Consideremos um reflector A que se move com uma velocidade v pequena. Num tempo δt o reflector vai estar na posição A ' com se vê na figura. Suponhamos que um plano estacionário está a uma certa distancia de A e denotemos o comprimento da onda incidente por λ e da onda reflectora por λ '. O numero de ondas incidentes no tempo t que existe
no intervalo BA é ABλ e numero de ondas reflectidas
que existe no intervalo BC é AC
λ'. Então no tempo t
temos no intervalo BAC, AC
λ'+ ABλ ondas. Do mesmo
modo podemos concluir que o numero de ondas no
intervalo B A 'C é A'Cλ '
+ A' Bλ . A diferença entre o numero
de ondas que existe no tempo t e no tempo t+δt deve ser o numero de ondas que sai no espaço limitado por BB' e CC '. Por outro lado νδt entre no espaço através do planoBB' e ν 'δt sai do espaço através do plano CC '. Então temos
(ν '−ν )δt=( ACλ' + ABλ )−( A 'Cλ ' + A
' Bλ )
ou
(ν '−ν )δt=( ABλ − A' Bλ )+( ACλ ' − A
'Cλ ' )
Como se vê na figura AB−A' B=A A '= vδtcosθ e temos
também que AC−A 'C=A A' cos (θ+θ ' ). Então como λ= cν e λ '=c
ν '
ficamos como
(ν '−ν )δt= νvδtccosθ
+ ν ' vδtc cosθ
cos (θ+θ ' )
que nos da
ν ' ccosθ−ν ' vcos (θ+θ ' )ccosθ
= νc cosθ+νvc cosθ
.
Simplificando obtemos
ν '=ν c cosθ+vccosθ−v cos (θ+θ' )
ou ainda
ν '=ν1+ vccosθ
1−vcos (θ+θ' )ccos θ
Em primeira ordem temos
1
1−v cos (θ+θ ' )c cosθ
=1+v cos (θ+θ' )c cosθ
logo obtemos
ν '=ν (1+ vc cosθ ) [1+ v cos (θ+θ' )
c cosθ ]=ν [1+ vc cosθ
+v2cos (θ+θ' )c2 cos2θ
+v cos (θ+θ ' )c cosθ ]
Como v é pequeno em relação à c ficamos com
ν '=ν [1+ vccosθ
+v cos (θ+θ' )ccosθ ]
A diferença entre os dois ângulos θ e θ' é da ordem vc
podemos substituir θ' por θ e obtemos
cos (θ+θ' )=cos2θ=2cos2θ−1
Substituindo na expressão acima obtemos
ν '=ν [1+ vccosθ
− vccosθ
+ 2v cos2θ
c cosθ ]que nos da
ν '=ν (1+ 2v cosθc )
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