Engenharia e Astronomia, sendo de especial importância nos levantamentos topográficos.Com aplicação de trigonometria, podem-se medir larguras de rios em trechos inacessíveis, alturas de prédios e montanhas e até mesmo distância de estrelas.

Em mecânica, a trigonometria é muito utilizada na determinação de ângulos e medidas de algumas partes cônicas de uma peça qualquer. Para o projetista de máquinas e ferramentas, controlador de qualidade, serralheiro, funileiro, caldeireiro, etc. é indispensável o conhecimento da trigonometria. É muito comum o desenho especificar somente a medida maior ou menor e o comprimento da peça. O profissional deve, então, calcular o ângulo de inclinação dessa peça para poder fabricá-la, o que ele consegue com auxilio da trigonometria.

Nos triângulos, existem três lados e três ângulos, sendo que, no triângulo retângulo, um deles é de 90º. Quando são conhecidos mais de um ângulo e a medida de um dos lados, podem se calcular as três partes restantes.Esses cálculos são baseados em determinadas relações existente entre os lados e o ângulo do triângulo, que a trigonometria estabelece.Portanto, ela é a parte da matemática que trata das relações entre os ângulos do retângulo e também, das aplicações dessas relações na resolução de problemas.

7

Page 8: Calculo II

c

b a

B C

HipotenusaCateto

Cateto

C

B

Ab = 8,66

c = 10

Hipotenusa

O lado maior de um triângulo retângulo é chamado hipotenusa e os outros dois lados, catetos.

Cateto oposto

É o lado do triângulo que não pertence ou não faz parte do ângulo em questão. É o que está do lado contrário ao ângulo que se refere.

CB é o cateto oposto ao ângulo A.AC é o cateto oposto ao ângulo B.

Cateto adjacente

È o lado que, juntamente (adjacente) com a hipotenusa, forma o ângulo em questão.

CB é o cateto adjacente ao ângulo B.AC é o cateto adjacente ao ângulo A.

Seno

Em qualquer triângulo retângulo, quando se quer determinar um dos ângulos, a relação do cateto oposto com esse ângulo e a hipotenusa têm o nome de seno (sen).

Determinar o seno dos ângulos A e B do triângulo.

8

B

b a

Cc

A

Cateto opostohipotenusa

bc

= =8,66

10= 0,866Sen. B =

Cateto opostohipotenusa

ac

= =5

10= 0,5

Sen. A =

Page 9: Calculo II

C

B

Ab = 8,66

c = 10

C

B

Ab = 8,66

c = 10

Co-seno

A relação do cateto adjacente com a hipotenusa tem o nome de co-seno (Cos.).

Determinar o co-seno dos ângulos A e B do triângulo.

Tangente

A relação do cateto oposto com o cateto adjacente tem o nome de tangente (tg.).

9

bc

= =8,66

10= 0,866

Cateto adjacentehipotenusa

Cateto adjacentehipotenusa

Cos. B =ac

= =5

10= 0,5

Cos. A =

Page 10: Calculo II

C

B

Ab = 8,66

c = 10

Determinar a tangente dos ângulos A e B do triângulo.

Co-tangente

A relação do cateto adjacente com o cateto oposto tem o nome de co-tangente (cotg). Se em um triângulo retângulo Forem dados 2 ângulos e a medida de um dos lados, pode –se calcular o restante, usando-se as mesmas relações estudadas. No exemplo da próxima página, como se tem a medida da hipotenusa deve-se empregar uma das funções que a envolve; portanto, pode ser seno ou pelo co-seno.Para co-tangente 1, o ângulo correspondente é de 45°.

Determinar a cotg dos ângulos A e B do triângulo.

10

Tg. B =Cateto oposto

Cateto adjacente=

ba

=8,66

5= 1,732

ab

= =5

8,66= 0,577

Cateto oposto

Cateto adjacenteTg. A =

Cot. B =Cateto adjacente

Cateto oposto=

ab

=5

8,66= 0,577

ba

= =8,66

5= 1,732

Cateto adjacente

Cateto opostoCotg. A =

Page 11: Calculo II

c = 100

a =

x

b = y

B

C A

60°

Utilizando o seno:

Completar os ângulos e as medidas do triângulo retângulo abaixo.

Sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°

Então, o ângulo A = 180° - (90° + 60°) A = 180° - 150° A = 30° Procurar na tabela o seno A (30°) Seno 30° = 0,5 a = 100 x 0,5 = 50 a = 50

Agora só falta determinar o lado B(pelo co-seno)

Procurar na tabela o cos A (30°) Cos 30° = 0,866 b = 100 x 0,86,6 b = 86,

11

ac

= =a

100

Cateto oposto

HipotenusaSen. A =

Sen. A =a

100a = 100 x Sem. A>

bc

= =b

100

Cateto adjacentehipotenusa

Cos. A =

Page 12: Calculo II

Finalmente o triângulo fica com as seguintes medidas:

{

a (BC) = 50 b (AC) = 86,6 c (AB) = 100

Como foi visto no exemplo anterior, é necessário que se tenha uma tabela para se encontrar seno, co-seno, tangente e co-tangente e, para isso é necessário também que saiba consultar a tabela.

Como consultar as tabelas de seno, co-seno, tangente e co-tangente

O procedimento será sempre o mesmo para o uso detalhado das tabelas de seno, co-seno, tangente e co-tangente.

Primeiro caso:Dado um ângulo, achar o valor do seno.Exemplo: Encontrar o valor do seno de 38°20’.Toma-se a tabela dos senos e, na primeira coluna vertical, à esquerda, procura-se o lugar correspondente a 38°. Depois, desliza-se o dedo horizontalmente até a coluna que, na parte de cima, marca 20’.O número que aí se encontra (0,62024) e’ o seno de 38°20’.

Seno de 0º a 45º

GrausMinutos

0 10 20 30 40 50

0 0,00 00 0,002 91 0,005 82 0,008 73 0,011 64 0,014 54

1 0,017 45 0,020 36 0,023 36 0,026 18 0,029 08 0,031 99

38 0,615 66 0,617 95 0,620 24 0,622 51 0,624 79 0,627 06

39 0,629 32 0,631 58 0,633 83 0,638 32 0,638 32 0,640 56

12

A = 30°B = 60°C = 90

Ângulos

Page 13: Calculo II

Segundo casoDado o valor do seno, encontrar o valor do ângulo.Exemplo: Encontrar o valor do ângulo cujo seno é 0,36650.Toma-se a tabela de senos e procura-se o número dado (0,36650), que é facilmente encontrado, pois os valores sempre estão em ordem crescente (caso dos senos e tangentes) ou decrescente (caso dos co-senos e co-tangentes).Verifica-se que ele está situado na coluna horizontal correspondente a 21° e, na coluna vertical correspondente a 30’.

Seno de 0º a 45º

GrausMinutos

0 10 20 30 40 50

0 0,00 00 0,002 91 0,005 82 0,008 73 0,011 64 0,014 54

1 0,017 45 0,020 36 0,023 36 0,026 18 0,029 08 0,031 99

2 0,034 90 0,037 81 0,040 71 0,043 62 0,046 53 0,049 43

3 0,052 34 0,055 24 0,058 14 0,061 05 0,063 95 0,066 85

16 0,275 64 0,278 43 0,281 23 0,284 02 0,286 80 0,289 59

17 0,292 37 0,295 15 0,297 93 0,300 71 0,303 48 0,306 25

18 0,309 02 0,311 78 0,314 54 0,317 30 0,320 06 0,322 82

19 0,325 57 0,328 32 0,331 06 0,333 81 0,336 55 0,339 29

20 0,342 02 0,344 75 0,347 48 0,350 21 0,352 93 0,355 65

21 0,558 57 0,261 08 0,363 79 0,366 50 0,369 21 0,371 91

22 0,374 61 0,377 30 0,379 99 0,382 69 0,385 37 0,388 05

23 0,390 73 0,393 41 0,396 08 0,398 75 0,401 42 0,404 08

Conclui-se, portanto, que o ângulo correspondente ao seno 0,36650 é 21º 30’.

13

Page 14: Calculo II

b

a c

C A

100

300

Ø 300

X

500

400

Aplicação Prática:

I. Determinar o ângulo de construção da peça abaixo.

Solução:

Destacar o triângulo-retângulo.

Dimensioná-lo.

14

Page 15: Calculo II

600

X110°

b

ac

B

CA

Resolvê-lo.

Podemos calcular com quaisquer das funções que envolvam os dois catetos (tg ou cotg). No caso, utilizaremos a tangente.

Com esse valor, procurar na tabela de tangentes o ângulo correspondente.

X = 18° 26’

II. Determinar a cota de construção do “chapéu chinês” desenhado abaixo.

Solução:

Destacar o triângulo-retângulo

15

=100

300

Cateto oposto

Cateto adjacenteTg. X =

Tg. X = 0,333

Page 16: Calculo II

35°

X

300

Dimensioná-lo.

