Calculo NumericoSolucao de Equacoes em Uma Variavel
Metodo de Newton
Joao Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica
(Burden & Faires)
Roteiro
Derivacao do Metodo de Newton
Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo
Convergencia do Metodo de Newton
Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas
Roteiro
Derivacao do Metodo de Newton
Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo
Convergencia do Metodo de Newton
Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas
Roteiro
Derivacao do Metodo de Newton
Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo
Convergencia do Metodo de Newton
Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas
Roteiro
Derivacao do Metodo de Newton
Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo
Convergencia do Metodo de Newton
Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas
Roteiro
Derivacao do Metodo de Newton
Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo
Convergencia do Metodo de Newton
Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas
Metodo de Newton
O Metodo de Newton (ou Newton-Raphson) e um dos mais podero-sos e conhecidos metodos numericos para o problema de encontrarraizes
Derivando o Metodo de Newton
Derivacao
Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequenoConsidere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p
f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
onde (p) esta entre p e p0.
Como f(p) = 0, temos
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivando o Metodo de Newton
Derivacao
Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequeno
Considere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p
f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
onde (p) esta entre p e p0.
Como f(p) = 0, temos
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivando o Metodo de Newton
Derivacao
Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequenoConsidere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p
f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
onde (p) esta entre p e p0.
Como f(p) = 0, temos
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivando o Metodo de Newton
Derivacao
Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequenoConsidere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p
f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
onde (p) esta entre p e p0.
Como f(p) = 0, temos
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivando o Metodo de Newton
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivacao (cont.)
O Metodo de Newton e derivado assumindo que, como|p p0| e pequeno, (p p0)2 e menor ainda, logo
0 f(p0) + (p p0)f (p0)
Isolando p, temos:
p p0 f(p0)f (p0)
p1
Derivando o Metodo de Newton
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivacao (cont.)
O Metodo de Newton e derivado assumindo que, como|p p0| e pequeno, (p p0)2 e menor ainda, logo
0 f(p0) + (p p0)f (p0)
Isolando p, temos:
p p0 f(p0)f (p0)
p1
Derivando o Metodo de Newton
0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2
2f ((p))
Derivacao (cont.)
O Metodo de Newton e derivado assumindo que, como|p p0| e pequeno, (p p0)2 e menor ainda, logo
0 f(p0) + (p p0)f (p0)
Isolando p, temos:
p p0 f(p0)f (p0)
p1
Metodo de Newton
p p0 f(p0)f (p0)
p1
Metodo de Newton
Metodo de Newton: A partir da aproximacao inicial p0, gera-se umasequencia {pn}n=0 por:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
, n 1
Metodo de Newton
p p0 f(p0)f (p0)
p1
Metodo de Newton
Metodo de Newton: A partir da aproximacao inicial p0, gera-se umasequencia {pn}n=0 por:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
, n 1
Interpretacao Geometrica do Metodo de Newton
CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 68
3.3 Metodo de Newton
O metodo de Newton e uma das tecnicas mais populares para se determinar razes de equacoes naolineares. Existem varias maneiras de deduzir o metodo de Newton, a que apresentaremos aqui e baseadano metodo de iteracao linear. Assim, para descrever tal metodo, consideremos a equacao (3.2), isto e:
(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)
onde a funcao A(x) deve ser escolhida de tal forma que A(x) 6= 0.Vimos pelo Teorema 3.4 que temos garantia de convergencia se max| 0(x)| < 1 para x 2 I. Assim se
escolhermos A(x) tal que 0(x) = 0, teremos que para x 2 I, (I suficientemente pequeno), max | 0(x)| < 1,garantindo entao a convergencia do metodo.
Derivando (3.6) em relacao a x, obtemos:
0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).
Fazendo x = x, segue que:
0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,
e colocando:
0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)
6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .
Tomando entao: A(x) = 1f 0(x) , obtemos (x) = x
f(x)f 0(x) e o processo iterativo entao
definido por:
xk+1 = xk f (xk)f 0 (xk)
(3.7)
e chamado Metodo de Newton, que converge sempre que |x0 x| for suficientemente pequeno.
Uma interpretacao geometrica do metodo de Newton e dada na Figura 3.9.
f(xk)
x xk+1
xk
f(x)
x
6
-
Figura 3.9
Dado xk, o valor xk+1 pode ser obtido graficamente tracando-se pelo ponto (xk, f(xk)) a tangente a` curvay = f(x). O ponto de intersecao da tangente com o eixo dos x determina xk+1.
