CÁLCULO – II
Manoel Benedito Serra da Costa.
CALCULO II
AutorManoel Benedito Serra da Costa
2010
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COSTA, Manoel Benedito Serra da / Calculo II – Duque de Caxias:
Escola Técnica Atenew, 2010.32 p.
1.ª impressão
Al: Francisco de Miranda, lt:09 – qd:01Jardim Primavera – Duque de Caxias – RJ
25.215 – 425www.atenew.com
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4
ÍNDICE
ITEM P Á G .
RELAÇÃO DE PITÁGORAS ------------------------------------------------------------- 04
APLICAÇÕES DA RELAÇÃO DE PITÁGORAS ------------------------------------- 06
Exemplos práticos --------------------------------------------------------------------------- 06
Procedimentos ------------------------------------------------------------------------------- 06
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ---------- 07
Hipotenusa ----------------------------------------------------------------------------------- 08
Cateto oposto -------------------------------------------------------------------------------- 08
Cateto adjacente ---------------------------------------------------------------------------- 08
Seno ------------------------------------------------------------------------------------------- 08
Co-seno --------------------------------------------------------------------------------------- 09
Tangente -------------------------------------------------------------------------------------- 09
Co-tangente ---------------------------------------------------------------------------------- 10
APLICAÇÃO PRÁTICA ------------------------------------------------------------------ 14
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS --------------------------------------------------- 17
Tabela 8.1 ------------------------------------------------------------------------------------ 17
Tabela 8.2 ------------------------------------------------------------------------------------ 18
Tabela 8.3 ------------------------------------------------------------------------------------ 19
Tabela 8.4 ------------------------------------------------------------------------------------ 20
EXERCÍCIOS – RELAÇÕES DE PITÁGORAS -------------------------------------- 21
REFERENCIAIS BIBLIOGRAFICAS -------------------------------------------------- 31
TRIGONOMETRIA
RELAÇÃO PITÁGORAS.
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto (o maior) recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados chamam catetos.
A relação entre a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo é:O quadrado da medida da hipotenusa é igual á soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a² = b² + c² ou
a = b² + c²
Onde:
a2 = 5² = 25
c² = 4² = 16
b² = 3² = 9
25 = 16 + 9
RESULTADO:
a = medida da hipotenusa
a²= b² + c² a = b² + c²
b = medida do cateto menor _ b² = a² - c²
b = a² - c²
c = medida do cateto maior _ c² = a² - b²
c = a²- b²
5
a (hipotenuza)b (cateto)
c (cateto)
1 2 3
654
7 8 9
321 4
5 6 87
9 10 11 12
13 14 1615
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1112
1314
15
16
2122
2324
25
1718
1920
c
b a
a -
c2
2
a - b22
2
2
b + c
1
200
450
220 1
220
125
X
Aplicações da relação de Pitágoras.
Em relação aos cálculos de diagonais, alturas e lados de polígonos.Nos trabalhos de oficina, como montagens e construção.Na traçagem de peças grandes.
Exemplos práticos:
Usa-se a relação de Pitágoras na determinação da cota de esquadrejamento para peças grandes soldadas ou dobradas.
Ela pode ser usada também na determinação de cotas não especificadas em desenhos.
Procedimentos: .Encontrar o retângulo e destacá-lo; .Dimensioná-lo;.aplicar a relação de Pitágoras:
x² = (125mm)² + (220mm)² x = √(125 mm)² + (220 mm)² x = √ 15625 mm + 48400 mm x = √ 64025 mm x = 253 mm
Pode usá-la ainda na determinação da medida real para traçagem
6
SOLTERRA
ESTRELA
120
300
X°
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
A trigonometria é uma parte da matemática aplicada extensivamente na resolução de problemas de Engenharia e Astronomia, sendo de especial importância nos levantamentos topográficos.Com aplicação de trigonometria, podem-se medir larguras de rios em trechos inacessíveis, alturas de prédios e montanhas e até mesmo distância de estrelas.
Em mecânica, a trigonometria é muito utilizada na determinação de ângulos e medidas de algumas partes cônicas de uma peça qualquer. Para o projetista de máquinas e ferramentas, controlador de qualidade, serralheiro, funileiro, caldeireiro, etc. é indispensável o conhecimento da trigonometria. É muito comum o desenho especificar somente a medida maior ou menor e o comprimento da peça. O profissional deve, então, calcular o ângulo de inclinação dessa peça para poder fabricá-la, o que ele consegue com auxilio da trigonometria.
