Algebra Linear e Geometria Analtica
Engenharia do AmbienteEscola Superior de Tecnologia e Gestao de Viseu
2011/2012
Sumario
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss1.2 Matrizes1.3 Factorizacao triangular1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao deGauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exemplo 1:Eliminacao de Gauss:
2x1 + x2 + x3 = 14x1 + x2 + 3x3 = 22x1 + 2x2 + x3 = 4
E22E1E3+E1
2x1 + x2 + x3 = 1
x2 + x3 = 03x2 + 2x3 = 5
E3+3E2
2x1 + x2 + x3 = 1
x2 + x3 = 05x3 = 5
Substituicao de variaveis (de baixo para cima):
x1 = 12x2 = 1x3 = 1
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
MatrizUma matriz do tipo m n e uma expressao constituda por m nelementos (entradas) a11,a12, ...,amn dispostos em m linhas e ncolunas da seguinte forma:
a11 a12 a13 ... a1,n1 a1na21 a22 a23 ... a2,n1 a2na31 a32 a33 ... a3,n1 a3n. . . ... . .. . . ... . .. . . ... . .
am1,1 am1,2 am1,3 ... am1,n1 am1,nam1 am2 am3 ... am,n1 amn
Notacao abreviada: a matriz pode representar-se abreviadamentepor [aij ]
1jn1im ou [aij ] ou (aij).
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exemplo 1 - Notacao matricial2x1 + x2 + x3 = 14x1 + x2 + 3x3 = 22x1 + 2x2 + x3 = 4
x1 x2 x3
Matriz dos coeficientes do sistema: A =
2 1 14 1 32 2 1
33
Matriz coluna dos termos independentes: b =
124
31
Matriz coluna das variaveis: X =
x1x2x3
O sistema em notacao matricial representa-se por AX = b.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Matriz ampliada do sistema: [A|b] = 2 1 1 | 14 1 3 | 22 2 1 | 4
Matriz em escada de linhasUma matriz em escada de linhas e uma matriz tal que por baixo doprimeiro elemento nao nulo de cada linha da matriz, e por baixo doselementos anteriores da mesma linha, todas as entradas sao nulas.
PivoPrimeiro elemento nao nulo de cada linha de uma matriz em escadade linhas.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Operacoes na eliminacao de Gauss de uma matriz AA matriz A transforma-se numa matriz em escada de linhas por meiode operacoes do seguinte tipo:
substituicao de uma linha pela sua soma com o produto de umnumero por outra linha;troca de linhas;multiplicar uma linha por um numero diferente de zero (se amatriz for ampliada).
Variaveis basicas e nao basicas (livres)
As variaveis basicas sao as correspondentes a`s colunas que tempivos na matriz em escada de linhas.As variaveis nao basicas (livres) sao as correspondentes a`scolunas que nao tem pivos na matriz em escada de linhas.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Caracterstica de uma matriz A
A caracterstica de uma matriz A, car(A), e por definicao acaracterstica da matriz em escada de linhas obtida atraves daeliminacao de Gauss de A.Numa matriz em escada de linhas, a caracterstica da matriz eigual ao numero de pivos, ou seja, ao numero de linhas nao nulas.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exemplo 1: Passos da eliminacao de Gauss, partindo da matrizampliada 2 1 1 | 14 1 3 | 2
2 2 1 | 4
L22L1L3+L1
2 1 1 | 10 1 1 | 00 3 2 | 5
L3+3L2
2 1 1 | 10 1 1 | 00 0 5 | 5
Classificacao do sistema: Possvel determinadoVariaveis basicas: x1, x2 e x3car(A)= 3.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Classificacao de sistemas AX = b
Possvel car(A) = car([A|b])
Determinadocar(A) = car([A|b]) = n
Indeterminado de grau k(k 6= 0)car(A) = car([A|b]) < n,ou seja, car(A) = n k
Impossvel car(A) < car([A|b])n - numero de variaveis, o mesmo e dizer, numero de colunas damatriz A.
