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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Universidade Federal do ABC

Aula 3 Volumes Finitos

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Duas metodologias

Leis de Conservação Integrais

EDPs

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O Método dos Volumes Finitos (MVF)

Leis de Conservação Integrais

O Método dos Volumes Finitos baseia-se

nas Leis de Conservação Integrais.

Uma lei de conservação é implementada

através de uma distribuição de pequenos

volumes de controle na malha

computacional:

Falta estabelecer

• como definir os volumes de controle

• tipo de aproximação no seu interior

• métodos numericos para o cálculo das

integrais e fluxos

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Definição dos volumes de controle

MVF centrado nos vértices MVF centrado nas células

1D 2D

OBS: podem ser usadas grades diferentes para variáveis diferentes.

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Discretização de subproblemas locais

Formulação para um único volume

• A lei de conservação integral deve ser satisfeita para cada VC e para todo o

domínio.

• O sistema linear é obtido expressando-se a as integrais em termos de valores

médios

Integração numérica

onde wi ≥ 0 são os pesos e xi são

os nós da regra da quadratura.

Estas fórmulas podem ser derivadas pela integral exata de um polinômio interpolador.

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Regras de Newton-Cotes de quadraturas para intervalos

1D

Integral numérica pra quadriláteros/hexaedros

Usa-se um mapeamento para um quadrado

unitário e aplicam-se as regras de quadratura

em cada coordenada.

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Regras de Newton-Cotes de quadraturas para triangulos

2D

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Regras de Newton-Cotes de quadraturas para tetraedros

3D

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Técnicas de Interpolação

• Problema: as soluções são obtidas para os nós computacionais

(vértices e centros dos VCs).

• Faz-se necessário aplicar interpolações para se obter os valores

nos pontos de quadratura.

Integrais de volume

regra do ponto médio

Integrais de superfície

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Técnicas de Interpolação

Aproximação de fluxos convectivos:

Como definir os valores de

interface

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ESQUEMAS DE APROXIMAÇÃO DIFERENCIAL SOBRE VOLUMES FINITOS

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“Upwind difference approximation” (UDS)

“Upstream" ou "upwind“ é uma escolha clássica para as equações de transporte, que pode ser entendida, do ponto de vista mecânico, como a escolha da "informação prévia" com relação à localização da borda s, comum entre dois volumes de controle.

ui ui+1

s

Sentido do cálculo

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“Upwind difference approximation” (UDS)

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Aproximação da diferença central (“Central Difference Scheme” - CDS)

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“Linear upwind difference scheme” (LUDS)

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“Quadratic upwind difference scheme” (QUICK)

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Cálculo de integrais de superfície

Aproximação dos fluxos convectivos:

• qualquer esquema de volumes finitos de segunda ordem de é uma combinação linear de CDS e Aproximações LUDS (por exemplo, .

• sistemas de ordem alta podem ser facilmente obtidos por ajuste polinomial com base em pm(x), m> 2, mas vale a pena somente se a regra de quadratura corresponde à sua precisão.

• esquemas de alta ordem são preferíveis para produzir melhores resultados do que uma baixa ordem apenas assintoticamente ou seja, para malhas suficientemente refinadas.

Aproximação de fluxos difusivos:

inclinações

de retas

Diferença central de segunda ordem de exatidão

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Discretização de problemas de transporte

As equações de transporte dominadas por convecção (onde Pe >>1 ou Re >> 1) são,

essencialmente hiperbólicas, o que pode dar origem a dificuldades numéricas.

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Exemplo: a equação de convecção-difusão 1D

desvio

"smearing"

oscilação

"wiggles"

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Equação de convecção-difusão discretizada

Esquema de diferenças upwind

Esquema de diferenças centrais

Condições de contorno

Sistema linear

onde A é uma matriz, tridiagonal não simétrica com coeficientes constantes

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Solução exata do esquema de diferenças

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Comportamento numérico do esquema de diferenças

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Avaliação do esquema de diferença central

Critério: o esquema de diferença não produz oscilações se c ≤ 0

Sob esta condição, a matriz A é diagonalmente dominante.

