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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias

Aula introdutria de Clculo NumricoLeonardo V. Alves [[email protected]]Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Cincias Exatas Departamento de Cincia da Computao Disciplina de Clculo Numrico - DCC034

http://www.dcc.ufmg.br/~lalves

05 e 07 de agosto de 2008

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Bibliograa Programa Avaliaes Calendrio

Material utilizado

Livro Texto Filho, Frederico Ferreira Campos. Algoritmos Numricos. Segunda Edio, Editora LTC. Material suplementar Calculadora cientca Scilab

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Programa da disciplina

Tpicos a serem estudados nesta disciplina:1 2 3 4 5 6

Introduo ao clculo numrico Sistemas Lineares Interpolao Ajuste de curvas Integrao numrica Razes de equaes

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Introduo ao clculo numrico

1 2 3 4 5 6

Como resolver um problema numrico? Notaes algortmicas Implementao de algoritmos Tipos de erros Aritmtica de ponto utuante Scilab

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Sistemas Lineares

1 2 3 4 5 6 7

Conceitos bsicos Eliminao de Gauss Decomposio LU Decomposio de Cholesky Aplicaes de decomposio Mtodos iterativos Anlise de erros

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Interpolao

1 2 3 4

Polinmios interpoladores Polinmios de Lagrange Polinmios de Newton Polinmios de Gregory-Newton

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Ajuste de curvas

1 2 3 4

Regresso linear Qualidade do ajuste Regresso linear mltipla Diferena entre regresses e interpolaes

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Integrao numrica

1 2 3

Mtodos de Newton-Cotes Mtodo de Gauss-Legendre Integraes duplas

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Razes de equaes

1 2 3 4

Isolamento de razes Mtodo da bisseo Mtodos baseados em aproximao linear Mtodos baseados em tangente

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Avaliaes

Os 100 pontos sero distribudos da seguinte forma: Prova 1 (30 pontos) Prova 2 (30 pontos) 4 trabalhos prticos (10 pontos cada)

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CalendrioDatas importantes: 05/08: Aula inaugural 02/10: Primeira prova 27/11: Segunda prova 12/12: Trmino do semestre Feriados e recessos no semestre: 15/08: Feriado municipal: Assuno de Nossa Senhora 20/10: Semana da UFMG - Conhecimento e Cultura 08/12: Feriado municipal: Imaculada Conceio Carga horria total: 72 aulasLeonardo V. Alves [[email protected]] Aula introdutria de Clculo Numrico

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Perguntas?

???

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Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica;

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Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica; Exemplo: Distribuio gaussiana normal utilizada em probabilidade e estatstica;

ex d xMas as solues numricas no so exatas!Leonardo V. Alves [[email protected]] Aula introdutria de Clculo Numrico

2

Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias

Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;

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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;

d(t) = v t + d0

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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos;

d(t) = v t + d0

i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2

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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos; Clculos estequiomtricos em reaes qumicas;

d(t) = v t + d0 K M nO4 + H2 SO4 + N aN O2 K2 SO4 + M nSO4 + N aN O3 + H2 O

i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2

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Exemplo Exerccio Soluo Anlise

Como resolver um problema numrico?

Denio do problema; Modelagem matemtica; Soluo numrica; Anlise dos resultados;

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Resolvendo o problema de calcular

a

Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.

a para

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Resolvendo o problema de calcular

a

Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.

a para

Transformao do problema real no problema original:

a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0

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Resolvendo o problema de calcular

a

Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.

a para

Transformao do problema real no problema original:

a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador

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Resolvendo o problema de calcular

a

Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.

a para

Transformao do problema real no problema original:

a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador Anlise dos resultados: vericar se as solues obtidas pela implementao da soluo do problema original so adequadas para o problema real.

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Resolver o problema de calcular

a

Seja o seguinte mtodo iterativo para calcular a raiz quadrada de um nmero:

x k+1 =

1 2

(x k +

a

xk

)

Seja x 0 o valor inicial de x k . Calcule 3 casas decimais):

a para os seguintes valores (at

a = 4 e x0 = 1 a = 9 e x0 = 1 a = 4 e x 0 = 1 a = 9 e x 0 = 1

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Resolver o problema de calcular

4 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)

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4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)

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4 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi1

a xk

)

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4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1

a xk

)

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x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1 2,5

a xk

)

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x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 2,5

a xk

)

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x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 2,5 2,05

a xk

)

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1 2

(x k + xi1 2,5 2,05

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

1 2,5 2,05 2,00061

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x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)

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9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)

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x k+1 = i0

1 2

(x k + xi1

a xk

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x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1

a xk

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x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi1 5

a xk

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1 2

(x k + xi1 5

a xk

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x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi1 5 3,4

a xk

)

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x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi1 5 3,4

a xk

)

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1 2

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)

1 5 3,4 3,0235

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1 2

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1 5 3,4 3,0235

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1 2

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1 5 3,4 3,0235 3,0001

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1 2

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1 2

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1 2

(x k + xi-1

a xk

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1 2

(x k + xi-1

a xk

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1 2

(x k + xi-1 -2,5

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x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -2,5

a xk

)

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x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -2,5 -2,05

a xk

)

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4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi-1 -2,5 -2,05

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

4 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -2,5 -2,05 -2,00061

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9 com x 0 = 1

x k+1 = i

1 2

(x k + xi

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0

1 2

(x k + xi-1

a xk

)

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9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1

a xk

)

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9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1

1 2

(x k + xi-1 -5

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -5

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2

1 2

(x k + xi-1 -5 -3,4

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi-1 -5 -3,4

a xk

)

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235

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Resolver o problema de calcular

9 com x 0 = 1

x k+1 = i0 1 2 3 4

1 2

(x k + xi

a xk

)

-1 -5 -3,4 -3,0235 -3,0001

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original?

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas!

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real?

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No!

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que?

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Anlise dos resultados

Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que? Apenas as duas primeiras. A raiz quadrada de um nmero sempre no negativa.

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[1] Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numricos. LTC, 2nd edition, 2007. ISBN 978-85-216-1537-8.

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