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  • UNIVERSIDADE DO PORTO

    FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    CONDENSAO ESTTICA DE GRAUS DE LIBERDADE

    e TCNICA DAS SUBESTRUTURAS

    Rui Carneiro de Barros Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP

    (Agregao; Ph.D.; M.Sc.; Eng Civil)

    Texto de Apoio Cientfico, Tcnico e Pedaggico disciplina Teoria de Estruturas 2

    (Obs.: A matria de condensaao esttica de graus de liberdade escrita formalmente em 2005, aqui re-incorporada neste captulo mais geral de 2011 pois utilizada recursivamente na tcnica das subestruturas; tambm incorporado o exemplo numrico tradicionalmente resolvido na aula terica pelo autor signatrio)

    (30 pginas)

    Porto e FEUP, 12 a 19 de Maro de 2011

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    CONDENSAO ESTTICA DE GRAUS DE LIBERDADE

    Atente-se na diviso e significado da matriz de rigidez de uma barra genrica (i) [ou (m), de structural member m] de estrutura reticulada (ou de qualquer estrutura 2D/3D reticulada ou articulada) atravs das 4 sub-matrizes constituintes seguintes:

    EE ED

    DE DD

    k kk k

    No caso de barra genrica (i) (de extremidade esq E, e extremidade dir D) j foram ditados (na aula terica) os significados estruturais das sub-matrizes constituintes.

    A sub-matriz EEk representa as foras generalizadas (foras e momentos) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E da barra (m) (avaliadas positivamente segundo os sentidos positivos desses graus de liberdade) devidas a deslocamentos generalizados unitrios (translaes e rotaes) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

    A sub-matriz DEk representa as foras generalizadas segundo os graus de

    liberdade da extremidade direita D da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitrios segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

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    A sub-matriz EDk representa as foras generalizadas segundo os graus de

    liberdade da extremidade esquerda E da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitrios segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

    A sub-matriz DDk representa as foras generalizadas segundo os graus de

    liberdade da extremidade direita da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitrios segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

    No caso de uma estrutura (reticulada ou articulada, 2D ou 3D), o sub-colectivo (E) seria relativo a um determinado sub-conjunto de graus de liberdade da estrutura global, e o sub-colectivo (D) ao sub-conjunto complementar de graus de liberdade.

    Frequentemente no clculo de uma estrutura existem graus de liberdade (GL) sem aces, cuja considerao poder ser eliminada de modo equivalente na anlise. Ou tambm alternativamente, poder-se- estar interessado em apenas saber de forma imediata directa determinados graus de liberdade considerados principais ou prioritrios (GL Master M) em detrimento provisrio de outros graus de liberdade secundrios sacrificiais ou de menor interesse directo imediato (GL Slave S).

    (Esta considerao perfeitamente geral e transversal a problemas equivalentes de outras engenharias, nomeadamente em reas afins das Engenharia Mecnica e Engenharia Aeronutica/Aeroespacial).

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    Assim, usando exactamente esta notao da bibliografia internacional (Master and Slave degrees of freedom dof M and S ; GL: Master ou Principais M, Slave ou Secundrios/Sacrificiais S), considere-se a seguinte equao de equilbrio em coordenadas globais de uma qualquer estrutura (com n GL) sob anlise:

    0 0

    ( 1) ( 1) ( ) ( 1)F F K D K D F F F

    n n n n n

    = + = =

    Usa-se aqui a notao que vem sendo utilizada pelo autor desde que iniciou na

    FEUP o seu lecionamento nas unidades curriculares TE1/TE2 (respectivamente em 2001/2 e 2002/3), designando quantidades estruturais locais em minsculas e globais em maisculas.

    Esta notao coerente foi introduzida nas aulas tericas por si lecionadas nesta matria e tambm nas aulas prcticas afins das suas turmas, quer sobre a anlise matricial de estruturas elsticas lineares, quer sobre a abordagem matricial de estruturas com no-linearidades geomtrica ou at material.

    Considere-se ento a resoluo de uma tal estrutura com os atrs referidos GL (Master & Slave ou Principais prioritrios directos M & Secundrios sacrificiais indirectos S) qual corresponde a seguinte partio matricial (vectorial) da equao de equilbrio supra-citada, atravs de:

    MMM MS M

    SSSM SS

    K K D FDK K F

    =

    Se for m o nmero dos GL principais ou Master, e s o nmero dos GL secundrios ou Slave, ento para toda a estrutura com n GL ser n=m+s.

