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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 1b Problemas de Valores Característicos I
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
1. UM CASO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• Desejamos estudar o efeito da vibração externa em uma armação de aço.
• A força externa é aplicada apenas na peça 1 e vale F1 sin wt
• As peças horizontais são muito rígidas com relação às verticais, que têm rigidez k1=k2=1330 kN/m
Vibração em uma estrutura de aço
M2=4500 kg
M1=6000 kg
4 m
4 m
y1
y2
k2
k1
k2
k1
F1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• Usaremos a notação
Vibração em uma estrutura de aço
M2=4500 kg
M1=6000 kg
4 m
4 m
k2
k1
k2
k1
ydt
ydy
dt
dy
2
2
Equações do movimento: Para a peça superior Para a peça inferior
)( 12222 yykyM
tFyykykyM wsin)( 11221111
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• No caso especial em que F1=0
• (será obtida a função
complementar)
Vibração em uma estrutura de aço
M2=4500 kg
M1=6000 kg
4 m
4 m
k2
k1
k2
k1
Supondo que as duas peças horizontais estejam sincronizadas, podemos estabelecer que
e
Com a1 e a2 os valores máximos das amplitudes de oscilação.
0)( 12222 yykyM
)(11 tfay
0)( 1221111 yykykyM
)(22 tfay
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• Assim, teremos
Vibração em uma estrutura de aço
0)()()('' 12222 tfaaktfaM
0)()]([)('' 1221111 tfaakaktfaM
Qualquer das duas equações produz o resultado f''(t)/f(t)= constante. Portanto faz sentido escolher a mesma constante para cada equação e dado que estamos esperando um comportamento periódico, decidiremos que a constante seja -w2. Assim , uma possível solução para f(t) é:
)sin(cossin)( www tCtBtAtf
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Agora, escolhemos a origem dos tempos de tal forma que =0. Como a1 e a2 são constantes multiplicativas, podemos também decidir que C=1. Dessa forma, chegamos a
e
Voltando ao sistema de equações, teremos
Vibração em uma estrutura de aço
ttf wsin)( ttf ww sin)('' 2
0sin)()sin( 122
2
22 taaktaM www
0sin)]([)sin( 12211
2
11 taakaktaM www
Ou, simplesmente
0)( 12222
2 aakaMw
0)]([ 1221111
2 aakakaMw
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Temos duas equações e três incógnitas (w2, a1 e a2).
Podemos reduzir o número de incógnitas se nos contentarmos com a2/a1
em vez de a1 e a2. Assim, dividindo as duas equações por a1:
Vibração em uma estrutura de aço
02
1
222
2 ka
akMw
0)(1
22211
2 a
akkkMw
22
2
2
2
211
2
1
2 )(
kM
k
k
kkM
a
a
w
w
Podemos então obter as relações
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Fazendo o produto Chega-se à equação característica do sistema:
Vibração em uma estrutura de aço
22
2
2
2
211
2 )(
kM
k
k
kkM
w
w
As raízes desta equação são as raízes características do sistema e darão origem às frequências naturais às quais o sistema vibrará.
0)( 2121212
2
21
4 kkkMkkMMM ww
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Retomando as equações originais e fatorando em termos de a1 e a2:
Vibração em uma estrutura de aço
02
1
22
2
2
2211
2
a
a
kMk
kkkM
w
w
Assim, o sistema pode ser reinterpretado como
0)( 222
2
12 akMak w
0)])( 221211
2 akakkMw
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Fazendo as contas:
k1=k2=1330 kN/m
M1=6000 kg
M2=4500 kg
Vibração em uma estrutura de aço
Cujas raízes são
0)( 2121212
2
21
4 kkkMkkMMM ww
01330133013306000)13301330(450045006000 24 ww
0176895,199270,0 24 ww
rad/s2,25
rad/s15,10
635
103
2
1
2
2
2
1
w
w
w
w
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
O primeiro modo de vibração corresponde à menor frequência w1. Como
Modos de vibração
22
2
2
1
2
kM
k
a
a
w54,1
1013304500103
1013303
3
1
2
a
a
Nesse modo, a peça superior move-se em sincronia com a peça inferior, mas a amplitude do movimento é cerca de 1,5 maior.
