Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Cap 6 – Efeitos da Realimentação e Erros em Regime Permanente
Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalMaio de 2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
CONTROLO2º semestre – 2007/2008
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivo e Sumário
Enunciar os requisitos de um sistema de controlo
Apresentar e discutir os principais efeitos da realimentação
Especificações no projecto de controladores
Erros em regime estacionário
• Com retroacção unitária
• Sem retroacção unitária
Referênciaso Cap.4 (Secções 4.1 e 4.2) da referência principal
o Notas de Eduardo Morgado
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo
Um sistema moderno de controlo
• avalia as condições de operação do sistema• compara‐as com o comportamento desejado• calcula acções correctivas com base num modelo do sistema• actua no sistema para implementar essas acções correctivas
Sistema
Sensoriamento / Percepção
ComputaçãoActuação
Sistema SensoresActuadores
Computador A/DD/A
Relógio
Saída
Entrada de referência
RuídoPerturbações externasRuído
Controlador
Processo
Sistema de controlo implementado em computador
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo: Nomenclatura
Transdutor de entrada Controlador Processo
++
++
Entrada de Referência Variável
Controlada
Perturbação Perturbação
Transdutor de saída ou
sensor
+_
ErroActuador
+
+
Sinal de comando
Ruído nos sensores
Cadeia de retroacção
G(s)_
K(s)
dy
n
r e u
Controlador Sistema a controlar
++
+
+
+
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
• Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja, o erro deve ser pequeno
• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade
– Relativamente à variação de parâmetros
– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador
• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por ummodelo mais simples de 2ª ordem
REQUISITOS USUAIS
E. MorgadoControlo, 1998
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo: Efeitos da realimentação
os sistemas de controlo em cadeia fechada reduzem o efeitoo de perturbações externas ao sistema, incluindo ruído nos
sensoreso de variações dos parâmetros do sistema devidas ao
envelhecimento, tolerâncias de fabrico ou efeitos de carga
A resposta transitória é modificada com a introdução de realimentação, mas as condições de estabilidade podem serafectadasOs sistemas em cadeia fechada são estáveis
Quando bem projectados
Especificações de controlo modos de expressar os requisitos
Resposta transitóriaEstabilidadeErros em Regime Estacionário....
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
• Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno
• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade
– Relativamente à variação de parâmetros
– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador
• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por ummodelo mais simples de 2ª ordem
REQUISITOS USUAIS
E. MorgadoControlo, 1998
•Mais à frente será quantificada aestabilidade relativa.
•Para sistemas estáveis, importa saber quão estável é?
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
• Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno
• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade
– Relativamente à variação de parâmetros
– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador
• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por ummodelo mais simples de 2ª ordem
REQUISITOS USUAIS
E. MorgadoControlo, 1998
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção
R(s) Y(s)
W(s)
G(s)K ++
R(s) Y(s)
W(s)
G(s)K ++
+
_
cadeia aberta)s(W)s(G)s(R)s(KG)s(Y +=
sistema linearprincípio da sobreposição
0)s(R0)s(W)s(Y)s(Y)s(Y
==+=
princípio da sobreposição)s(W
)s(KG1)s(G)s(R
)s(KG1)s(KG)s(Y
++
+=
Não há possibilidade de atenuar o efeito deW sobre Y
A saída é tanto menos afectada por W quanto maior for o ganho K
cadeia fechada
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção
R(s) Y(s)
W(s)
K ++
+
_cadeia fechada
K=2
K=15K=30
a análise da rejeição de perturbações pode fazer-se também no domínio da frequência
)as(sa+
K=8
perturbação
Saída y(t) dosistema em cadeia fechada sem perturbação
Saída y(t) dosistema em cadeia fechadaquando existe a perturbaçãoindicada
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção
R(s) Y(s)
d
K+
++
_
cadeia fechada1)(s
1+
1K =
4K =
)t(u 20)t(r =
)5t(u 5)t(d −=
referência
Um aumento do ganho do controlador diminui o efeito da perturbação
K1K20+
temperatura desejada
perturbação
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção +– Ruído nos sensores
R(s) Y(s)
W(s)
K ++
+
_
cadeia fechada
)s(G
N(s)+
+
ruído nos sensores
)s(N)s(KG1
)s(KG)s(W)s(KG1
)s(G)s(R)s(KG1
)s(KG)s(Y+
−+
++
=
Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?
E(s)
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção +– Ruído nos sensores
)s(N)s(KG1
)s(KG)s(W)s(KG1
)s(G)s(R)s(KG1
)s(KG)s(Y+
−+
++
=
Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?