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    Entende-se por Condensao Esttica dos GL, a re-escrita explcita equivalente (ie, com mesma soluo estrutural para a mesma estrutura) da equao de equilbrio anterior que conduza determinao directa explcita dos GL principais ou GL Master (master dof) MD .

    Tal corresponde a condensar ou reduzir ou eliminar (de forma equivalente) os GL secundrios SD nas equaes de equilbrio envolvendo explicitamente

    os GL principais MD , de um modo semelhante ao realizado na resoluo de

    sistemas de equaes algbricas lineares (SEAL) pelo mtodo de Gauss (simples MG1, com pivotagem parcial por linhas ou colunas MG2, com pivotagem total por linhas e colunas MG3).

    Para se realizar matricialmente a referida Condensao Esttica:

    (i) expande-se explicitamente a equao matricial anterior;

    (ii) exprime-se alternativamente a possvel soluo dos GL secundrios ou sacrificiais ou Slave SD custa dos GL principais

    ou Master MD ;

    (iii) substitui-se essa expresso na sub-equao de equilbrio dos GL principais, assim eliminando ou sacrificando os GL secundrios;

    (iv) resolve-se a equao matricial de equilbrio equivalente (ie, com a mesma soluo estrutural) agora apenas explcita nos GL principais ou Master MD .

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    { } [ ] { }1MMM M MS S

    S SSM M SS S S SS SM M

    K D K D F

    K D K D F D K F K D

    + =

    + = =

    [ ]( ) { } [ ]{ }1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)

    M SMM MS SS SM M MS SSK K K K D F K K F

    m m m s s s s m m m m s s s s

    =

    Designando

    [ ]( )1 *MM MS SS SM MMK K K K K = e [ ]{ } { }*1M S MMS SSF K K F F =

    da equao anterior resultar de forma equivalente:

    { } { } { } { }* *1* *( ) ( 1) ( 1)

    M MMM M M MMK D F D K F

    m m m m

    = =

    Aps esta determinao explcita equivalente e directa dos GL principais ou

    Master M { }MD (invertendo uma matriz de rigidez equivalente m x m, em vez de uma consideravelmente maior n x n), podem-se obter os GL secundrios sacrificiais sacrificados ou eliminados (de modo equivalente) ou Slave S { }SD , atravs de:

    { } [ ] { }1 SS SS SM MD K F K D=

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    Esta metodologia de condensao de GL estticos muito importante em estruturas constitudas por inmeras barras (ou elementos), sob diversas combinaes de aces estticas.

    Tambm uma metodologia importante para ser utilizada em Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica (5 ano; opo condicionada de Estruturas), ao permitir compatibilizar (ou reduzir mesma base de descrio de movimentos generalizados) situaes estruturais em que partida existam menos GL dinmicos (movimentos independentes possveis atravs dos quais se desenvolvem foras de inrcia no desprezveis) do que GL estticos (deslocamentos estticos generalizados independentes possveis); mas as equaes matriciais de movimento das estruturas s podem ser referidas aos mesmos GL (quando GL dinmicos coincidem com os efectivos GL estticos, aps condensao ou reduo destes ltimas mesma base de referncia de movimentos temporais possveis). Ver detalhes no exemplo seleccionado para este captulo.

    A determinao dos esforos generalizados nas barras (no referencial local ou nas coordenadas locais de cada barra ou elemento) cujos diagramas de esforos (ou distribuies de tenses no caso do MEF) se pretendam, segue a metodologia tradicional custa dos deslocamentos generalizados entretanto

    j disponveis (embora determinados ou disponveis em dois sub-conjuntos complementares de GL generalizados): MD e SD .

    Genericamente para qualquer barra ou membro estrutural (i):

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

    i i i i ii i if f k d f k T D= + = +

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    Convir realar que estas foras generalizadas locais ( )if so avaliadas segundo as direces e sentidos locais dos GL nodais, i.e., segundo o referencial directo local nas extremidades esquerda e direita de cada barra

    genrica (i). Sendo: eixo dos xx longitudinal no sentido da extremidade esquerda para a extremidade direita, eixo dos yy transversal a +90, eixo dos zz perpendicular ao plano anterior e no sentido directo.