Pela Lei da Tangente
f (xk) = tg =f(xk)
xk xk+1
xk xk+1 = f(xk)f (xk)
xk+1 = xk f(xk)f (xk)
Interpretacao Geometrica do Metodo de Newton
CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 68
3.3 Metodo de Newton
O metodo de Newton e uma das tecnicas mais populares para se determinar razes de equacoes naolineares. Existem varias maneiras de deduzir o metodo de Newton, a que apresentaremos aqui e baseadano metodo de iteracao linear. Assim, para descrever tal metodo, consideremos a equacao (3.2), isto e:
(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)
onde a funcao A(x) deve ser escolhida de tal forma que A(x) 6= 0.Vimos pelo Teorema 3.4 que temos garantia de convergencia se max| 0(x)| < 1 para x 2 I. Assim se
escolhermos A(x) tal que 0(x) = 0, teremos que para x 2 I, (I suficientemente pequeno), max | 0(x)| < 1,garantindo entao a convergencia do metodo.
Derivando (3.6) em relacao a x, obtemos:
0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).
Fazendo x = x, segue que:
0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,
e colocando:
0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)
6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .
Tomando entao: A(x) = 1f 0(x) , obtemos (x) = x
f(x)f 0(x) e o processo iterativo entao
definido por:
xk+1 = xk f (xk)f 0 (xk)
(3.7)
e chamado Metodo de Newton, que converge sempre que |x0 x| for suficientemente pequeno.
Uma interpretacao geometrica do metodo de Newton e dada na Figura 3.9.
f(xk)
x xk+1
xk
f(x)
x
6
-
Figura 3.9
Dado xk, o valor xk+1 pode ser obtido graficamente tracando-se pelo ponto (xk, f(xk)) a tangente a` curvay = f(x). O ponto de intersecao da tangente com o eixo dos x determina xk+1.
Pela Lei da Tangente
f (xk) = tg =f(xk)
xk xk+1
xk xk+1 = f(xk)f (xk)
xk+1 = xk f(xk)f (xk)
Interpretacao Geometrica do Metodo de Newton
CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 68
3.3 Metodo de Newton
O metodo de Newton e uma das tecnicas mais populares para se determinar razes de equacoes naolineares. Existem varias maneiras de deduzir o metodo de Newton, a que apresentaremos aqui e baseadano metodo de iteracao linear. Assim, para descrever tal metodo, consideremos a equacao (3.2), isto e:
(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)
onde a funcao A(x) deve ser escolhida de tal forma que A(x) 6= 0.Vimos pelo Teorema 3.4 que temos garantia de convergencia se max| 0(x)| < 1 para x 2 I. Assim se
escolhermos A(x) tal que 0(x) = 0, teremos que para x 2 I, (I suficientemente pequeno), max | 0(x)| < 1,garantindo entao a convergencia do metodo.
Derivando (3.6) em relacao a x, obtemos:
0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).
Fazendo x = x, segue que:
0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,
e colocando:
0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)
6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .
Tomando entao: A(x) = 1f 0(x) , obtemos (x) = x
f(x)f 0(x) e o processo iterativo entao
definido por:
xk+1 = xk f (xk)f 0 (xk)
(3.7)
e chamado Metodo de Newton, que converge sempre que |x0 x| for suficientemente pequeno.
Uma interpretacao geometrica do metodo de Newton e dada na Figura 3.9.
f(xk)
x xk+1
xk
f(x)
x
6
-
Figura 3.9
Dado xk, o valor xk+1 pode ser obtido graficamente tracando-se pelo ponto (xk, f(xk)) a tangente a` curvay = f(x). O ponto de intersecao da tangente com o eixo dos x determina xk+1.
Pela Lei da Tangente
f (xk) = tg =f(xk)
xk xk+1
xk xk+1 = f(xk)f (xk)
xk+1 = xk f(xk)f (xk)
Interpretacao Geometrica do Metodo de Newton
68 C H A P T E R 2 Solutions of Equations in One Variable
Figure 2.8
xx
y
(p0, f (p0))
(p1, f (p1))
p0p1p2
p Slope f !(p0)
y " f (x)Slope f !(p1)
ALGORITHM
2.3Newtons
To find a solution to f (x) = 0 given an initial approximation p0:
INPUT initial approximation p0; tolerance TOL; maximum number of iterations N0.
