Resumo da Disciplina
Representação no Espaço-Estado
Variáveis de estado
Matriz de transição
Autovalor, Autovetor e fator de participação
Controlabilidade e observabilidade
Formas modais (Mode Shapes)
Estabilidade a pequenas perturbações
Projeto de Estabilizadores de Sistemas de Potência (ESP)
Método do lugar-das-raízes e resíduos
Alocação de pólos
Ajuste coordenado de ESP 2
3
Estabilidades em SEP
4
Estabilidade de Sistemas de Potência
Estabilidade
Angular
Estabilidade
de FrequênciaEstabilidade
de Tensão
Estabilidade a
pequenas
perturbações
Estabilidade
TransitóriaCurto prazo Longo prazo Curto prazo Longo prazo
• Capacidade de manter o
sincronismo
• Equilíbrio de torques nas
máquinas síncronas• torque de sincronismo
• torque de amortecimento
• Balanço carga-geração
• Separação e ilhamento
• Capacidade de manter perfil
de tensão aceitável
• Balanço de potência reativa
• Capacidade do sistema permanecer em equilíbrio operativo
• Equilíbrio entre forças em oposição
5
Estabilidade Angular
Estabilidade Angular
Transitória
Manutenção do sincronismo após uma grande perturbação
Modelagem não-linear
Simulação no tempo (integração numérica)
A pequenas perturbações
Estabilidade do ponto de equilíbrio
Modelagem linear
Análise modal6
7
Modelo Matemático
Estudos Eletromagnéticos
Estudos Eletromecânicos
Estudos QSS
Estudos de Fluxo de Potência
Onde x são as variáveis de estado lentas e w são as variáveis de estado rápidas
8
Sistemas de Controle(Modelagem)
Modelagem do SEP para
Estudos EletromecânicosNormalmente os sistemas de
controle podem ser modelados
como equações diferenciais
na representação em estado de
espaços.
9
Representação em Espaço de Estados
O conhecimento dos autovalores da matrix A é uma
condição suficiente para inferir sobre a estabilidade
do ponto de equilíbrio do sistema.
PEE
PEI
10
Uma Visão da Estabilidade Transitória Sob a Ótica dos Torques
Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica (1687)
1ª. Lei – um objeto se mantém parado, ou se move com velocidade constante, ao menos que uma força resultante haja sobre o mesmo
2ª. Lei – o somatório das forças num objeto é proporcional à sua massa multiplicada por sua aceleração
3ª. Lei – para cada força sobre um objeto, o objeto reage com uma reação igual e oposta
11
As Leis de Newton
12
K
DTM
2
2
dt
dMTorques
M
2
2
dt
dMK
dt
dDTM
Sistema Massa-Mola
jM
MKDD)t(
2
42
13
Interpretação dos Torques
Torque de Amortecimento
Torque de Sincronismo
2
2
dt
dMK
dt
dDTM
14
K
DTM
Tim e (s e c .)
Am
pli
tud
e
Im p uls e R e s p o ns e
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0-0 .2 5
-0 .2
-0 .1 5
-0 .1
-0 .0 5
0
0 .0 5
0 .1
0 .1 5
0 .2
0 .2 5
Resposta no Tempo em Função do Amortecimento
D = 0
D > 0
te
0K
M
D < 0
15
K
DTM
Resposta no Tempo em Função da
Constante da Mola
Tim e (s e c .)
Am
pli
tud
e
Im p uls e R e s p o ns e
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5 5-0 .1
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
01 K
12 KK
0K0K
0D
M
16
Equação Mecânica da Máquina Síncrona
1
2Hs
0
s
KD
KS
Tm
+
++
-T
e
2
2
dt
dMK
dt
dDTM
2
2
2dt
dHKKT SDM
17
Torques Eletromecânicos
T K Ke S D
T Ke SS
T Ke DD
• Torque de Amortecimento
• Torque de Sincronismo
18
tempo
TD
TS
Estável
T
T
S
D
0
0
tempo
TD
TS
Instável aperiódico
T
T
S
D
0
0
tempo
TD
TS
Instável oscilatório
T
T
S
D
0
0
19
Estabilidade Angular(a pequenas perturbações)
20
Modelo Dinâmico do Sistema
, , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
x f x x x r r r u u u t i n
g x x x r r r u u u t j m
i i n m k
j n m k
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
0 1 2
b gb g
Vetorialmente:
, , ,
, , ,
x f x r u
0 g x r u
RSTt
t
b gb g
0 f x r u
0 g x r u
RST0 0 0
0 0 0
, ,
, ,
b gb g
Em um ponto de equilíbrio:
y h x r u , ,b g Variáveis controladas
podem ser explicitadas
21
Linearização
y h x r u , ,b gy y h x r u
h
xx
h
rr
h
uu
x r u x r u x r u
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
, ,
, , , , , ,
b g
, , , ,
, , , ,
x
0
f
x
f
rg
x
g
r
x
r
f
ug
u
u
yh
x
h
r
x
r
h
uu
x r u x r u
x r u x r u
LNMOQP
L
N
MMM
O
Q
PPPLNMOQP
L
N
MMM
O
Q
PPP
LNM
OQPLNMOQP
LNMOQP
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
22
Linearização (cont.)