    Assim, no caso genrico de barra (i) de estrutura reticulada 2D prtico plano (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforos axiais N, transversos Ty (ou Vy) e momentos flectores Mz da barra ser necessrio atender ao significado mecnico-estrutural das componentes deste vector de

    foras locais ( )if :

    1

    2

    3( )

    4

    5

    6

    esquerda

    esquerda

    esquerda esquerdai

    direita direita

    direita

    direita

    NfTf

    f f Mf ff Nf Tf M

    +

    = = = +

    +

    De igual modo, no caso genrico de barra (i) de estrutura articulada 2D ou 3D SAP ou SAT, antes de realizar os diagramas de esforos axiais N nas barras constituintes ser necessrio atender ao significado mecnico-

    estrutural das componentes deste vector de foras locais ( )if :

    1( )

    2

    esquerda esquerdai

    direita direita

    f Nff ff N

    = = = +

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    Tambm, no caso genrico de barra (i) de estrutura reticulada 2D grelha plana (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforos Tz (ou Vz), Mtorso x e Mflexo y da barra ser necessrio atender ao significado mecnico-estrutural das componentes deste vector de foras locais ( )if :

    1

    2

    3( )

    4

    5

    6

    esquerda

    toro esquerda

    esquerda flexo esquerdai

    direita direita

    toro direita

    flexo direita

    TfMf

    f Mff ff Tf Mf M

    +

    +

    = = =

    +

    Finalmente, no caso genrico de barra (i) de estrutura reticulada 3D (com comportamentos de prtico e de grelha segundo vrios planos), antes de realizar os diagramas de esforos Nx, Ty (ou Vy), Tz (ou Vz), Mtorso x , Mflexo y e Mflexo z da barra ser necessrio atender ao significado mecnico-

    estrutural das componentes deste vector de foras locais ( )if .

    Assim, na figura seguinte representam-se os 12 graus de liberdade (GL) locais (3 translaes directas e 3 rotaes directas no n da extremidade esquerda da barra; 3 translaes directas e 3 rotaes directas no n da extremidade direita).

    Tambm se apresenta a matriz de rigidez local (12x12) de barra genrica (i) de estrutura reticulada 3D, relativa aos referidos 12 GL, por sntese de matria e de comportamentos estruturais (nela contidos), conforme foi apresentada e parcialmente deduzida/justificada pelo autor na aula terica.

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    Assim, em referncia aos 12 GL da barra genrica (i) de estrutura reticulada 3D, o significado mecnico-estrutural das componentes deste vector de

    foras locais ( )if :

    1

    2

    3

    4

    5

    6( )

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    x esquerda

    y esquerda

    z esquerda

    x toro esquerda

    y flexo esquerda

    esquerda z flexo esquerdai

    direita x direita

    NfTfTfMfMf

    f f Mf ff Nfffff

    +

    +

    +

    = = =

    +

    y direita

    z direita

    x toro direita

    y flexo direita

    z flexo direita

    T

    TM

    M

    M

    +

    +

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    Exemplo detalhado de Condensao Esttica de Graus de Liberdade Introduo Considere-se o prtico seguinte com apoios duplos na base, de um piso de altura h e um vo de comprimento L=2h, em que as colunas e vigas tm rigidez flexional respectivamente de EIc e EIv.

    Considere-se que este prtico de grau de indeterminao unitrio (i.e., grau de hiperestaticidade gh=1) constitudo por barras de rigidez axial infinita (BRAI) pelo que se poder admitir que as colunas e vigas so axialmente indeformveis. Nesse sentido, para uma eventual anlise da estrutura pelo mtodo dos deslocamentos, trata-se de uma estrutura com 3 graus de liberdade estticos (GLE ou grau de hper-geometria; em ingls, static degrees of freedom ou static dof): a translao lateral D1 do piso ou andar, e as rotaes D2 e D3 dos ns de piso.

    Para anlise dinmica deste prtico para aces laterais, admita-se que apenas existe massa considervel (inrcia translacional) ao nvel do piso (associada principalmente massividade da laje e vigas, e eventualmente adicionada de metade da massa dos pilares) e que portanto as colunas so de massa desprezvel. Assim, pela inexistncia de inrcia de rotao dos ns, a estrutura ter apenas 1 grau de liberdade dinmico (GLD ou dynamic dof).