OUTPUT approximate solution p or message of failure.
Step 1 Set i = 1.Step 2 While i N0 do Steps 36.
Step 3 Set p = p0 f ( p0)/f ( p0). (Compute pi.)Step 4 If | p p0| < TOL then
OUTPUT (p); (The procedure was successful.)STOP.
Step 5 Set i = i + 1.Step 6 Set p0 = p. (Update p0.)
Step 7 OUTPUT (The method failed after N0 iterations, N0 =, N0);(The procedure was unsuccessful.)STOP.
The stopping-technique inequalities given with the Bisection method are applicable toNewtons method. That is, select a tolerance > 0, and construct p1, . . . pN until
| pN pN1| < , (2.8)| pN pN1|
| pN | < , pN $= 0, (2.9)or
|f ( pN )| < . (2.10)
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Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 0
2 Enquanto i N , faca Passo 31 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 5
2 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)
3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 6
4 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 1
5 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Algoritmo
Algoritmo de Newton
1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3
1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p
3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido
4 Imprima devirada igual a zero
5 Imprima p;
Condicoes de parada
Condicao de parada
Novamente, outros criterios de paradas podem serempregados;
Por exemplo, podemos selecionar uma tolerancia > 0 e gerarp1, , pN ate umas das condicoes forem satisfeitas:
|pN pN1| < (1)
|pN pN1||pN | < (2)
|f(pN )| < (3)
A desigualdade 2 e o melhor criterio de parada para se aplicar,pois ele se torna mais proximo ao erro relativo.
Condicoes de parada
Condicao de parada
Novamente, outros criterios de paradas podem serempregados;
Por exemplo, podemos selecionar uma tolerancia > 0 e gerarp1, , pN ate umas das condicoes forem satisfeitas:
|pN pN1| < (1)
|pN pN1||pN | < (2)
|f(pN )| < (3)
A desigualdade 2 e o melhor criterio de parada para se aplicar,pois ele se torna mais proximo ao erro relativo.
Condicoes de parada
Condicao de parada
Novamente, outros criterios de paradas podem serempregados;
Por exemplo, podemos selecionar uma tolerancia > 0 e gerarp1, , pN ate umas das condicoes forem satisfeitas:
|pN pN1| < (1)
|pN pN1||pN | < (2)
|f(pN )| < (3)
A desigualdade 2 e o melhor criterio de parada para se aplicar,pois ele se torna mais proximo ao erro relativo.
Condicoes de parada
Condicao de parada
Novamente, outros criterios de paradas podem serempregados;
Por exemplo, podemos selecionar uma tolerancia > 0 e gerarp1, , pN ate umas das condicoes forem satisfeitas:
|pN pN1| < (1)
|pN pN1||pN | < (2)
|f(pN )| < (3)
A desigualdade 2 e o melhor criterio de parada para se aplicar,pois ele se torna mais proximo ao erro relativo.
Metodo de Newton como uma Iteracao de Ponto-Fixo
Iteracao de Ponto-Fixo
Metodo de Newton:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
pode ser escrito da forma:
pn = g(pn1)
com
g(pn1) = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
Metodo de Newton como uma Iteracao de Ponto-Fixo
Iteracao de Ponto-Fixo
Metodo de Newton:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
pode ser escrito da forma:
pn = g(pn1)
com
g(pn1) = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
Metodo de Newton como uma Iteracao de Ponto-Fixo
Iteracao de Ponto-Fixo
Metodo de Newton:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
pode ser escrito da forma:
pn = g(pn1)
com
g(pn1) = pn1 f(pn1)f (pn1)
, para n 1
Exemplo usando Metodo de Newton e Iteracao doPonto-Fixo
Exemplo: Iteracao de Ponto-Fixo e Metodo de Newton
Considere a funcao:
f(x) = cos(x) x = 0
Aproxime uma raiz de usando o Metodo do Ponto-Fixo e o Metodode Newton
Iteracao do Ponto-Fixo
f(x) = cosx x
A solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:
x = cosx
e o grafico implica que existe um ponto-fixo em [0, pi/2]
A seguinte tabela mostra os resultados para iteracao do pontofixo com p0 = pi/4
A melhor conclusao para estes resultados e que p 0.74
Iteracao do Ponto-Fixo
f(x) = cosx xA solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:
x = cosx
e o grafico implica que existe um ponto-fixo em [0, pi/2]
A seguinte tabela mostra os resultados para iteracao do pontofixo com p0 = pi/4
A melhor conclusao para estes resultados e que p 0.74
Iteracao do Ponto-Fixo
f(x) = cosx xA solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:
x = cosx
e o grafico implica que existe um ponto-fixo em [0, pi/2]
A seguinte tabela mostra os resultados para iteracao do pontofixo com p0 = pi/4
A melhor conclusao para estes resultados e que p 0.74
Iteracao do Ponto-Fixo
f(x) = cosx xA solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:
x = cosx
e o grafico implica que existe um ponto-fixo em [0, pi/2]
A seguinte tabela mostra os resultados para iteracao do pontofixo com p0 = pi/4
A melhor conclusao para estes resultados e que p 0.74
Iteracao do Ponto-Fixo
2.3 Newtons Method and Its Extensions 69
A form of Inequality (2.8) is used in Step 4 of Algorithm 2.3. Note that none of the inequal-ities (2.8), (2.9), or (2.10) give precise information about the actual error | pN p|. (SeeExercises 16 and 17 in Section 2.1.)
