Circuitos Digitais
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Circuitos Digitais
Luiz Henrique Neves Rodrigues Universidade Estadual do Maranhão
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
UEMA
Ano: 2012.1
Circuitos Digitais
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Conteúdo
• Sistemas de numeração
• Aritmética nos sistemas de numeração
• Funções e portas lógicas
• Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Circuitos Combinacionais (Códigos binários)
• Circuitos seqüenciais: Flip-Flop, Registradores e Contadores, detectores de
sequência
• Conversores digital-analógicos e analógico-digitais
• Circuitos multiplex, demultiplex e memórias
• Famílias de circuitos lógicos
• Introdução a FPGA
Circuitos Digitais
Bibliografia
• Ivan V. Idoeta e Francisco G. Capuano, Elementos de
Eletrônica Digital, 40a ed., Editora Érica, 2009.
• Ronald J. Tocci e Neal S. Widmer, Sistemas Digitais:
Princípios e Aplicações, 8a edição, Pearson -Prentice
Hall, 2004.
• Herbert Taub, Circuitos Digitais e Microprossadores,
McGraw-Hill, 1a ed, 1984.
• Thomas L. Floyd, Sistemas Digitais: Fundamentos e
Aplicações, Bookman, 2007.
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Circuitos Digitais
Calendário
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• Março:
• Abril:
• Maio:
• Junho:
• Julho:
• 1a Prova: 29 de Abril de 2012
• 2a Prova: 07 de Junho de 2012
• 3a Prova: 12 de Junho de 2012
• Reposição: 15 de Junho de 2012
• Final: 19 de Junho de 2012
Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Circuitos digitais
– Os circuitos digitais e as técnicas digitais estão
presentes em quase todas as áreas.
• Exemplo: computadores, automação, robôs, tecnologia e
ciência médica, etc.
– Existem duas formas de representação dos valores
das quantidades:
• Analógica: uma quantidade é representada por uma tensão,
uma corrente ou uma medida de movimento que seja
proporcional ao valor da quantidade em questão.
• Numérica: as quantidades não são representadas por
quantidades proporcionais, mas por símbolos denominados
dígitos.
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Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Circuitos digitais
– Representação numérica:
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Analógica: forma contínua.
Numérica: forma discreta.
Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Sistemas analógicos e digitais
– Sistema analógico: contém dispositivos que manipulam
quantidades físicas que são representadas de forma
analógica.
– Sistema digital: é uma combinação de dispositivos
projetados para manipular informação lógica ou
quantidades físicas que são representadas no formato
digital.
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Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Sistemas analógicos e digitais
– Vantagens das técnicas digitais em relação as técnicas
analógicos:
• Mais fáceis de ser projetados: circuitos digitais são circuitos
de chaveamento e apenas uma faixa de tensão interessa:
ALTA e BAIXA.
• Fácil armazenamento de informação: podem manter uma
informação pelo tempo necessário.
• Maior precisão e exatidão: a precisão e exatidão podem ser
conseguidos acrescentando mais circuitos de chaveamento.
• Podem ser facilmente programados: as operações de um
circuito digital podem ser controladas por um conjunto de
instruções armazenados, i.e., programa.
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Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Sistemas analógicos e digitais
– Vantagens das técnicas digitais em relação as
técnicas analógicos:
• Menos afetados por ruído: flutuações aleatórias na tensão
(ruído) não são tão críticas em sistemas digitais, pois utiliza
faixas de tensão distintas.
• Circuitos integrados digitais contendo grandes
quantidades de dispositivos internos: é mais
economicamente viável produzir circuitos digitais contendo
grandes quantidades de dispositivos internos.
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Circuitos Digitais
Por que circuitos digitais?
• Limitações das técnicas digitais
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O mundo real é quase totalmente analógico.
Dispositivo
de Medição
(sensor)
Conversor
Analógico/
digital
(ADC)
Processamento
digital
Conversor
Digital/
Analógico
(DAC)
Controlador
Diagrama de um sistema de controle de temperatura Te
mpe
ratu
ra
Aju
ste
de t
em
p.
Circuitos Digitais
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• O que é um Sistema Numérico?
– É um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente.
– O sistema numérico decimal é posicional ou ponderado.
– Isto significa que cada posição dos dígitos num número possui um peso particular o qual determina a magnitude daquele número.
– Ex: 157 = 1 x 102 + 5 x 101 + 7 x 100
100 + 50 + 7
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Base de um sistema de numeração
– é a quantidade de algarismos disponível na representação.
– Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
– Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1.
– Generalizando, temos que uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Base de um sistema de numeração
– Representação genérica na base 10:
• 245,987 = 2 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 +
9 x 10-1 + 8 x 10-2 + 7 x 10-3
2 é o dígito mais significativo (MSD – Most Significant Digit)
7 é o dígito menos significativo (LSD – Least Important Digit)
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Base de um sistema de numeração
– Generalizando: representamos uma
quantidade N qualquer, numa dada base b,
com um número a seguir:
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Nb = an x bn + .... + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0 + a-1 x b-1 + a-2 x b-2 + .... +
a-n x b-n
Parte inteira: an x bn + .... + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0
Parte fracionária: + a-1 x b-1 + a-2 x b-2 + .... + a-n x b-n
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Exemplos de sistemas numéricos:
– Decimal (base 10 – números de 0 a 9)
– Binário (base 2 – números de 0 a 1)
– Octal (base 8 – números de 0 a 7)
– Hexadecimal (base 16 – números 0, 1, 2,
...,9, A, B, C, D, E e F)
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• História do sistema numérico decimal
– Este sistema foi originalmente inventado pelos
matemáticos hindus aproximadamente em 400 D.C.
– Os árabes começaram a usar o sistema em 800 D.C.,
aproximadamente, quando ficou conhecido como o
Sistema Numérico Arábico.
