Controladoria e Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
© Almir Carvalho dos Reis, 2005
Programação LinearResolução Gráfica
Conteúdos
Problemas de Programação Linear Resolução pelo método gráfico O Problema do Pintor
Caso Alumilâminas S.A. Caso Esportes Radicais S.A.
Programação Linear Solução Gráfica
Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.
Max Z x x 5 21 2
1x (b)42
x x (c) 2 91 2
s r x (a)3. .
x x (d) 0 01 2,
Programação Linear Solução Gráfica
21 4
12
x13
x2
x 4 234
x 3 1
x0 1
x0 2
x 42
Programação Linear Solução Gráfica
92 12 xx -
121
29
2 xx -
x 31
x1
92 21 xx
x 01
x 02
x2
(3,0)(0,0)
(0,4)(3,4)
Limite
Reta92 21 xx
121
29
2 xx -Região Limitada
(1,4)
(3,3)
Programação Linear Solução Gráfica
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
SoluçãoViável
(3,3)
21 2510 xxZ
= Solução Ótima
21 2521 xxZ
(3,3)21 250 xxZ
(0,0)
Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
Considere o seguinte o problema de LP
Encontre a solução ótima.
0, 2446 1242 ..
33
21
21
21
21
xxxxxxrsxxMax
Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
02 x
01 x x1
(0,3)
(6,0)1242 21 xx
(4,0)
(0,6)2446 21 xx5
4
6
7
Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
x1
5
4
6
7
21 330 xxZ
21 336 xxZ
21 335,13 xxZ
Exercício Recomendado 1
Max 4x1 + 3x2
s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0
Solução do Exercício 1
Exercício Recomendado 2
Max 4x1 + 8x2
s.r.3x1 + 2x2
18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0
Solução do Exercício 2
Max 21 3xx s.r.
0,10216
304
21
21
21
xxxx
xx
Exercício Recomendado 3
Solução do Exercício 3
O Problema do Pintor
Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?
A Decisão do Pintor
O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua
receita?
A Decisão do Pintor
O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua
receita?
A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.
A Decisão do Pintor
Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo;
Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente.
O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.
O Modelo para a Decisão do Pintor
Max Z x x 5 31 2 Função-objetivo
Maximizar a receita
1s r x 3. . Restrição de vendas de quadros grandes
x 42 Restrição de vendas de
quadros pequenos
x x 1,8 81 2 Restrição de tempo
x 01 , x 02 Não negatividade
O Modelo para a Decisão do Pintor
Programação Linear Solução Gráfica - Minimização
0, 2045 1553
6 5
2 ..97
21
21
21
2
1
21
21
-
xxxxxx
xx
xxtsxxMin
Encontre a solução ótima:
Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
Caso Alumilâminas S.A.
A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
Variáveis de Decisão X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo
X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de
Janeiro
Função-Objetiva Minimizar Custo de Produção (mil R$) = 21 200100 xx
Caso Alumilâminas S.A.
Restrições de Demanda Placas Finas
Placas Médias
Placas Grossas
Restrições de Não Negatividade
1628 21 xx
611 21 xx
2872 21 xx
0, 21 xx
Caso Alumilâminas S.A.
0,2872
6111628
200100
21
21
21
21
21
xxxxxxxx
xxMin
Caso Alumilâminas S.A.O Modelo
Caso Alumilâminas S.A.Solução Gráfica
Caso Esportes Radicais S.A.
A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
Caso Esportes Radicais S.A.
Variáveis de Decisão X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos
X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos
Função-Objetiva Max 60x1 + 40x2
Caso Esportes Radicais S.A.
Restrição de Produção
Linha 1
Linha 2
Restrição de Não Negatividade
1001010 21 xx
4273 21 xx
0, 21 xx
Caso Esportes Radicais S.A.O Modelo
0,4273
10010104006
21
21
21
21
xxxxxx
xxMax
Caso Esportes Radicais S.A.Solução Gráfica
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