Newtons method is a functional iteration technique with pn = g( pn1), for which
g( pn1) = pn1 f ( pn1)f ( pn1)
, for n 1. (2.11)
In fact, this is the functional iteration technique that was used to give the rapid convergencewe saw in column (e) of Table 2.2 in Section 2.2.
It is clear from Equation (2.7) that Newtons method cannot be continued if f ( pn1) =0 for some n. In fact, we will see that the method is most effective when f is bounded awayfrom zero near p.
Example 1 Consider the function f (x) = cos xx = 0. Approximate a root of f using (a) a fixed-pointmethod, and (b) Newtons MethodSolution (a) A solution to this root-finding problem is also a solution to the fixed-pointproblem x = cos x, and the graph in Figure 2.9 implies that a single fixed-point p lies in[0,pi/2].
Figure 2.9y
x
y ! x
y ! cos x
1
1
Table 2.3 shows the results of fixed-point iteration with p0 = pi/4. The best we couldconclude from these results is that p 0.74.
Table 2.3n pn
0 0.78539816351 0.70710678102 0.76024459723 0.72466748084 0.74871988585 0.73256084466 0.74346421137 0.7361282565
Note that the variable in thetrigonometric function is inradian measure, not degrees. Thiswill always be the case unlessspecified otherwise.
(b) To apply Newtons method to this problem we need f (x) = sin x 1. Startingagain with p0 = pi/4, we generate the sequence defined, for n 1, by
pn = pn1 f ( pn1)f ( pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1 .
This gives the approximations in Table 2.4. An excellent approximation is obtained withn = 3. Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonably expect this result to beaccurate to the places listed.Table 2.4
Newtons Methodn pn
0 0.78539816351 0.73953613372 0.73908517813 0.73908513324 0.7390851332
Convergence using Newtons Method
Example 1 shows that Newtons method can provide extremely accurate approximationswith very few iterations. For that example, only one iteration of Newtons method wasneeded to give better accuracy than 7 iterations of the fixed-point method. It is now time toexamine Newtons method more carefully to discover why it is so effective.
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Iteracao do Ponto-Fixo
Derivation Example Convergence Final Remarks
Newtons Method & Fixed-Point Iteration
Fixed-Point Iteration: x = cos(x), x0 = 4n pn1 pn |pn pn1| en/en11 0.7853982 0.7071068 0.0782914 2 0.707107 0.760245 0.053138 0.6787193 0.760245 0.724667 0.035577 0.6695254 0.724667 0.748720 0.024052 0.6760645 0.748720 0.732561 0.016159 0.6718266 0.732561 0.743464 0.010903 0.6747537 0.743464 0.736128 0.007336 0.672816
Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 16 / 33
Metodo de Newton
Metodo de Newton: f(x) = cosx x
Para aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:
f (x) = sinx 1
Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1
Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir
Metodo de Newton
Metodo de Newton: f(x) = cosx xPara aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:
f (x) = sinx 1
Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1
Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir
Metodo de Newton
Metodo de Newton: f(x) = cosx xPara aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:
f (x) = sinx 1
Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1
Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir
Metodo de Newton
Metodo de Newton: f(x) = cosx xPara aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:
f (x) = sinx 1
Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1
Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir
Metodo de Newton
Metodo de Newton: f(x) = cosx xPara aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:
f (x) = sinx 1
Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1
Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir
Metodo de NewtonDerivation Example Convergence Final Remarks
Newtons Method
Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000
An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.
Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33
Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3
Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.
Metodo de NewtonDerivation Example Convergence Final Remarks
Newtons Method
Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000
An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.
Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33
Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3
Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.
Metodo de NewtonDerivation Example Convergence Final Remarks
Newtons Method
Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000
An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.
Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 18 / 33
Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3
Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminado
Este fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Convergencia do Metodo de Newton
Importancia Teorica na Escolha de p0
A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso
A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p
Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz
Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir
Teorema de Convergencia do Metodo de Newton
Teorema de Convergencia
Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
converge para p para qualquer aproximacao inicialp0 [p , p+ ].
Teorema de Convergencia do Metodo de Newton
Teorema de Convergencia
Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.
Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
converge para p para qualquer aproximacao inicialp0 [p , p+ ].
Teorema de Convergencia do Metodo de Newton
Teorema de Convergencia
Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:
pn = pn1 f(pn1)f (pn1)
converge para p para qualquer aproximacao inicialp0 [p , p+ ].
Metodo de Newton na Pratica
Escolha da aproximacao inicial: na pratica
Uma aproximacao inicial e escolhida
Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton
Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz
Ou indicarao que a convergencia e improvavel
Metodo de Newton na Pratica
Escolha da aproximacao inicial: na pratica
Uma aproximacao inicial e escolhida
Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton
Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz
Ou indicarao que a convergencia e improvavel
Metodo de Newton na Pratica
Escolha da aproximacao inicial: na pratica
Uma aproximacao inicial e escolhida
Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton
Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz
Ou indicarao que a convergencia e improvavel
Metodo de Newton na Pratica
Escolha da aproximacao inicial: na pratica
Uma aproximacao inicial e escolhida
Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton
Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz
Ou indicarao que a convergencia e improvavel
Metodo de Newton na Pratica
Escolha da aproximacao inicial: na pratica
Uma aproximacao inicial e escolhida
Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton
Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz
Ou indicarao que a convergencia e improvavel
Teorema do Valor Intermediario
Teorema do Valor Intermediario
Se f C[a, b] e K e um numero entre f(a) e f(b), entao existe umnumero c em (a, b) par aos quais f(c) = K. Voltar
8 C H A P T E R 1 Mathematical Preliminaries and Error Analysis
Maple gives the response
f solve(12 sin(2x) 4x cos(2x), x, .5 . . 1)This indicates that Maple is unable to determine the solution. The reason is obvious oncethe graph in Figure 1.6 is considered. The function f is always decreasing on this interval,so no solution exists. Be suspicious when Maple returns the same response it is given; it isas if it was questioning your request.
In summary, on [0.5, 1] the absolute maximum value is f (0.5) = 1.86004545 andthe absolute minimum value is f (1) = 3.899329036, accurate at least to the placeslisted.
The following theorem is not generally presented in a basic calculus course, but isderived by applying Rolles Theorem successively to f , f , . . . , and, finally, to f (n1).This result is considered in Exercise 23.
Theorem 1.10 (Generalized Rolles Theorem)Suppose f C[a, b] is n times differentiable on (a, b). If f (x) = 0 at the n + 1 distinctnumbers a x0 < x1 < . . . < xn b, then a number c in (x0, xn), and hence in (a, b),exists with f (n)(c) = 0.
We will also make frequent use of the Intermediate Value Theorem. Although its state-ment seems reasonable, its proof is beyond the scope of the usual calculus course. It can,however, be found in most analysis texts.
Theorem 1.11 (Intermediate Value Theorem)If f C[a, b] and K is any number between f (a) and f (b), then there exists a number cin (a, b) for which f (c) = K .
Figure 1.7 shows one choice for the number that is guaranteed by the IntermediateValue Theorem. In this example there are two other possibilities.
Figure 1.7
x
y
f (a)
f (b)
y ! f (x)K
(a, f (a))
(b, f (b))
a bc
Example 2 Show that x5 2x3 + 3x2 1 = 0 has a solution in the interval [0, 1].Solution Consider the function defined by f (x) = x5 2x3 + 3x2 1. The function f iscontinuous on [0, 1]. In addition,
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