Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Disciplina: Mecânica BásicaDisciplina: Mecânica Básica
Professor: Carlos AlbertoProfessor: Carlos Alberto
Centro de Massa e Centro de Massa e Momento LinearMomento Linear
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O Centro de MassaO Centro de Massa“O centro de massa de um sistema de partículas é o
ponto que se move como se (1) toda a massa do
sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas
as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”.
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
cm
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O Centro de MassaO Centro de Massa
Se x1 = 0
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
cm
m1 = m2 m1 > m2
cm
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O Centro de MassaO Centro de Massa
Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas
✔ Sistema de partículasSistema de partículas
Em 3D
(DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O Centro de MassaO Centro de Massa
✔ Corpos maciçosCorpos maciços
✔ SimetriasSimetrias
Para cada componente
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Três partículas de massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um
triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse
sistema?
Exemplo 9.1: (Halliday, p220)Exemplo 9.1: (Halliday, p220)
cm
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,
como mostrado na figura abaixo.
Exemplo 5.15: (Tipler, p148)Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
0,4 m
0,2 m
0,2 m
0,8 m
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,
como mostrado na figura abaixo.
Exemplo 5.15: (Tipler, p148)Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
y
x
m2
m1
0,70,4
0,2
0,5
0,4 m
0,2 m
0,2 m
0,8 m
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
Exemplo 9.2: (Halliday, p221)Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
x
y
Placa P
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
CMR
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
Exemplo 9.2: (Halliday, p221)Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
x
y
CMP
CMC
Placa CompostaC = R + P
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração
✔ Barra uniformeBarra uniforme
dm = λ dx
dx
z
y
x
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração
✔Anel semicircularAnel semicircular
y
xθ
dθ
ds = R dθ
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa
Derivando os dois lados:
Derivando novamente os dois lados:
0
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa
Movimento do corpo
(ou sistema de partículas)
Movimento do CM
Movimento das partículas
Em Relação ao CM
“O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”.
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante.
No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois
fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos
fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na
vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar.
Exemplo 5.16: (Tipler, p152)Exemplo 5.16: (Tipler, p152)
cm
cm
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a
superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James
possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma
caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as
extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0
m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância
percorrida por ele?
Exemplo 8.14: (Young, p260)Exemplo 8.14: (Young, p260)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo
(massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro
está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece
para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto
o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força
horizontal exercida pela água)
Exemplo 5.17: (Tipler, p153)Exemplo 5.17: (Tipler, p153)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Momento linearMomento linear(quantidade de movimento)(quantidade de movimento)
“A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força
resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”.
✔ 2ª Lei de Newton2ª Lei de Newton
(DEFINIÇÃO)
Para uma partícula:
Para um sistema de partículas:
No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo).
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Colisão e ImpulsoColisão e Impulso
x
✔ Colisão simplesColisão simples
(DEFINIÇÃO DE IMPULSO)(TEOREMA DO MOMENTO
LINEAR E IMPULSO)
No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes
segundo). Como N = kg · m/s2, temos:
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Colisão e ImpulsoColisão e Impulso✔ Colisão simplesColisão simples
Se a função é conhecida, podemos calcular integrando a função. Se temos um
gráfico de em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t.
Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o
mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a
massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00
mm além do ponto de contato.
(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?
(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce
sobre sua mão?
Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede.
Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para
a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20
m/s.
(a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a
parede.
(b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache
a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.
Exemplo 8.2: (Young, p.251)Exemplo 8.2: (Young, p.251)
Comumente, o intervalo de tempo
durante a qual uma bola de tênis
permanece em contato com uma
raquete é aproximadamente igual
a 0,01 s. A bola visivelmente se
achata por causa da enorme
força exercida pela raquete.
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com
um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma
velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de
30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50
m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m
do piloto é de 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto
experimenta durante a colisão?
Exemplo 9.5: (Halliday, p230)Exemplo 9.5: (Halliday, p230)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em
queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do
elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha
que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos
(a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a
colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0
m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar
com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média
(supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)?
Questão 33: (Halliday, p250)Questão 33: (Halliday, p250)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Conservação do momento linearConservação do momento linearVimos que
Sistema isolado → Força resultante nula
Sistema fechado → # de partículas constante
Lei de Conservação do
Momento Linear
“Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total do sistema não pode variar”.
Não confunda Momento e Energia!!! Momento tem componentesMomento tem componentes
x, y e z!x, y e z!
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em
um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x
com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Um atirador segura um rifle de massa mR = 3,0 kg frouxamente de modo que a
arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa mB = 5,0 g
horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por vB = 300 m/s. Qual é a
velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do
momento linear total final da bala e do rifle?
Exemplo 8.4: (Young p.255)Exemplo 8.4: (Young p.255)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de
massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o
coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é
mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade escalar final vfC = 5,0 m/s.
(a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?
(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
Exemplo 9.8: (Halliday, p.233)Exemplo 9.8: (Halliday, p.233)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme
mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0
m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg,
que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a
velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º
com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B?
Exemplo 8.6: (Young, p.257)Exemplo 8.6: (Young, p.257)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Momento e energia cinética em colisõesMomento e energia cinética em colisões
Energia Cinética Conservada Colisão Elástica
Perda de Energia Cinética Colisão inelástica
Perda Máxima Perfeitamente inelásticaPerfeitamente inelástica
Antes Depois
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Colisões inelásticas em uma dimensãoColisões inelásticas em uma dimensão✔ Colisão inelástica unidimensionalColisão inelástica unidimensional
✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionaisColisões perfeitamente inelásticas unidimensionais
Antes Depois
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O pêndulo balístico era usado para medir a
velocidade dos projéteis antes que os dispositivos
eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na
figura abaixo era composta por um bloco de madeira
de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas
compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada
conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente.
O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro
de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de
o pêndulo parar momentaneamente no final de uma
trajetória em arco de circunferência. Qual é a
velocidade da bala antes da colisão?
Exemplo 9.9: (Halliday, p.236)Exemplo 9.9: (Halliday, p.236)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte
em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de
massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os
ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se
engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A
seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão.
Qual é a sua resposta?
Exemplo 8.9: (Young, p.261)Exemplo 8.9: (Young, p.261)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Colisões ElásticasColisões Elásticas
Antes Depois
Pela conservação do momento:
Pela conservação da energia cinética:
Não é Solúvel!!!
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Colisões elásticas em uma dimensãoColisões elásticas em uma dimensão
✔ Casos particulares:Casos particulares:
i) Massas iguais
ii) Alvo em repouso
Trocam velocidade
(a) (b)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica
frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura).
Encontre as velocidades finais dos dois blocos.
Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa mA = 0,500 kg e o
disco B possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s
no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é
desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final vB2 e os ângulos α e β indicados na figura.
Exemplo 8.12: (Young, p.266)Exemplo 8.12: (Young, p.266)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem
atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com
velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?
Exemplo 8.5: (Young, p.256)Exemplo 8.5: (Young, p.256)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam
rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v2x, comum dos
dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia
cinética final.
Exemplo 8.7: (Young, p.259)Exemplo 8.7: (Young, p.259)
Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos
para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as
colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?
Exemplo 8.10: (Young, p.264)Exemplo 8.10: (Young, p.264)
Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.comProfº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Top Related