Circunferência
Comprimento de um arco de circunferência
70º
O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm.
1.1. Determina o comprimento do arco BC.
x______ º70
52______º360
360
1070 x
cmx 11,6
________x º70
5_______ º360 2
360
570 2 x
Área do Sector circular
O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm.
1.1 Determina a área do sector circular.
70º
227,15 cmx
Circunferência
Na figura:
[EF], [CD] e [GH] são cordas;
[CD] é um diâmetro.
Corda é o segmento de reta que une dois pontos da circunferência
Diâmetro é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência
Arco de circunferência
Os pontos A e B dividem a circunferência em
dois arcos:
• Arco menor AB
• Arco maior AB ou arco ACB
Arco de circunferência - parte de uma circunferência compreendida entre
dois dos seus pontos.
Posição relativa de uma reta e de uma circunferência
Reta tem um ponto
comum com a
circunferência.
Reta tangente à
circunferência.
A reta tem com a
circunferência dois
pontos comuns
Reta secante à
circunferência
A reta não tem pontos
comuns com a
circunferência.
Reta exterior à
circunferência
Propriedades Geométricas em circunferências
Reta tangente a uma circunferência
[DE] é um diâmetro
AE é tangente à circunferência
no ponto E
AÊD=DÊB
AÊD+DÊB=180º
Então, DÊB=90º
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que
contém o ponto de tangência.
Perpendicular ao ponto médio de uma corda
Desenhamos uma circunferência, uma
corda e a reta perpendicular ao meio
da corda.
Sendo a reta r perpendicular ao meio da
corda, a reta r é a mediatriz do
segmento [AB].
O ponto O dista igualmente de A e
B, o ponto O pertence à recta r.
Numa circunferência, uma reta perpendiculatr a uma corda no seu ponto
médio contém o centro da circunferência..
Retas paralelas e circunferência
[BC] // [DE]
A reta p é perpendicular às
retas r e s e contém o ponto O.
Se dobrares a figura pela reta p. O
segmento [DB] é simétrico do segmento
[CE] relativamente ao eixo de simetria p
Assim, BD= CE e
Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre retas
paralelas são congruentes.
_________
CEDB
Numa circunferência, a arcos congruentes correspondem cordas
congruentes e vice-versa.
Ângulo ao centro
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o
vértice no centro da circunferência. arco
∢BOC é um ângulo ao centro na
circunferência de centro O
Amplitude de um ângulo ao centro
Qual é a amplitude do ângulo AOB?
90º [ABCD] é um quadrado.
AÔB=90º
A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido
entre os seus lados.
AÔB=AB=90º
Cordas,arcos e ângulos ao centro
42º
42º
42º
42º
Numa circunferência,a arcos congruentes correspondem cordas e ângulos ao
centro congruentes.
Numa circunferência, a cordas congruentes correspondem arcos e ângulos ao
centro congruentes.
Numa circunferência, a ângulos ao centro
congruentes correspondem cordas e arcos
congruentes.
Observe a figura e determine x
a)
45º x
x 57º
220º
x
b) c)
Ângulo inscrito numa circunferência
Um ângulo inscrito numa circunferência é um
ângulo que tem o vértice na circunferência e
os seus lados contêm cordas
O ∢BCD é um ângulo inscrito numa
circunferência de centro O
Relação entre ângulo ao centro e o correspondente ângulo inscrito
[ABC] é equilátero, tem os ângulos todos
iguais.
22
º120 AÔBBÂC
A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco
compreendido entre os seus lados.
120º 120º
120º
60º
120º
2
BCBÂC
BÂC 2BC
Amplitude de um ângulo inscrito
Observe as figuras e determine x
22º
x
a)
70º
x
b)
Propriedades:
CÊDCÂD
2
CDCÂD
2
CDCÊD
Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma
amplitude.
Propriedade 1
2
BCBÂC
º902
º180BÂC
Os ângulos inscritos numa semicircunferência são
ângulos retos.
Propriedade 2
Propriedade 3
2
BÊD
2
BÂD
BÂDBÊD 22
º360 º18022
Mas,
BÂDBÊD º180
, então
Logo,
A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero, inscrito numa circunferência é
180º.
[ABDE] é um quadrilátero
inscrito numa circunferência
Ângulo com vértice no interior da circunferência
De acordo com os dados da figura, determina
º502
º100m
º302
º60n
º80º30º50
Outro processo:
º802
º160
2
º60º100
Ângulo com vértice no interior da circunferência
∢BPA é um ângulo com vértice no interior da
circunferência
nm
2
DCn e
2
BAm
2
DCBA
22
DCBA
Ângulo com vértice no interior da circunferência é igual a metade da soma
das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus
prolongamentos.
De acordo com os dados da figura, determina
º702
º140m
º152
º30n
º55º15º70º15º70
Outro processo:
º552
º110
2
º30º140
Ângulo com vértice no exterior da circunferência
Ângulo com vértice no exterior da circunferência
De acordo com os dados da figura, determina
nmnm
2
BAm
2
DCn
Ângulo com vértice no exterior da circunferência é igual a metade da
diferença entre as amplitudes dos arcos maior e menor compreendidos
entre os seus lados.
222
DCBADCBA
Ângulo ex-inscrito
222ˆ yxyxACB
CAEAECACB ˆˆˆ
Ângulo ex-inscrito é um ângulo em que tem vértice na circunferência e esta
é intersetada por um dos seus lados e pelo prolongamento do outro lado.
Ângulo de um segmento é um ângulo em que um dos lados é tangente à
circunferência e o outro lado contém o ponto de tangência e outro ponto da
circunferência
Ângulo de um segmento
2
x
paralelos. lados de internos alternos ângulos são porque CAV ˆ CVA
2
xCVA
2
AVCVA , Logo
A amplitude de um ângulo de um segmento é igual a metade da amplitude
do arco compreendido entre os seus lados.
Ângulo de um segmento
Top Related