Sistema Homogeneo AX = 0O sistema homogeneo AX = 0 e sempre possvel - admite pelomenos a solucao X = 0.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exemplo 2:2x y + v = 14x 6y + 2z + 2v = 06x 7y + z + 5v = 2
2 1 0 1 | 14 6 2 2 | 06 7 1 5 | 2
L2+2L1L33L1
2 1 0 1 | 10 8 2 4 | 20 4 1 2 | 1
L3 12L2
2 1 0 1 | 10 8 2 4 | 20 0 0 0 | 2
car(A)= 2 < car([A|b]) = 3 Sistema ImpossvelVariaveis basicas: x e y .
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exemplo 3:y + z + 5v = 44x y + 2z + 2v = 02x + y + v = 1
0 1 1 5 | 44 1 2 2 | 02 1 0 1 | 1
L13
2 1 0 1 | 14 1 2 2 | 00 1 1 5 | 4
L2+2L1
2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 1 1 5 | 4
L3L2
2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 0 1 1 | 2
car(A)= car([A|b]) = 3 < n = 4 Sistema PossvelIndeterminado (grau 1)Variaveis basicas: x , y e z.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Matriz em escada de linhas:
2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 0 1 1 | 2
O sistema dado e equivalente a
2x + y + v = 1y + 2z + 4v = 2z + v = 2
Substituicao de variaveis:x = 5+5v2
y = 6 6v
z = 2+ v
, v R
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
Exerccio:O Pedro e aluno do 1o ano do curso de Engenharia e GestaoIndustrial da ESTV e no 2o semestre esta matriculado em AnaliseMatematica II (AMII), Mecanica II (MII), Algebra Linear e GeometriaAnaltica (ALGA), Metalurgia (M) e Tecnologia de Informacao eComunicacao (TIC). O Pedro consegue estudar em media a`:
segunda: 0 horas de AMII, 1 hora de MII, 12 hora de ALGA,12 de M
e 12 de TIC;terca: 2 horas de AMII, 0 horas de ALGA e de MII, 1 hora de M e12 hora de TIC;quarta: 1 hora de AMII, 1 hora de ALGA, 1 hora de MII, 0 horasde M e 12 hora de TIC;
quinta: 12 hora de AMII,12 hora de MII, 0 horas de ALGA e de TIC,
32 hora de M;
sexta: 0 horas de AMII, de MII e de M, 12 hora de ALGA e12 hora
de TIC.(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 14 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss
1 O Pedro pretende determinar o numero de horas que tem estudarno semestre por unidade curricular de forma que a` segundaestude 20 horas, a` terca 40 horas, a` quarta 40 horas, a` quinta 20horas e a` sexta 10 horas. Formule o problema como um sistemade equacoes lineares.
2 Escreva o sistema na forma matricial e resolva-o usando ometodo de eliminacao de Gauss.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz linhaUma matriz linha ou vector linha e uma matriz do tipo 1 n.Exemplo: A =
[2 1 0 1 3 ]15
Matriz colunaUma matriz coluna ou vector coluna e uma matriz do tipo m 1.
Exemplo: A =
1302
41
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz quadradaUma matriz quadrada de ordem n e uma matriz do tipo n n.
Exemplos : A =[1 23 4
]22
, B =
4 1 2 30 1 3 12 3 0 21 5 6 3
44
Diagonal secundaria Diagonal principal
Matriz rectangularUma matriz rectangular e uma matriz do tipo m n em que m 6= n.
Exemplo : A =[4 1 2 30 1 3 1
]24
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz triangularUma matriz triangular e uma matriz quadrada em que sao nulos oselementos situados para um dos lados da diagonal principal.
Exemplos :
A =
2 2 30 1 10 0 4
Matriz triangular superior
A =
4 0 01 2 05 0 1
Matriz triangular inferior
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz DiagonalUma matriz diagonal e uma matriz quadrada em que sao nulos todosos elementos situados fora da diagonal principal.