• Para uma frequência w• Boa rejeição da perturbação W aumentar |KG(jw)|• Bom seguimento da referência r (erro pequeno) aumentar |KG(jw)|• Boa rejeição do ruído diminuir |KG(jw)|
• O ruído apresenta habitualmente componentes espectrais de mais alta frequência do que as do sinal de referência
• Estratégia de Controlo• Baixas Frequências |KG(jw)| >> 1
• Altas Frequências (banda do ruído) |KG(jw) <<1
• Frequências intermédias – as condições a impor ao ganho estão relacionadas com a estabilidade em cadeia fechada.
Banda de frequência associada normalmente ao sinal dereferência e às perturbações exteriores que são sinaisrelativamente lentos
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
• Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno
• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade
– Relativamente à variação de parâmetros
– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador
• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por ummodelo mais simples de 2ª ordem
REQUISITOS USUAIS
E. MorgadoControlo, 1998
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação
• Sensibilidade à variação de parâmetros– De que modo variações de parâmetros em G(s) afectam a função de
transferência em cadeia fechada ?
R(s) Y(s)G(s)K
+
_ )s(KG1)s(KG
)s(R)s(Y)s(M
+==
Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s)
MG
dGdM
GdG
MdM
SMG ==
( )( ) ( )
( ))s(KG1)s(KG1
1MG.
)s(KG1K)s(KGK)s(KG1S 22
MG +
+=
+−+
=
)s(KG11SM
G +=
Quanto maior for |KG(jw)| menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de
parâmetros no sistema a controlar, G(s)
FT emcadeia fechada
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
• Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deveser pequeno
• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade – Relativamente à variação de parâmetros
– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador
• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordempor um modelo mais simples de 2ª ordem
REQUISITOS USUAIS
E. MorgadoControlo, 1998
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
)s(Gc )s(Pcr +
_
f.t. da salaf.t. do controlador
temperatura desejada
temperaturaeerro
Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho
A ‐ Controlador Proporcional
K)s(Gc =
K1K20+
temperatura desejada
1s1)s(P+
=
K120ess +
= erro em regime estacionário
)t(u 20)t(r =
Sem perturbação
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
K)s(Gc = controlador P ( proporcional )
1K =
2K =
5K =
sse
sse sse
o erro em regime estacionário diminui com oaumento do ganho do controlador
Como levar o erro para zero ?
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho
B ‐ Controlador Integral
sKI
cr +_ temperatura
e
sK)s(G I
c =
1s1P(s)+
=)t(u 20)t(r =
m
∫ σσ=t
oI d)(eK)t(m
)t(e K)t(m I=&
Em regime estacionário
tetanconsmss = 0)(m =∞& 0ess =
0e Se ss > 0)t(m >& ↑)t(m ↑∞)(c ↓−= crecontradição
O erro em regime estacionário constante
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho
B ‐ Controlador Integral
sKI
cr +_ temperatura
perturbação
e
sK)s(G I
c =
1s1P(s)+
=)t(u 20)t(r =
m
sem perturbação com perturbação
++
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho
Controlador Proporcional e Controlador Integral
)t(u 20)t(r =
)s(Gc )s(Pcr +
_
e
sK)s(G I
c =
m
K)s(Gc = controlador proporcional
controlador integral contribuiu com um pólo na origem na cadeia de acção
1KK I == 3KK I ==
com controlador Pcom controlador P
com controlador Icom controlador I
Com o controlador Integral
• O erro em regimeestacionário é nulo
• ... Mas o sistema torna‐se mais lento
• ... E o transitório émais oscilatório
1s1)s(P+
=
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
sistema de controlo detemperatura de uma sala
Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho
Controlador Proporcional Integral (PI)
1s1)s(P+
=1K )s(Pcr +
_e m
s/K2
+
+
sKK)s(G 2
1c +=controlador
proporcional
integral (PI)s
KsK)s(G 21c
+=
1 pólo na origem e 1 zero
3K1 =
5K2 =
5K3K
2
1
=
=com controlador I
com controlador PI
com controlador P
)t(u 20)t(r =
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: Definição
• ERRO = diferença entre a entrada de referência, r(t), e a saída, c(t).