– Após ele ter sido introduzido na comunidade da
Europa por volta de 1200 D.C., o sistema logo
adquiriu o título de "sistema numérico decimal".
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Decimal
– Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
– Operações básicas:
• Adição: +
• Subtração: -
• Multiplicação: x
• Divisão: /
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Binário
– O matemático indiano Pingala apresentou a primeira
descrição conhecida de um sistema numérico binário
no século III aC.
– O sistema numérico binário moderno foi
documentado de forma abrangente por Gottfried
Leibniz no século XVIII em seu artigo "Explication de
l'Arithmétique Binaire".
– O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o
sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Binário
– Em 1854, o matemático britânico George Boole publicou um artigo fundamental detalhando um sistema lógico que se tornaria conhecido como Álgebra Booleana.
– Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT que implementava Álgebra Booleana e aritmética binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez na história.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Binário
– Algarismos: 0 e 1
– Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam
o sistema binário de numeração para manipular
dados.
– Dados binários são representados por dígitos
binários chamados "bits".
– O termo "bit" é derivado da contração de "binary
digit".
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistemas Numéricos Binário
– Notação posicional
• Para calcular o valor total do número, considere os
"bits" específicos e os pesos de suas posições.
• Ex:
• 1101012 = ?10
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistemas Numéricos Binário
– Notação posicional
• Para calcular o valor total do número, considere os
"bits" específicos e os pesos de suas posições.
• Ex:
• 1101012 = ?10
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistemas Numéricos Binário
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– Potência de 2:
• 20 =1
• 21 =2
• 22 =4
• 23 =8
• 24 =16
• 25 =32
• 26 =64
• 27 =128
• 28 =256
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Binário
25
- Potência de 2 negativa:
2-1 =0,5
2-2 =0,25
2-3 =0,125
2-4 =0,0625
2-5 =0,03125
2-6 =0,015625
2-7 =0,0078125
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Binário para Decimal
• Para converter um número binário no seu
equivalente decimal, some todos os pesos das
posições no número onde os 1's binários
aparecem.
Exemplo: 1101012
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Decimal para Binário
– Exemplo: 2510=?2
– Logo, 2510=110012
27
25 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
MSB
LSB
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Decimal para Binário
– Procedimento:
• Um número inteiro decimal pode ser convertido
para uma base diferente através de divisões
sucessivas pela base desejada.
• Para converter um número inteiro decimal no seu
equivalente binário, divida o número por 2
sucessivamente e anote os restos.
• Quando se divide por 2, o resto será sempre 1 ou
0. Os restos formam o número binário equivalente.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Decimal para Binário: parte
fracionária
– Exemplo: 0.312510=?2
– Logo, 0.312510=0.01012
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Decimal para Binário: parte fracionária
• Procedimento:
– Para converter uma fração decimal para uma
base diferente, multiplique a fração
sucessivamente pela base desejada e guarde as
partes inteiras produzidas pela multiplicação.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão Binário para Decimal: parte
fracionária
• Para converter um número binário no seu
equivalente decimal, some todos os pesos das
posições no número onde os 1's binários
aparecem.
Exemplo: 101,1012 = ?10
(1x22)+(0x21)+(1x20)+(1x2-1)+(0x2-2)+(1x2-3)=
= 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1 x 1 + 0 x 1 + 1 x 1 =
2 4 8
= 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,625 10
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Códigos binários
32
– Código ASCII é uma
forma especial de código
binário que é largamente
utilizado em
microprocessadores e
equipamentos de
comunicação de dados.
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– O Sistema Octal também é um sistema posicional.
– Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
– Este sistema foi muito utilizado na informática por ser mais compacto. Logo após, o hexadecimal tomou lugar.
– No sistema octal (base 8), cada três bits são representados por apenas um algarismo octal (de 0 a 7).
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Equivalência binário e octal
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Decimal para Octal
35
32 8
0 4 8
4 0
MSB
LSB
3210 = ?8
3210 = 408
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Decimal para Octal
36
16510 = 2458
165 8
5 20 8
4 2 8
2 0
MSB
LSB
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Decimal para Octal
• Procedimento: Para converter um número inteiro
decimal no seu equivalente octal, divida o número
por 8 sucessivamente e anote os restos. quando
se divide por 8, o resto será sempre 1 ou 2 ou ...
ou 7. Os restos formam o número octal
equivalente.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Octal para Decimal
• 3528 = ? 10
• 3528 = (3 x 82 + 5 x 81 + 2 x 80)10
• 3528 = (3 x 64 + 5 x 8 + 2 x 1)10
• 3528 = (234)10
38
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Decimal para Octal: parte fracionária
• Exemplo: 0.312510=?8
• Logo, 0.312510=0.248
• Procedimento: Para converter uma fração decimal para uma
base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela
base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela
multiplicação.
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0.3125 x 8= 2,5000 2 MSB
0,5000 x 8= 4,0000 4 LSB
0,0000
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Octal
– Conversão de Octal para Decimal: parte fracionária
• Números octais fracionários são expressos como potências negativas de oito.
Ex: 0.248= ?10
= 2 x 8-1 + 4 x 8-2
= 2 x 0,125 + 4 x 0,015625
= 0,25 + 0,0625
= 0,3125 10
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– O Sistema Hexadecimal também é um sistema
posicional.
– Algarismos: 0, 1,..., 9, A, B, C, D e F
– Este sistema é muito utilizado na informática por ser
mais compacto.
– No sistema hexadecimal (base 16), cada quatro bits
são representados por apenas um algarismo
hexadecimal (de 0 a F).
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Equivalência binário e hexadecimal
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Decimal para Hexadecimal
• 16510= ? 16
43
16510 = A516
165 16
5 10 16
10 0
MSB
LSB
A
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Decimal para Hexadecimal
• Procedimento: Para converter um número inteiro
decimal no seu equivalente hexadecimal, divida o
número por 16 sucessivamente e anote os restos.