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    Assim, enquanto para uma anlise esttica deste prtico a matriz de rigidez elstica K ser de 3x3, para uma anlise dinmica apenas se poder formular o movimento para o grau de liberdade dinmico nico (GLD=1) correspondente a D1, sob a forma:

    Nesta equao M ser a massa do piso massivo (incluindo, se necessrio, metade das massas dos pilares, se no forem desprezveis) pelo que representar a rigidez equivalente do prtico (de 3 barras flexveis) segundo o GLD D1 , obtida condensando (de modo equivalente) a matriz de rigidez esttica K (3x3) para a direco nica de movimento dinmico D1. Isto , realizando uma condensao esttica da matriz de rigidez elstica K (3x3) aos graus de liberdade principais (ou master dof), neste caso do exemplo escolhido realizando uma condensao esttica dos GL secundrios (ou slave) D2 e D3 reduzindo (de modo equivalente) a descrio das foras elsticas apenas segundo a direco do GLD D1.

    Determinao da Matriz de Rigidez Elstica correspondente aos GLE

    Para a determinao da matriz de rigidez elstica K (3x3), recorre-se informao contida nas tabelas das foras de fixao de barras uniformes de comprimento L e rigidez flexional EI (tabela T1 para barras de extremidades bi-encastradas, para obter as contribuies de rigidez flexional da viga; tabela T2 para barras de extremidades encastrada-articulada, para obter as contribuies de rigidez flexional das colunas).

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    As configuraes unitrias de barras bi-encastradas uniformes devero ser conhecidas por todos os engenheiros civis (pelo menos os da FEUP ...); as informaes correspondentes s configuraes unitrias associadas situao abordada na tabela T2 (para os pilares do exemplo) sintetizam-se nas figuras seguintes.

    Para rotao unitria da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

    Para translao unitria da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

    Assim, pode-se agora realizar a determinao da matriz de rigidez elstica correspondente aos 3 GLE, por considerao sistemtica ou ordenada das configuraes unitrias dos GLE.

    Por uma questo apenas de simplicidade numrica, considere-se que as rigidezes flexionais das colunas e viga so iguais (EIc = EIv).

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    Configurao D1=1 (D2=D3=0) obtendo a 1 coluna da matriz de rigidez:

    Configurao D2=1 (D1=D3=0) obtendo a 2 coluna da matriz de rigidez:

    Configurao D3=1 (D1=D2=0) obtendo a 3 coluna da matriz de rigidez:

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    Assim, a matriz de rigidez elstica correspondente aos 3 GLE expressa por

    a partir da qual se formula o equilbrio esttico elstico atravs de K D = F.

    Note-se que, sob o ponto de vista esttico, o 2 membro poder ser

    interpretado (de acordo com a notao e formulao do mtodo dos deslocamentos) como a diferena F-F0 entre o vector F das foras actuantes segundo (em correspondncia com) os GLE da estrutura e as foras de fixao segundo os mesmos GLE (reaes nodais s aces nas barras); ou alternativamente, a soma F+(-F0) do vector F das foras actuantes segundo os GLE da estrutura com o vector (-F0) das foras nodais equivalentes s aces nas barras.

    Assim, o equilbrio esttico K D = F, expresso por

    e como o GLD nico D1 ser agora designado ou escolhido como GL principal ou Master, enquanto os GL secundrios sacrificiais ou Slave sero o colectivo D2 e D3.

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    Note-se que na anlise dinmica que ser considerada neste exemplo, os prprios GL D2 e D3 no seriam solicitados ou excitados dinamicamente (isto , F2=F3=0) porque os ns no possuem inrcia rotao suficiente que o justifique (ausncia da designada rotatory inertia).

    Segundo esta perspectiva a equao de equilbrio esttico poder ser partida ou segmentada apropriadamente, evidenciando as sub-matrizes e sub-

    vectores constituintes resultantes da diviso dos GLE em Master (M) ou principais e Slave (S) ou secundrios; resultando de modo equivalente, e com as evidentes identificaes ou correspondncias, a seguinte equao matricial:

    Obtm-se as seguintes identificaes para as sub-matrizes da matriz de rigidez:

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    Determinao da Rigidez Reduzida Equivalente segundo GL translacional

    A rigidez lateral condensada (ou reduzida) equivalente ao prtico de 3 barras flexveis (de rigidezes flexionais e ento obtida pela formula geral deduzida anteriormente e ser (neste exemplo):

    A inversa da matriz

    obtida pela formulao de Cramer atravs de

    enquanto a matriz dos co-factores determinada pela frmula de

    Laplace atravs de sendo o valor do

    determinante menor que se obtm eliminando a linha i e a coluna j que se cruzam no elemento da matriz original cujo elemento co-factor se pretende determinar. Assim, directamente