O segundo modo de vibração corresponde a w2 e está associado à razão a2/a1=-0,87. Neste modo as peças se movem em sentidos opostos, e a peça inferior tem um movimento maior (em amplitude) que a superior.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Primeiro modo Segundo modo
Modos de vibração
a1
a2
54,11
2 a
a87,0
1
2 a
a
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Se agora considerarmos uma força periódica F1 sin Wt aplicada à peça inferior, as equações que governam o movimento poderão ser reduzidas.
Deve-se considerar a função tempo como sendo sin Wt .
Obter-se-á a parte integral particular. O que foi obtido anteriormente foi a função complementar para a vibração livre.
As equações a serem resolvidas são:
Vibração fixada
0)( 12222
2 W aakaM
11221111
2 )( FaakakaM W
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Isolando a1 e a2 chega-se a
Vibração fixada
0)( 12222
2 W aakaM
11221111
2 )( FaakakaM W
2
222
2
211
2
22
2
11
))((
)(
kkMkkM
kMFa
WW
W
2
222
2
211
2
212
))(( kkMkkM
kFa
WW
Nota: se W=w1 ou W=w2, o denominador se anula: ressonância!
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Expressões originais:
Em forma de matriz:
Fazendo
Formulação matricial
)( 12222 yykyM
tFyykykyM wsin)( 11221111
2
1
M
MM
2
1
y
y
y
22
221 )(
kk
kkkA
2
1
y
yy
W
0
sin1
1
tFF
W
0
sin)( 1
2
1
22
221
2
1
21
tF
y
y
kk
kkk
y
yMM
1FAyyM T
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Pode ser mais útil começarmos por
Fazendo teremos
E podemos reescrever as equações:
Outra formulação matricial
0)( 12222
2 aakaMw
0)( 1221111
2 aakakaMw
kkk
MMM
21
21
k
M 2w
221 aaa
1212 aaa
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
“matriciando”:
ou
Para encontrar a solução, resolve-se
Outra formulação matricial
2
1
2
1
11
12
a
a
a
a
aBa
221 aaa
1212 aaa
0
0
11
12
2
1
a
a
0)( aIB
0 IB
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Considere-se o determinante
No caso de obtém-se
As soluções podem ser obtidas resolvendo
Resolvendo o sistema matricial
22
2
2
2211
2
kMk
kkkM
w
w
kkk
MMM
21
21
11
122 2
2
2
w
wk
kMk
kkM
011
12
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Os valores para os quais as equações Ba=a têm solução não trivial (a=0) são os valores característicos da matriz B.
Para cada valor característico existe uma solução a não nula, chamado de vetor característico associado.
No caso em estudo, os valores característicos são obtidos resolvendo-se
As soluções são:
Valores característicos de B
011
12
382,02
531
618,2
2
532
01)1)(2(
Qual delas é a solução?
e
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Como
E chegamos a
Na verdade, temos apenas uma equação e não duas equações independentes.
Se houvesse mais de uma solução, a matriz B seria um caso degenerado.
Obtendo as amplitudes
0
0
11
12
2
1
a
a
0)( aIB
0)1(
0)2(
21
21
aa
aa
382,02
53
1
2
a
a
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
2. UM CASO COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
O rotor de motor a jato
Whitney Incorporated
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Modelo
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• Queremos estudar a oscilação radial ao longo do eixo.
• A rigidez do eixo entre cada ponto notável é dada por C (iguais para todos os grupos).
• Os momentos de inércia de cada grupo de pás são denotados por J (iguais para todos os grupos).
• Os deslocamentos angulares de cada grupo de pás são denotados por qi.