Além disso, A é um M-matriz, isto é, todas as entradas da sua inversa são não-

negativos.

Esquema de diferença central

• esta condição é muito restritiva para Pe grande.

• wiggles ocorrem apenas nas vizinhança de gradientes.

• refinamento da malha local é útil em caso de Pe moderado.

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Avaliação do esquema de diferença upwind

Esquema de diferença upwind: c = -1 é negativo incondicionalmente

série de Taylor:

O erro de truncamento é O (Dx) para a equação original, mas O (Dx) 2 para a

chamada equação modificada

onde é o coeficiente de difusão numérica (artificial)

O UDS não oscila, mas não é recomendado

devido à sua baixa precisão.

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Método dos volumes finitos (MVF)

Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas.

Problemas de Condições de Contorno

Problemas de Minimização

⊕ o funcional contém derivadas de ordem inferior ⊕ soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis ⊕ condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados ⊖ às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais

Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)

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Teoria 1: minimização de problemas 1D

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Condição necessária em um dos extremos

arbitrária

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Lemma de Du Bois Reymond

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Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização

Euler-Lagrange

condição de contorno essencial

condição de fronteira natural

Equação de Poisson: a solução

minimiza o functional

em (0, 1)

cond. contorno Dirichlet

cond. contorno Neumann

Exemplo: eq. Poisson 1D

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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O Método de Rayleigh-Ritz

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Exemplo: eq. Poisson 1D

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Exemplo: má escolha das funções de base Considere a base polinomial

•A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é

bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros

de arredondamento.

• Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.

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Fundamento do Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem

sistemática para a geração de trechos de funções

polinomiais de base com propriedades favoráveis.

O domínio computacional W é subdividido em um

número de subdomínios K, chamados de

elementos:

A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um

conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum.

O subespaço de elementos finitos Vh é composto por trechos de funções polinomiais,

tipicamente da forma

Qualquer função v Vh é unicamente determinada por um número finito de graus

de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós).

Cada função de base ji representa exatamente um grau de liberdade e tem uma

estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.

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Aproximação via elementos finitos

Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde

K é um subconjunto fechado de W

P é o espaço polinomial para as funções de forma

S é o conjunto de graus de liberdade locais

Funções de base possuem a propriedade

Solução aproximada: os valores nodais u1,. . . , uN pode ser calculada pelo método de Ritz

desde que exista um problema de minimização equivalente.

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Exemplo: eq. Poisson 1D

Encontrar os valores nodais u1,. . . , uN que minimizam o funcional

Funções base locais para

Solução aproximada para x ei

contínua e linear por partes

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Exemplo: eq. Poisson 1D

O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde

Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma

regra de quadratura)

Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme

Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!

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Existência de um problema de minimização

As condições suficientes para que uma EDP eliptica

seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são:

• O operador L deve ser linear.

• O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico)

para todos os u,v admissíveis.

• O operador L deve ser definido positivo

Neste caso, a única solução u minimiza o funcional

ao longo do conjunto de funções admissíveis.

Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar

origem a outros termos do funcional a ser minimizado.

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Exemplo: eq. Poisson 1D

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Método dos Mínimos Quadrados

corresponde a uma derivada do EDP inicial.

• requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional.

• faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem

Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são

simétricos

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Formulação via resíduos ponderados

Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste.

Seja a solução de

O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero.

Funções de teste

Formulação fraca: encontrar u V0 tal que

onde é uma forma bilinear e

Integração por partes:

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Discretização de elementos finitos

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Exemplo: eq. Poisson 1D

Problema de valor de contorno Formulação fraca

Integração por partes Solução aproximada

Problema contínuo

Problema discreto (método de Galerkin)

Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde

Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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Exemplo: eq. Poisson 2D