Exemplo: A =
4 0 00 2 00 0 1
Matriz identidadeA matriz identidade e uma matriz diagonal constituda por uns nadiagonal principal. Denota-se por Inn.
Exemplo: I3 =
1 0 00 1 00 0 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 19 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz nulaA matriz nula e uma matriz constituda por apenas elementos nulos.Denota-se por Omn.
Exemplos: O3 =
0 0 00 0 00 0 0
O23 = [ 0 0 00 0 0]
O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em R designa-seporMmn(R).O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em C designa-seporMmn(C).
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Matrizes especiais
Matriz transpostaSeja A Mmn(K), K = R ou K = C.A matriz transposta de A = [aij ], do tipo m n, e dada por At = [aji ],do tipo n m.Exemplo: 1 3 10 2 1
3 1 4
t = 1 0 33 2 11 1 4
[1 2 42 5 0
]t23
=
1 22 54 0
32
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Igualdade de matrizesDuas matrizes sao iguais se forem do mesmo tipo e se tiveremelementos homologos iguais.
Exemplo:
A =[2 43 x
], B =
[2 43 5
], C =
[2 4 50 3 2
]Se x = 5 entao A = B.
Nao existe valor para x de forma que A = C, uma vez que A e C temordens diferentes.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Adicao de matrizesDadas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] do tipo m n, a sua adicao e amatriz soma do tipo m n dada por:
A+ B = [aij + bij ]
Exemplo:
A =
2 1 0 31 0 2 44 2 7 0
, B = 4 3 5 12 2 0 1
3 2 4 5
A+ B =
2 4 5 41 2 2 37 0 3 5
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Propriedades da adicao de matrizesSejam A, B e C matrizes do tipo m n. Entao:
A+ B = B + A;(A+ B) + C = A+ (B + C);Existe uma matriz nula, Omn, tal que Omn + A = A+Omn = A;Para cada matriz A = [aij ], existe a matriz A = [aij ] tal queA+ (A) = A+ A = O.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Multiplicacao de um escalar por uma matrizO produto de uma escalar (real ou complexo) por uma matrizA = [aij ] do tipo m n e a matriz m n dada por:
A = [aij ]
Exemplo:
12
[2 1 4 61 0 3 8
]=
[1 12 2 312 0 32 4
]
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 25 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Propriedades da multiplicacao escalarSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo e e dois escalares.Entao:
(A+ B) = A+ B;(+ )A = A+ A;(A) = ()A.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 26 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Multiplicacao de matrizesSe A e uma matriz do tipo m r e B e uma matriz do tipo r n entaoo produto AB e uma matriz do tipo m n cujos elementos saodeterminados da seguinte forma:
o elemento da linha i e coluna j de AB obtem-se da linha i de A eda coluna j de B atraves da soma do produto doscorrespondentes elementos.
Notacao abreviada: AB = [r
k=1
aikbkj ]
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 27 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Exemplo:[1 2 42 6 0
].
4 1 4 30 1 3 12 7 5 2
= [ 26 ]
(2 4) + (6 3) + (0 5) = 26
[1 2 42 6 0
].
4 1 4 30 1 3 12 7 5 2
= [ 13 ]
(1 3) + (2 1) + (4 2) = 13
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 28 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
[1 2 42 6 0
].
4 1 4 30 1 3 12 7 5 2
= [ 12 27 30 138 4 26 12
](1 4) + (2 0) + (4 2) = 12(1 1) (2 1) + (4 7) = 27
(1 4) + (2 3) + (4 5) = 30
(2 4) + (6 0) + (0 2) = 8
(2 1) (6 1) + (0 7) = 4
(2 3) + (6 1) + (0 2) = 12
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 29 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Observacoes:
So e possvel efectuar o produto AB se o numero de colunas de Afor igual ao numero de linhas de B.
Amr Brn = ABmn
upslopeiguais
O produto de matrizes nao e comutativo.
Exemplo: A =[1 01 0
], B =
[0 01 1
]AB =
[0 00 0
], BA =
[0 02 0
].