Modelo
qi
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• As equações do movimento são:
Modelo
)(
)()(
)(
323
32212
211
qqq
qqqqq
qqq
CJ
CCJ
CJ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Chega-se a
Formulação matricial
)(
)()(
)(
323
32212
211
qqq
qqqqq
qqq
CJ
CCJ
CJ
ii qwq 2
C
J 2w
332
2321
121
2
qqq
qqqq
qqq
Como espera-se um movimento de oscilação, pode-se adotar
Introduzindo , tal que
3
2
1
3
2
1
110
121
011
q
q
q
q
q
q
θAθ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Estas equações tem uma solução não trivial se |A-I|=0. Logo
Formulação matricial alternativa
0
0
0
110
121
011
3
2
1
q
q
q
0 θIA
3
2
1
3
2
1
110
121
011
q
q
q
q
q
q
0)1(]1)1)(2)[(1(
0)3()1(
ou Os valores
característicos de A
são 0, 1 e 3
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Encontre os valores característicos de
Exemplo
511
131
224
D
1. Escreve-se a equação característica |D-I|=0:
0
511
131
224
2. Resolve-se a equação em :
0)6)(2)(4(
0)]3(1[21)5(1[2]1)5)(3)[(4(
3. Os valores característicos são 2, 4 e 6.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
• Voltando ao problema original:
• As equações não são linearmente independentes! • Teremos que nos contentar em obter apenas
relações entre q1, q2 e q3.
Vetores característicos
Os valores
característicos
são 0, 1 e 3 332
2321
121
2
qqq
qqqq
qqq
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Para = 0:
Existe um número infinito de vetores.
O vetor mais simples é
Vetores característicos
0
02
0
32
321
21
qqq
321 qqq
)1,1,1(θ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
332
2321
121
2
qqq
qqqq
qqq
Para = 1:
Novamente, existe um número infinito de vetores.
O vetor mais simples é
Vetores característicos
0
0
0
2
321
2
q
qqq
q
31
2 0
q
)1,0,1( θ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
332
2321
121
3
32
3
qqq
qqqq
qqq
Para = 3:
Novamente, existe um número infinito de vetores.
Os vetores mais simples são ou
Vetores característicos
02
0
02
32
321
21
qqq
31
12 2
)1,2,1( θ
6
1,
6
2,
6
1θ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Matriz original:
Vetores característicos
110
121
011
AValores
característicos de
A: = 0, 1 e 3
= 0 )1,1,1(θ
= 1 )1,0,1( θ
)1,2,1( θ
6
1,
6
2,
6
1θ = 3 ou
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Vetores característicos: Interpretação
= 0
)1,1,1(θ
= 1
)1,0,1( θ )1,2,1( θ
6
1,
6
2,
6
1θ
= 3
ou
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
O movimento oscilatório livre será uma combinação linear deste modos normais:
Vetores característicos: Interpretação
= 0
)1,1,1(θ
= 1
)1,0,1( θ )1,2,1( θ
6
1,
6
2,
6
1θ
= 3
ou
tHtG
tFtE
tBtA
ii
ii
iii
33
22
11
sincos
sincos
sincos
ww
ww
wwq
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Lembrando que
Chega-se a
Vetores característicos: Interpretação
3,1,0 321 JCJC /3,/,0 321 www
tHtG
tFtE
tBtA
ii
ii
iii
33
22
11
sincos
sincos
sincos
ww
ww
wwq
tJ
CHt
J
CGt
J
CFt
J
CEtBA iiiiiii
3sin
3cossincos q
Ai Bi Ei Fi Gi Hi dependem das posições e velocidades iniciais.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Para a matriz
os valores característicos são 2, 4 e 6.
Exemplo
511
131
224
D
A equação característica
deve ser resolvida para cada . 0
511
131
224
3
2
1
x
x
x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Trem Linear
Se escolhermos as coordenadas x1, x2 e x3 – os deslocamentos das massas de suas posições de equilíbrio – então a equação que rege o movimento pode ser escrita Ax=x, onde =Mw2/k.
Os parâmetros do sistema são as massas as constantes elásticas das molas.
Comparação de sistemas
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Rede Elétrica
Para esta rede elétrica podemos escrever AI=I,
onde d2Ii /dt2 = -w2Ii.
Os parâmetros do sistema são as indutâncias e as capacitâncias.
Comparação de sistemas