17/05/14
● Há dois padrões para funções booleanas (SOP e POS)
● SOP (sum of products - Soma de Produtos)● Mintermos
– Para uma função booleana de N variáveis, é qualquer termo de produto que contenha N literais (variável ou complemento):
{ abc ; abc ; abc}
● Implicantes
y = f(a,b,c) ou y = abc + abc + abc (canônica)
– mintermos que levam a função ao valor “1”
– Cada termo de uma SOP é um implicante, pois leva y → ”1”;
– Pode representar a função pelo número das linhas:
y = m2 + m
6 + m
7
– Se um termo for irredutível, é um termo implicante e primo:
y = ab + b.c
– São implicantes e primos de y, mas
não mintermo;
17/05/14
A B C Y0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1
Síntese de Circuitos Lógicos (MiniTerm - SOP)
A B Q0 0 00 1 01 0 01 1 1
● Função E● Olhando as saídas, quais são
os valores de entrada?● Em que condição conhecemos
os valores de entrada?
*Garantir a condição de saída de nível lógico alto.
● ABC
● ABC
● ABC
● ABC
● ABC
Função OU● ABC+
● ABC+
● ABC+
● ABC+
● ABC
17/05/14
A B C Y A B C Y A B C Y0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Gerar os mintermos
y = ABC + ABC + ABC + ABC
y = m0+m
1+m
6+m
7
y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
y = m0+m
1+m
2+m
5+m
6+m
7
y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
y = m0+m
2+m
3+m
4+m
5+m
7
17/05/14
Síntese de Circuitos Lógicos
POS (product of sums – Produto de Somas)● Maxtermos
– Para uma função booleana de N variáveis, é qualquer termo de soma que contenha N literais (variável ou complemento):
{ a + b + c ; a + b + c ; a + b + c}
● Implicados
y = f(a,b,c) ou y = (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) (canônica)
– maxtermos que levam a função ao valor “0”
– Cada termo de uma POS é um implicado, pois leva y → ”0”;
– Pode representar a função pelo número das linhas:
y = M2 + M
6 + M
7
– Se um termo for irredutível, é um termo implicado e primo:
y = (a + b) . (b + c)
– São implicados e primos de y, mas
não maxtermos;
17/05/14
A B C Y0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1
Síntese de Circuitos Lógicos (MaxTerm POS)
● Função OU● Olhando as saídas, quais são
os valores de entrada?● Em que condição conhecemos
os valores de entrada?
*Garantir a condição de saída de nível lógico baixo.
● A+B+C
● A+B+C
● A+B+C
● E
(A+B+C).
(A+B+C).
(A+B+C)
A B Q0 0 00 1 11 0 11 1 1
17/05/14
A B C Y A B C Y A B C Y0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Gerar os maxtermos
Y = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
y = M2+M
3+M
4+M
5
Y = (A+B+C).(A+B+C)
y = M3+M
4
Y = (A+B+C).(A+B+C)
y = M1+M
6
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Simplificação de circuitos● Menos Hardware● Mais velocidade● Menos consumo
● Métodos● Analiticamente● Mapas de Karnaugh● Algoritmo Quine-McCluskey● Métodos Heurísticos Quasi mínimos
Manual
Baseados em computador
Analítico:● Normalmente baseado do
teorema da absorção:
“a.b + a.b = a”
● Não pode ser usada em computador
● A expressão é irredutível?
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Exemplo:y = m
0 + m
2 + m
6 + m
7 = a'.b'.c' + a'.b.c' + a.b.c' + a.b.c
● Aplicando o teorema da absorção nos pares 1-2, 2-3 e 3-4
y = a'.c'.(b' + b) + b.c'.(a' + a) + a.b.(c' + c) = a'.c' + b.c' + a.b
● Mas poderíamos ter aplicado em 1-2 e 3-4
y = a'.c'.(b' + b) + a.b.(c' + c) = a'.c' + a.b
● Equivalentes, mas o segundo é mais econômico.
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Método preferido de simplificação manual● Modo de representar a tabela-verdade● Utiliza código gray nas linha e colunas● Cada célula da tabela recebe um mintermo● Considera-se inicios e fins de linhas e colunas
como células adjacentes.
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Agrupar os implicantes primos
● Agrupar todos os bits “1” (ou os “0”) tão grande quanto possível (potência de dois)
● Últimas linha e coluna são adjacente às primeiras (1 bit de diferença)
● Implicante essencial: contém elementos não coberto por outros implicante primo (irredutível)
17/05/14
Encontrar a SOP mínima
● y=b'.c.d + a'.b.c'+a.d'abcd 00 01 11 10
00 0 1 1 1
01 0 1 0 0
11 1 0 0 X
10 0 X X 1
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Usando mapas de karnaugh, prove as três partes do teorema da absorção:
● A + AB = A● A + AB = A + B● A.B + A.B = A
17/05/14
Mapas de Karnaugh - Extensos
● Aplica-se o teorema de Shannon● f(a, b, c, …) = a'.f(0, b, c, …) + a.f(1, b, c, ...)