Resolvê-lo.

Temos um lado do triângulo e queremos determinar a hipotenusa, precisamos de uma função que envolva um lado e a hipotenusa.

16

Cateto adjacente

Co-seno Hipotenusa =

300

Co-seno 35ºHipotenusa = 300

0,8192=

Hipotenusa = 366,2 X = 366,2

Page 17: Calculo II

Relações Trigonométricas.

Tabela 8.1Seno de 0º a 45º

GrausMinutos

Graus0 10 20 30 40 50 60

0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891234

0,01750,03490,05230,0698

0,02040,03780,05520,0727

0,02330,04070,05810,0756

0,02620,04360,06100,0785

0,02910,04650,06400,0814

0,03200,04940,06690,0843

0,03490,05230,06980,0872

88878685

5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 0,1045 846789

0,10450,12190,13920,1564

0,10740,12480,14210,1593

0,11030,12760,14490,1622

0,11320,13050,14780,1650

0,11610,13340,15070,1679

0,11900,13630,15360,1708

0,12190,13920,15640,1736

83828180

10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880 0,1908 7911121314

0,19080,20790,22500,2419

0,19370,21080,22780,2447

0,19650,21360,23060,2476

0,19940,21640,23340,2504

0,20220,21930,23630,2532

0,20510,22210,23910,2560

0,20790,22500,24190,2588

78777675

15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 0,2756 7416171819

0,27560,29240,30900,3256

0,27840,29520,31180,3283

0,28120,29790,31450,3311

0,28400,30070,31730,3338

0,28680,30350,32010,3365

0,28960,30620,32280,3393

0,29240,30900,32560,3420

73727170

20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 0,3584 6921222324

0,35840,37460,39070,4067

0,36110,37730,39340,4094

0,36380,38000,39610,4120

0,36750,38270,39870,4147

0,36920,38540,40140,4173

0,37190,38810,40410,4200

0,37460,39070,40670,4226

68676665

25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358 0,4384 6426272829

0,43840,45400,46950,4848

0,44100,45660,47200,4874

0,44360,45920,47460,4899

0,44620,46170,47720,4924

0,44880,46430,47970,4950

0,45140,46690,48230,4975

0,45400,46950,48480,5000

63626160

30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 0,5150 5931323334

0,51500,52990,54460,5592

0,51750,53240,54710,5616

0,52000,53480,54950,5640

0,52250,53730,55190,5664

0,52500,53980,55440,5688

0,52750,54220,55680,5712

0,52990,54460,55920,5736

58575655

35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 0,5878 5436373839

0,58780,60180,61570,6293

0,59010,60410,61800,6316

0,59250,60650,62020,6338

0,59480,60880,62250,6361

0,59720,61110,62480,6383

0,59950,61340,62710,6406

0,60180,61570,62930,6428

53525150

40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 0,6561 4941424344

0,65610,66910,68200,6947

0,65830,67130,68410,6967

0,66040,67340,68620,6988

0,66260,67560,68840,7009

0,66480,67770,69050,7030

0,66700,67990,69260,7050

0,66910,68200,69470,7071

48474645

Graus60 50 40 30 20 10 0

GrausMinutos

Co-seno de 45º a 90º

17

Page 18: Calculo II

Tabela 8.2Seno de 45º a 90º

GrausMinutos

Graus0 10 20 30 40 50 60

45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 0,7193 4446474849

0,71930,73140,74310,7547

0,72140,73330,74510,7566

0,72340,73530,74700,7585

0,72540,73730,74900,7604

0,72740,73920,75090,7623

0,72940,74120,75280,7642

0,73140,74310,75470,7660

43424140

50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753 0,7771 3951525354

0,77710,78800,79860,8090

0,77900,78980,80040,8107

0,78080,79160,80210,8124

0,78260,79340,80390,8141

0,78440,79510,80560,8158

0,78620,79690,80730,8175

0,78800,79860,80900,8192

38373635

55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274 0,8290 3456575859

0,82900,83870,84800,8572

0,83070,84030,84960,8587

0,83230,84180,85110,8601

0,83390,84340,85260,8616

0,83550,84500,85420,8631

0,83710,84650,85570,8646

0,83870,84800,85720,8660

33323130

60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732 0,8746 2961626364

0,87460,88290,89100,8988

0,87600,88430,89230,9001

0,87740,88570,89360,9013

0,87880,88700,89490,9026

0,88020,88840,89620,9038

0,88160,88970,89750,9051

0,88290,89100,89880,9063

28272625

65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124 0,9135 2466676869

