Demonstrações do Teorema de Bell
Rodrigo Rodrigues Machado
Orientador: Carlos Eduardo Aguiar
Projeto de Conclusão de Curso
Introdução Teorema de Bell: resultado fundamental para compreensão
e interpretação da mecânica quântica.
Pouco discutido em livros-texto.
Este trabalho: revisão de três demonstrações “didáticas” do teorema de Bell com enfoques diferentes, além da demonstração original de Bell.
Demonstrações “didáticas”: Herbert (AJP, 1975), Kuttner e Rosemblum (TPT, 2010) d’Espagnat (SciAm, 1979) Peres (AJP,1978)
Concepções realista e não-realista
Posição Realista - medidas apenas nos revelam uma informação desconhecida, porém existente.
Teoria Quântica
Faz previsões estatísticas sobre o resultado de uma medida e não sobre algo pré-existente.
“Observações não somente perturbam o que está sendo medido, elas o produzem...”
Pascual Jordan
O paradoxo de EPR EPR argumentavam que a teoria quântica não era
capaz de fornecer uma descrição completa de realidade física.
Elemento de realidade física: Se, sem perturbarmos um sistema, nós pudermos prever com precisão (i.e. com a probabilidade igual a uma unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade física correspondente a esta quantidade física.
O paradoxo de EPR O experimento pensado de EPR
e Temos, por meio destas duas quantidades, que e podem ser
definidos simultaneamente.
O paradoxo de EPR Podemos preparar o sistema de modo que seu estado seja:| |
Medida de revela
Medida de revela
Como uma perturbação não pode se propagar instantaneamente
de 2 para 1, o critério de realidade EPR é satisfeito.
Einstein acreditava que uma teoria completa envolveria variáveis
ocultas, numa situação aproximadamente análoga à da
Termodinâmica e Mecânica Estatística.
O Teorema de Bell Imaginemos um sistema em repouso e com momento angular zero
que em dado instante se divide em duas partículas de spin
Medimos as componentes de spin ao longo das direções e . Podemos encontrar 2 valores spin para cima e spin para baixo .
O Teorema de Bell Chamaremos de o valor do spin da partícula 1 ao longo da direção
e o valor do spin da partícula 2 ao longo da direção - é a variável oculta que determina esses valores.
A localidade está presente no fato de que, devido à separação entre os aparelhos, o valor de não depende de e vice versa.
Podemos construir a média do produto das medições e :, com .
Pela relação , podemos reescrever a fórmula acima.
O Teorema de Bell Podemos utilizar o mesmo raciocínio para outra direção .
Subtraindo de . i.e.
, pois o produto O módulo dessa diferença obedece à desigualdade
O Teorema de Bell Como , e 1, a desigualdade acima reduz-se a
que pode ser reescrita como.
Assim chegamos a uma desigualdade de Bell Podemos agora ver o que a mecânica quântica nos diz a respeito
da desigualdade de Bell.
O Teorema de Bell O valor médio descrito pela mecânica quântica de para 2
partículas de spin no estado singleto é dado por:
Aplicando esse resultado a desigualdade acima nós temos:
Se fizermos e perpendiculares entre si e formando um ângulo de 45º com e ,
, mas,
Assim vemos que a desigualdade foi violada.
Como a desigualdade foi violada, a mecânica quântica se mostra incompatível com a teoria de variáveis ocultas locais
Ou o realismo ou a localidade devem ser abandonados.
O Teorema de Bell
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
• Experimento 1
• Podemos esperar uma similaridade nos resultados encontrados por Alice e Bob.
Experimento 2
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
Por exemplo, uma discrepância de 5% encontrada para um grande número de medidas
Experimento 3
Alice alinha seu polarizador com a vertical enquanto Bob rotaciona de o seu polarizador
A mesma taxa de discrepância, para um grande número de medidas, do experimento 2 é esperada, ou seja, 5%.
Experimento 4
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
O que poderíamos esperar sobre as discrepâncias no experimento 4?
Poderíamos esperar uma incompatibilidade de 10% nas medidas.
Mas esta incompatibilidade não leva em conta que um par de fótons que gerou a incompatibilidade no experimento 2 e 3, gere uma concordância no experimento 4, assim se isto ocorrer, a taxa de discrepância tem de ser menor do que 10%.
Pelo fato de não existir direção preferencial de medida, uma rotação de em sentidos opostos deve ser igual a uma única rotação de de um único só polarizador, digamos que Alice faça isso.
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
Utilizando as ideias acima podemos escrever uma desigualdade de Bell.
A desigualdade de Bell ficaria então:
A taxa de discrepância de uma rotação de é menor ou igual ao dobro da taxa de discrepância da rotação de um único polarizador de um ângulo .
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
Utilizando a Lei de Malus:
Por meio da relação acima:
A desigualdade de Bell fica:
,
para ângulos infinitesimais temos, o que é um resultado absurdo.
Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)
Nesta demonstração utilizaremos partículas de spin , por exemplo prótons.
Representaremos as componentes de spin de um próton nas direções A, B e C por meio de um diagrama de Venn.
Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)
, onde essa é a probabilidade do próton ter componentes de spin e .
Através da figura também podemos ver que: e
Somando com temos:
Como uma probabilidade é sempre maior ou igual a zero, temos que:
Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)
A desigualdade para o par de prótons no estado singleto fica:
O que a mecânica quântica nos diz sobre esta desigualdade?
A probabilidade de uma medida encontrar os spins “para cima” de ambos os prótons na direções e é dada por
Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)
Denotando as direções A, B e C por , , e respectivamente, a desigualdade fica :
Se, por exemplo, etemos:,
que é violada para ângulos pequenos.
Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)
Suponhamos uma bomba que se divida em 2 partes. No processo ocorre a conservação do momento angular.
Dois observadores medem: e
de modo que e só podem assumir os valores .
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978) O valor médio de e , para um grande número de
medidas, tende a zero. Podemos calcular a média do produto das medidas
.Esta média pode diferir de zero. Se, por exemplo, ,
Poderíamos pensar no que teria acontecido caso os observadores tivessem alinhado os seus detectores na direções ’ e ’. Assim, poderíamos construir a seguinte tabela
r() r() r(’) r(’)
+1 -1 ? ?
-1 -1 ? ?
+1 +1 ? ?
: : : :
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)
Partiremos da seguinte igualdade:.
O módulo do valor médio desta expressão fica:
.
Consideremos duas partículas de spin ½ no estado singleto (), de modo que os observadores medem e . Assim:
=
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)
Se fizermos , enquanto e formam um ângulo com
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)
A desigualdade de Bell fica
Fazendo
Assim vemos que para a desigualdade é violada.
Nesta demonstração fizemos suposições sobre o resultado de experimentos que poderiam ter sido feitos, mas não o foram. Ou seja, partimos da ideia que todas as coisas possuem uma realidade – estejam ou não sendo medidas.
Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)
Comentários Finais
John Clauser e posteriormente Alain Aspect
confirmaram experimentalmente que a
desigualdade de Bell era violada da maneira
prevista pela Mecânica Quântica.
Assim, confirmamos que em nosso mundo não
podem coexistir Localidade e Realismo.
Fim
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