Cálculo 2
Aula 02
A Integral Definida
Prof. Gabriel Bádue
Motivação
No Cálculo Integral, qual o significado dessas somas?
Teoria
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥
Soma de Riemann
Integral definida de f de a a b
Integrando
Limites de Integração
Teoria
Propriedades
𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎), onde 𝑐 é uma constante
𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑏𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑐 é uma constante
𝑎𝑏𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑎
𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Teoria
Propriedades
Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑏
𝑎𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Se 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
Exemplo 1
É dado o gráfico de f. Calcule cada integral interpretando-a em termos das
áreas.
a) 02𝑓 𝑥 𝑑𝑥
b) 05𝑓 𝑥 𝑑𝑥
c) 57𝑓 𝑥 𝑑𝑥
d) 09𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo 2
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.
a) −12(1 − 𝑥)𝑑𝑥
b) −30(1 + 9 − 𝑥2)𝑑𝑥
Teoria
Teorema Fundamental do Cálculo
𝑔′ 𝑥 = ?
Teoria
Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplo 3
Calcule a derivada da função.
a) 𝑔 𝑥 = 1𝑥 1
𝑡3+1𝑑𝑡
b)ℎ 𝑥 = 1𝑒𝑥ln 𝑡 𝑑𝑡
Teoria
Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplo 4
Calcule a integral.
a) −12𝑥3 − 2𝑥 𝑑𝑥
b) 02𝑥 2 + 𝑥5 𝑑𝑥
Aplicação
Trabalho
a) Quanto trabalho é exercido ao se levanter um livro de 1,2 kg do chão até umacarteira de altura 0,7 m? Considere que a aceleração da gravidade é g = 9,8m/s2.
b) Quanto trabalho é feito levantando-se um peso de 20 lb a uma altura de 6 pésdo chão?
Quando uma partícula está localizada a uma distância de 𝑥 metros da origem, uma força de 𝑥2 + 2𝑥 newtons age sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo-se de 𝑥 = 1 para 𝑥 = 3?
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