I 0
0 0
x
r
x
0
J J
J J
x
r
B
Bu
y C Cx
rD u
LNMOQPLNMOQP LNMOQP LNM
OQPLNMOQP LNMOQP
LNMOQP
1 2
3 4
x
r
x r a
T x J x B u
y C x D u
a a a
a a
Forma descritora
23
Linearização (cont.)
0 J x J r B u r J J x B u
3 4 4
1
3 r rb g
x J x J J J x B u
y C x C J J x B u D u
1 2 4
1
3
4
1
3
r
x r a
b gb g
x J J J J x J J B u A x B u
y C C J J x C J B D u C x D u
1 2 4
1
3 2 4
1
4
1
3 4
1
c h c hc h c h
r
x r r r a
Representação em espaço de estados
24
Modelo Clássico de Gerador
T PE R E V R E V X
R Xe e
T b T b T
T T
2
2 2
cos sin
onde
~ ~ ~ ~ ~ E V R jX I V R R j X X I Et a d t b a e d e tb g b g
RT = Re + Ra e XT = Xe + X’d.
25
Modelo Clássico de Gerador
d
dt HT
E R E V R E V X
R XK
d
dt
mT b T b T
T T
D
FHG
IKJ
1
2
2
2 2
0
cos sin
26
Modelo Clássico de Gerador
1. Obter as componentes da tensão terminal V Vr t cos e V Vm t sin
2. Obter as componentes da corrente terminal IPV QV
Vr
r m
t
2 e
IPV QV
Vm
m r
t
2
3. Determinar a tensão interna ~ E V R I X I j V R I X Ir a r d m m a m d rb g b g
4. Determinar o ângulo de carga
tan
1 E
E
m
r
27
Modelo Clássico de Gerador
d
dt HT
E V R E V X
R XK
d
dt
mb T b T
T T
D
FHG
IKJ
1
2
0 0
2 2
0
sin cos
Ou na forma matricial
d
dt
KH
KH H T
D S
m
LNMOQP
LNMM
OQPPLNMOQP LNMMOQPP
2 20
120
0
Sistema Máquina x Barra Infinita (arquivo: smib_modeloclassico.fdx)
28
Sistema Máquina x Barra Infinita (arquivo: smib_modeloclassico.fdx)
29
Solução do Fluxo de Potência:
30
Estabilidade a pequenas perturbações: exemplo máquina x barra infinita
Et X
tr
X1
X2
EB
31
Estabilidade a pequenas perturbações: exemplo máquina x barra infinita
XT
Pe
E' EB
0
PE E
XPe
b
T
sin sinmax
32
33
34
35
Estabilidade a pequenas perturbações: exemplo máquina x barra infinita
36
37
Representação em Espaço de Estados
E o conhecimento dos autovetores definem as
formas modais (mode shapes).
N
NE
S
SE
N
NE
S
SE
38
Mode-Shape do Modo Entre-ÁreasNorte-Sul (-0.034 1.079j)
39
Cortesia Dr. Nelson Martins (CEPEL)
40
41
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
0 4 8 12 16 20
Time (s)
N/NE
S/SE
Time Response for Brazilian System Dominated by North-South Mode
Cortesia Dr. Nelson Martins (CEPEL)
42
Damping Study of the N-S Mode
Norte-NordesteSul-Sudeste
Itaipu 50 Hz
Rotor speed mode-shape for N-S mode
Xingó
Paulo Afonso IV
L.Gonzaga
SobradinhoItaipu
Transfer function residues for i/VREFi
associated with the N-S mode
S/SE N/NE
43
Exemplo Sistema S/SE
S
SE
F4
F2
F3
F1
Itaipu-50Hz
Itaipu-60Hz
44
Raízes no Plano Complexo
Malha Aberta Malha Fechada
S/SE
Xavantes
45
Phase shaping of PSSs for Xingó, P.A. IV and L. Gonzaga
generators based on their transfer function residues for /VREF,
considering both local and North-South modes
imag
real
Modo Local
Xingó
Modo Inter-Área
imag
real
Modo Local
Luiz Gonzaga
Modo Inter-Área
imag
real
Modo Local
Paulo Afonso IV
Modo Inter-Área
Damping Study of the N-S Mode
Formas Modais
N
NE
S
SE
46
Inércia agregada
do Sul é três vezes
maior do que a
do Norte
S - SE 0,5 Hz
N - NE 0,5 Hz
S+SE - N+NE 0,2Hz
Malhas de Controle nos Geradores(Regulação de Tensão)
47
Malhas de Controle nos Geradores(Regulação de Velocidade)
48
Estabilizador de Sistemas de Potência(Power System Stabilizer – PSS)
49