Critérios de falha
PROF. ALEXANDRE A. CURY
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL
• A avaliação das tensões e deformações sempre é feita em função de certas propriedades do material.
• Entretanto, não basta apenas calcular essas grandezas. Precisamos confrontar os valores encontrados comlimites pré-estabelecidos para verificar o estado em que o material se encontra, após as solicitações quevenha a sofrer.
• Em outras palavras, é necessário identificar os valores de tensão e deformação que levarão o material afalhar (romper ou escoar, por exemplo).
• A questão, portanto, é: COMO estabelecer um critério de falha para um determinado material?
• Não existe uma resposta única para esta questão. Por isso, diversos critérios estão descritos na literaturae, para cada tipo de material, um critério pode ser considerado mais adequado que outros.
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2RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Critérios de falha
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Para o caso de um elemento estrutural sujeito a um estado uniaxial de tensões, a condição para que elenão falhe, é simples:
falha de tensãouma indica onde , rrx
Mas, e para um caso de solicitação mais geral e/ou complexa, como a mostrada abaixo?
Tensões PrincipaisE. Plano de Tensões
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Portanto, quando o elemento estrutural está submetido a um estado multiaxial de tensões já não é tãosimples assim!
Nesses casos, é necessário considerar o mecanismo real de falha, ou seja, é necessário identificar qualcombinação de todas as componentes de tensão presentes no elemento estrutural (tração, compressão,cisalhamento) levará o material a falhar.
Assim, quatro teorias de falha serão estudadas neste curso, levando-se em consideração ascaracterísticas do material.
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Materiais Frágeis
• Um material é considerado frágil quando rompe, à tração (ou compressão), ainda na fase elástica (sem “aviso prévio”).
• Em outras palavras, a falha se dá por ruptura, sem que haja escoamento.
• Exemplos: concreto simples, fibra de carbono, ferro fundido, vidro, porcelana, tijolo cerâmico, etc.
Gráfico “Tensão x Deformação” típico de um material frágil(ausência de patamar de escoamento)
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Materiais Frágeis
1) Critério da Máxima Tensão Normal (Teoria de Rankine ou Teoria de Coulomb):
• Ocorre quando a tensão principal máxima no material atinge a tensão normal máxima que o materialpode suportar em um teste de tração uniaxial.
• Esta teoria também admite que falhas em compressão ocorram na mesma tensão máxima que as falhasem tração.
r
r
3
1 Graficamente
Sendo a tensão de ruptura do material em um teste de tração uniaxial.
r
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Materiais Frágeis
2) Critério de Falha de Mohr (ou Mohr-Coulomb):
• A principal limitação do critério anterior é considerar que as resistências à tração e à compressão de ummaterial são iguais.
• O presente critério separa essas duas situações. Para tanto, são realizados ensaios de tração ecompressão uniaxiais.
Graficamente
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Materiais Frágeis
2) Critério de Falha de Mohr (ou Mohr-Coulomb):
• Pode-se, ainda, considerar um terceiro ensaio: o de torção.
• Neste caso, um terceiro círculo é construído e uma envoltória é traçada:
131 =−rcrt
131 =−rcrt
Graficamente
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Materiais Dúcteis
• Um material é considerado dúctil quando suporta grandes deformações antes de romper.
• Em outras palavras, a falha se dá por escoamento, após a ocorrência de deformações plásticas (irreversíveis).
• Exemplos: aço, cobre, ouro, etc.
Gráfico “Tensão x Deformação” típico de um material dúctil(presença de patamar de escoamento)
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Materiais Dúcteis
3) Critério de Falha de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante):
• Vimos no curso que, quando um elemento estrutural é ensaiado à tração (uniaxial), a tensão cisalhantemáxima ocorre a 45o em relação ao eixo axial (longitudinal) do elemento.
• Vimos, ainda, que o valor desta tensão cisalhante máxima é a metade da máxima tensão normal.
• Assim sendo, considerando que o material dúctil “falha” quando ocorre o escoamento, a máxima tensãocisalhante pode ser escrita como:
• O critério de Tresca se enuncia como: “Um elemento estrutural (dúctil) irá falhar se a tensão cisalhante máximaultrapassar a máxima tensão cisalhante obtida em um ensaio de tração uniaxial realizado no mesmo material”.
material do escoamento de tensãoa representa onde ,2
max ee
=
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Materiais Dúcteis
3) Critério de Falha de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante):
Vimos que a máxima tensão tangencial em um ponto pode ser calculada como:
2
31
max
−=
Assim, o critério de Tresca pode ser descrito como:
22
31
maxe
−
= e − 31
OBS: Equação válida se possuírem sinais contrários.