0,91350,92050,92720,9336

0,91470,92160,92830,9346

0,91590,92280,92930,9356

0,91710,92390,93040,9367

0,91820,92500,93150,9377

0,91940,92610,93250,9387

0,92050,92720,93360,9397

23222120

70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446 0,9455 1971727374

0,94550,95110,95630,9613

0,94650,95200,95720,9621

0,94740,95280,95800,9628

0,94830,95370,95880,9636

0,94920,95460,95960,9644

0,95020,95550,96050,9652

0,95110,95630,96130,9659

18171615

75 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696 0,9703 1476777879

0,97030,97440,97810,9816

0,97100,97500,97870,9822

0,97170,97570,97930,9827

0,97240,97630,97990,9833

0,97300,97690,98050,9838

0,97370,97750,98110,9843

0,97440,97810,98160,9848

13121110

80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872 0,9877 981828384

0,98770,99030,99250,9945

0,98810,99070,99290,9948

0,98860,99110,99320,9951

0,98900,99140,99360,9954

0,98940,99180,99390,9957

0,98990,99220,99420,9959

0,99030,99250,99450,9962

8765

85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974 0,9976 486878889

0,99760,99860,9994

0,99985

0,99780,99880,99950,99989

0,99800,99890,99960,99993

0,99810,99900,99970,99996

0,99830,99920,99970,99998

0,99850,99930,99980,99999

0,99860,99940,999851,0000

3210

Graus60 50 40 30 20 10 0

GrausMinutos

Co-seno de 0º a 45º

18

Page 19: Calculo II

Tabela 8.3Tangente de 0º a 45º

GrausMinutos

Graus0 10 20 30 40 50 60

0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891234

0,01750,03490,05240,0699

0,02040,03780,05530,0729

0,02330,04070,05820,0758

0,02620,04370,06120,0787

0,02910,04660,06410,0816

0,03200,04950,06700,0846

0,03490,05240,06990,0875

88878685

5 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 0,1051 846789

0,10510,12280,14050,1584

0,10800,12570,14350,1614

0,11100,12870,14650,1644

0,11390,13170,14950,1673

0,11690,13460,15240,1703

0,11980,13760,15540,1733

0,12280,14050,15840,1763

83828180

10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 0,1944 7911121314

0,19440,21260,23090,2493

0,19740,21560,23390,2524

0,20040,21860,23700,2555

0,20350,22170,24010,2586

0,20650,22470,24320,2617

0,20950,22780,24620,2648

0,21260,23090,24930,2679

78777675

15 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 0,2867 7416171819

0,28670,30570,32490,3443

0,28990,30890,32810,3476

0,29310,31210,33140,3508

0,29620,31530,33460,3541

0,29940,31850,33780,3574

0,30260,32170,34110,3607

0,30570,32490,34430,3640

73727170

20 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805 0,3839 6921222324

0,38390,40400,42450,4452

0,38720,40740,42790,4487

0,39060,41080,43140,4522

0,39390,41420,43480,4557

0,39730,41760,43830,4592

0,40060,42100,44170,4628

0,40400,42450,44520,4663

68676665

25 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 0,4877 6426272829

0,48770,50950,53170,5543

0,49130,51320,53540,5581

0,49500,51690,53920,5619

0,49860,52060,54300,5658

0,50220,52430,54670,5696

0,50590,52800,55050,5735

0,50950,53170,55430,5774

63626160

30 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 0,6009 5931323334

0,60090,62490,64940,6745

0,60480,62890,65360,6787

0,60880,63300,65770,6830

0,61280,63710,66190,6873

0,61680,64120,66610,6916

0,62080,64530,67030,6959

0,62490,64940,67450,7002

58575655

35 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221 0,7265 5436373839

0,72650,75360,78130,8098

0,73100,75810,78600,8146

0,73550,76270,79070,8195

0,74000,76730,79540,8243

0,74450,77200,80020,8292

0,74900,77660,80500,8342

0,75360,78130,80980,891

53525150

40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642 0,8693 4941424344

0,86930,90040,93250,9657

0,87440,90570,93800,9713

0,87960,91100,94350,9770

0,88470,91630,94900,9827

0,88990,92170,95450,9884

0,89520,92710,96010,9942

0,90040,93250,96571,0000

48474645

Graus60 50 40 30 20 10 0

GrausMinutos

Co-tangente de 45º a 90º

19

Page 20: Calculo II

Tabela 8.4Tangente de 45º a 90º

GrausMinutos

Graus0 10 20 30 40 50 60

