Controle PID
Lucas de Assis Soares
Engenharia de Automacao e Controle
Introducao
Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmenteemprega esquemas de controle PID ou PID modificado.
A utilidade dos controladores PID esta na sua aplicabilidade gerala` maioria dos sistemas de controle.
Sua popularidade pode ser atribuda ao seu bom desempenho emuma ampla faixa de condicoes de operacao e a` sua simplicidadefuncional que permite aos engenheiros opera-los de um modosimples e direto.
Em particular, quando o modelo matematico da planta nao econhecido e, portanto, metodos de projeto analtico nao podem serutilizados, controles PID se mostram os mais uteis.
Acoes de controle
Controle proporcional:
Para um controlador com acao de controle proporcional, a relacaoentre a sada do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t) e:
u(t) = Kpe(t)E sua transformada de Laplace e:
U(s) = KpE(s)Qualquer que seja o mecanismo real e o tipo de energia utilizadano operacao, o controlador proporcional e essencialmente umamplificador com um ganho ajustavel.
Acoes de controle
Controlador proporcional:
Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1
Acoes de controle
Controle proporcional:
A acao de controle pode ser utilizada para estabilizar um sistema.
Entretanto, exibe erro estacionario, ou residual, na resposta aodegrau.
Na pratica consiste em modificar o ponto de operacao de umsistema sem modificar o lugar das razes.
Na resposta em frequencia, permite modificar as margens de ganhoe de fase.
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
A acao de controle de um controlador proporcional-derivativo edefinida por:
u(t) = Kpe(t) +KpTd de(t)dt
A funcao de transferencia do controlador e:
U(s) = Kp(1 +Tds)E(s)onde Td e chamado de tempo derivativo.
Acoes de controle
Controlador proporcional-derivativo:
Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 (R1C1s + 1)
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
A funcao de transferencia do termo derivativo e, na realidade,
Gd(s) = KpTdsds + 1
Mas, usualmente, d e muito menor que as constantes de tempodo proprio processo e, em consequencia, pode ser desprezada.
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
O controle PD e, em sua essencia, um controle antecipatorio.
O controle PD mede a inclinacao instantanea de e(t), preve osobrevalor de um tempo adianta e realiza uma acao corretivaapropriada antes da ocorrencia de um sobrevalor excessivo.
O controle derivativo somente afetara o erro de regime estacionariode um sistema se este variar com o tempo, o que geralmente naoacontece quando a entrada e um degrau.
A desvantagem pratica do controlador PD e que sua partederivativa e um filtro passa-alta, o que, usualmente, acentuaqualquer rudo de alta frequencia.
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
O controle PD pode afetar o desempenho de um sistema decontrole das seguintes formas:
Aumentando o amortecimento e reduzindo o sobressinalmaximo;
Reduzindo o tempo de subida e o tempo de assentamento;
Aumentando a banda passante;
Melhorando as margens de ganho e de fase e o pico deressonancia;
Possivelmente acentuando o rudo associado a frequenciasmais altas.
Acoes de controle
Exemplo:
Considere o sistema de realimentacao negativa unitaria cuja funcaode transferencia de ramo direto e:
G(s) = 4500Ks(s + 361,2)
Deseja-se projetar um controlador PD para que as seguintesespecificacoes sejam atendidas:
Erro de regime estacionario devido a` entrada em rampaunitaria 0,000443Sobressinal maximo 5%Tempo de subida tr 0,005 sTempo de assentamento ts 0,005 s
Acoes de controle
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Acoes de controle
Controle proporcional-derivativo:
A acao de controle derivativo responde a` taxa de variacao do erro,de forma a prever o erro atuante e iniciar uma acao corretivaantecipada.
Ela tende a aumentar a estabilidade do sistema.
Nao afeta diretamente o erro estacionario, mas aumenta oamortecimento permitindo maior ganho, o que resulta em maiorprecisao em regime permanente.
Funciona na pratica como um compensador por avanco de fase.
Acoes de controle
Controle proporcional-integral:
A acao de controle de um controlador proporcional-integral edefinida por:
u(t) = Kpe(t) + KpTi
t0
e()dA funcao de transferencia do controlador e:
U(s) = Kp (1 + 1Ti s
)E(s)onde Ti e chamado de tempo integrativo.
Acoes de controle
Controle proporcional-integral:
Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 R2C2s + 1R2C2s
Acoes de controle
Controle proporcional-integral:
A adicao de um polo em s = 0 a` funcao de transferencia de ramodireto significa que o tipo de sistema e aumentando em um nvel,de modo que o erro de regime estacionario do sistema original emelhorado em uma ordem.