Retroacção unitária
• ERRO em regime estacionário
)t(c)t(r)t(e −=
)t(e limetss ∞→
=
R(s) C(s)G(s)+
_
E(s)
sinal de erro
)s(E)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E −=−=
)s(R)s(G1
1)s(E+
=
R(s) C(s)Gc(s)
+
_
E(s)P(s)
Análise vai ser feita apenas parasistemas estáveis
para retroacção unitária
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: DesignaçãoSinais deTeste
Erro de ACELERAÇÃO
Erro de POSIÇÃO
Erro de VELOCIDADE
R(s) C(s)G(s)+
_
E(s)
posição
sistema de controlo de posição
designação
habitu
aldo
erro
correspo
ndente
r(t)=rampa
r(t)=parábola
variação linear da posição
pretende‐se que o sistemaapresente umavelocidade constante
variação linear da velocidade
pretende‐se que o sistemaapresente umaaceleração constante
Justificação para a designação
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de Posição
)s(R)s(G1
1)s(E+
=
entrada escalão
)t(u)t(r =s1)s(R =
)s(sElim)t(elime0stss →∞→
==
Por aplicação do Teor. Valor Final
)s(Glim11
)s(G11lime
0s0sss
→→ +
=+
=
ganho de baixa frequência da f.t. em cadeia aberta
erro estático de posição
Valor pararetroacção unitária
G(s) ( FT cadeia aberta) com pelo menos um pólo na origem
)s(Glim0s→
∞=→
)s(Glim0s
• Se finito, o erro não é nulo• Para que o erro seja nulo
)s(GlimK0sp →
=
coeficiente de erro estático de posição
pss K1
1e+
=
O sistema em cadeia fechada deve ser, pelo menos, de tipo 1
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Tipo de um Sistema
• m zeros• n pólos• N pólos na origem
R(s) C(s)G(s)+
_
E(s)
)ps)...(ps)(ps(s)zs)...(zs)(zs(K)s(GNn21
Nm21
−++++++
=
O sistema em cadeia fechada é de tipo N
O tipo de um sistema (em
cadeia fechada)
número de pólos na origem da
função de transferência em
cadeia aberta (ganho de malha)
=
FT em cadeia aberta
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de Posição
pss K1
1e+
=
Sistema de tipo 0
Sistema de tipo N≥1
.constKp =
∞=pK 0)(ep =∞
pp K1
1)(e+
=∞
entrada escalão erro estático de posição
Valor pararetroacção unitária
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de velocidade
)s(R)s(G1
1)s(E+
=
)t(tu)t(r =
2s1)s(R =
)s(sElim)t(elime0stss →∞→
==Por aplicação do Teor. Valor Final
)s(sGlim1
s1
)s(G11slim)(e
0s
20sv
→→
=+
=∞
)s(sGlimK0sv →
=
coeficiente de erro estático de velocidade
vv K
1)(e =∞
Sistema de tipo 0 0Kv = ∞=∞)(ev
Sistema de tipo 1 constKv =v
v K1)(e =∞
Sistema de tipo N≥2 ∞=vK 0)(ev =∞
Valor pararetroacção unitária
entrada rampa erro estático de velocidade
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de aceleração
)s(R)s(G1
1)s(E+
= )s(sElim)t(elime0stss →∞→
==Por aplicação do Teor. Valor Final
Valor pararetroacção unitária
entrada parábola erro estático de aceleração
)t(ut21)t(r 2=
3s1)s(R = )s(Gslim
1s1
)s(G11slim)(e 2
0s
30sa
→→
=+
=∞
)s(GslimK 2
0sa →=
coeficiente de erro estático de aceleração
aa K
1)(e =∞
Sistema de tipo 0, 1 0Ka = ∞=∞)(ea
Sistema de tipo 2 constKa =a
a K1)(e =∞
Sistema de tipo N≥3 ∞=aK 0)(ea =∞
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erros em Regime Estacionário: resumo
R(s) C(s)G(s)+
_
E(s)
)s(sElim)t(elime0stss →∞→
==
escalão rampa parábola
pK11+
0
0 0
vK1
aK1
∞ ∞
∞
entrada
tipo dosistema
0
1
2
1s1)s(G+
=)1s(s
1)s(G+
=)1s(s
5.0s)s(G 2 ++
=
Resposta do sistema em cadeia fechadaTipo 0 Tipo 1 Tipo 2
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Especificações
O valor do erro em regime estacionário é usado, correntemente, como especificação de controlo
R(s) C(s)+
_
E(s))8s)(7s)(6s(s
)5s(K+++
+
exemplo
Requisito
Determinar o valor de K por forma a que o erro estático de velocidade seja de 10%
1.0K1)(e
vv ==∞
8x7x6K5)s(sGlim10K
0sv ===→
672K =
Usando o critério de Routh‐Hurwitz pode confirmar‐se que, para este valor de K, osistema em cadeia fechada é estável
Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro com retroacção não unitária
Retroacção não unitária
)s(R)s(H)s(G1
)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E+
−=−=
R(s) C(s)G(s)
+
_
Ea(s)
H(s)
não é o sinal de erro e(t)=r(t)‐c(t)
)s(R)s(H)s(G1
)s(G)s(H)s(G1)s(E+
−+=
R(s) C(s)G(s)+
_
Ea(s)
H(s) ‐1
+
_
sinal de erro
R(s) C(s)+
_
E (s)
)s(G)s(H)s(G1)s(G−+
)s(Ge
A análise do valor estacionário do erro para este sistema (sem retroacção unitária)
pode ser feita, com a metodologia derivada antes, para este outro que tem retroacção unitária