ELETRÔNICA DIGITAL
Parte 5Mapas de Karnaugh
Prof. Michael
Mapas de Karnaugh
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1
• “É um método gráfico usado para simplificar umaequação lógica ou para converter uma tabela-verdade no seu circuito lógico correspondente, deuma forma simples e metódica.” Tocci e Widmer;
• Problemas com mais de 4 entradas tornam-sedemasiadamente complicados para serem resolvidos
Mapa de Karnaugh
demasiadamente complicados para serem resolvidosde forma manual, necessitando geralmente dautilização de computadores.
2
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• Resolvendo a expressão obtida databela-verdade, utilizando os teoremasbooleanos, obtém-se:
Mapa de Karnaugh
L = A.B + A.B Aplicando a propriedade distributiva, colocaremos
0
1
0
1 A.B
A.B
3
L = A.B + A.B 13.a
Aplicando a propriedade distributiva, colocaremos em evidência o B
L = B.(A + A) 8
8) X + X = 1Aplicando o teorema 8.
L = B.1 2
Aplicando o teorema 2. 2) X . 1 = X
L = B O Mapa de Karnaugh facilitará a resolução dos problemasbaseados na tabela-verdade através da resolução gráfica
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• Para apresentarmos o Mapa de Karnaugh voltaremos a utilizar a tabela-verdade da questão anterior;
Mapa de Karnaugh
0
1 A.B
O Mapa de Karnaugh para duas variáveis é dado por:
B B
A
4
1
0
1 A.B
A.BA
A
Cada espaço em branco será completado com o seunível lógico equivalente da tabela-verdade, sendo acoordenada dada pela intersecção da coluna e linha.
B
A.B A.B
A.B A.B
B
A
A
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• Iniciaremos preenchendo o Mapa de Karnaugh com todos os 1s, no endereço equivalente;
Mapa de Karnaugh
0
B
1
1
B
AA.B
5
0
1
0
1 A.B
A.B1A
A.B
Preenchendo o restante com 0s
B
0 1
0 1
B
A
A
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• Após o Mapa de Karnaugh ter sido totalmente preenchido,procura-se agrupar os elementos em pares. Para isso, aformação dos pares ocorre por elementos que estejamadjacentes, ao lado, na vertical ou horizontal, não podendoser na diagonal;
• No exercício temos 1 um par formado pelos dois elementosda direita. Como não temos nenhum outro elemento a
Mapa de Karnaugh
da direita. Como não temos nenhum outro elemento asimplificação deste par é o resultado final.
6
B
0 1
0 1
B
A
A
B
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• O sistema com 2 variáveis é o mais simples e não compensa oesforço, pois a sua resposta é quase direta, mas vale aquicomo apresentação do conceito do Mapa de Karnaugh. A suaaplicação fica mais interessante com 3 ou 4 variáveis;
• Algumas combinações de pares possíveis do mapa com duasvariáveis são mostradas abaixo.
Mapa de Karnaugh
7
B
1 0
1 0
B
A
A
B
0 1
0 1
B
A
A
B
1 1
0 0
B
A
A
B
0 0
1 1
B
A
A
B
1 1
1 0
B
A
A
B
0 1
1 1
B
A
AB
A Resp: A + B
B B
A
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Mapa de Karnaugh com 3 variáveis
• Podemos estender o conceito de mapa para o caso de termos 3 variáveis, e assim obtemos a seguinte configuração:
Mapa de Karnaugh
B C BC BC BC
8
A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C
A.B.C A.B.C A.B.C A.B.CA
A
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B• Exemplo 1: A partir da tabela
verdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;
• Inicialmente selecionamostodos os elementos que
Mapa de Karnaugh
A B C L
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
CA
B CA
B CA
B CA
B CA
todos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;
9
1 1 0 0
1 1 1 0
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Mapa de Karnaugh
De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 noMapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0;
B
1 1 1 0A
C BC BC BC
A.C
10
1 1 0 0A
FORMAÇÃO DE GRUPOS: A próxima etapa é a formação de grupos.Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos paragrupos de 2;
B
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B• Exemplo 2: A partir da tabela
verdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;
• Inicialmente selecionamostodos os elementos que
Mapa de Karnaugh
A B C L
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
CA
B CA
B CA
B CAtodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;
11
1 1 0 1
1 1 1 0
B CA
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Mapa de Karnaugh
De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 noMapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0;
B
1 0 0 1A
C BC BC BC
12
1 0 0 1A
FORMAÇÃO DE GRUPOS: A próxima etapa é a formação de grupos.Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos paragrupos de 2;
C
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Mapa de Karnaugh
• Exemplos de grupos de 4 elementos:
1 1 1 1
0 0 0 0
BC BC BC BC
A
A 0 0 1 1
0 0 1 1
BC BC BC BC
A
A 0 1 1 0
0 1 1 0
BC BC BC BC
A
A
13
0 0 0 0
1 1 1 1
BC BC BC BC
A
A 1 0 0 1
1 0 0 1
BC BC BC BC
A
A 1 1 0 0
1 1 0 0
BC BC BC BC
A
A
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Mapa de Karnaugh
• Exemplos de grupos de 2 elementos:
1 1 0 1
0 0 0 1
BC BC BC BC
A
A 0 0 1 0
0 1 1 1
BC BC BC BC
A
A 1 1 0 0
0 1 1 0
BC BC BC BC
A
A
14
0 0 1 1
1 1 0 0
BC BC BC BC
A
A 1 1 0 1
0 1 0 0
BC BC BC BC
A
A 1 0 1 0
1 0 1 0
BC BC BC BC
A
A
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Mapa de Karnaugh com 4 variáveis
• E para o caso de termos 4 variáveis o Mapa de Karnaugh apresenta uma boa alternativa para solução dos problemas, apresentando-se na seguinte configuração:
Mapa de Karnaugh
C D CD CD CD
15
A B
A B
A B
A B
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B
• Exemplo 3: A partir da tabelaverdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;
• Inicialmente selecionamostodos os elementos que
Mapa de Karnaugh
A B C D L
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 C DA
B
B
B
B
Btodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;
16
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
C DA
C DA
C DA
C DA
C DA B
C DA
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Colocamos 1 no Mapa deKarnaugh e depois comple-tamos o restante com 0;
Mapa de Karnaugh
C D CD CD CDB
A B C D L
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 C DA
17
0 0 0 0
0 0 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
A B
A B
A B
A B
B
B
B
B
B0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
C DA
CA
CA
CA
CA B
CA
D
D
D
D
D
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• Agora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores.
• Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente.
• Grupos com 8,4 e 2 elementos;
Mapa de Karnaugh
18
C
0 0 0 0
0 0 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
D CD CD CD
A B
A B
A B
A B
A BBC
L= A.B + B.CProf. Michael
B
• Exemplo 4: A partir da tabelaverdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;
• Inicialmente selecionamostodos os elementos que
Mapa de Karnaugh
A B C D L
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 C DA
B C DA
D
D
B
B
B
B
Btodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;
19
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
C DA
C DA
C DA
C DA
C DA B
C DA
B CA D
B CA
B CA D
B CA
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Colocamos 1 no Mapa deKarnaugh e depois comple-tamos o restante com 0;
Mapa de Karnaugh
C D CD CD CDB
A B C D L
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 C DA
B C DA
20
0 0 0 1
0 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A B
A B
A B
A B
D
B
B
B
B
B0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
C DA
C DA
C DA
C DA
C DA B
C DA
B CA D
B CA
B CA D
B CA D
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• Agora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores.
• Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente.
• Grupos com 8,4 e 2 elementos;
Mapa de Karnaugh
C D CD CD CD
21
A
CD
L= A + B.C + C.D
0 0 0 1
0 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A B
A B
A B
A BBC
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• Exemplos de grupos de 8 elementos:
Mapa de Karnaugh
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
22
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Prof. Michael
• Exemplos de grupos de 4 elementos:
Mapa de Karnaugh
0 0 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
23
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
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• Exemplos de grupos MISTOS:
Mapa de Karnaugh
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
24
1 1 1 0
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
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• Exercício: encontre o
circuito simplificado dos
exercícios a seguir.
Mapa de KarnaughA B C D L
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
a)
25
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
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Mapa de KarnaughA B C D L
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
c)b) A B C D L
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
26
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
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APLICAÇÃO 1: Um misturador de tintas está representado pela figura a seguir.Neste sistema temos o motor que gira a hélice que mistura a tinta, representadopela letra M, o sensor de nível A, que indica que o nível do tanque já atingiu o valormínimo para que o motor comece a funcionar. Temos também as válvulas quepermitem a passagem das tintas, representadas pelas letras B, C e D.
Mapa de Karnaugh
APLICAÇÃO DE MAPA DE KARNAUGH
Tanto o motor, quanto o sensor e as válvulas são consideradosligados ou ativados quando estiverem com nível lógico 1 e
27
ligados ou ativados quando estiverem com nível lógico 1 edesligados ou desativados quando estiverem com nível lógico0. Projete um circuito digital para controle do motor M paraque somente quando o nível do tanque atingir o sensor A eduas ou mais válvulas estiverem acionadas. Monte a tabelaverdade e obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa deKarnaugh. Desenhe o circuito resultante.
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APLICAÇÃO 2: O sistema abaixo é composto por quatro fornos (A,B,C,e D). Cadaforno tem um controlador de temperatura (CA,CB,CC,e CD), que faz o controle datemperatura no respectivo forno. Se a temperatura de determinado fornoultrapassar um valor programado no controlador o respectivo alarme é ativado.No caso, quando algum dos controladores estiver com seu respectivo alarmeligado a saída correspondente (A,B,C e D) tem nível lógico 1, caso contrário, temnível lógico 0.
Mapa de Karnaugh
Projete um circuito digital que ative o
28
Projete um circuito digital que ative oSINALIZADOR sempre que dois ou trêssaídas de alarmes estiverem ativos, emqualquer outra situação o SINALIZADORdeverá estar desligado. Monte a tabelaverdade e simplifique a expressãoutilizando o Mapa de Karnaugh. Desenheo circuito resultante.
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• Tocci e Widmer.Sistemas Digitais. Princípios e
Aplicações;
• Floyd. Sistemas Digitais. Fundamentos e
Aplicações;
• Idoeta e Capuano. Elementos de Eletrônica
REFERÊNCIAS
29
• Idoeta e Capuano. Elementos de Eletrônica
Digital
• Mairton. Eletrônica Digital. Teoria e
Laboratório
• www.alldatasheet.com
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