Nos triângulos, existem três lados e três ângulos, sendo que, no triângulo retângulo, um deles é de 90º. Quando são conhecidos mais de um ângulo e a medida de um dos lados, podem se calcular as três partes restantes.Esses cálculos são baseados em determinadas relações existente entre os lados e o ângulo do triângulo, que a trigonometria estabelece.Portanto, ela é a parte da matemática que trata das relações entre os ângulos do retângulo e também, das aplicações dessas relações na resolução de problemas.
7
c
b a
B C
HipotenusaCateto
Cateto
C
B
Ab = 8,66
c = 10
Hipotenusa
O lado maior de um triângulo retângulo é chamado hipotenusa e os outros dois lados, catetos.
Cateto oposto
É o lado do triângulo que não pertence ou não faz parte do ângulo em questão. É o que está do lado contrário ao ângulo que se refere.
CB é o cateto oposto ao ângulo A.AC é o cateto oposto ao ângulo B.
Cateto adjacente
È o lado que, juntamente (adjacente) com a hipotenusa, forma o ângulo em questão.
CB é o cateto adjacente ao ângulo B.AC é o cateto adjacente ao ângulo A.
Seno
Em qualquer triângulo retângulo, quando se quer determinar um dos ângulos, a relação do cateto oposto com esse ângulo e a hipotenusa têm o nome de seno (sen).
Determinar o seno dos ângulos A e B do triângulo.
8
B
b a
Cc
A
Cateto opostohipotenusa
bc
= =8,66
10= 0,866Sen. B =
Cateto opostohipotenusa
ac
= =5
10= 0,5
Sen. A =
C
B
Ab = 8,66
c = 10
C
B
Ab = 8,66
c = 10
Co-seno
A relação do cateto adjacente com a hipotenusa tem o nome de co-seno (Cos.).
Determinar o co-seno dos ângulos A e B do triângulo.
Tangente
A relação do cateto oposto com o cateto adjacente tem o nome de tangente (tg.).
9
bc
= =8,66
10= 0,866
Cateto adjacentehipotenusa
Cateto adjacentehipotenusa
Cos. B =ac
= =5
10= 0,5
Cos. A =
C
B
Ab = 8,66
c = 10
Determinar a tangente dos ângulos A e B do triângulo.
Co-tangente
A relação do cateto adjacente com o cateto oposto tem o nome de co-tangente (cotg). Se em um triângulo retângulo Forem dados 2 ângulos e a medida de um dos lados, pode –se calcular o restante, usando-se as mesmas relações estudadas. No exemplo da próxima página, como se tem a medida da hipotenusa deve-se empregar uma das funções que a envolve; portanto, pode ser seno ou pelo co-seno.Para co-tangente 1, o ângulo correspondente é de 45°.
Determinar a cotg dos ângulos A e B do triângulo.
10
Tg. B =Cateto oposto
Cateto adjacente=
ba
=8,66
5= 1,732
ab
= =5
8,66= 0,577
Cateto oposto
Cateto adjacenteTg. A =
Cot. B =Cateto adjacente
Cateto oposto=
ab
=5
8,66= 0,577
ba
= =8,66
5= 1,732
Cateto adjacente
Cateto opostoCotg. A =
c = 100
a =
x
b = y
B
C A
60°
Utilizando o seno:
Completar os ângulos e as medidas do triângulo retângulo abaixo.
Sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°
Então, o ângulo A = 180° - (90° + 60°) A = 180° - 150° A = 30° Procurar na tabela o seno A (30°) Seno 30° = 0,5 a = 100 x 0,5 = 50 a = 50
Agora só falta determinar o lado B(pelo co-seno)
Procurar na tabela o cos A (30°) Cos 30° = 0,866 b = 100 x 0,86,6 b = 86,
11
ac
= =a
100
Cateto oposto
HipotenusaSen. A =
Sen. A =a
100a = 100 x Sem. A>
bc
= =b
100
Cateto adjacentehipotenusa
Cos. A =
Finalmente o triângulo fica com as seguintes medidas:
{
a (BC) = 50 b (AC) = 86,6 c (AB) = 100
Como foi visto no exemplo anterior, é necessário que se tenha uma tabela para se encontrar seno, co-seno, tangente e co-tangente e, para isso é necessário também que saiba consultar a tabela.