Quando se divide por 16, o resto será sempre 1 ou
2 ou ... ou F. Os restos formam o número
hexadecimal equivalente.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Hexadecimal para Decimal
• A516 = ? 10
• A516 = (10 x 161 + 5 x 160)10
• A516 = (10 x 16 + 5 x 1)10
• A516 =(165)10
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Decimal para Hexadecimal: parte fracionária
• Exemplo: 0.312510=?16
• Logo, 0.312510=0.516
• Procedimento: Para converter uma fração decimal para uma base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela multiplicação.
46
0.3125 x 16= 5,0000 5 MSB
LSB
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Decimal para Hexadecimal: parte fracionária
• Exemplo: 0.256256410=?16
• Logo, 0.256256410=0.419A0416
47
0.2562564 x 16= 4,1001024 4 MSB
0,1001024 x 16= 1,6016384 1
0,6016384 x 16= 9,6262144 9
0,6262144 x 16= 10,018304 10 (A)
0,018304 x 16 = 0,292864 0
0,292864 x 16 4,685824 4 LSB
Dízima não periódica
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Hexadecimal para Decimal: parte fracionária
Ex: 0.516= ?10
= 5 x 16-1
= 5 x 0,0625
= 0,3125 10
Procedimento: Números hexadecimais fracionários são
expressos como potências negativas de dezesseis.
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Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Sistema Numérico Hexadecimal
– Conversão de Hexadecimal para Decimal: parte fracionária
– Ex: 0.419A0416 = ?10
= 4 x 16-1 + 1 x 16-2 + 9 x 16-3 + A x 16-4 + 0 x 16-5 + 4 x 16-6
= 0,25 +0,00390625 + 0,002197265625 + 0,000152587890625
+ 0,0 + 0,0000002384185791015625
= 0,256256103515625
Logo, 0.419A0416 = 0,256256341934204101562510
49
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração • Correlação entre os sistemas numéricos
50
Bits
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para hexadecimal
– Para converter um número binário para
hexadecimal:
• Primeiro separa-se o número em grupos contendo
quatro bits, começando com o bit menos
significativo (LSB);
• Então, converte-se cada grupo de 4 bits no seu
equivalente hexadecimal.
51
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para hexadecimal
– Ex:
• 101001012 = ?16
– Separando os bits em grupos de 4, a partir do
LSB para o MSB.
52
1010 0101
5 A
Logo, 101001012 = A516
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para hexadecimal:
parte fracionária
– Frações binárias também podem ser
convertidas nos seus equivalentes
hexadecimais usando o mesmo processo,
com uma exceção:
• os bits binários são separados em grupos de
quatro, começando com o bit mais significativo (no
ponto base).
53
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para hexadecimal:
parte fracionária
– Ex:
0.010101112 = ?16
– Separando os bits em grupos de 4, a partir do
LSB para o MSB.
54
0101 0111
7 5
Logo, 0.010101112 = 0.5716
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de hexadecimal para binário
• A conversão de hexadecimal para binário é
exatamente o oposto do processo anterior;
simplesmente converte-se cada número
hexadecimal em seu equivalente binário de 4 bits.
• Ex:
A516 = ?2
• Separando os bits em grupos de 4, a partir do LSB
para o MSB.
55
Logo, A516 = 101001012
A 5
0101 1010
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de hexadecimal para binário:
parte fracionária
• A conversão de hexadecimal para binário da parte
fracionária é exatamente o oposto do processo
anterior, mas separa-se os bits em grupos de 4, a
partir do MSB para o LSB.
• Ex:
0.5716 = ?2
56
0101
5 7
Logo, 0.5716 = 0.010101112
0111
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para octal
– A regra consiste em agrupar os bits do LSB para o
MSB em grupos correspondentes ao número padrão
de bits do sistema, ou seja, para octal é 3.
– Depois, converter os grupos diretamente para o
equivalente em octal.
• Exemplo:
1110012 = ?
111 001
7 1
57
1110012 = 718
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de binário para octal: parte
fracionária
– A regra consiste em agrupar os bits do MSB para o
LSB em grupos correspondentes ao número padrão
de bits do sistema, ou seja, para octal é 3.
– Depois, converter os grupos diretamente para o
equivalente em octal.
• Exemplo:
0.0110012 = ?
011 001
3 1
58
0.0110012 = 0.318
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de octal para binário
• A regra consiste em transformar cada algarismo
do LSB para o MSB diretamente no
correspondente em binário, respeitando o número
padrão de bits do sistema.
• No caso do sistema octal para binário, o padrão é
3 bits
• Exemplo:
718 = ?
7 1
111 001
59
718 = 1110012
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de octal para binário: parte
fracionária
• A regra consiste em transformar cada algarismo do MSB
para o LSB diretamente no correspondente em binário,
respeitando o número padrão de bits do sistema.
• No caso do sistema octal para binário, o padrão é 3 bits
• Exemplo:
0.318 = ?
3 1
011 001
60
0.318 = 0.0110012
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Conversão de octal para hexadecimal
• Consiste em converter o número octal par binário e depois
de binário para hexadecimal.
• Ex: 568= ?16
568 = 1011102
0010 11102 =
2 E
61
568 = 2E16
Circuitos Digitais
Sistemas de numeração
• Regras de conversão
62
Circuitos Digitais
63
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Adição binária
– A adição binária é realizada como a adição
decimal.
1 1 1 1
5 6 2 5
+ 6 3 9 8
1 2 0 2 3
64
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Adição binária
65
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Adição binária
– Ex:
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
+ 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 12 = 1202310
66
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Subtração binária
– Similar a operação de subtração decimal.
67
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Subtração binária
– A subtração binária é realizada como a
subtração decimal.