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 30 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Operacoes com matrizes
Propriedades da multiplicacao de matrizes
A(BC) = (AB)C, para quaiquer matrizes A do tipo m n, B dotipo n p e C do tipo p q;A(B + C) = AB + AC, para quaisquer matrizes A do tipo m n eB e C do tipo n p;(A+ B)C = AC + BC, para quaisquer matrizes A e B do tipom n e C do tipo n p;(A)B = (AB), para quaisquer matrizes A do tipo m n e B dotipo n p;(A)(B) = ()(AB), para quaisquer matrizes A do tipo m n eB do tipo n p;
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Exerccios:1 Defina a matriz A do tipo 4 4 cujos elementos aij satisfazem a
condicao:
aij ={
1 se i + j e par0 caso contrario
2 Considere as matrizes: A =
3 01 21 1
, B = [ 4 10 2
]
C =[1 4 03 1 5
], D =
1 5 21 0 13 2 4
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 32 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes
Exerccios:Calcule (quando possvel):
1 (BAt 2C)t ;2 (4B)C + 2B;3 Bt(CCt AtA);4 (AC)t + 5Dt .
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 33 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Matrizes Elementares
Matriz elementar e uma matriz quadrada que se obtem da identidade substituindoo elemento nulo situado na linha i e coluna j por . Denota-se por Eij() ou Eij .
Exemplos:
Matrizes elementares de ordem 3:
E21(4) = 1 0 04 1 0
0 0 1
E32(5) = 1 0 00 1 0
0 5 1
Matrizes elementares de ordem 4:
E41(3) =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 03 0 0 1
E32(2) =
1 0 0 00 1 0 00 2 1 00 0 0 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 34 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
O efeito de multiplicar Eij() (a` esquerda) por uma matriz qualquer A esubstituir a linha i de A pela sua soma com a linha j multiplicada peloescalar .
Seja A =
L1L2...Lm
. Tem-se Eij() A = Eij()
L1...Lj...Li...Lm
=
L1...Lj...
Li + Lj...Lm
Na eliminacao de Gauss, cada operacao elementar da forma A Li+Lj A
pode ser traduzida por Eij() A = A.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 35 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Exemplo:Efectuar a operacao elementar 1 1 10 2 1
2 1 2
A
L3+2L1
1 1 10 2 10 3 4
A1
equivale a efectuar o produto 1 0 00 1 02 0 1
E31(2)
1 1 10 2 12 1 2
A
=
1 1 10 2 10 3 4
A1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 36 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
As matrizes elementares sao invertveis e tem-se(Eij()
)1= Eij()
Exemplos: 1 0 00 1 02 0 1
1 = 1 0 00 1 0
2 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 3 0 1
1
=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 3 0 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 37 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Propriedade do produto de matrizes elementaresO produto de matrizes elementares por ordem crescente do ndice das colunas
E21(21) E31(31) E41(41) . . .Em1(m1)| {z }
coluna 1
E32(32) E42(42) . . .Em2(m2)| {z }
coluna 2
. . .Em,m1(m,m1)| {z }
coluna m1
e igual a` matriz identidade substituindo cada elemento da posicao ij por ij , ou seja,a` matriz:2
6
6
6
6
6
6
6
4
1 0 0 0 . . . 021 1 0 0 . . . 031 32 1 0 . . . 041 42 43 1 . . . 0...
......
.... . .
...m1 m2 m3 m4 . . . 1
3
7
7
7
7
7
7
7
5
Exemplo:2
4
1 0 00 1 01 0 1
3
5
| {z }
E31(1)
2
4
1 0 02 1 00 0 1
3
5
| {z }
E21(2)
2
4
1 0 00 1 00 3 1
3
5
| {z }
E32(3)
=
2
4
1 0 02 1 01 3 1
3
5
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 38 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Matrizes de Permutacao
Matriz de permutacao e uma matriz cujas linhas sao todas as linhas da identidadecolocadas por uma ordem qualquer.
A matriz Pij resulta da matriz identidade por troca da linha i pela linha j .
