Curso de Mecânica Estatística
curso de verão 2012 departamento de física - ufpe
1segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Programa
1. Por que e para que saber Mecânica Estatística.
2. Um pouco sobre Termodinâmica de equilíbrio
• Conceitos básicos.
• Equação de Estado. Exemplos.
• Leis da Termodinâmica. Equações Fundamentais.
• Potenciais Termodinâmicos. Relações de Maxwell.
• Funções Resposta. Estabilidade dos estados de equilíbrio.
3. Alguns conceitos de teoria das probabilidades
4. Os ensembles estatísticos e a função densidade de probabilidades
5. Os ensembles estatísticos clássicos: microcanônico, canônico e grão-canônico
6. Mecânica estatística para sistemas quânticos - o ensemble misto
7. Os sistemas de Férmions e os sistemas de Bósons
2segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Bibliografia e Avaliação
Bibliografia:
Mario José de Oliveira, TERMODINÂMICA, EdUsp, (2005), Cap. 1-6
Complementar:
Callen, Herbert B. Thermodynamics and an Introduction to Themostatistics (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, (1985), capílulos 1-7.
L. E. Reichl, A Modern Course of Statistical Mechanics, 2 Ed. J. Wiley & Sons (1998), capítulo 2, (2.A-2.G)
K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed. J. Wiley & Sons (1987), Capítulo 1.
Avaliação:
Exame com 3 questões (uma delas das listas) + questão bônus.
Duas listas de exercícios:
entregue em 1/2 para 8/2, com 5 questões.entregue em 8/2 para 15/2, com 5 questões.
3segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Por que e para que saber Mecânica Estatística...
★ Entender e justificar a Termodinâmica(*)
Teoria fenomenológica universal para a matéria agregada (macroscópica) em equilíbrio térmico.
É uma decorrência das propriedades de simetria da natureza, i.e. de suas leis de conservação.
Por razões históricas: e.g. a máquina à vapor, seu impacto tecnológico e a teoria de Carnot.
Teoria (fechada e robusta), de larga aplicação em várias escalas espaciais. Pode ser aplicada em vários ramos das ciências e engenharias como máquinas, transições de fase, reações químicas, fenômenos de transporte etc.
(*) Termodinâmica [do grego,Θερµη=therme (calor) + Ὃυvαµιϛ=dynamis (potência)]:
4segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Por que e para que saber Mecânica Estatística...
Os resultados são essenciais para outros campos da física e da química, da biologia e ciência de materiais.
introdução dos conceitos de calor, temperatura e entropia não
presentes em qualquer outra teoria física, clássica ou quântica.
Relaciona o mundo macro com o mundo microscópico.
5segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
A máquina a vapor
Até a invenção da máquina a vapor praticamente só se dispunha de duas máquinas como fonte de energia na Europa: a roda hidráulica e o moinho de vento, que quando muito ofereciam 10 cavalos de energia.
O desenvolvimento da máquina a vapor deu um grande impulso na indústria têxtil que tem sido considerada um exemplo clássico de
Máquina de vapor de Watt, que propiciou o desenvolvimento de motores e máquinas cada vez mais modernas. Localizada no lobby do
Higher Technical School of Industrial Engineering em Madri
6segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
A máquina a vapor
Datas e Fatos Importantes:
1698 - Thomas Newcomen inventa uma máquina para drenar a água acumulada nas minas de carvão. Patenteada em 1705, foi a primeira máquina movida a vapor.
1765 - James Watt aperfeiçoa o modelo de Newcomen. Seu invento deflagra a revolução industrial e serve de base para a mecanização de toda a indústria. George Stephenson revoluciona os transportes com a invenção da locomotiva a vapor.
7segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
A máquina a vapor
Marshall Brain. "HowStuffWorks - Como funcionam os motores a vapor".http://ciencia.hsw.uol.com.br/motor-a-vapor3.htm
8segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Máquina de Carnot
9segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Máquina de Carnot
9segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Máquina de Carnot
9segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832)
Engenheiro militar francês que teve grande papel na descoberta da segunda lei de termodinâmica. Em 1824, escreveu em sua monografia [1]:
“Every one knows that heat can produce motion. That it possesses vast motive power no one can doubt, in these days when steam engine is everywhere so well known. The study of these engines is of great interest, their importance is enormous, their use is continually increasing and they seem destined to produce a great revolution in the civilized world.”
Acreditava que a eficiência da máquina a vapor poderia ajudar a França a ganhar as guerras napoleônicas (1803-1815).