Como consultar as tabelas de seno, co-seno, tangente e co-tangente
O procedimento será sempre o mesmo para o uso detalhado das tabelas de seno, co-seno, tangente e co-tangente.
Primeiro caso:Dado um ângulo, achar o valor do seno.Exemplo: Encontrar o valor do seno de 38°20’.Toma-se a tabela dos senos e, na primeira coluna vertical, à esquerda, procura-se o lugar correspondente a 38°. Depois, desliza-se o dedo horizontalmente até a coluna que, na parte de cima, marca 20’.O número que aí se encontra (0,62024) e’ o seno de 38°20’.
Seno de 0º a 45º
GrausMinutos
0 10 20 30 40 50
0 0,00 00 0,002 91 0,005 82 0,008 73 0,011 64 0,014 54
1 0,017 45 0,020 36 0,023 36 0,026 18 0,029 08 0,031 99
38 0,615 66 0,617 95 0,620 24 0,622 51 0,624 79 0,627 06
39 0,629 32 0,631 58 0,633 83 0,638 32 0,638 32 0,640 56
12
A = 30°B = 60°C = 90
Ângulos
Segundo casoDado o valor do seno, encontrar o valor do ângulo.Exemplo: Encontrar o valor do ângulo cujo seno é 0,36650.Toma-se a tabela de senos e procura-se o número dado (0,36650), que é facilmente encontrado, pois os valores sempre estão em ordem crescente (caso dos senos e tangentes) ou decrescente (caso dos co-senos e co-tangentes).Verifica-se que ele está situado na coluna horizontal correspondente a 21° e, na coluna vertical correspondente a 30’.
Seno de 0º a 45º
GrausMinutos
0 10 20 30 40 50
0 0,00 00 0,002 91 0,005 82 0,008 73 0,011 64 0,014 54
1 0,017 45 0,020 36 0,023 36 0,026 18 0,029 08 0,031 99
2 0,034 90 0,037 81 0,040 71 0,043 62 0,046 53 0,049 43
3 0,052 34 0,055 24 0,058 14 0,061 05 0,063 95 0,066 85
16 0,275 64 0,278 43 0,281 23 0,284 02 0,286 80 0,289 59
17 0,292 37 0,295 15 0,297 93 0,300 71 0,303 48 0,306 25
18 0,309 02 0,311 78 0,314 54 0,317 30 0,320 06 0,322 82
19 0,325 57 0,328 32 0,331 06 0,333 81 0,336 55 0,339 29
20 0,342 02 0,344 75 0,347 48 0,350 21 0,352 93 0,355 65
21 0,558 57 0,261 08 0,363 79 0,366 50 0,369 21 0,371 91
22 0,374 61 0,377 30 0,379 99 0,382 69 0,385 37 0,388 05
23 0,390 73 0,393 41 0,396 08 0,398 75 0,401 42 0,404 08
Conclui-se, portanto, que o ângulo correspondente ao seno 0,36650 é 21º 30’.
13
b
a c
C A
100
300
Ø 300
X
500
400
Aplicação Prática:
I. Determinar o ângulo de construção da peça abaixo.
Solução:
Destacar o triângulo-retângulo.
Dimensioná-lo.
14
600
X110°
b
ac
B
CA
Resolvê-lo.
Podemos calcular com quaisquer das funções que envolvam os dois catetos (tg ou cotg). No caso, utilizaremos a tangente.
Com esse valor, procurar na tabela de tangentes o ângulo correspondente.
X = 18° 26’
II. Determinar a cota de construção do “chapéu chinês” desenhado abaixo.
Solução:
Destacar o triângulo-retângulo
15
=100
300
Cateto oposto
Cateto adjacenteTg. X =
Tg. X = 0,333
35°
X
300
Dimensioná-lo.
Resolvê-lo.
Temos um lado do triângulo e queremos determinar a hipotenusa, precisamos de uma função que envolva um lado e a hipotenusa.
16
Cateto adjacente
Co-seno Hipotenusa =
300
Co-seno 35ºHipotenusa = 300
0,8192=
Hipotenusa = 366,2 X = 366,2
Relações Trigonométricas.