Entretanto, como o sistema passa a ser de uma ordem superior,ele pode ser menos estavel do que o sistema original, oumesmo se tornar instavel.
O controlador PI e, essencialmente, um filtro passa-baixa, de formaque o sistema compensado geralmente apresenta um tempo desubida maior e um tempo de assentamento maior.
Acoes de controle
Controle proporcional-integral:
O controle PI pode afetar o desempenho de um sistema decontrole das seguintes formas:
Melhora o amortecimento e reduz o sobrevalor maximo;
Aumenta o tempo de subida;
Diminui a banda passante;
Melhora as margens de ganho e de fase e o pico deressonancia;
Filtra os rudos de alta frequencia.
Acoes de controle
Exemplo:
Considere o sistema de realimentacao negativa unitaria cuja funcaode transferencia de ramo direto e:
G(s) = 4500Ks(s + 361,2)
Deseja-se projetar um controlador PI para que as seguintesespecificacoes sejam atendidas:
Erro de regime estacionario devido a` entrada parabolica 0,2Sobressinal maximo 5%Tempo de subida tr 0,01 sTempo de assentamento ts 0,02 s
Acoes de controle
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Acoes de controle
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Acoes de controle
Controle proporcional-integral:
O sinal de controle (sada do controlador) em qualquer instante e aarea sob a curva do sinal de erro atuante
Remove o erro estacionario, mas pode levar a uma respostaoscilatoria que aumenta ou diminui com o tempo.
Funciona na pratica como um compensador por atraso de fase.
Acoes de controle
Controle proporcional-integral-derivativo:
A acao de controle proporcional-integral-derivativo (PID) edefinida por:
u(t) = Kpe(t) + KpTi
t0
e()d +KpTd de(t)dt
A funcao de transferencia do controlador e:
U(s) = Kp (1 + 1Ti s
+Tds)E(s)onde Kp e o ganho proporcional, Ti e o tempo integrativo e Td e otempo derivativo.
Acoes de controle
Controlador proporcional-integral-derivativo:
Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 (R1C1s + 1)(R2C2s + 1)R2C2s
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
O processo de selecionar parametros do controlador que garantamdada especificacao de desempenho e conhecida como sintonia docontrolador.
As regras de Ziegler-Nichols sao uteis quando os modelosmatematicos da planta sao desconhecidos.
Elas sugerem um conjunto de valores de Kp, Ti e Td que vaoproporcionar uma operacao estavel do sistema.
Caso o sistema resultante apresente um sobressinal maximo grandena resposta do degrau, e preciso fazer uma series de sintonias finaspara que um resultado aceitavel seja obtido.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
As regras de sintonia de Ziegler-Nichols fornecem estimativas dosvalores dos parametros e proporcionam um ponto de partida nasintonia fina, e nao os valores definitivos de Kp, Ti e Td logo naprimeira tentativa.
Primeiro metodo:
No primeiro metodo, obtemos experimentalmente a resposta daplanta a uma entrada em degrau unitario.
Esse metodo se aplica se a curva de resposta ao degrau de entradativer o aspecto de um S.
Isso geralmente acontece quando a planta nao possui integradoresou polos complexos conjugados dominantes.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Primeiro metodo:
A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duasconstantes, o atraso L e a constante de tempo T.
As constantes sao determinadas desenhando-se uma linha tangenteno ponto de inflexao da curva com o formato em S edeterminando-se a interseccao dessa linha com o eixo das abscissase a linha c(t) = K .A funcao de transferencia do sistema pode ser aproximada por umsistema de primeira ordem com atraso de transporte:
C(s)U(s) = KeLsTs + 1
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Primeiro metodo:
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Primeiro metodo:
Os valores de Kp, Ti e Td sao escolhidos conforme a tabela abaixo.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
Projete um controlador PID para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:
G(s) = 1(s + 1)3
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
O atraso L e aproximadamente igual a 0,806 e a constante detempo T e aproximadamente igual a 3,6942.
Dessa forma, analisando a ultima linha da tabela com osparametros do controlador PID, obtemos:
Kp = 5,50Ti = 1,61Td = 0,403
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Segundo metodo:
Usando somente a acao de controle proporcional, aumente Kp de 0ao valor crtico Kcr no qual a sada exibe uma oscilacao sustentadapela primeira vez.
Se a sada nao exibe uma oscilacao sustentada para qualquer valorque Kp pode assumir, esse metodo nao se aplica.