a=0 bc a=1 bcde 00 01 11 10 de 00 01 11 10
00 00
01 01
11 11
10 10
m0
m4
m12
m8
m16
m20
m28
m24
m1
m5
m13
m9
m17
m21
m29
m25
m3
m7
m15
m11
m19
m23
m31
m27
m2
m6
m14
m10
m18
m22
m30
m26
17/05/14
Mapas de Karnaugh
● Podemos utilizar o mapa de Karnaugh para POS
● Agrupam-se os “0”● Levantam-se os
maxtermos.● Apresenta-se a
expressão irredutível POS
● y=(a+b).(a'+b').(a'+c')
17/05/14
Propagação e Glitches
● É uma falha que ocorre pela diferença do tempo de propagação do mesmo sinal, por caminhos diferentes, no mesmo circuito.
y = b.c' + a.c
17/05/14
Quine-McCluskey
● Método para simplificações por computador
● Desenvolvido nos anos 1960
● Baseado no teorema da absorção:
a.b+a.b' = a
y = m0+m
4+m
5+m
6+m
10+m
11+m
14+m
15
● Karnaugh →
17/05/14
Quine-McCluskey● Teorema da absorção
● Termos adjacentes● Possuir diferença de um bit
● Dividir os mintermos em grupos pela quantidade de '1's.
● Comparar o grupo A com o B
● Comparar o grupo B com o C, …
● Marcar os mintermos dos grupos com um bit de diferença, substituindo o bit divergente por “X”
● Elimininar os mintermos combinados a cada iteração (cinza)
Grupo Minterm a b c dA 0 0 0 0 0B 4 0 1 0 0
C
5 0 1 0 16 0 1 1 010 1 0 1 0
D11 1 0 1 114 1 1 1 0
E 15 1 1 1 1
Grupo Minterm a b c dA-B 0-4 0 X 0 0
B-C4-5 0 1 0 X4-6 0 1 X 0
C-D
6-14 X 1 1 010-11 1 0 1 X10-14 1 X 1 0
D-E11-15 1 X 1 114-15 1 1 1 X
17/05/14
Quine-McCluskey
Grupo Minterm a b c dA-B 0-4 0 X 0 0
B-C4-5 0 1 0 X4-6 0 1 X 0
C-D
6-14 X 1 1 010-11 1 0 1 X10-14 1 X 1 0
D-E11-15 1 X 1 114-15 1 1 1 X
Grupo Minterm a b c dAB-BC --- ---BC-CD --- ---
CD-DE10-11-14-15 1 X 1 X10-14-11-15 1 X 1 X
● Comparar o grupo AB com o BC
● Comparar o grupo BC com o CD, …
● Marcar os mintermos dos grupos com um bit de diferença, substituindo o bit divergente por “X”
● Elimininar os mintermos não combinados a cada iteração ou repetidos (cinza)
● Se não houver mais grupos para recombinação, considerar os mintermos não eliminados ou “termos primos”
17/05/14
Quine-McCluskey
Grupo Minterm a b c dA-B 0-4 0 X 0 0
B-C4-5 0 1 0 X4-6 0 1 X 0
C-D
6-14 X 1 1 010-11 1 0 1 X10-14 1 X 1 0
D-E11-15 1 X 1 114-15 1 1 1 X
Grupo Minterm a b c dAB-BC --- ---BC-CD --- ---
CD-DE10-11-14-15 1 X 1 X10-14-11-15 1 X 1 X
● Se não houver mais grupos para recombinação, considerar os termos não eliminados ou “implicantes primos”
● Escrever a expressão SOP
y = a'.c'.d' + a'.b.c' + a'.b.d' + b.c.d' + a.c
● Coincidem com os termos mostrados no mapa de Karnaugh
● Entretanto b.c.d' é redundante
17/05/14
Quine-McCluskey
● y = a'.c'.d' + a'.b.c' + a'.b.d' + b.c.d' + a.c
● Coincidem com os termos mostrados no mapa de Karnaugh
● Entretanto b.c.d' é redundante
17/05/14
Quine-McCluskeyResolver por Quine-McCluskey:
y = m0+m
1+m
2+m
6+m
8+m
10+m
11+m
12
abcd 00 01 11 1000 1 0 1 101 1 0 0 011 0 0 0 110 1 1 0 1
y = a'.b'.c' + a'.c.d' + a.c'.d' + a.b'.c + b'.d'
Grupo Minterm a b c dA 0 0 0 0 0
B
1 0 0 0 12 0 0 1 08 1 0 0 0
C
6 0 1 1 010 1 0 1 012 1 1 0 0
D 11 1 0 1 1
Grupo Minterm a b c d
A-B
0-1 0 0 0 X0-2 0 0 X 00-8 X 0 0 0
B-C
2-6 0 X 1 02-10 X 0 1 08-10 1 0 X 08-12 1 X 0 0
C-D 10-11 1 0 1 X
Grupo Minterm a b c d
AB-BC0-2-8-10 X 0 X 00-8-2-10 X 0 X 0
BC-CD --- ---
17/05/14
Gerador de Paridade
● Geração de paridade● Paridade “par”● P = “0”, para quantidades pares de “1”s.
17/05/14
Gerador de Paridade
● Verificação de paridade● Paridade “par”● Se paridade local “ P' ” e paridade remota “ P ”
forem diferentes, ocorreu um erro: “ V “ = “1”
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