Tabela 8.1Seno de 0º a 45º
GrausMinutos
Graus0 10 20 30 40 50 60
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891234
0,01750,03490,05230,0698
0,02040,03780,05520,0727
0,02330,04070,05810,0756
0,02620,04360,06100,0785
0,02910,04650,06400,0814
0,03200,04940,06690,0843
0,03490,05230,06980,0872
88878685
5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 0,1045 846789
0,10450,12190,13920,1564
0,10740,12480,14210,1593
0,11030,12760,14490,1622
0,11320,13050,14780,1650
0,11610,13340,15070,1679
0,11900,13630,15360,1708
0,12190,13920,15640,1736
83828180
10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880 0,1908 7911121314
0,19080,20790,22500,2419
0,19370,21080,22780,2447
0,19650,21360,23060,2476
0,19940,21640,23340,2504
0,20220,21930,23630,2532
0,20510,22210,23910,2560
0,20790,22500,24190,2588
78777675
15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 0,2756 7416171819
0,27560,29240,30900,3256
0,27840,29520,31180,3283
0,28120,29790,31450,3311
0,28400,30070,31730,3338
0,28680,30350,32010,3365
0,28960,30620,32280,3393
0,29240,30900,32560,3420
73727170
20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 0,3584 6921222324
0,35840,37460,39070,4067
0,36110,37730,39340,4094
0,36380,38000,39610,4120
0,36750,38270,39870,4147
0,36920,38540,40140,4173
0,37190,38810,40410,4200
0,37460,39070,40670,4226
68676665
25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358 0,4384 6426272829
0,43840,45400,46950,4848
0,44100,45660,47200,4874
0,44360,45920,47460,4899
0,44620,46170,47720,4924
0,44880,46430,47970,4950
0,45140,46690,48230,4975
0,45400,46950,48480,5000
63626160
30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 0,5150 5931323334
0,51500,52990,54460,5592
0,51750,53240,54710,5616
0,52000,53480,54950,5640
0,52250,53730,55190,5664
0,52500,53980,55440,5688
0,52750,54220,55680,5712
0,52990,54460,55920,5736
58575655
35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 0,5878 5436373839
0,58780,60180,61570,6293
0,59010,60410,61800,6316
0,59250,60650,62020,6338
0,59480,60880,62250,6361
0,59720,61110,62480,6383
0,59950,61340,62710,6406
0,60180,61570,62930,6428
53525150
40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 0,6561 4941424344
0,65610,66910,68200,6947
0,65830,67130,68410,6967
0,66040,67340,68620,6988
0,66260,67560,68840,7009
0,66480,67770,69050,7030
0,66700,67990,69260,7050
0,66910,68200,69470,7071
48474645
Graus60 50 40 30 20 10 0
GrausMinutos
Co-seno de 45º a 90º
17
Tabela 8.2Seno de 45º a 90º
GrausMinutos
Graus0 10 20 30 40 50 60
45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 0,7193 4446474849
0,71930,73140,74310,7547
0,72140,73330,74510,7566
0,72340,73530,74700,7585
0,72540,73730,74900,7604
0,72740,73920,75090,7623
0,72940,74120,75280,7642
0,73140,74310,75470,7660
43424140
50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753 0,7771 3951525354
0,77710,78800,79860,8090
0,77900,78980,80040,8107
0,78080,79160,80210,8124
0,78260,79340,80390,8141
0,78440,79510,80560,8158
0,78620,79690,80730,8175
0,78800,79860,80900,8192
38373635
55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274 0,8290 3456575859
0,82900,83870,84800,8572
0,83070,84030,84960,8587
0,83230,84180,85110,8601
0,83390,84340,85260,8616
0,83550,84500,85420,8631
0,83710,84650,85570,8646
0,83870,84800,85720,8660
33323130
60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732 0,8746 2961626364
0,87460,88290,89100,8988
0,87600,88430,89230,9001
0,87740,88570,89360,9013
0,87880,88700,89490,9026
0,88020,88840,89620,9038
0,88160,88970,89750,9051
0,88290,89100,89880,9063
28272625
65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124 0,9135 2466676869
0,91350,92050,92720,9336
0,91470,92160,92830,9346
0,91590,92280,92930,9356
0,91710,92390,93040,9367
0,91820,92500,93150,9377