[1] Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance.
10segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Máquinas Térmicas
Eficiência da máquina térmica:
η =trabalho total realizado
calor absorvido=
∆Wtot
∆Q12
Substância física = vapor d’águaGrandezas relevantes:
pressão
temperaturavolume
calor absorvidocalor cedido trabalho realizado
11segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Máquinas Térmicas
Eficiência da máquina térmica:
η =trabalho total realizado
calor absorvido=
∆Wtot
∆Q12
Substância física = vapor d’águaGrandezas relevantes:
pressão
temperaturavolume
calor absorvidocalor cedido trabalho realizado
11segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Termodinâmica
Fundadores da termodinâmica estatística e respectivas escolas:
Sadi Carnot (1796-1832) - École Polytechnique
William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) - Escola de Glasgow
Rudolf Clausius (1822-1888) - Escola de Berlin
James Maxwell (1831-1879) - Escola de Edinburgh
Ludwig Boltzmann (1844-1906) - Escola de Viena
Williard Gibbs (1839-1903) - Escola Gibbsiana
Gustav Zeuner (1828-1907) - Escola de Dresden
Johannes der Walls (1837-1923) - Escola Holandesa
12segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Termodinâmica
Fundadores da termodinâmica estatística e respectivas escolas:
Sadi Carnot (1796-1832) - École Polytechnique
William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) - Escola de Glasgow
Rudolf Clausius (1822-1888) - Escola de Berlin
James Maxwell (1831-1879) - Escola de Edinburgh
Ludwig Boltzmann (1844-1906) - Escola de Viena
Williard Gibbs (1839-1903) - Escola Gibbsiana
Gustav Zeuner (1828-1907) - Escola de Dresden
Johannes der Walls (1837-1923) - Escola Holandesa
12segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Termodinâmica
A termodinâmica é a ciência física que estuda os efeitos da
transferência de calor e/ou realização de trabalho sobre
substâncias materiais e sobre a radiação em regiões do espaço.
Interelaciona o comportamento de grandezas macroscópicas que
descrevem as propriedades físicas da substância ou radiação
quando em equilíbrio. Por exemplo: a pressão, volume e
temperatura de um gás.
13segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Conceitos básicos
Estado termodinâmico:
• comportamento macroscópico que resulta dos processos de interação entre
os graus de liberdade dos componentes microscópicos, quando observado
em escalas de tempo suficientemente longas para que quaisquer efeitos de
coerência tenham sido perdidos ou dissipados.
• caracterizado pelos valores dos parâmetros termodinâmicos (ou variáveis de
estado) necessários para descrever o seu comportamento macroscópico.
Exemplo tradicional: um gás com N moléculas, confinado em um volume V,
sob pressão P e temperatura T.
Variáveis de estado:
• conjunto de parâmetros mensuráveis e definidos experimentalmente que
descrevem o estado macroscópico de um sistema em equilíbrio
termodinâmico. (Pressão, volume e temperatura no caso de um gás)
14segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Conceitos básicos
Equilíbrio Termodinâmico:• Situação que ocorre quando as variáveis de estado não
variam no tempo, i.e. quando observadas em escalas de tempo suficientemente longas para que os efeitos de coerência tenham se dissipado.
Paredes:• Isolantes
Térmicas ou adiabáticas: dispositivo que impede a transferência de energia térmica (calor)Mecânicas: dispositivo que impede a transferência de trabalho mecânico.
• Condutoras ou diatérmicas: permite a transferência de energia térmica e/ou trabalho mecânico, mas impede a transferência de matéria, partículas ou modificação no número de graus de liberdade do sistema.
15segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
extensivas intensivas
VOLUME PRESSÃO
COMPRIMENTO TENSÃO
ÁREA TENSÃO SUPERFICIAL
POLARIZAÇÃO CAMPO ELÉTRICO
MAGNETIZAÇÃO CAMPO MAGNÉTICO
ENTROPIA TEMPERATURA ABSOLUTA
NÚMERO DE PARTÍCULAS POTENCIAL QUÍMICO
Conceitos básicos
Variáveis extensivas e intensivas conjugadas:
Extensivas: quando são proporcionais ao tamanho do sistema, i.e. ao volume, área, comprimento, número de partículas ou graus de liberdade, etc
Intensivas: quando são independentes do tamanho.
16segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado
Relacoes matematicas funcionais entre as variaveis de estado de um sistema emequilıbrio. Em geral, as equacoes de estado permitem deixar apenas 2 ou 3variaveis livres ou independentes, as quais sao acessıveis experimentalmente.
Por exemplo: para um gas a equacao de estado tem a forma
f(P, V, T, N) = 0
que reduz o numero de variaveis independentes de 4 para 3.
17segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Exemplos tradicionais:
Gas IdealP V = nRT
P e a pressao em Pascals,V e o volume em m3.
n= numero de moles,
R=8.314 J/mol K
Outra forma comum e escrever
P V = N kB T
N e o numero de moleculas,
kB = R/NA = 1.38× 10−23 JK−1 (no S.I.) e a constante de Boltzmann e
NA � 6.022× 1023 mol−1 e o numero de Avogadro.
18segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas Imperfeito
P V = nRT�1 +B2(T )
� n
V
�+B3(T )
� n
V
�2+ . . .
�
� �� �expansao em (n/V )
Bi(T ) sao ditos coeficientes viriais. Dependem apenas da temperatura e podemser calculados em termos do potencial inter-partıcula.
• No gas ideal classico Bi(T ) = 0, ∀ i ≥ 2.• No gas ideal quantico Bi(T ) �= 0, ∀ i ≥ 2, porem devido aos efeitos
quanticos.
19segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas Imperfeito
P V = nRT�1 +B2(T )
� n
V
�+B3(T )
� n
V
�2+ . . .
�
� �� �expansao em (n/V )
Bi(T ) sao ditos coeficientes viriais. Dependem apenas da temperatura e podemser calculados em termos do potencial inter-partıcula.
• No gas ideal classico Bi(T ) = 0, ∀ i ≥ 2.• No gas ideal quantico Bi(T ) �= 0, ∀ i ≥ 2, porem devido aos efeitos
quanticos.
19segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas Imperfeito
P V = nRT�1 +B2(T )
� n
V
�+B3(T )
� n
V
�2+ . . .
�
� �� �expansao em (n/V )
Bi(T ) sao ditos coeficientes viriais. Dependem apenas da temperatura e podemser calculados em termos do potencial inter-partıcula.
• No gas ideal classico Bi(T ) = 0, ∀ i ≥ 2.• No gas ideal quantico Bi(T ) �= 0, ∀ i ≥ 2, porem devido aos efeitos
quanticos.
19segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas de van der Waals
�P + a
� n
V
�2��V − b n
�= nRT
• a = constante em unidades apropriadas.• b = volume ocupado por uma molecula.• Tem importancia historica e descreve a transicao lıquido-gas.
20segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas de van der Waals
�P + a
� n
V
�2��V − b n
�= nRT
descreve um decrescimo na pressaodevido a parte atrativa do potencial.
• a = constante em unidades apropriadas.• b = volume ocupado por uma molecula.• Tem importancia historica e descreve a transicao lıquido-gas.
20segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas de van der Waals
�P + a
� n
V
�2��V − b n
�= nRT
descreve um decrescimo na pressaodevido a parte atrativa do potencial.
indica o volume fısicoocupado pelas moleculas
• a = constante em unidades apropriadas.• b = volume ocupado por uma molecula.• Tem importancia historica e descreve a transicao lıquido-gas.
20segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Gas de van der Waals
�P + a
� n
V
�2��V − b n
�= nRT
descreve um decrescimo na pressaodevido a parte atrativa do potencial.
indica o volume fısicoocupado pelas moleculas
• a = constante em unidades apropriadas.• b = volume ocupado por uma molecula.• Tem importancia historica e descreve a transicao lıquido-gas.
Tc
T � Tc
T � Tc
Equação de estado de van derWaals
1 2 3 4 5Volume
�2
�1
0
1
2
3Pressão
20segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar −1
ν
∂ν
∂P
���T
= compressibilidade isotermica
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar
1
ν
∂ν
∂T
���P= coeficiente de expansao termica
−1
ν
∂ν
∂P
���T
= compressibilidade isotermica
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar
1
ν
∂ν
∂T
���P= coeficiente de expansao termica
−1
ν
∂ν
∂P
���T
= compressibilidade isotermica
Fio elastico ou varreta:
TL = A(T )(L− L0) (Lei de Hooke no limite elastico)
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar
1
ν
∂ν
∂T
���P= coeficiente de expansao termica
−1
ν
∂ν
∂P
���T
= compressibilidade isotermica
Fio elastico ou varreta:
TL = A(T )(L− L0) (Lei de Hooke no limite elastico)
= A0 +A1 T +A2 T 2 + . . . ,coeficiente dependente da temperatura.