5 13
6 3 9 8
- 5 6 2 5
0 7 7 3
68
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Subtração binária
– Ex. de subtração binária:
0 1 1 10 0 10
1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
- 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 12 = 77310
69
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Multiplicação binária
– Ex. de multiplicação binária:
110011
x 101
110011
000000
+110011__
11111111
70
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Divisão binária
– Quando o dividendo for maior que o divisor, coloque
1 no quociente e subtraia o divisor do valor do
dividendo selecionado. Então, transporte o próximo
bit mais significativo do dividendo para o atual resto.
– Se puder subtrair o divisor do resto coloque 1 no
quociente e subtraia, senão, transporte o próximo bit
mais significativo do dividendo para o resto e ponha 0
no quociente. Se o divisor puder ser subtraído do
novo resto então coloque um 1 no quociente e
subtraia o divisor do resto.
– Repita o processo até considerar todos os bits.
71
Circuitos Digitais
Aritmética nos sistemas de numeração
• Divisão binária
– Exemplo de divisão binária:
72
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– Pode ser feita com sinais “+” ou “-”, mas não
é prático do ponto de vista de codificação.
– Na prática, utiliza-se um bit adicional para
indicar o sinal (Bit de Sinal).
– Este bit adicional é colocado a esquerda do
número.
– Números positivos: acréscimo de “0”
– Número negativo: acréscimo de “1”
73
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– O processo de representar números positivos
e negativos resultam na representação “Sinal-
módulo”.
– Ex:
• 4610 = 1011102
• Para sinalizar este número, deve-se colocar “0”
antes do MSB.
• Assim, tem-se:
• 4610 = 01011102
74
0 indica número positivo
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– Ex:
• - 4610 = ?2
• Para sinalizar este número, deve-se colocar “1”
antes do MSB.
• Assim, tem-se:
• - 4610 = 11011102
75
1 indica número negativo
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– Complemento de 1 e complemento de 2
• O complemento de 1 é obtido através da troca de
cada bit do número pelo seu inverso ou
complemento.
• Ex:
» Número normal: 10011011
» Complemento de 1: 01100100
76
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– Complemento de 1 e complemento de 2
• O complemento de 2 é uma notação muito
utilizada nos sistemas computacionais.
• É utilizada para representar números binários
negativos.
• Para obter o complemento de 2:
– necessita-se determinar o complemento de 1;
– depois, adiciona-se 1 ao complemento de 1.
77
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg.
– Complemento de 1 e complemento de 2
• Ex:
» Número normal: 10011011
» Complemento de 1: 01100100
+ 1
» Complemento de 2: 01100101
78
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg. - Operações aritméticas com complemento de 2
– Pode-se utilizar a notação de complemento de 2 para efetuar
operações que envolvam soma ou subtração.
– Para fazer a subtração de dois números binários: N1 – N2 = N1 + (-N2)
– O número (-N2) pode ser dado na forma de complemento de 2 e a
soma pode ser efetuada, obtendo-se como resultado a soma de N1
com o negativo de N2.
– A vantagem de utilizar o complemento de 2 é que se reduz a
quantidade de circuito, pois o mesmo circuito de adição pode ser
utilizado no processo de subtração utilizando-se a fórmula:
• N1 – N2 = N1 + (-N2)
79
Circuitos Digitais
Notação dos números binários pos. e neg. - Operações aritméticas com complemento de 2
- Para fazer a subtração de dois números binários: N1 – N2 = N1 + (-N2)
• Logo, deve-se determinar o complemento de N2 com o mesmo número de
bits de N1, depois, soma-se N1 com o complemento de 2 de N2, eliminando
o bit de excesso.
• Ex: 11012 – 1012 = ?
• Coloca-se N2 com o mesmo número de bits de N1: 0101
• Determina-se o complemento de 1 de N2: 1010
• Complemento de 2 de N2 : 1010 + 1 = 1011
• Faz-se a adição de N1 com o complemento de 2: 1101
+ 1011
11000
80
Estouro do número de bits, deve-
se desconsiderar este bit
Circuitos Digitais
81
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Funções e portas lógicas: E, OU, NÃO,
NE e NOU
• Em 1854, George Boole apresenta um sistema
matemático de análise lógica conhecido como
álgebra de Boole.
• Em 1938, Claude Elwood Shanoon aplica as
teorias de Boole para solução de problemas de
circuitos de telefonia com relés.
• A partir de então, deu-se origem a eletrônica
digital.
82
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Funções e portas lógicas: E, OU, NÃO,
NE e NOU
• Nas funções lógicas, tem-se dois estados:
– o estado 0 (zero);
– O estado 1 (um).
• O estado 0 pode representar, por exemplo: porta
fechada, aparelho desligado, chave aberta, carro
desligado, etc.
• O estado 1 pode representar, por exemplo: porta
aberta, aparelho ligado, chave fechada, carro
ligado, etc.
83
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Função E ou AND
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A” . “CH B”
– Exemplo ilustrativo:
– CH fechado - > estado = 1; CH aberto -> estado 0
– LAMP acessa -> estado =1; LAMP apagada -> estado 0
84
CH A CH B LAMP
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
CH A CH B
E
LAMP
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica E ou AND
– Representação algébrica: x = A.B
– Simbologia da porta E ou AND:
– Tabela da verdade é um mapa que contém todas as
possíveis situações com seus respectivos resultados.
85
Simbologia
Tabela da Verdade
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica E ou AND
– Representação algébrica: x = A.B.C
– Simbologia da porta E ou AND:
86
Tabela da Verdade
Simbologia
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica E ou AND
– Representação algébrica: x = A.B.C
– Tabela da verdade, Forma de Onda da porta AND.