Exemplos:
Matrizes de permutacao de ordem 3:
P12 =
0 1 01 0 00 0 1
P23 = 1 0 00 0 1
0 1 0
P = 0 0 11 0 0
0 1 0
Matrizes de permutacao de ordem 4:
P14 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
Q =
0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 39 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
O efeito de multiplicar (a` esquerda) uma matriz de permutacao Pij poruma matriz qualquer A e trocar a linha i com a linha j de A.
Seja A =
L1L2...Lm
. Tem-se Pij A = Pij
L1...Li...Lj...Lm
=
L1...Lj...Li...Lm
Na eliminacao de Gauss, cada operacao do tipo troca de linhasA
LijA pode ser traduzida por
Pij A = A.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 40 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Exemplo:Efectuar a operacao 0 1 13 2 1
1 1 2
A
L13
1 1 23 2 10 1 1
A1
equivale a efectuar o produto 0 0 10 1 01 0 0
P13
0 1 13 2 11 1 2
A
=
1 1 23 2 10 1 1
A1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 41 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
As matrizes de permutacao sao invertveis e tem-se
P1 = PT
Exemplos: 0 0 11 0 00 1 0
1 = 0 1 00 0 1
1 0 0
0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1
1
=
0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 42 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Factorizacao LU
Exemplo:
A =
2
4
1 1 12 4 11 3 2
3
5
L22L1L31L1
2
4
1 1 10 2 30 4 1
3
5
| {z }
A1
L3+2L2
2
4
1 1 10 2 30 0 5
3
5
| {z }
U
Das propriedades das matrizes elementares, tem-se
A1 = E21(2) E31(1) A
U = E32(2) A1Portanto,
U = E32(2) E21(2) E31(1)| {z }
B
A
U = BA B1U = B1B| {z }
I
A A = B1|{z}
L
U
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 43 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Exemplo:[cont.]
L = B1 = [E32(2) E21(2) E31(1)]1
= [E31(1)]1 [E21(2)]1 [E32(2)]1
= E31(1)E21(2)E32(2)
=
2
4
1 0 02 1 01 2 1
3
5
Os elementos que estao abaixo da diagonal principal sao os simetricos dosmultiplicadores -2, -1 e 2, utilizados na eliminacao de Gauss.Entao,
A = LU A =2
4
1 0 02 1 01 2 1
3
5
| {z }
L
2
4
1 1 10 2 30 0 5
3
5
| {z }
U
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 44 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Em geral, se A e uma matriz m n e U e a matriz em escada de linhas queresulta da eliminacao de Gauss de A, ao longo da qual nao houve troca delinhas, entao
A = LU
onde L e a matriz m m que se obtem da matriz identidade substituindo,para cada operacao elementar Li + Lj feita ao longo da eliminacao deGauss, a entrada nula da linha i e da coluna j pelo simetrico domultiplicador, isto e, por .A quadradaNo caso particular de A ser uma matriz quadrada, a matriz U resultante dasua eliminacao de Gauss e triangular superior. Como L e triangular inferior, adecomposicao LU de A e o produto de duas matrizes triangulares, por issose designa de factorizacao triangular de A.
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Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Factorizacao LDU
Obtem-se da factorizacao LU, decompondo a matriz U no produto de uma matriz D,com uma matriz que tambem se designa por U, onde:
D e uma matriz m m diagonal cujos elementos da diagonal principal sao ospivos da eliminacao de Gauss ou zero no caso de nao haver pivo;
U e uma matriz m n obtida apos eliminacao de Gauss, dividindo cada linhapelo respectivo pivo.