31 e
Caso possuam mesmo sinal, as máximas tensões cisalhantes serão dadas por: 31 e e
e
3
1 e
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Materiais Dúcteis
3) Critério de Falha de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante):
A representação gráfica do critério de Tresca é mostrada abaixo:
Hexágono de Tresca
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Materiais Dúcteis
3) Critério de Falha de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante):
Para o estado plano de tensões, podemos reescrever o critério de Tresca como:
exyyyxxe +−=− 22
31 4)(
ou simplesmente: exyyyxx +− 22 4)(
Para os casos em que a equação se simplifica para: ,0=yyexyxx + 22 4
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Materiais Dúcteis
4) Critério de Falha de von Mises (Máxima Energia de Distorção):
• Embora o critério de Tresca forneça uma hipótese razoável para o escoamento em materiais dúcteis, a teoria de vonMises se correlaciona melhor com os dados experimentais e, desse modo, é geralmente mais utilizada.
• Nessa teoria, são considerados conceitos de energia de distorção de um dado elemento, isto é, a energia associada amudanças na forma do elemento e não do volume do mesmo.
• O critério de von Mises se enuncia como: “Um elemento estrutural (dúctil) irá falhar se a energia associada à mudançade forma de um corpo, submetido a um carregamento multiaxial, ultrapassar a energia de distorção de um corpo deprova submetido a um ensaio uniaxial de tração”.
Tensor desviador (forma)
Tensor hidrostático (volume)
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Critérios de falhaAntes de desenvolvermos o critério de von Mises, é importante tratarmos do conceito de Energia de Deformação.
malinfinitesi trabalho→= dxPdU
Seja uma barra uniforme submetida a uma força que cresce lenta e gradualmente.
O trabalho infinitesimal realizado pela força P à medida que a barra se alonga de umpequeno valor dx é dado por:
Este trabalho é igual ao elemento de área de largura dx sob o gráfico “força-deslocamento”.
O trabalho total realizado pela força até o deslocamento final x1, é dado por:
=1
0
x
dxPU
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Critérios de falhaNo caso de uma deformação linear elástica, como a mostrada na figura abaixo, temos a seguinte situação:
Pela Lei de Hooke, P = kx.
Assim, o trabalho total é dado por:
Percebe-se, portanto, que a energia de deformação acumulada pela mola éequivalente à metade do trabalho realizado pela força P.
Esta constatação é o enunciado do Teorema de Clayperon:
“Quando uma carga cresce progressivamente de zero até oseu valor final, o trabalho de deformação, em regime elásticolinear, é a metade do que seria realizado se a carga agissedesde o início com o seu valor final atual”
11212
121
0
1
xPkxdxkxU
x
===
Energia Potencial Elástica
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Critérios de falhaPara eliminar os efeitos do tamanho da estrutura, vamos dividir ambos os termos da expressão abaixo pelo seu volume:
=1
0
x
L
dx
A
P
V
U=
1
0
x
dxPU =1
0
xx du Densidade de Energia de Deformação
Graficamente,
Observações:
• A densidade total de energia a tensão resultante da deformação éigual à área sob a curva de 1.
• Quando o material é descarregado, a tensão retorna a zero, mas háuma deformação permanente. Apenas a energia relativa à áreatriangular é recuperada.
• O restante da energia é dissipada como calor.
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Critérios de falhaObservações:
• A densidade de energia de deformação resultante da configuração 1 = r
é chamada de módulo de tenacidade:
• A energia por unidade de volume necessária para causar o material àruptura está relacionada à sua ductilidade;
• Se a tensão estiver dentro do limite de escoamento, temos:
2
2
1
00
11
E
dEdu xxxx === ou2
1=u ou
Eu
2
2
1=
A densidade de energia de deformação resultante da configuração 1 = e éo módulo de resiliência:
Eu e
e2
2=
Eu r
r2
2=
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Critérios de falha
Considerando-se que:
A partir das expressões obtidas anteriormente, é possível calcular a Energia de Deformação para diferentes condiçõesde carregamento.
Carregamento Axial: APx =Sendo a tensão normal dada por:
A Energia de Deformação Total é calculada como: = dVE
U x
2
2
dxAdV =
Substituindo-se apropriadamente, chegamos a:
=L
dxAE
PU
0
2
2
Para uma barra de seção transversal constante (ao lado), tem-se:
AE
LPU
2
2
=
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Critérios de falhaA partir das expressões obtidas anteriormente, é possível calcular a Energia de Deformação para diferentes condiçõesde carregamento.