87
Tabela da Verdade
Forma de Onda
Porta AND
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Função OU ou OR
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A” + “CH B”
– Exemplo ilustrativo:
– CH fechado - > estado = 1; CH aberto -> estado 0
– LAMP acessa -> estado =1; LAMP apagada -> estado 0
88
CH A CH B LAMP
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
CH A
CH B
E
LAMP
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica OU ou OR
– Representação algébrica: x = A + B
– Simbologia da porta OU ou OR:
89
Simbologia
Tabela da Verdade
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica OU ou OR
– Representação algébrica: x = A + B + C
– Simbologia da porta OU ou OR:
90
Tabela da Verdade
Simbologia
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica OU ou OR
– Exemplo de utilização da porta OR em um sistema de
alarme.
91
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica OU ou OR
– Exemplo de utilização da porta OR em um sistema de
alarme.
92
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Função NÃO ou NOT
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A”
– Exemplo ilustrativo:
– CH fechado - > estado = 1; CH aberto -> estado 0
– LAMP acessa -> estado =1; LAMP apagada -> estado 0
93
CH A LAMP
0 1
1 0 CH AE
LAMP
R
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica NÃO ou NOT
– Representação algébrica: x = A ou x = A’
– Simbologia da porta NÃO ou NOT:
94
Simbologia Tabela da Verdade
Forma de Onda
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Função NÃO E ou NAND
– Representação algébrica: x = (A . B)
95
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica NÃO E ou NAND
– Representação algébrica: x = (A . B)
96
Simbologia
Tabela da Verdade
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica NÃO E ou NAND
– Representação algébrica: x = (A . B)
97
Simbologia Tabela da Verdade
Forma de Onda
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Função NÃO OU ou NOR
– Representação algébrica: x = (A + B)
98
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica NÃO OU ou NOR
– Representação algébrica: x = (A + B)
99
Simbologia
Tabela da Verdade
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Porta lógica NÃO OU ou NOR
– Representação algébrica: x = (A + B)
100
Simbologia
Tabela da Verdade
Forma de Onda
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Circuitos Integrados de porta lógica
101
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
• Todo circuito lógico executa uma expressão
booleana.
• Os circuitos podem ser implementados por portas
lógicas básicas.
• Exemplo:
102
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
• Exemplo:
103
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
• Exemplo:
104
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
• Exemplo:
105
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
• Exemplo:
106
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas
107
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Circuitos a partir de expressões booleanas
• O método consiste em identificar as portas lógicas
na expressão e desenhá-las com as respectivas
ligações, a partir das variáveis de entrada até
chegar a obter a saída.
• Ex:
S = [(A+B).C]+(D+E)
108
A
B
S1=A+B S2=(A+B)
A
B
S1=A+B1
2
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Circuitos a partir de expressões booleanas
• Ex:
S = [(A+B).C]+(D+E)
109
A
B
S1=A+B S2=(A+B)
C
S3=(A+B).C
D
E
S4=(D+E)
3
4
A
B
S1=A+B S2=(A+B)
C
S3=(A+B).C
D
E
S4=(D+E)
S=[(A+B).C]+(D+E)5
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Tabelas da verdade a partir de exp. boleanas
• Uma tabela da verdade permite estudar uma função
boleana.
• Para extrair a tabela da verdade de uma expressão
booleana, deve-se:
– Montar o quadro de possibilidades.
– Montar colunas para vários membros da expressão.
– Preencher as colunas com os resultados dos membros da
expressão ou sub-expressões.
– Montar uma coluna para o resultado final.
– Preencher a coluna do resultado da expressão.
110
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Tabelas da verdade a partir de exp. boleanas
– Ex: dado a expressão: S = (A.B)+C
111
A B C (A.B) C S
0 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas a partir da tabela da verdade
• Deve-se procurar os casos em que S for igual a 1.
• Cria-se as expressões parciais.
• Em seguida, deve-se “somar” estas expressões
parciais.
• Ex:
112
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Expressões booleanas a partir da tabela da verdade
• Ex:
Caso 01: S=1 quando, A=0 e B=1 (A=1 e B=1) A.B
Caso 11: S=1 quando, A=1 e B1 A.B
Logo:
S = A.B + A.B
113
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Blocos lógicos
– Há ainda dois blocos lógicos especiais:
• OU Exclusivo;
• Ou Coincidência.
– Tabela da verdade do OU Exclusivo:
– Determinar a expressão e o circuito.
114
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Blocos lógicos
– Tabela da verdade do OU Exclusivo:
S = A.B + A.B
115
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
S
A
B
A
B
S
OU Exclusivo
S= A B = A.B + A.B + S= A B +
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Blocos lógicos
– Bloco Coincidência
– Tabela da verdade do Coincidência:
S = A.B + A.B
116
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A
BS
Simbologia-Coincidência
S
A
B
Bloco Coincidência
S= A B = A.B + A.B
S= A B
Circuitos Digitais
Funções e portas lógicas
• Equivalência
entre blocos
lógicos
117
A S
1
Bloco Lógico Bloco Equivalente
Circuitos Digitais
118
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Introdução
– Os circuitos lógicos podem ser simplificados, obtendo o
mesmo resultado com menos portas lógicas.
– A simplificação pode ser feita através da Álgebra de
Boole ou Mapas de Karnaugh.
– As variáveis lógicas podem assumir somente dois
valores:
• Ex: A = 0 ou A=1, em tempos distintos
– Uma expressão boleana pode assumir o valor 0 ou 1,
dependendo do valor das variáveis em dado instante.
• Ex: S=A+B.C, Quando teremos S igual a1?
119
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Postulado da Álgebra de Boole
– Postulados da complementação;
– Postulado da adição;
– Postulado da multiplicação;
120
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Postulados da complementação
– Chama-se de A o complemento de A.
1) Se A = 0 A = 1;
2) Se A=1 A = 0.
– Algumas identidades:
• A = A
• Se A = 1, temos: A = 0 e se A=0 A = 1
• Se A = 0, temos: A =1 e se A =1 A = 0.