O ganho Kcr e o perodo Pcr sao determinados experimentalmente.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Segundo metodo:
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Segundo metodo:
Os valores de Kp, Ti e Td sao escolhidos conforme a tabela abaixo.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
Projete um controlador PID para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:
G(s) = 1s(s + 1)(s + 5)
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
O metodo de Ziegler-Nichols fornece o controlador:
Gc(s) = 6,3223(s + 1,4235)2s
Alterando a posicao dos zeros para s = 0,65:Gc(s) = 13,846(s + 0,65)2
s
Aumentando o ganho proporcional para Kp = 39,42:Gc(s) = 30,322(s + 0,65)2
s
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
Considerando um controlador PID na forma:
Gc(s) = K (s + a)(s + b)s
Projete um controlador PID para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:
G(s) = 1s2 + 1
de modo que os polos dominantes de malha fechada estejamlocalizados em s = 1 j3. Considere a = 1.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Exemplo:
A funcao de transferencia do controlador e:
Gc(s) = 2,3333(s + 1)(s + 0,5714)s
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Metodos de sintonia analtica
Quando o modelo matematico do sistema e conhecido, metodos desintonia analtica de controladores PID podem ser utilizados.
Considere um sistema de realimentacao negativa unitaria comfuncao de transferencia Gp(s).Com o controlador PID, Gc(s) em serie com a planta, a funcao detransferencia do sistema e:
GO(s) = Gp(s)Gc(s)1 +Gp(s)Gc(s)
Metodos de sntese direta
Assim, podemos resolver a equacao para Gc(s):Gc(s) = 1
Gp(s) G0(s)1 G0(s)Se a funcao de transferencia de malha aberta do sistema econhecida e a funcao de transferencia de malha fechada eespecificada, e facil determinar Gc(s).O problema aqui e encontrar formas de especificar a funcao detransferencia de malha fechada G0(s) baseadas nas especificacoesdo sistema.
Metodos de sntese direta
Metodo de sintonia :
O metodo de sintonia foi desenvolvido para processos com umgrande tempo morto.
Considere a planta com a seguinte funcao de transferencia:
Gp(s) = Kp1 + sT esL
A funcao de transferencia de malha fechada e especificada como:
G0(s) = esL1 + sT
Metodos de sntese direta
Metodo de sintonia :
e um parametro de sintonia.
Quando = 1, as constantes de tempo de malha aberta emalha fechada sao iguais;
Quando < 1, o sistema de malha fechada e mais rapido doque o sistema de malha aberta;
Quando > 1, o sistema de malha fechada e mais lento doque o sistema de malha aberta.
Metodos de sntese direta
Metodo de sintonia :
A funcao de transferencia do controlador e entao:
Gc(s) = 1 + sTKp(1 + sT esL)
A relacao entre a entrada e a sada do controlador pode serdescrita como:
U(s) = 1Kp
(1 + 1sT
)E(s) 1sT
(1 esL)U(s)
Metodos de sntese direta
Metodo de sintonia :
O termo1
Kp(1 + 1
sT)E(s)
Representa um controlador PI, enquanto o termo
1
sT(1 esL)U(s)
Pode ser interpretado como uma previsao da sada do processobaseado nos valores do sinal de controle no intervalo de tempo[t T , t].O controlador nesse caso e chamado de controlador PI preditivo(PPI).
Metodos de sntese direta
Exemplo:
Considere a funcao de transferencia da planta
Gp(s) = 52s + 1es
Projete um controlador PID para que a funcao de transferencia demalha fechada seja
Go(s) = es1 + 2s
Metodos de sntese direta
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
= 1 = 0.5 = 2
Metodos de sntese direta
Para a mesma funcao de transferencia de malha fechada Go(s),podem ainda ser consideradas outras funcoes de transferencia demalha aberta.
Para uma funcao de transferencia de segunda ordem com tempomorto
Gp(s) = KesL(T1s + 1)(T2s + 1)O controlador PID e
Gc(s) = 1K
T1 +T2Tc + L (1 + 1(T1 +T2)s + T1T2T1 +T2 s)
Metodos de sntese direta
Exemplo:
Considere a funcao de transferencia de malha aberta
Gp(s) = 0.9es(10s + 1)(5s + 1)Considere o projeto de um controlador PID considerando comoconstante de tempo de malha fechada Tc = 1,3 e 10.A funcao de transferencia do controlador PID e:
Gc(s) = 503Tc + 3 (1 + 115s + 10s3 )
Metodos de sntese direta
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Modificacoes do controlador PID
Controlador PI-D:
Modificacoes do controlador PID
Controlador I-PD:
Controladores PID digitais
Os controladores PID digitais sao versoes digitalizadas doscontroladores PID projetados para sistemas de tempo contnuo.
