Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados

1. Sinais de teste

2. Desempenho de sistemas de segunda ordem

3. Efeitos de um terceiro polo e um zero na resposta de um sistema de segunda

ordem

4. Estimacao do Coeficiente de Amortecimento

5. Localizacao das raızes no plano-s e sua relacao com a resposta transitoria

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Desempenho de Sistemas Realimentados

Analise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle

A resposta temporal de um sistema de controle e dividida em duas partes: a

resposta transitoria, yt(t), e a resposta de regime permanente ou estado

estacionario (“steady-state”), y(∞):

y(t) = yt(t) + y(∞)

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Desempenho de Sistemas Realimentados

Analise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle

B A resposta transitoria e definida como a parte da resposta que tende a zero

quando o tempo tende a infinito:

limt→∞

yt(t) = 0

B A resposta de estado estacionario e a parte da resposta que permanece quando

a resposta transitoria iguala a zero, podendo ser constante ou podendo ser um

sinal que varia no tempo com padrao constante, como um sinal senoidal de

amplitude, frequencia e fase constante, ou um sinal tipo rampa com inclinacao

constante.

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Desempenho de Sistemas Realimentados

Especificacoes de Desempenho ?

B Pode-se incluir varios ındices de resposta temporal para uma entrada de

comando especıfica bem como uma precisao em regime permanente esperado

B Especificacoes concorrentes ? No geral sim...

B O que fazer ? Compromisso entre caracterısticas desejadas que e obtido apos

ajustes sucessivos

B No controle classico: tentativa e erro...

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Sinais de Teste

Impulso Unitario, δ(t)

Propriedades∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1 e

∫ ∞

−∞g(t − τ )δ(τ )dτ = g(t)

Considerando um diagrama de bloco padrao com entrada r(t) = δ(t)

G(s)

g(t)r(t) y(t) =

R t

0g(t − τ )r(τ )dτ

R(s) Y (s) = G(s)R(s)

entao a integral tem um valor apenas em τ = 0 e portanto y(t) = g(t), sendo

g(t) (G(s)) a resposta impulsiva

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Sinais de Teste

Degrau r(t) =

A t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s

Rampa r(t) =

At t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s2

Parabolica r(t) =

At2/2 t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s3

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Desempenho de Sistemas

Resposta Transitoria do Sistema de Primeira Ordem

Considere o sistema de primeira ordem G1(s) = Y (s)R(s)

= ks+a

Para uma entrada tipo impulso unitario, a saıda do sistema e

Y (s) = G1(s)R(s) =k

s + a1 ⇒ y(t) = L−1{Y (s)} = g1(t) = ke−at

Considere p = −a o polo de G1(s)

Importancia da localizacao do polo e especificacao da resposta temporal?

Se p < 0, entao limt→∞ y(t) = 0. Se p = 0, entao y(t) = 1. Se p > 0,

entao limt→∞ y(t) = ∞

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Desempenho de Sistemas

Resposta Transitoria do Sistema de Primeira Ordem

Para uma entrada tipo degrau unitario, a resposta do sistema e

Y (s) = G1(s)R(s) =k

s + a

1

s=

k

s(s + a)=

k/a

s− k/a

s + a

⇒ y(t) = L−1{Y (s)} =k

a(1 − e−at)

Quando p = −a < 0, o valor τ = 1/a e a constante de tempo do sistema e

corresponde a 63% do transitorio, conforme mostrado na figura a seguir

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Desempenho de Sistemas

Resposta Transitoria do Sistema de Primeira Ordem

0

0.25

0.5

0.632

0.75

1

inclinação = 1/τ

63,2%

95,0% 98,2% 99,3%

τ 2τ 3τ 4τ 5τ t

y(t)

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Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

Considere um sistema de segunda ordem

G2(s) =Y (s)

E(s)=

ω2n

s2 + 2ζωns

Quando interconectado com realimentacao unitaria obtem-se

Y (s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

R(s)

m para R(s) = 1/s

Y (s) =ω2

n

s(s2 + 2ζωns + ω2n)

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Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

A resposta temporal (aula 1) e dada por:

y(t) = 1 − e−ζωnt

β(βcos ωnβt + ζsen ωnβt)