0,91940,92610,93250,9387
0,92050,92720,93360,9397
23222120
70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446 0,9455 1971727374
0,94550,95110,95630,9613
0,94650,95200,95720,9621
0,94740,95280,95800,9628
0,94830,95370,95880,9636
0,94920,95460,95960,9644
0,95020,95550,96050,9652
0,95110,95630,96130,9659
18171615
75 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696 0,9703 1476777879
0,97030,97440,97810,9816
0,97100,97500,97870,9822
0,97170,97570,97930,9827
0,97240,97630,97990,9833
0,97300,97690,98050,9838
0,97370,97750,98110,9843
0,97440,97810,98160,9848
13121110
80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872 0,9877 981828384
0,98770,99030,99250,9945
0,98810,99070,99290,9948
0,98860,99110,99320,9951
0,98900,99140,99360,9954
0,98940,99180,99390,9957
0,98990,99220,99420,9959
0,99030,99250,99450,9962
8765
85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974 0,9976 486878889
0,99760,99860,9994
0,99985
0,99780,99880,99950,99989
0,99800,99890,99960,99993
0,99810,99900,99970,99996
0,99830,99920,99970,99998
0,99850,99930,99980,99999
0,99860,99940,999851,0000
3210
Graus60 50 40 30 20 10 0
GrausMinutos
Co-seno de 0º a 45º
18
Tabela 8.3Tangente de 0º a 45º
GrausMinutos
Graus0 10 20 30 40 50 60
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891234
0,01750,03490,05240,0699
0,02040,03780,05530,0729
0,02330,04070,05820,0758
0,02620,04370,06120,0787
0,02910,04660,06410,0816
0,03200,04950,06700,0846
0,03490,05240,06990,0875
88878685
5 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 0,1051 846789
0,10510,12280,14050,1584
0,10800,12570,14350,1614
0,11100,12870,14650,1644
0,11390,13170,14950,1673
0,11690,13460,15240,1703
0,11980,13760,15540,1733
0,12280,14050,15840,1763
83828180
10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 0,1944 7911121314
0,19440,21260,23090,2493
0,19740,21560,23390,2524
0,20040,21860,23700,2555
0,20350,22170,24010,2586
0,20650,22470,24320,2617
0,20950,22780,24620,2648
0,21260,23090,24930,2679
78777675
15 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 0,2867 7416171819
0,28670,30570,32490,3443
0,28990,30890,32810,3476
0,29310,31210,33140,3508
0,29620,31530,33460,3541
0,29940,31850,33780,3574
0,30260,32170,34110,3607
0,30570,32490,34430,3640
73727170
20 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805 0,3839 6921222324
0,38390,40400,42450,4452
0,38720,40740,42790,4487
0,39060,41080,43140,4522
0,39390,41420,43480,4557
0,39730,41760,43830,4592
0,40060,42100,44170,4628
0,40400,42450,44520,4663
68676665
25 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 0,4877 6426272829
0,48770,50950,53170,5543
0,49130,51320,53540,5581
0,49500,51690,53920,5619
0,49860,52060,54300,5658
0,50220,52430,54670,5696
0,50590,52800,55050,5735
0,50950,53170,55430,5774
63626160
30 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 0,6009 5931323334
0,60090,62490,64940,6745
0,60480,62890,65360,6787
0,60880,63300,65770,6830
0,61280,63710,66190,6873
0,61680,64120,66610,6916
0,62080,64530,67030,6959
0,62490,64940,67450,7002
58575655
35 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221 0,7265 5436373839
0,72650,75360,78130,8098
0,73100,75810,78600,8146
0,73550,76270,79070,8195
0,74000,76730,79540,8243
0,74450,77200,80020,8292
0,74900,77660,80500,8342
0,75360,78130,80980,891
53525150
40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642 0,8693 4941424344
0,86930,90040,93250,9657
0,87440,90570,93800,9713
0,87960,91100,94350,9770
0,88470,91630,94900,9827
0,88990,92170,95450,9884
0,89520,92710,96010,9942
0,90040,93250,96571,0000
48474645
Graus60 50 40 30 20 10 0
GrausMinutos
Co-tangente de 45º a 90º
19
Tabela 8.4Tangente de 45º a 90º
GrausMinutos
Graus0 10 20 30 40 50 60
45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295 1,0355 4446474849