45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295 1,0355 4446474849

1,03551,07241,11061,1504

1,04161,07861,11711,1571

1,04771,08501,12371,1640

1,05381,09131,13031,1708

1,05991,09771,13691,1778

1,06611,10411,14361,1847

1,07241,11061,15041,1918

43424140

50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276 1,2349 3951525354

1,23491,27991,32701,3764

1,24231,28761,33511,3848

1,24971,29541,34321,3934

1,25721,30321,35141,4019

1,26471,31111,35971,4106

1,27231,31901,36801,4193

1,27991,32701,37641,4281

38373635

55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733 1,4826 3456575859

1,48261,53991,60031,6643

1,49191,54971,61071,6753

1,50131,55971,62131,6864

1,51081,56971,63181,6977

1,52041,57981,64261,7090

1,53011,59001,65341,7205

1,53991,60031,66431,7321

33323130

60 1,7321 1,7438 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917 1,8041 2961626364

1,80411,88071,96262,0503

1,81651,89401,97682,0655

1,82911,90741,99122,0809

1,84181,92102,00572,0965

1,85461,93472,02042,1123

1,86761,94862,03532,1283

1,88071,96262,05032,1445

28272625

65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286 2,2460 2466676869

2,24602,35582,47512,6051

2,26372,37502,49602,6279

2,28172,39452,51722,6511

2,29982,41422,53872,6746

2,31832,43422,56052,6985

2,33692,45452,58262,7228

2,35582,47512,60512,7475

23222120

70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770 2,9042 1971727374

2,90423,07773,27093,4874

2,93193,10843,30523,5261

2,96003,13973,34023,5656

2,98873,17163,37593,6059

3,01783,20413,41243,6470

3,04753,23713,44953,6891

3,07773,27093,48743,7321

18171615

75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617 4,0108 1476777879

4,01084,33154,70465,1446

4,06114,38974,77295,2257

4,11264,44944,84305,3093

4,16534,51074,91525,3955

4,21934,57364,98945,4845

4,27474,63835,06585,5764

4,33154,70465,14465,6713

13121110

80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970 6,3138 981828384

6,31387,11548,14449,5144

6,43487,26878,34509,7882

6,56057,42878,555610,0780

6,69127,59588,776910,3854

6,82697,77049,009810,7019

6,96827,95309,255311,0594

7,11548,14449,514411,4301

8765

85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267 14,3007 486878889

14,300719,081128,636357,2900

14,924420,205631,241668,7501

15,604821,470434,367885,9398

16,349922,903838,1885114,5887

17,169324,541842,9641171,8850

18,075026,431649,1039343,7740

19,081128,636357,2900

3210

Graus60 50 40 30 20 10 0

GrausMinutos

Co-tangente de 0º a 45º

20

Page 21: Calculo II

500

D

400

560

h

Ø 800

X

Exercícios – Relações de Pitágoras.

1- Calcule a distância D.

2- Calcule a altura h.

3- Calcule a cota X.

21

Page 22: Calculo II

esfer

a Ø 34

0

250

a35

°

240A B

D2

80

15°

13°

D1

Ø 3

00

4- Calcule a cota a.

5- Calcule as distâncias AC e BC.

6- Calcule as cotas D1 e D2.

22

Page 23: Calculo II

1000

L

2 m4 m

12 m

3 m

X

A

B

C

D

E

25°

3 m

h

7- Calcule a cota L.

8- Calcule as cotas AB, BC, CD e DE da estrutura metálica esquematizada abaixo, aplicando a relação de Pitágoras e calcule o ângulo X aplicando as relações trigonométricas.

9- Calcule a altura h da cobertura metálica esquematizada abaixo.

23

Page 24: Calculo II

L16 m

30°

3,5

m

Ø 100

X

550

400

300

D

25°

10- Calcule a largura L da estrutura metálica esquematizada abaixo.

11- Calcule a distância X, sabendo que os três lados são iguais.

12- Calcule a distância D da peça abaixo.

24

Page 25: Calculo II

CÁLCULOS

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

25

Page 26: Calculo II

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

Page 27: Calculo II

27

Page 28: Calculo II

Referenciais Bibliográficas

SENAI-ES.Matemática Aplicada:Espírito Santo: Companhia Siderúrgica de Tubarão,1997.201 p. il Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria.

SENAI-SP / Divisão de Currículos e Programas: Divisão de Material Didático. Desenho Técnico Mecânico. Por Laércio Prando e outros. São Paulo, 1985. 169 p.(Caldeiraria e Estruturas Metálicas)

28