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    Retomando o clculo

    Determinao da Equao de Movimento da Translao de Piso

    Como neste exemplo apenas existe D1 como GLD --- o GL principal ou

    Master (M) considerado --- a fora que segundo ele actuar ser obtida da formulao geral das aces reduzidas equivalentes nos graus de liberdade Master ou principais (por sacrifcio reduo ou eliminao equivalente dos graus de liberdade Slave ou secundrios), atravs de:

    Assim a equao de movimento lateral do piso massivo deste prtico flexvel (de 3 barras 2 colunas e 1 viga flexveis, mas de massa considerada desprezvel) :

    isto

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    TCNICA DAS SUBESTRUTURAS

    Entende-se por Tcnica das Subestruturas ou Subestruturao Estrutural (do ingls substructuring techniques), a diviso de uma estrutura em sub-estruturas constituintes para alcanar simultaneamente objectivos de: (1) maior eficincia computacional na resoluo de grandes sistemas de

    equaes algbricas resolventes; mas tambm de:

    (2) melhor identificao ou correspondncia fsica com as partes constituintes (a tipologia) da estrutura inicial sob anlise.

    Este mtodo era muito importante (nas dcadas de 1960s e 1970s) quando as capacidades computacionais eram muito limitadas, e tinham que ser utilizadas o melhor possvel (nessa altura temporal da anlise estrutural) para resolver grandes estruturas ou problemas estruturais elsticos.

    Ainda poder ser significativa hoje em dia quando se abordam grandes problemas de anlise em computadores pessoais, ou mesmo quando se abordam grandes problemas estruturais com facilidades computacionais de relevo mas com um grau de pormenorizao at hoje em dia no realizada.

    Sabe-se que a matriz de rigidez desenvolvida atravs duma formulao

    pelo mtodo dos deslocamentos (ou equivalente) em banda, com largura de semi-banda que dever ser minimizada atravs duma numerao conveniente dos graus de liberdade para evitar armazenar zeros desnecessrios.

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    Mesmo recorrendo a tcnicas de skyline, para evitar armazenar esses termos nulos da matriz de rigidez, h situaes em que a tipologia estrutural no mais permitir uma banda de elementos no-nulos uniformemente estreita (isto , de pequena largura de semi-banda igual para toda a estrutura).

    Nas figuras seguintes apresentam-se duas situaes estruturais com tipologias que originam situaes desse tipo, entre inmeros exemplos possveis do sector da construo de edifcios e pavilhes na engenharia civil.

    O primeiro exemplo trata-se de um edifcio de vrios pisos de tipologia uniforme em altura (o que permitir uma numerao optimizada dos graus de liberdade para minimizar, na parte acima da base ou do solo, a largura da semi-banda da matriz de rigidez), mas tambm apresentando uma parte mais larga na base (o designado pedestal do edifcio) para parqueamento (subterrneo ou no) ou at pisos comerciais iniciais (para a qual se realizam consideraes equivalentes quanto numerao dos graus de liberdade, face tipologia desta parte da estrutura global).

    Este pedestal de implantao estrutural da torre de vrios pisos causar, mesmo para uma numerao optimizada dos graus de liberdade, um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez global correspondente s duas sub-estruturas constituintes [1] e [2].

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    O universo ou vector colectivo de graus de liberdade na fronteira comum aqui designado genericamente de Df , sendo explicitamente indicado pelo ndice f que esses sero graus de liberdade de fronteira ou na interface das sub-estruturas consideradas.

    No outro exemplo apresenta-se um esqueleto estrutural possvel dum auditrio desportivo, ou similar, de muito grandes dimenses.

    Tambm para esta estrutura global, e a ttulo de exemplo pedaggico, consideram-se duas subestruturas constituintes as sub-estruturas [1] e [2], com ns de fronteira comuns (#1 e #7) com o j referido universo de graus de liberdade Df na fronteira de interface.

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    Nesta estrutura a numerao dos graus de liberdade, do anel poligonal fechado de travamento superior dos pilares, causar um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez da estrutura global (isto , sem a sub-estruturao em estruturas constituintes).