• Logo, A = A
121
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Postulados da adição
1) 0 + 0 = 0
2) 0 + 1 = 1
3) 1 + 0 = 1
4) 1 + 1 = 1
• A partir deste postulado, pode-se determinar as
identidades:
A + 0 = A
A + 1 =1
A + A = A
A + A = 1
122
Prova destas
identidades?
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Postulados da multiplicação
1) 0 . 0 = 0
2) 0 . 1 = 0
3) 1 . 0 = 0
4) 1 . 1 = 1
• A partir deste postulado, pode-se determinar as
identidades:
A . 0 = 0
A . 1 = A
A . A = A
A . A = 0
123
Prova destas
identidades?
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Propriedades
– Permitem o manuseio e simplificações de expressões
Booleanas.
• Propriedade comutativa
– Adição: A + B = B + A
– Multiplicação: A . B = B. A
• Propriedade associativa
– Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
– Multiplicação: A. (B.C) = (A.B).C = A.B.C
• Propriedade distributiva
– A.(B+C)=A.B + A.C
124
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Propriedades
– Propriedade distributiva
• A.(B+C)=A.B + A.C
125
A B C A.(B+C) A.B + A.C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Teoremas de De Morgan
– Muito utilizados para simplificação de expressões
booleanas e desenvolvimento de circuitos digitais.
– 1o Teorema de De Morgan: o complemento do produto
é igual à soma dos complementos.
(A . B) = A + B
Para mais de duas variáveis:
(A . B . C . . . N) = A + B + C + ... + N
126
Prova do 1 Teorema?
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Teoremas de De Morgan
– 2o Teorema de De Morgan: o complemento da soma é
igual ao produto dos complementos.
(A + B) = A . B
Para mais de duas variáveis:
(A + B + C +. . .+ N) = A . B . C ... N
127
Prova do 2 Teorema?
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Identidades Auxiliares
• A + A.B = A
• (A + B) . (A + C) = A + B.C
• A + A . B = A + B
128
Prova destas identidades?
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Identidades Auxiliares
• A + A.B = A
– Aplicando a propriedade distributiva, tem-se:
=A . ( 1 + B)
– Do postulado da soma, tem-se 1 + B = 1, logo:
=A . 1
Do postulado da multiplicação, tem-se
=A.1 = A
129
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Identidades Auxiliares
• (A + B) . (A + C) = A + B.C
(A + B) . (A + C)
= A.A + A.C + A.B + B.C Propriedade distributiva
= A + A.C + A.B + B.C Identidade A.A=A
= A.(1 + B + C) + B.C Propriedade distrib.
= A.1 + B.C Identidade 1 + X = 1
= A + B.C Identidade A.1=A
130
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Identidades Auxiliares A + A.B = A + B
A + A.B =
= (A + A.B) Identidade X = X
= [ A . (A.B)] 2 Teorema de De Morgan
( X + Y) = X . Y
= [ A . (A + B)] 1 Teorema de De Morgan
( X . Y) = X +Y
= (A.A + A.B) Propri. Distri. e A.A=0
= (A.B)
= (A + B) = A + B 1 Teo. de De Morgan e X= X
131
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
132
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Ex: S = ABC + AC + AB
S = A (BC+C+B) Evidenciando A
S = A[ BC + (C + B)] Prop. Associativa
S = A[ BC + (C + B)] Ident. X = X
S = A[ BC + CB] Aplic. De Morgan
S = A[ BC + CB] Ident. X = X
S = A[ BC + BC] Prop. Associativa
S = A[ Y + Y] Fazendo BC = Y e BC=Y
S = A[ 1 ], Logo S=A
133
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Os diagramas ou mapas de Karnaugh possibilitam a
simplificação de maneira mais rápida dos casos
extraídos de tabelas da verdade.
– Veremos os diagramas de Karnaugh para 2, 3, 4 e 5
variáveis.
134
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
135
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
As quatro regiões
assumidas entre
as variáveis A e B.
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
136
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
A B
0 0 Caso 0
0 1 Caso 1
1 0 Caso 2
1 1 Caso 3
Caso 0 Caso 1
Caso 2 Caso 3
4 Casos da tabela da verdade
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
137
B B
A
A
A B
0 0 Caso 0
0 1 Caso 1
1 0 Caso 2
1 1 Caso 3
Caso 0
A B
0 0
Caso 1
A B
0 1
Caso 2
A B
1 0
Caso 3
A B
1 1
Distribuição dos 4 casos
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
138
A B S
0 0 0 Caso 0
0 1 1 Caso 1
1 0 0 Caso 2
1 1 1 Caso 3
Expressão booleana simplificada
Tabela da Verdade
S = AB + AB
B B
A 0 1
A 0 1
Mapa de Karnaugh
Expressão boleana
S = B
1 par
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
139
A B S
0 0 0 Caso 0
0 1 1 Caso 1
1 0 1 Caso 2
1 1 0 Caso 3
Expressão booleana simplificada
Tabela da Verdade
S = AB + AB
B B
A 0 1
A 1 0
Mapa de Karnaugh
Expressão boleana
S = AB + AB
Termo
isolado
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
140
A B S
0 0 1 Caso 0
0 1 1 Caso 1
1 0 1 Caso 2
1 1 0 Caso 3
Expressão booleana simplificada
Tabela da Verdade
S = AB + AB +AB
B B
A 1 1
A 1 0
Mapa de Karnaugh
Expressão boleana
S = A + B 1 Par 1 Par
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Diagrama de Karnaugh para 3 variáveis
141
B B
A
A
C C C
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 3 variáveis
142
B B
A
A
C C C
B B
A
A
C C C
B B
A
A
C C C
B B
A
A
C C C
B B
A
A
C C C
B B
A
A
C C C
Região A Região A
Região B Região B
Região C Região C
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 3 variáveis
143
B B
A Caso 0
A B C
0 0 0
Caso 1
A B C
0 0 1
Caso 3
A B C
0 1 1
Caso 2
A B C
0 1 0
A Caso 4
A B C
1 0 0
Caso 5
A B C
1 0 1
Caso 7
A B C
1 1 1
Caso 6
A B C
1 1 0
C C C
A B C
0 0 0 Caso 0
0 0 1 Caso 1
0 1 0 Caso 2
0 1 1 Caso 3
1 0 0 Caso 4
1 0 1 Caso 5
1 1 0 Caso 6
1 1 1 Caso 7
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 3 variáveis
144
B B
A
1
0
1
0
A
1
1
1
0
C C C
A B C S1 S2
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Expressão booleana simplificada