Exemplo:
A = LU A =2
4
1 0 02 1 01 2 1
3
5
| {z }
L
2
4
1 1 10 2 30 0 5
3
5
| {z }
U
A = LDU A =2
4
1 0 02 1 01 2 1
3
5
| {z }
L
2
4
1 0 00 2 00 0 5
3
5
| {z }
D
2
4
1 1 10 1 320 0 1
3
5
| {z }
U
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 46 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Factorizacao PA = LU ou PA = LDU
A eliminacao de Gauss de uma matriz A pode ser feita:
sem troca de linhas 99K factorizacao LU ou LDU de Acom troca de linhas 99K factorizacao LU ou LDU de PA
Se A e uma matriz m n e U e a matriz em escada de linhas que resulta da eliminacao deGauss de A, ao longo da qual houve troca de linhas, entao
PA = LU
onde P e a matriz m m de permutacao correspondente a`s trocas de linhas.A factorizacao PA = LU ou PA = LDU pode ser resumida pelos seguintes passos:
1 Fazer a eliminacao de Gauss a` matriz A2 Determinar a matriz P que e igual ao produto a` esquerda das matrizes Pij , a` medida que
forem aparecendo3 Calcular a matriz PA4 Fazer a eliminacao de Gauss a` matriz PA (sem trocar linhas) de modo a obter a
factorizacao PA = LU ou PA = LDU.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 47 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular
Exemplo:
A =
2
4
1 2 32 4 21 1 1
3
5
L22L1L3L1
2
4
1 2 30 0 40 1 2
3
5 L23
2
4
1 1 10 1 20 0 4
3
5 = U
P = P23 =
2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5 PA =
2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5
2
4
1 2 32 4 21 1 1
3
5 =
2
4
1 2 31 1 12 4 2
3
5
PA =
2
4
1 2 31 1 12 4 2
3
5
L21L1L32L1
2
4
1 2 30 1 20 0 4
3
5 = U
PA = LU PA =2
4
1 0 01 1 02 0 1
3
5
| {z }
L
2
4
1 2 30 1 20 0 4
3
5
| {z }
U
PA = LDU A =2
4
1 0 01 1 02 0 1
3
5
| {z }
L
2
4
1 0 00 1 00 0 4
3
5
| {z }
D
2
4
1 2 30 1 20 0 1
3
5
| {z }
U
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 48 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
A resolucao de um sistema pelo metodo de Gauss-Jordancompreende as fases:
1 Eliminacao de Gauss da matriz ampliada do sistema.(So interessa passar a` fase seguinte se o sistema for possvel);
2 A partir da matriz em escada de linhas obtida em 1, chegar a umamatriz em que:
por baixo e por cima dos pivos, todas as entradas sejam nulas;os pivos sejam iguais a 1 (multiplicacao de cada linha nao nula damatriz pelo inverso do numero que e pivo dessa linha.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 49 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Exemplo: 2x1 + 3x2 + x3 = 3x1 + x2 + x3 = 22x1 + x2 = 2
Fase 1: 2 3 1 | 31 1 1 | 22 1 0 | 2
L12
1 1 1 | 22 3 1 | 32 1 0 | 2
L22L1L3+2L1
1 1 1 | 20 1 1 | 10 3 2 | 2
L33L2
1 1 1 | 20 1 1 | 10 0 5 | 5
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 50 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Exemplo:Fase 2: 1 1 1 | 20 1 1 | 1
0 0 5 | 5
15L3
1 1 1 | 20 1 1 | 10 0 1 | 1
L2+L3L1L3
1 1 0 | 10 1 0 | 00 0 1 | 1
L1L2
1 0 0 | 10 1 0 | 00 0 1 | 1
Solucao:
x1 = 1x2 = 0x3 = 1
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 51 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Matriz invertvelA matriz quadrada A de ordem n diz-se invertvel se existir uma matrizquadrada B de ordem n tal que AB = I e BA = I.Nesse caso, B diz-se a inversa de A e representa-se por A1.
Matriz singular e matriz nao singularSeja A uma matriz quadrada de ordem n.
A diz-se singular se car(A) < n.A diz-se nao singular se car(A) = n.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 52 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Propriedades:
1 Uma matriz quadrada A de ordem n e invertvel se e so se e naosingular;
2 Seja A uma matriz invertvel, entao:A inversa e unica;(A1)1 = A;
3 Se A e B sao matrizes quadradas de ordem n tais que AB = Ientao BA = I;
4 Se A1, A2,...,An sao matrizes quadradas da mesma ordem, todasinvertveis, entao o produto A1A2...An e invertvel, tendo-se
(A1A2...An)1 = A1n ...A12 A
11
.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 53 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Metodo de Gauss-Jordan no calculo de inversas de matrizes[A | I ] ............................. [ I | A1 ]
metodo de Gauss-Jordan
Exemplo:
Calcular a inversa de
A =[3 45 7
].