= 1 − e−ζωnt

β(sen ωnβt + θ) , θ = cos−1ζ, 0 < ζ < 1

B Sendo β =√

1 − ζ2

• Para entrada impulso unitario (derivada da resposta a entrada degrau...):

Y (s) =ω2

n

(s2 + 2ζωns + ω2n)

e y(t) =ωn

βe−ζωnt (sen ωnβt)

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Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

Para o sistema de 2a. ordem G(s) =ω2

n

s2+2ζωns+ω2n

Os polos do sistema sao dados p1, p2 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2

pólo

σ

X

jω

ω = ω 1 − ζd n

2

α = −ζωn

Plano - S

θ

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Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

O sistema de segunda ordem pode ser classificado de acordo com o valor de ζ que

define o tipo dos polos do sistema:

ζ = 0 ⇒ p1, p2 = ±jωn nao-amortecido

0 < ζ < 1 ⇒ p1, p2 = −ζωn ± jωn

p

1 − ζ2 = α ± jωd subamortecido

ζ = 1 ⇒ p1, p2 = ±ωn criticamente amortecido

ζ > 1 ⇒ p1, p2 = −ζωn ± ωn

p

ζ2 − 1 superamortecido

ζ < 0 ⇒ p1, p2 = −ζωn ± jωn

p

1 − ζ2 instavel (−ζωn > 0)

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Resposta do Sistemas de Segunda Ordem

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ζ = 0 ζ = 0,1

ζ = 2

ζ = 1

ζ = 0,2

ζ = 0,4

ζ = 0,7

ωn t

y(t)

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Especificacoes de Resposta Transitoria

1. tempo de subida tr (“rise time”): e o tempo necessario para a sinal de saıda

variar de 10% a 90% (sistemas sobre-amortecidos) ou de 0% a 100%

(sistemas subamortecidos) do valor final

2. tempo de acomodacao ta (ou“settling time” ts): e o tempo gasto para o

sinal acomodar na faixa de ±2% a ±5%) do valor final

3. sobre-sinal maximo percentual Mp (“overshoot”): diferenca entre o valor

maximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final

4. tempo do primeiro pico tp: instante de tempo em que ocorre o sobre-sinal

maximo do sinal

5. tempo de atraso td (“delay time”): e o tempo para o sinal alcancar 50% do

valor final

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Especificacoes de Resposta Transitoria

0

0.1

0.5

0.90.95

11.05

1.4

y(t)

ts

td

tr

Mp

ess

t

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Especificacoes de Resposta Transitoria

B Veja que se convencionar 2% para tolerancia no tempo de acomodacao, ta, a

envoltoria da resposta e entao limitada por

e−ζωnta < 0.02

ta = 4τ =4

ζωn

c©Reinaldo M. Palharespag.17 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

Especificacoes de Resposta Transitoria

B Mp e tp sao pontos de“maximo”especificados em termos de ζ portanto

basta considerardy(t)

dt= 0 ...

dy(t)

dt=

1

βζωne−ζωnt [βcos(ωnβt) + ζsen(ωnβt)]

+1

ββ2ωnsen(ωnβt)e−ζωnt − 1

βζωnβcos(ωnβt)e−ζωnt

=

(

1

βζ2ωn + βωn

)

e−ζωntsen(ωnβt)

=ζ2ωn + (1 − ζ2)ωn

βe−ζωntsen(ωnβt)

=ωn

βe−ζωntsen(ωnβt)

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Especificacoes de Resposta Transitoria

Entao

dy(t)

dt=

ωn

βe−ζωntsen(ωnβt) = 0

Logo para que dy/dt = 0, sen(ωnβt) = 0... E isto ocorre no tempo de pico...