S2=BC + AC +BC
Tabela da Verdade Mapa de Karnaugh
Expressão boleana
S1=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
1 Par
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 3 variáveis
145
B B
A
1
1
1
0
A
1
1
1
0
C C C
A B C S1 S2
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Expressão booleana simplificada
S=B + C
Tabela da Verdade Mapa de Karnaugh
Expressão boleana
S=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
1 Quadra
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis
146
A
C C
B
B
A B
D D D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis
147
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
Região A Região B
Região C Região D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis
148
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
A
C C
B
B
A B
D D D
Região A Região B
Região C Região D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis
149
A B C D
0 0 0 0 Caso 0
0 0 0 1 Caso 1
0 0 1 0 Caso 2
0 0 1 1 Caso 3
0 1 0 0 Caso 4
0 1 0 1 Caso 5
0 1 1 0 Caso 6
0 1 1 1 Caso 7
1 0 0 0 Caso 8
1 0 0 1 Caso 9
1 0 1 0 Caso 10
1 0 1 1 Caso 11
1 1 0 0 Caso 12
1 1 0 1 Caso 13
1 1 1 0 Caso 14
1 1 1 1 Caso 15
Tabela da Verdade
Mapa de Karnaugh
A
C C
Caso 0
0 0 0 0
A B C D
Caso 1
0 0 0 1
A B C D
Caso 3
0 0 1 1
A B C D
Caso 2
0 0 1 0
A B C D
B
Caso 4
0 1 0 0
A B C D
Caso 5
0 1 0 1
A B C D
Caso 7
0 1 1 1
A B C D
Caso 6
0 1 1 0
A B C D
B
A
Caso 12
1 1 0 0
A B C D
Caso 13
1 1 0 1
A B C D
Caso 15
1 1 1 1
A B C D
Caso 14
1 1 1 0
A B C D
Caso 8
1 0 0 0
A B C D
Caso 9
1 0 0 1
A B C D
Caso 11
1 0 1 1
A B C D
Caso 10
1 0 1 0
A B C D
B
D D D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis
150
A B C D S1 S2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
Tabela da Verdade
Mapa de Karnaugh
A
C C
0 1 1 1 B
0 1 1 1
B
A
1 1 1 0
0 1 1 0 B
D D D
1 oitava
1 quadra
1 par
Expressão booleana simplificada
S2= D + AC + ABC
Expressão boleana
S1=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
151
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
152
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região A
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
153
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região A
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
154
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A
Região B
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
155
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região B
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
156
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região C
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
157
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região C
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
158
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
159
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região D
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
160
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região E
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
161
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região E
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis: Exemplo
162
B
D D
C
C
B C
E E E
A
B
D D
C
C
B C
E E E
A Região E
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
163
A B C D E S1 S2
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0
Tabela da Verdade A B C D E S1 S2
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis
164
B
D D
1 0 1 0 C
1 1 1 0
C
B
0 1 0 1
1 1 0 1 C
E E E
A
B
D D
0 0 0 0 C
0 1 0 1
C
B
1 1 1 1
0 0 0 0 C
E E E
A
1 quadra
1 quadra
1 par 1 par 1 par
1 par
Circuitos Digitais
Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos
– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis: Exercício
165
A B C D S1 S2
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Tabela da Verdade
Mapa de Karnaugh
A
C C
1 B
1
B
A
1 1 1 1
1 1 1 B
D D D
1 quadra
1 quadra
1 quadra
Expressão booleana simplificada
S2= AB+ AD + CD
Expressão boleana
Circuitos Digitais
166
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Introdução
– Conceito de circuitos combinacionais:
• É aquele em que a saída depende única e
exclusivamente das combinações entre as variáveis
de entrada.
– Exemplo de circuitos combinacionais:
• Somadores, Subtradores, Codificadores, Decodificadores, etc.
– Utiliza-se um circuito combinacional quando há
necessidade de uma resposta dada certas
condições.
167
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Processo de criação de um circuito combinacional
168
SITUAÇÃO TABELA DA
VERDADE
EXPRESSÃO
SIMPLIFICADA CIRCUITO
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Projetos de Circuitos Combinacionais
169
CIRCUITO
LÓGICO
A
B
C
D
Z
S1
S2
S3
S4
Sn
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Circuitos com 2 variáveis
170
Rua A
Preferencial
Rua B
Pre
fere
ncia
l
SEMÁFORO 2
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 2
• Um sistema automático para
semáforos, com as seguintes
características:
• Quando houver carros
transitando somente na rua B, o
semáforo 2 deverá permanecer
verde para que os carros possam
trafegar.
• Quando houver carros
transitando somente na Rua A, o
semáforo 1 deverá permanecer
verde pelo mesmo motivo.
• Quando houver carros
transitando nas Ruas A e B, o
semáforo 1 deve ser verde, pois
tem preferência.
• Como solucionar?
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Circuitos com 2 variáveis
171
Rua A
Preferencial
Ru
a B
Pre
fere
ncia
l
SEMÁFORO 2
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 2
• Pode-se utilizar um circuito lógico para solucionar o
problema.