[3 4 |1 05 7 |0 1
]
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 54 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Exemplo: [3 4 |1 05 7 |0 1
]
L2 53L1
[3 4 | 1 00 13 | 53 1
]
3L2
[3 4 | 1 00 1 | 5 3
]
L14L2
[3 0 | 21 120 1 | 5 3
]
13L1
[1 0 | 7 40 1 | 5 3
]99K A1 =
[7 45 3
]
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 55 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de
Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes
Exerccios:1 Determine a matriz A tal que:
A1 =
40 16 913 5 35 2 1
.2 Determine todos os valores reais de a, b e c para os quais
A =
1 0 00 2 1a b c
e invertvel.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 56 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Matriz simetrica e matriz anti-simetricaSeja A Mnn(K), K = R ou K = C.
A diz-se simetrica se At = A.A diz-se anti-simetrica se At = A.
Exemplos:
A =
1 4 54 3 25 2 7
Matriz simetricaA =
0 4 54 0 25 2 0
Matriz anti-simetrica
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 57 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Propriedades da transposicao de matrizesSejam A Mmn(K), K = R ou K = C, e um escalar.
(At)t = A;(A+ B)t = At + Bt ;(AB)t = BtAt ;(A)t = At ;Se A e invertvel, entao At e invertvel, tendo-se (A1)t = (At)1;(Ak )t = (At)k .
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 58 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Matriz conjugadaSeja A Mmn(C).A matriz conjugada de A = [aij ], do tipo m n, e dada por A = [aij ],onde aij denota o conjugado de aij .
Exemplo:
A =
4 1 i 23+ i 2+ i 00 1+ 2i 5i
A = 4 1+ i 23 i 2 i 0
0 1 2i 5i
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 59 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Propriedades da conjugacao de matrizesSejam A Mmn(C) e C.
A = A;A+ B = A+ B;AB = A B;A = A;
Se A e invertvel, entao A e invertvel, tendo-se A1 = A1;
Ak = Ak.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 60 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Matriz transconjugadaSeja A Mmn(C).A matriz transconjugada de A = [aij ], do tipo m n, e dada porA = [aji ], do tipo n m.Notacao: A = AH = (A)t = At
Exemplo:
A =
4 1 i 23+ i 2+ i 00 1+ 2i 5i
A = 4 3 i 01+ i 2 i 1 2i2 0 5i
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 61 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Propriedades da transconjugacao de matrizesSejam A Mmn(C) e C.
(A) = A;(A+ B) = A + B;(AB) = BA;(A) = A;Se A e invertvel, entao A e invertvel, tendo-se (A1) = (A)1;(Ak ) = (A)k .
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 62 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Matriz hermtica e matriz anti-hermticaSeja A Mnn(C).
A diz-se hermtica se A = A.A diz-se anti-hermtica se A = A.
Exemplos:
A =
1 4 i 1+ i4+ i 6 21 i 2 0
Matriz hermticaA =
0 4+ i 14+ i 0 2+ i1 2+ i 0
Matriz anti-hermtica
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 63 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Matriz ortogonalUma matriz A quadrada de ordem n diz-se ortogonal se
AAt = I e AtA = I
ou
A for invertvel e At = A1
Exemplo:
A =
0 0 10 1 01 0 0
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 64 / 65
Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais
Exerccios:Determine os valores de a, b e c para os quais:
1 A =
2 a 2b + 2c 2a+ b + c3 5 a+ c0 2 7
e simetrica.
2 A =
0 a+ bi bi3+ i 0 3+ 2ii 3+ 2i c
e anti-hermtica.
(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 65 / 65