ωnβtp = π

∴ tp =π

ωn

√1−ζ2

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Especificacoes de Resposta Transitoria

Do mesmo modo, veja que a sobre-elevacao maxima ocorre exatamente no

instante do tempo de pico, tp, logo

Mp = 1 − 1

βe−ζωntp [βcos(ωnβtp) + ζsen(ωnβtp)]

= 1 − 1

βe

−ζωnπ

ωn

√1−ζ2 [βcos(π) + ζsen(π)]

Mp = 1 + e−ζπ/√

1−ζ2

P.O. = 100e−ζπ/√

1−ζ2

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Efeito de um Terceiro Polo e/ou um Zero

Efeito de um Terceiro Polo na Resposta do Sistema de 2a. Ordem

B Por que analisar sistema de 2a. ordem? Pelo fato que muitos sistemas

possuem um par de polos dominantes

B Quando um sistema possui dois polos complexos (oscilacoes sub-amortecidas)

e um polo real (resposta exponencial), a resposta total sera uma combinacao das

duas, predominando aquela que for mais lenta (polos mais proximos da origem)

B Para um sistema de 3a. ordem T (s) =1

(s2 + 2ζs + 1)(γs + 1), ωn = 1

Experimentalmente verifica-se que se |1/γ| ≥ 10 |ζωn| entao o desempenho do

sistema pode ser determinado pelo desempenho de um sistema de 2a. ordem

c©Reinaldo M. Palharespag.21 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

Efeito de um Terceiro Polo - Resposta ao Degrau

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.62º ordem

p3 = −10

p3 = −2

p3 = −1

p3 = −0,5

G(s) =52

(1/p3s + 1)(s2 + 2s + 52)

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Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros

B A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior sera uma combinacao

de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem:

y(t) = A0 +

n1∑

i=1

Aie−σit +

n∑

i=n1+1

Ai

e−αit

√

1 − ζ2i

sen(ωd,it + θi)

O efeito dos zeros da funcao de transferencia sobre a resposta transitoria e que os

mesmos tendem a atenuar o efeito dos polos em suas proximidades, influenciando

os coeficientes Ai

B polos aparentemente dominantes podem ter influencia reduzida na resposta

transitoria devido a presenca de zeros em suas proximidades

c©Reinaldo M. Palharespag.23 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros

Exemplo Este efeito pode ser visto quando se inclui um zero em z = −0.4,

proximo ao polo em p = −0.5 para o sistema considerado anteriormente:

T (s) =52

(1/ps + 1)(s2 + 2s + 52)

A resposta do sistema de terceira ordem pode se obtida como:

y(t) = 1 − 1.03e− t2 + 0.05

e−t

√1 − 0.22

sen(4.899t + 78.46◦)

e, quando incluıdo o zero proximo ao polo real, a resposta torna-se:

y(t) = 1 + 0.26e− t2 − 0.64

e−t

√1 − 0.22

sen(4.899t + 78.46◦)

onde nota-se claramente a mudanca no peso de cada termo

c©Reinaldo M. Palharespag.24 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

3 pólos e 1 zero

2 pólos

3 pólos

t

y(t

)

Efeito de um zero proximo ao polo real comparando as respostas transitorias de um

sistema de segunda ordem com polos em s = −1 ± j4.899, terceira ordem com polo

adicional em s = −0.5 e terceira ordem com zero em s = −0.4

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Estimacao do Coeficiente de Amortecimento

B Meca P.O. e determina-se o valor correspondente do coeficiente de

amortecimento no grafico P.O. versus ζ, ou de

P.O. = 100e−ζπ/√

1−ζ2

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MA

ST

ER

58

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100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Percentovershoot

3.40

3.20

3.00

Damping ratio, z

Perc

ent m

axim

um o

vers

hoot

vnTp

vnTp

5.00

4.80

4.60

4.40

4.20

4.00

3.80

3.60

Figure 5.8 Peak overshoot and normalized peak time versus damping ratio z for a second-order system (Eq. 5.8)

Localizacao das Raızes no Plano-s × Resposta Transitoria

B A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior sera uma combinacao

de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem

Y (s) = G(s)/R(s) =A0

s+

n1∑

i=1

Ai

s + ai

+n

∑

i=n1+1

Aiω2n,i

s2 + 2ζiωn,is + ω2n,i

cuja resposta temporal e dada por

y(t) = A0 +

n1∑

i=1

Aie−σit +

n∑

i=n1+1

Ai

e−αit

√

1 − ζ2i

sen(ωd,it + θi)

B Os polos de G(s) definem o comportamento da resposta transitoria

B Os zeros determinam os pesos relativos de cada modo

c©Reinaldo M. Palharespag.28 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

MA

ST

ER

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t

jv

s

1 1 1

1 1

0

1

0

Figure 5.17 Impulse response for various root locations in the s-plane