1,03551,07241,11061,1504
1,04161,07861,11711,1571
1,04771,08501,12371,1640
1,05381,09131,13031,1708
1,05991,09771,13691,1778
1,06611,10411,14361,1847
1,07241,11061,15041,1918
43424140
50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276 1,2349 3951525354
1,23491,27991,32701,3764
1,24231,28761,33511,3848
1,24971,29541,34321,3934
1,25721,30321,35141,4019
1,26471,31111,35971,4106
1,27231,31901,36801,4193
1,27991,32701,37641,4281
38373635
55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733 1,4826 3456575859
1,48261,53991,60031,6643
1,49191,54971,61071,6753
1,50131,55971,62131,6864
1,51081,56971,63181,6977
1,52041,57981,64261,7090
1,53011,59001,65341,7205
1,53991,60031,66431,7321
33323130
60 1,7321 1,7438 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917 1,8041 2961626364
1,80411,88071,96262,0503
1,81651,89401,97682,0655
1,82911,90741,99122,0809
1,84181,92102,00572,0965
1,85461,93472,02042,1123
1,86761,94862,03532,1283
1,88071,96262,05032,1445
28272625
65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286 2,2460 2466676869
2,24602,35582,47512,6051
2,26372,37502,49602,6279
2,28172,39452,51722,6511
2,29982,41422,53872,6746
2,31832,43422,56052,6985
2,33692,45452,58262,7228
2,35582,47512,60512,7475
23222120
70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770 2,9042 1971727374
2,90423,07773,27093,4874
2,93193,10843,30523,5261
2,96003,13973,34023,5656
2,98873,17163,37593,6059
3,01783,20413,41243,6470
3,04753,23713,44953,6891
3,07773,27093,48743,7321
18171615
75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617 4,0108 1476777879
4,01084,33154,70465,1446
4,06114,38974,77295,2257
4,11264,44944,84305,3093
4,16534,51074,91525,3955
4,21934,57364,98945,4845
4,27474,63835,06585,5764
4,33154,70465,14465,6713
13121110
80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970 6,3138 981828384
6,31387,11548,14449,5144
6,43487,26878,34509,7882
6,56057,42878,555610,0780
6,69127,59588,776910,3854
6,82697,77049,009810,7019
6,96827,95309,255311,0594
7,11548,14449,514411,4301
8765
85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267 14,3007 486878889
14,300719,081128,636357,2900
14,924420,205631,241668,7501
15,604821,470434,367885,9398
16,349922,903838,1885114,5887
17,169324,541842,9641171,8850
18,075026,431649,1039343,7740
19,081128,636357,2900
3210
Graus60 50 40 30 20 10 0
GrausMinutos
Co-tangente de 0º a 45º
20
500
D
400
560
h
Ø 800
X
Exercícios – Relações de Pitágoras.
1- Calcule a distância D.
2- Calcule a altura h.
3- Calcule a cota X.
21
esfer
a Ø 34
0
250
a35
°
240A B
D2
80
15°
13°
D1
Ø 3
00
4- Calcule a cota a.
5- Calcule as distâncias AC e BC.
6- Calcule as cotas D1 e D2.
22
1000
L
2 m4 m
12 m
3 m
X
A
B
C
D
E
25°
3 m
h
7- Calcule a cota L.
8- Calcule as cotas AB, BC, CD e DE da estrutura metálica esquematizada abaixo, aplicando a relação de Pitágoras e calcule o ângulo X aplicando as relações trigonométricas.
9- Calcule a altura h da cobertura metálica esquematizada abaixo.
23
L16 m
30°
3,5
m
Ø 100
X
550
400
300
D
25°
10- Calcule a largura L da estrutura metálica esquematizada abaixo.
11- Calcule a distância X, sabendo que os três lados são iguais.
12- Calcule a distância D da peça abaixo.
24
CÁLCULOS
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
25
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26
27
Referenciais Bibliográficas
SENAI-ES.Matemática Aplicada:Espírito Santo: Companhia Siderúrgica de Tubarão,1997.201 p. il Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria.
SENAI-SP / Divisão de Currículos e Programas: Divisão de Material Didático. Desenho Técnico Mecânico. Por Laércio Prando e outros. São Paulo, 1985. 169 p.(Caldeiraria e Estruturas Metálicas)
28
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