Flexão: Sendo a tensão normal dada por:
e considerando novamente , vem:dxAdV =
I
yMx =
dxdAEI
yMdV
EI
yMdV
EU
L
A
x
===0
2
22
2
222
222
dxEI
MdxdAy
EI
MU
LL
A
=
=
0
2
0
2
2
2
22
Reorganizando as variáveis, vem:
Para o caso de uma viga engasta-livre, com uma carga concentrada, tem-se:
EI
LPU
6
32
=
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Critérios de falhaA partir das expressões obtidas anteriormente, é possível calcular a Energia de Deformação para diferentes condiçõesde carregamento.
Cisalhamento puro:Para um material submetido a tensões de cisalhamento puro, tem-se:
Para valores de xy dentro do limite proporcional, vem:
=
xy
xyxy du
0
GGu
xyxyxyxy
2
2
212
21
===
A energia de deformação total é, então:
== dVG
dVuUxy
2
2
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Critérios de falhaA partir das expressões obtidas anteriormente, é possível calcular a Energia de Deformação para diferentes condiçõesde carregamento.
Cisalhamento puro:
== dVGJ
TdV
GU
xy
2
222
22
A tensão cisalhante devida a um momento torsor é dada por:
A energia de deformação total é:
==
L
A
L
A
dxdAGJ
TdxdA
GJ
TU
0
2
2
2
0
2
22
22
J
Txy
=
Considerando , vem:dxAdV =
=L
dxGJ
TU
0
2
2Que se simplifica em:
Para o caso de uma barra circular sujeita a um torsor concentrado, tem-se:
GJ
LTU
2
2
=
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Critérios de falhaAté agora, determinamos a energia de deformação devido à tensões uniaxiais e tensões de cisalhamento puro. Para oscasos de um estado geral de tensão, temos:
( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxu +++++=21
( )
( ) ( ) ( ) material do distorção 6
)1(
material do volumede alteração 6
)21(
2
31
2
32
2
21
2
321
→−+−+−+
=
→++−
=
Eu
Eu
d
v
Considerando-se um material elástico e isotrópico, a densidade de energia de deformação pode ser reescrita emfunção das tensões principais como:
( ) 323121
2
3
2
2
2
1 2)(2
1 ++−++=
Eu
A expressão acima pode ser decomposta em duas: uma representando a alteração do volume do material e outra, adistorção do material:
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Materiais Dúcteis
4) Critério de Falha de von Mises (Máxima Energia de Distorção):
Como visto, a densidade de energia de distorção para um elemento sujeito a um estado triaxial de tensões pode serescrita como:
( )( ) ( ) ( ) 2
31
2
32
2
216
1
−+−+−
+=
Eud
Em um ensaio de tração (uniaxial), a densidade de energia de distorção pode ser calculada, fazendo032
1
==
=
e
( ) ( ) 22
3
12
6
1eetração
EEu
+=
+=
Pelo enunciado do critério, temos que: . Assim,traçãod uu
( ) ( ) ( ) 22
31
2
32
2
21 2 e −+−+− E. Triaxial de Tensões
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Materiais Dúcteis
4) Critério de Falha de von Mises (Máxima Energia de Distorção):
Para o estado plano de tensões ( ), podemos reescrever o critério de von Mises como:02 =
22
331
2
1 e +−
Elipse de von Mises
( )2
331
2
13
)1(
+−
+=
Eud e
( ) 2
3
1etração
Eu
+=
Assim,
Graficamente
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Materiais Dúcteis
4) Critério de Falha de von Mises (Máxima Energia de Distorção):
Podemos reescrever a equação anterior em função do estado de tensões:
exyyyxxyyxx +−+ 222 3
Para os casos em que a equação se simplifica para: ,0=yy
exyxx + 22 3
Critérios de falha
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Materiais Dúcteis
Comparativo entre critérios:
Critérios de falha
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Comparativo entre critérios:
Ensaios experimentais realizados commateriais frágeis e dúcteis:
Critérios de falha
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Referências:
Esses slides foram preparados usando como base:
1) Beer, Johnston – Mecânica dos Materiais – 6ª ed.2) Apostila de Resistência dos Materiais I – Prof. Marco André Argenta – UFPR3) Notas de aula do Prof. Elson Toledo
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