    Apresentam-se nas figuras seguintes exemplos adicionais de discretizaes de estruturas para suas resolues pelo mtodo dos elementos finitos MEF

    (de uma casca fina de revoluo , de uma poro de asa de avio, e de uma ponte de vrios tramos ou vos intermdios) as quais podero ter implcitas tcnicas de substruturao apropriadas a cada estrutura correspondente: (1) quer pela sucessiva hierarquia de pormenorizao dentro de partes ou

    sub-estruturas constituintes; (2) quer na eliminao por condensao esttica (mas com equivalncia

    estrutural) de graus de liberdade secundrios (slave degrees of freedom, ie, slave dof) com nfase resolutiva inicial para os graus de liberdade principais (master dof).

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    Para os dois exemplos iniciais gerais atrs considerados (com duas sub-estruturas [1] e [2]), e tambm indirectamente para os outros exemplos de modelao pelo MEF, a Tcnica de Subestruturao Estrutural aplica-se sistematicamente do modo exposto a seguir.

    De acordo com o que j foi abordado para o significado fsico das sub-matrizes, nas: matriz de rigidez de uma barra de extremidades esquerda e direita Kee

    Kde Ked Kdd

    matriz de rigidez de uma estrutura com graus de liberdade principais ou master M e secundarios ou slave S KMM KSM KMS KSS (em que os graus de liberdade secundrios so eliminados por condensao esttica)

    para cada subestrutura constituinte, neste caso [1] e [2], as equaes de equilbrio so subdivididas pelas designaes dos seus graus de liberdade efectivamente livres (no condicionados; isto D1 ou D2, respectivamente para os das sub-estruturas [1] e [2]) e pelos seus graus de liberdade em fronteiras de interface (de ndice f) designados colectivamente por Df.

    Para a subestrutura [1] a equao de equilbrio do mtodo dos deslocamentos ser:

    1 11 1

    11 1

    T

    f ff

    D FK SD FS K

    =

    (1)

    (Obs.: Note-se que K1 ser uma sub-matriz K11 da subestrutura 1, S1 ser uma sub-matriz Kf 1 da subestrutura 1, S1T ser uma sub-matriz K1f da subestrutura 1, e K1f ser uma sub-matriz Kf f da subestrutura [1]).

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    Realizando a condensao esttica dos graus de liberdade livres D1 (seleccionados como secundrios sacrificiais ou Slave, da sub-estrutura [1]) obtm-se a seguinte equao de equilbrio nos graus de liberdade principais ou Master Df da sub-estrutura [1]:

    1 1f f fK D F=&&& &&& (2) em que

    11 1 1 1 1

    11 1 1 1 1

    Tf f

    f f

    K K S K S

    F F S K F

    =

    =

    &&&

    &&& (3)

    Para a subestrutura [2] a equao de equilbrio do mtodo dos deslocamentos ser:

    2 2 2

    2 22 2

    f f fT

    K S D FD FS K

    =

    (4)

    (Obs.: Note-se que K2 ser uma sub-matriz K22 da subestrutura 2, S2 ser uma sub-matriz Kf2 da subestrutura 2, S2T ser uma sub-matriz K2f da subestrutura 2, e K2f ser uma sub-matriz Kf f da subestrutura [2]).

    Realizando a condensao esttica dos graus de liberdade livres D2 (seleccionados como secundrios sacrificiais ou Slave, da sub-estrutura [2]) obtm-se a seguinte equao de equilbrio nos graus de liberdade principais ou Master Df da sub-estrutura [2]:

    2 2f f fK D F=&&& &&& (5) em que

    12 2 2 2 2

    12 2 2 2 2

    Tf f

    f f

    K K S K S

    F F S K F

    =

    =

    &&&

    &&& (6)

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    As equaes (2) e (5) traduzem equilbrios parciais (equivalentes) de cada uma das subestruturas [1] e [2], expressos custa dos deslocamentos comuns Df na fronteira de interface (encarados ou seleccionados como graus de liberdade principais ou Master).

    Mas, para que exista equilbrio, as foras generalizadas nas fronteiras de interface, isto , as expresses de 1 fF e 2 fF no equilbrio global

    original (sem subestruturao) tero que ser iguais e opostas (pelo Princpio de Igualdade entre Aco e Reaco).

    Portanto, por exemplo, poder-se-o designar as foras generalizadas na fronteira de interface por 1 2f f fF F F= = , que por equilbrio so antissimtricas.