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )
volume molar
1
ν
∂ν
∂T
���P= coeficiente de expansao termica
−1
ν
∂ν
∂P
���T
= compressibilidade isotermica
Fio elastico ou varreta:
TL = A(T )(L− L0) (Lei de Hooke no limite elastico)
= A0 +A1 T +A2 T 2 + . . . ,coeficiente dependente da temperatura.
• Em geral, A1 �= 0 e pode ser positivo ou negativo.• L0 e o comprimento natural na ausencia de tensao.
21segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
Substancia Paramagnetica
�M =nD
T
�H
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
Substancia Paramagnetica
�M =nD
T
�H
magnetizacao
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
Substancia Paramagnetica
�M =nD
T
�H
magnetizacao
numero de moles
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
Substancia Paramagnetica
�M =nD
T
�H
magnetizacaocampo �H = �B/µ
numero de moles
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Equações de Estado - exemplos
Substancia dieletrica
�P =�a+
b
T
��E
Polarizacao eletrica
Temperaturas nao muito baixas
Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.
Substancia Paramagnetica
�M =nD
T
�H
magnetizacaocampo �H = �B/µ
numero de moles
Temperaturas nao muito baixas
22segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Funcoes resposta
Grandezas experimentalmente acessıveis que medem a variacao de um parametroprovocada pela variacao controlada de outro parametro, com os demais manti-dos fixos.
Exemplos:
• Capacidades calorıficas (a pressao ou volume constante)• Susceptibilidades isotermica e adiabatica.• Compressibilidade isotermica e adiabatica.• Expansividade termica, etc.
Funções Resposta
23segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Funcoes resposta
Grandezas experimentalmente acessıveis que medem a variacao de um parametroprovocada pela variacao controlada de outro parametro, com os demais manti-dos fixos.
Exemplos:
• Capacidades calorıficas (a pressao ou volume constante)• Susceptibilidades isotermica e adiabatica.• Compressibilidade isotermica e adiabatica.• Expansividade termica, etc.
CV,P =dQ
dT
���V,P
Funções Resposta
23segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Funcoes resposta
Grandezas experimentalmente acessıveis que medem a variacao de um parametroprovocada pela variacao controlada de outro parametro, com os demais manti-dos fixos.
Exemplos:
• Capacidades calorıficas (a pressao ou volume constante)• Susceptibilidades isotermica e adiabatica.• Compressibilidade isotermica e adiabatica.• Expansividade termica, etc.
CV,P =dQ
dT
���V,P
Funções Resposta
κT,S = −∂V
∂P
���T,S
23segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Funcoes resposta
Grandezas experimentalmente acessıveis que medem a variacao de um parametroprovocada pela variacao controlada de outro parametro, com os demais manti-dos fixos.
Exemplos:
• Capacidades calorıficas (a pressao ou volume constante)• Susceptibilidades isotermica e adiabatica.• Compressibilidade isotermica e adiabatica.• Expansividade termica, etc.
CV,P =dQ
dT
���V,P
Funções Resposta
κT,S = −∂V
∂P
���T,S
αP =∂V
∂T
���P
23segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
C
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
CTA = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura.
CTA = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura.
BC
TA = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura.
BC
TA = TC
TB = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
BC
TA = TC
TB = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
BC
TA = TC
TB = TC
TA = TB
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro
sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.
Equilíbrio térmico: sistemas em
contato por paredes condutoras de
calor e à mesma temperatura. A
BC
TA = TC
TB = TC
TA = TB TA = TB = TC
24segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
Lei Zero
Consequências importantes:
• se as paredes permitirem a troca de energia na forma de trabalho e/ou na
forma de energia química (partículas), as outras grandezas intensivas
associadas também serão iguais no equilíbrio. Neste caso, os sistemas
estarão, também, em equilíbrio mecânico e químico, respectivamente, ou
seja em equilíbrio termodinâmico.
• possibilita a introduzir o conceito de termômetro, e caracterizar a
experimentalmente a variável intensiva TEMPERATURA.
• o terceiro sistema (termômetro) pode ser um dispositivo que explicita, por
comparação, a medida da temperatura através de uma grandeza
experimental. Por exemplo, a altura da coluna de mercúrio, a resistência em
um resistor, a pressão em um gás etc.
25segunda-feira, 30 de janeiro de 2012
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