Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções
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Atualizado em Fevereiro de 2011
Conjuntos
• Wikipedia: – Coleção de elementos
Exemplos: Conjunto de cidades da RMC:Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo.
Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9: 4, 6 e 8
Conjuntos numéricos
• A={0, 2, 4, 6, 8, ...}
• B={0, 2, 4, 6, 8, 10}
• C={1, 3, 5, 7, 9, ...}
• D={3, 5}
• E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}
Conjuntos importantes
• Conjunto vazio:
• Conjunto unitário:
• Conjunto Universo (U)– Formado por todos os elementos com os quais
estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.
CouC {}
}78{B
Relações entre conjuntos
1 pertence a A
{1} está contido em A
{3} não está contido em B
B está contido em A
A não está contido em B
O conjunto vazio está contido em BB
BA
AB
B
A
A
CouC
B
A
}3{
}1{
1
{}
}2,1{
}4,3,2,1,0{
Conjunto das partes
• É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.– B={1, 2, 3}– P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}}
Conjunto das partes
• Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes:– Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento– {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2
elementos– {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2},
{1,2}} possui 4 elementos
Conjunto das partes
• Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n
Operações com conjuntos
Operações com conjuntos:Intersecção
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A B = {x/xA e x B} (Intersecção)
• A B = {0, 2}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:União
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A B = {x/xA ou x B} (União)
• A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:Diferença
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A - B = {x/xA e xB} (Diferença)
• A - B = {1, 3, 4}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:Complementar
• Caso especial: um conjunto está contido no outro:• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:
A B
0 1 25 6
• O complementar de B em relação a A:
}6,5{ ABC AB
A B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A B = {0, 1, 2} = A
A-B={ } B-A={5, 6}
Operações com conjuntos:Produto cartesiano
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)
• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}
• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20
• Par ordenado: (2, 0)(0, 2)
Representação no plano cartesiano
A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6}
A
B
Atenção para:
•AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical
• (0,2) e (2,0) são pontos distintos
• Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
...3,2,1}0{
...3,2,1,0*
NN
N
Conjuntos numéricos
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
0,1,2,3...
...3,2,1
...3,2,1,1,2,3...}0{
...3,2,1,0,1,2,3...
*
*
Z
Z
ZZ
Z
Conjunto numéricos
Conjunto dos Números Racionais (Q)
0,1,2
3,2...
...1,2
1,
3
1
...1,2
1,
3
1,1,
2
3,2...}0{
...1,2
1,
3
1,0,1,
2
3,2...
*
*
Q
Q
Q
Conjuntos numéricos
• Representação decimal de números racionais:– A representação decimal de um número
racional é obtida pela divisão de a por b.
– Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:
b
a
...1666,06
15,0
2
1
Conjunto numéricos
Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)
Números decimais que não admitem representação fracionária
Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas
...123456,275,3,2,
Conjuntos Numéricos
N Z Q I
Conjunto dos Números Reais (R)
Intervalos numéricos (reais)
-3
Intervalos numéricos (Reais)
(-3, +) = ]-3, +) ={x / x > -3}
[-3, +) = [-3, +) ={x / x -3}
-3
4
Intervalos numéricos (Reais)
(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x / -3 < x < 4}
(-3, 4] = ]-3, 4] ={x / -3 < x 4}
-3 4
-3
Relações entre conjuntos
• Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• R = {(x,y)AxB / x+y>4}– R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2);
(3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)}– N(R)=12
Relações entre conjuntos
Relações entre conjuntos
• Representação gráfica:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} – R = {(x,y)AxB / x+y>4}
01234
0256
Relações entre conjuntos
• Representação gráfica:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}– R = {(x,y)AxB / x+y>4}
01234
0256
Relações entre conjuntos
Representação no plano cartesiano - Relações
A={0, 1 ,2, 3, 4}
B={0, 2, 5, 6}
A
B
R= {(x,y)AxB / x+y>4}
Representação no plano cartesiano - Relações
Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos.
Relações especiais
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:
• R = {(x,y)AxB / y = 2x}– R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}– N(R)=5
• Representação através de diagrama:– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11}– R = {(x,y)AxB / y = 2x}
01234
Relações especiaisRelações especiais
O que há de especial nesta relação?
0246811
• O que há de especial?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio)
01234
0246811
Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio
ConjuntoImagem
Relações especiaisRelações especiais
Por que essa característica é especial?
A garantia de encontrar um correspondente a partir de
um número dado pode ajudar a
conhecer/entender/explicar um determinado
contexto/fenômeno.
Funções: definição
• Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B.
• Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.
Funções: Notação
• Exemplo:– Dada a função f:N N, definida para todo
natural n N, tal que f(n)=2n+1• 2n+1 é uma forma de se representar um número
ímpar!
• Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)
• Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3)
• Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5)
• Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)
Representação no plano cartesiano - Funções
A={0, 1 ,2, 3}
B={0, 2, 4, 6}
A
B
R= {(x,y)AxB / y=2x}
A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.
Funções - Classificação
Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Função Injetora
• É a função na qual:
x1 x2 então f(x1) f(x2)
01234
0246811
Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio
ConjuntoImagem
Função Sobrejetora
• É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im
01234
0246
Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio
ConjuntoImagem
Função Bijetora
• É a função que é injetora e sobrejetora.
01234
02468
Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio
ConjuntoImagem