Considerando o controle de um sistema de tempo contnuo,projeta-se o controlador PID usando os metodos convencionais ediscretiza-se o controlador segundo uma das formas apresentadas aseguir.
Gc(s) = Kp +KpTds + KpTi s
= Kp +Kds + Kis
A componente proporcional Kp e implementada digitalmente porum ganho constante Kp. Como o computador ou processadordigital possui um comprimento de palavra finito, a constante Kpnao pode ser realizada com resolucao infinita.
Controladores PID digitais
A derivada temporal de uma funcao pode ser aproximada pelaregra da diferenca realimentada:
de(t)dt
t=kT = 1T [e(kT ) e((k 1)T )]
Para se obter a funcao de transferencia no domnio z , aplica-se aTransformada Z a ambos os lados da equacao.
GD(z) = Kd z 1Tz
onde Kd e a constante de proporcionalidade do controladorderivativo.
O valor de T deve ser suficientemente pequeno para que aaproximacao digital seja adequadamente precisa.
Controladores PID digitais
Existem diversas regras de integracao numerica que podem serutilizadas para aproximar digitalmente o controlador integral.
Os tres metodos basicos de aproximacao numerica da area sobuma funcao sao:
Integracao trapezoidal
Integracao retangular direta
Integracao retangular reversa
Controladores PID digitais
Integracao trapezoidal:
A regra de integracao trapezoidal aproxima a area sob a curva dafuncao f (t) por uma serie de trapezios. Seja a integral de f (t)calculada em t = kT designada como u(kT ):
u(kT ) = u[(k 1)T ] + T2[f (kT ) f ((k 1)T )]
Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:
GI (z) = KiT (z + 1)2(z 1)
onde Ki e a constante de proporcionalidade do controlador integral.
Modificacoes do controlador PID
Integracao trapezoidal:
Controladores PID digitais
Integracao retangular direta:
A regra de integracao retangular direta aproxima a area sob acurva da funcao f (t) por uma serie de retangulos. Seja a integralde f (t) calculada em t = kT designada como u(kT ):
u(kT ) = u[(k 1)T ] +T f (kT )Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:
GI (z) = KiTzz 1
onde Ki e a constante de proporcionalidade do controlador integral.
Modificacoes do controlador PID
Integracao retangular direta:
Controladores PID digitais
Integracao retangular reversa:
A regra de integracao retangular reversa aproxima a area sob acurva da funcao f (t) por uma serie de retangulos. Seja a integralde f (t) calculada em t = kT designada como u(kT ):
u(kT ) = u[(k 1)T ] +T f ((k 1)T )Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:
GI (z) = KiTz 1
onde Ki e a constante de proporcionalidade do controlador integral.
Modificacoes do controlador PID
Integracao retangular reversa:
Controladores PID digitais
Combinando-se as operacoes proporcional, derivativa e integraldescritas anteriormente, o controlador PID digital e modeladopelas seguintes funcoes de transferencia:
Integracao trapezoidal:
Gc(z) = (Kp + TKi2 + KdT ) z2 + (TKi2 Kp 2KdT ) z + KdTz(z 1)
Integracao retangular direta:
Gc(z) = (Kp + KdT +TKi) z2 (Kp + 2KdT ) z + KdTz(z 1)
Controladores PID digitais
Integracao retangular reversa:
Gc(z) = (Kp + KdT ) z2 + (TKi Kp 2KdT ) z + KdTz(z 1)
Quando Ki = 0, a funcao de transferencia do controlador PDdigital e:
Gc(z) = (Kp + KdT ) z KdTz
Uma vez determinada a funcao de transferencia de um controladordigital, o controlador pode ser implementado por meio de umprocessador ou computador digital.
Controladores PID digitais
Exemplo:
Projete um controlador PID digital para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:
G(s) = 1(s + 1)3Considere T = 0,1 segundo.
Controladores PID digitais
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Ampl
itude
Controladores PID digitais
Primeiro metodo:
Os valores de Kp, Ti e Td sao escolhidos conforme a tabela abaixo.
Controladores PID digitais
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Controladores PID digitais
Exemplo:
Projete um controlador PID digital para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:
G(s) = 1s(s + 1)(s + 5)
Considere T = 0,1 segundo.
Controladores PID digitais
Segundo metodo:
Os valores de Kp, Ti e Td sao escolhidos conforme a tabela abaixo.
Controladores PID digitais
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
IntroduoAes de controleControle proporcionalControle proporcional-derivativoControle proporcional-integral
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PIDMtodos de sntese diretaModificaes do controlador PIDControladores PID digitais
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