• Como?
SITUAÇÃO TABELA DA
VERDADE
EXPRESSÃO
SIMPLIFICADA CIRCUITO
Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais
• Circuitos com 2 variáveis
172
Rua A
Preferencial
Ru
a B
Pre
fere
ncia
l
SEMÁFORO 2
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 1
SEMÁFORO 2
• Como descrever a situação?
• Estabeleça as convenções:
a. Existência de carro na Rua A: A = 1
b. Não existência de carro na Rua A: A = 0 ou A = 1
c. Existência de carro na Rua B: B = 1
d. Não existência de carro na Rua B: B = 0 ou B = 1
e. Verde do sinal 1 acesso: S1verde = 1
f. Verde do sinal 2 acesso: S2verde = 1
g. Quando S1verde = 1, então S1vermelho = 0,
S2verde = 0
S2vermelho = 1
h. Quando S2verde = 1, então S1verde = 0, S1vermelho=1,
S2vermelho=0c
Circuitos Digitais
• Solução
Circuitos Combinacionais
173
A B S1verde S1vermelho S2verde S2vermelho
0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1
S1verde
S2verde
S1vermelho
S2vermelho
B B
A 0 0
A 1 1
B B
A 1 1
A 0 0
B B
A 0 0
A 1 1
B B
A 1 1
A 0 0
S1verde= A
S2verde= A
S1vermelho= A
S2vermelho= A
Circuitos Digitais
• Solução
Circuitos Combinacionais
174
S1verde= A
S2verde= A
S2vermelho= A
S1vermelho= A
AS1verde =S2vermelho
S2verde =S1vermelho
Circuitos Digitais
• Circuito com 3 variáveis
– Deseja-se utilizar um circuito amplificador para
ligar 3 aparelhos com a seguinte prioridade:
– 1ª prioridade: Toca-CDs
– 2ª prioridade: Toca-MP3
– 3ª prioridade: Rádio FM
Circuitos Combinacionais
175
Toca-CDs Toca-MP3 Rádio FM
AMPLIFICADOR
CH1 CH2 CH3
Circuitos Digitais
• Circuito com 3 variáveis
Circuitos Combinacionais
176
• Como descrever a situação?
• Estabeleça as convenções:
a. Variáveis de entrada:
A = 1, B=1 e C=1 aparelho ligado
A=0, B=0 e C=0 aparelho desligado
b. Variáveis de saída:
Sa, Sb, Sc
S = 0 chave aberta
S=1 chave fechada
Toca-CDs Toca-MP3 Rádio FM
AMPLIFICADOR
CH1 CH2 CH3 Sa Sb Sc
Circuitos Digitais
‘
• Circuito com 3 variáveis
Circuitos Combinacionais
177
A B C Sa Sb Sc
0 0 0 X X X
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
B B
A X 0 0 0
A 1 1 1 1
C C C
Sa=A
B B
A X 0 1 1
A 0 0 0 0
C C C
Sb=AB
B B
A X 1 0 0
A 0 0 0 0
C C C
Sc=AB
Toca-CDs Toca-MP3 Rádio FM
AMPLIFICADOR
CH1 CH2 CH3 Sa Sb Sc
Circuitos Digitais
• Circuito com 3 variáveis
Circuitos Combinacionais
178
A B C Sa Sb Sc
0 0 0 X X X
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A B
Sa
Sb
Sc
Toca-CDs Toca-MP3 Rádio FM
AMPLIFICADOR
CH1 CH2 CH3 Sa Sb Sc
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
– Sistema de prioridades de intercomunicadores:
• Presidente: 1a prioridade
• Vice-presidente: 2a prioridade
• Engenharia: 3a prioridade
• Chefe de seção: 4a prioridade
Circuitos Combinacionais
179
Presidente Vice-Pres. Engenharia
Intercomunicador
Central
CH1 CH2 CH3 Sa Sb Sc
Chefe
Seção
CH4 Sd
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
– Nomenclatura:
Circuitos Combinacionais
180
• Variáveis de entrada (chamada):
• Intercomunicador do presidente: A
• Intercomunicador do vice-presidente: B
• Intercomunicador da engenharia: C
• Intercomunicador do chefe de seção: D
• Convenções utilizadas (chamada):
• Presença de chamada: 1
• Ausência de chamada: 0
• Saídas: Sa, Sb, Sc e Sd
• Efetivação de chamada: 1
• Não efetivação de chamadas: 0
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
181
A B C D Sa Sb Sc Sd
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
Não efetua chamada
Efetua chamada do chefe de seção
Efetua chamada da engenharia
Efetua chamada da engenharia
Efetua chamada do vice-presidente
Efetua chamada do presidente
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
182
A B C D Sa Sb Sc Sd
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
A
C C
0 0 0 0 B
0 0 0 0
B
A
1 1 1 1
1 1 1 1 B
D D D
Sa
Sa = A
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
183
A B C D Sa Sb Sc Sd
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
A
C C
0 0 0 0 B
1 1 1 1
B
A
0 0 0 0
0 0 0 0 B
D D D
Sb
Sb = AB
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
184
A B C D Sa Sb Sc Sd
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
A
C C
0 0 1 1 B
0 0 0 0
B
A
0 0 0 0
0 0 0 0 B
D D D
Sc
Sc = A B C
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
185
A B C D Sa Sb Sc Sd
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
A
C C
0 1 0 0 B
0 0 0 0
B
A
0 0 0 0
0 0 0 0 B
D D D
Sd
Sd = A B C D
Circuitos Digitais
• Circuito com 4 variáveis
Circuitos Combinacionais
186
Presidente Vice-Pres. Engenharia
Intercomunicador
Central
CH1 CH2 CH3 Sa Sb Sc
Chefe
Seção
CH4 Sd
Circuitos Digitais
187
Circuitos Digitais
188
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