4Derivada

Neste captulo, estudaremos a Derivada e suas aplicaes. Veremos, inicialmente, uma aplicao no contexto geomtrico e outra aplicao no contexto da Fsica. As tcnicas de derivao so apresentadas neste captulo, alm da formalizao de conceitos e propriedades que auxiliaro o desenvolvimento das aplicaes do captulo seguinte.

1.1 A Reta TangenteVamos definir a inclinao de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar a equao da reta tangente curva um ponto dado.As ideias que usaremos foram introduzidas no sculo XVIII por Newton e Leibnitz. Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 4.1. Sejam P(x,, yx) e Q(x2, yj) dois pontos distintos da curva y = f(x).Seja a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o tringulo retngulo PMQ, na Figura 4.1, temos ue a inclinao da reta s (ou coeficiente angular de s) ax,x2 b x

Figura 4.1

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direo a P. Diante disto, a inclinao da ta secante s variar. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinao da secante varia cada vez enos, tendendo para um valor limite constante (ver Figura 4.2).Esse valor limite chamado inclinao da reta tangente curva no ponto P, ou tambm inclinao da curva em P.