    Assim:

    - somando membro a membro as equaes (2) e (5) - substituindo as foras no 2 membro pelos valores das expresses

    correspondentes nas equaes (3) e (6) - atendendo antissimetria entre os pares de foras generalizadas na

    fronteira de interface

    obtm-se: 1 1

    1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( )f f f f fK K D F F S K F S K F + = + = +&&& &&& &&& &&&

    Os deslocamentos generalizados na fronteira de interface sero ento obtidos atravs de:

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    1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )f f f f f f fD K K F F K K S K F S K F = + + = + +&&& &&& &&& &&& &&& &&& (7)

    em que todas as sub-matrizes tero ordem de grandeza associada aos graus

    de liberdade presentes em cada subestrutura (e no a ordem de grandeza mais elevada que teriam se no fosse aplicada a tcnica de subestruturao).

    A inverso de matrizes de menor ordem inerente Subestruturao Estrutural, em complemento com as expresses derivadas da condensao esttica de graus de liberdade, traduzir-se- por maior eficincia e rapidez das operaes matriciais de clculo estrutural. Tal facto ser tanto mais relevante quanto maior for a complexidade e extenso da tipologia da estrutura global inicial.

    Tambm de cada uma das equaes de equilbrio (2) e (5), e substituindo parte das expresses (3) e (6), obtm-se independentemente:

    1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2

    ( )

    ( )

    f f f f f f

    f f f f f f

    D K F K F K S K F

    D K F K F K S K F

    = =

    = =

    &&& &&& &&& &&&

    &&& &&& &&& &&&

    Igualando os segundos membros destas duas expresses, e atendendo antissimetria das foras generalizadas na fronteira de interface

    ( 1 2f f fF F F= = ), permitir obter uma expresso para determinar precisamente a grandeza dessas foras generalizadas, atravs de:

    1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )f f f f fK K F K S K F K S K F + = &&& &&& &&& &&& = [2 membro]

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    Nesta equao matricial (do tipo AX=B para resoluo de SEAL sistemas de equaes algbricas lineares) todas as quantidades so conhecidas, excepto as foras generalizadas Ff na fronteira de interface.

    As incgnitas Ff so ento determinadas atravs da inverso da matriz dos coeficientes neste caso a soma de duas matrizes inversas j conhecidas que ser equivalente soma das duas matrizes iniciais (porque a inversa da matriz inversa, a prpria matriz original inicial).

    Assim:

    { {

    1 2 1 2

    11 2 1 1 1

    1

    ( ) [2 membro] =mesmas dimenses,

    porque so das respectivas sub-estruturas [ ] e [ ]

    = ( ) (

    f f f f f

    f f f

    ff f

    F F F K K

    K ff1 2

    K K K S Kn nn nn nf f

    = = = +

    +

    &&& &&&14243

    &&& &&& &&&14243 { { { { { {

    1 1 11 2 2 2 2

    1 1 1 2 2 2 2

    ) ( )1 1 ( 1)

    f

    ff ff

    F K S K Fn n n n n n n nn n

    n

    &&&

    Com os deslocamentos generalizados na fronteira de interface j obtidos atravs da equao (7), determinam-se os restantes deslocamentos generalizados nos graus de liberdade efectivamente livres (no condicionados) de cada uma das subestruturas [1] e [2], atravs de equaes matriciais intrinsecamente incorporadas nas equaes de equilbrio (1) e (4).

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    Isto corresponder determinao explcita dos GL secundrios (ou Slave) D1 e D2, a partir dos j anteriormente determinados GL principais (ou Master) Df . Nomeadamente:

    11 1 1 1( )T fD K F S D=

    12 2 2 2( )T fD K F S D=

    indicando que os deslocamentos generalizados 1D 2D ... nas subestruturas

    constituintes [1] [2] ... sero obtidos (em algum programa pessoal eficiente de anlise estrutural, ou nos modernos pacotes comerciais software de anlise e projecto de estruturas) pela mesma algoritmia e programao resolutiva associada ao tpico da condensao esttica de graus de liberdade.

    Estas consideraes aqui apresentadas, para uma determinada Subestruturao Estrutural em duas subestruturas constituintes, podem ser generalizadas a casos mais gerais englobando mais subestruturas, mas com adaptaes equivalentes ponderadas e racionais envolvendo equilbrio e compatibilidade.

    Obs.: A matria de condensaao esttica de graus de liberdade escrita formalmente em 2005, foi aqui re-incorporada neste captulo mais geral de 2011 pois utilizada recursivamente na tcnica das subestruturas.