Prof. Dr. Glauco de Souza Rolim,
UNESP-Jaboticabal
Minicurso no XVII Congresso
Brasileiro de Agrometeorologia-
Guarapari, ES 1
Modelagem Estatística de Fenômenos Agrícolas: Ajuste e Avaliação de Modelos Lineares e Não-Lineares
Prof. Dr. Glauco de Souza Rolim
Programa de Pós graduação em Produção Vegetal
Segundo semestre de 2015
Universidade Estadual Paulista, Júlio de Mesquita Filho,
UNESP-Jaboticabal [email protected]
Jaboticabal
Parte 6
Regressão Não-Linear Múltipla (RNLM)
Jaboticabal
mesma coisa que RNLS só que com 2 ou mais variáveis independentes
Para modelos extremamente complexos (o que não é o caso para Agronomia): (número de parâmetros+número de variáveis+restrições) É recomendado usar macros (ver na internet)
Ou ainda é recomendado usar outro programa
mostrar exemplo na planilha ...
Como exemplo Iniciar com valores Da média e dp das Distribuições univariadas e Usar também diferentes pesos
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Guarapari, ES 2
Regressão Não-Linear Múltipla (RNLM)
Jaboticabal
Modelo Binormal ( ou normal bivariado)
𝑦(𝑥1) =1
𝜎1 2𝜋× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥1 − 𝜇1𝜎1
2
X 𝑦(𝑥2) =1
𝜎2 2𝜋× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥2 − 𝜇2𝜎2
2
𝑦(𝑥1, 𝑥2) =1
2𝜋𝜎1𝜎2× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥1 − 𝜇1𝜎1
2
+𝑥2 − 𝜇2𝜎2
2
X1 X2
𝑌 =Á𝑅𝐸𝐴
𝐷𝑃 2𝜋𝑒−12𝑥−𝑀É𝐷𝐼𝐴
𝐷𝑃
2
Bases Matemáticas
Modelos Compartimentalizados
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Guarapari, ES 3
Conceitos
Básicos
Y-
Áre
a F
olia
r (c
m2
)
X-Água disponível (mm) (chuva ou ARM)
Y = a . bX
Exemplo:
Notação de Forrester
Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
H2O
Área
Foliar
= a . bX
Conceitos
Básicos Notação de Forrester
Exemplo: se quiséssemos modelar a aplicação de H2O
o crescimento da área foliar e produção?
Dentre todas as
possibilidades:
H2O
Produção
(kg/ha)
Área Foliar
(m2)
Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Obs: Pode haver ganho de informação, técnica !!
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Brasileiro de Agrometeorologia-
Guarapari, ES 4
Conceitos
Básicos Notação de Forrester
Exemplo: se quiséssemos modelar a aplicação de H2O
o crescimento da área foliar e produção?
H2O
Produção
(kg/ha)
Biomassa
da
Planta
tx. absorção Dentre todas as
possibilidades:
Regressão múltipla:
Produção= F(biomassa da planta, AF)
Modelo Mecanístico !!!
Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Notação de Forrester geral para modelagem de
produtividade de cultivos
Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Produtividade
Potencial (kg/ha)
Produtividade
Atingível (kg/ha)
Produtividade
Real (kg/ha)
Radiação Solar,
Temperatura,
Tipo de cultivo
e/ou variedade
Água, tipo de solo
Elevada/baixa (temperatura, UR, vento),
Severidade de doenças, pragas,
sistema de irrigação com ineficiência
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Guarapari, ES 5
Modelagem feita em cana-de-açúcar
Modelo APSIM (Keating et al. 1999) Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Diagrama de Forrester
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Modelagem feita em cana-de-açúcar
Entrada/Saída (Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Diagrama de Forrester
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Modelo QCANE (Liu e Kingston, 1995)
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Guarapari, ES 6
Modelagem feita em cana-de-açúcar
Modelo proposto por O´Leary, 2000
Runoff
Chuva
BHídrico
Drenagem
Evaporação
Transpiração
Notação de Forrester CERES-Wheat (Godwin & Vlek, 1985)
N aplicado N Disp
Am
ôn
ia
Nitra
to
Amônio
Trocável
Perdas
Denitrificação
Perdas
LIXIVIAÇÃO
Perdas
Amônio
volátil
M.O
Estável
M.O
Fresca
[C orgânico]
Imobilização SW
ST
[propr. superf.]
Des. Cultura
Vernalização
Resp. Fotoper.
Índice Térmico
[fotoperíodo
temperatura.]
[Inf. genéticas] Estádio de
crescimento Partição
Folhas
Ramos
Raízes
Gemas
Frutos Cre
scim
en
to
[Radiação]
Produção
Ab
so
rçã
o N
Status
Interface
Solo-Planta
Temp. Solo
[albedo]
N
Planta
Raízes
P. Aérea
Perda N
Raízes
Status N
Planta
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Guarapari, ES 7
Bases Matemáticas Podemos pensar de como o fenômeno (processo) funciona
de forma similar à um circuito elétrico:
Se os fenômenos funcionam de forma sequencial: A X B
A B
Se os fenômenos funcionam de forma paralela: A + B
A
B
p.e. absorção de água
Pelas raízes e
Condução pelo
Xilema
p.e. transpiração nas folhas
Estômatos e cutícula
Notação de Forrester
...
...
...
...
A resistência (ou taxa) = fenômeno
Bases Matemáticas Por Exemplo
A
B
C
Equação:
A x (B+C)
A B
C (A x B) + C
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Guarapari, ES 8
Bases Matemáticas Modelo de Evapotranspiração de referência por Camargo (1971)
𝐸𝑇𝑃 = 0,01 ×𝑄𝑜
2,45× 𝑇 × 𝑁𝐷
Irradiância no topo da atmosfera Temperatura do ar
N° de dias
Qo
T
(mm período-1)
H2O
Bases Matemáticas
)()275(*)(
1)(
*2 dao eeU
TsGRn
s
sET
Modelo de Evapotranspiração de referência por Penman-Montheith (Smith 1991)
Termo
Radioativo
Fluxo de calor sensível
(T)
Fluxo de calor latente
(lE) (Lei de Dalton)
Termo Aerodinâmico
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Guarapari, ES 9
Bases Matemáticas Modelo de Retenção de água no solo Van Genuchten (1980)
𝜃 𝜑 = 𝜃𝑟 +𝜃𝑠 − 𝜃𝑟
1 + 𝛼 𝜓 𝑛 1−1 𝑛
R água residual
S água na Saturação
R água na Saturação
Função de entrada de ar em função da distribuição de poros (n) H2O
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
é necessário ir além do R2, p ...!
....é o suficiente ??
temos que avaliar o modelo em termos de ACURÁCIA
Escolhemos nossos modelos, calibramos os coeficientes, verificamos as pressuposições, verificamos os valores p, e... o R2... É o suficiente ?
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Guarapari, ES 10
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Deve ser feito no 1° Período: calibração (ajuste de curvas), parametrização 2° Período: o modelo já está calibrado e vamos aplicá-lo com dados novos (independentes) teste do modelo A avaliação é feita em termos: Estatísticos: relacionados a acurácia (precisão e tendência) para determinação da qualidade (estatística) do ajuste e Considerações qualitativas: que envolveram a escolha do modelo relacionado a aspectos teóricos, simplicidade do modelo, ... ... “Parcimônia” (termo estatístico) (navalha de Occan – a explicação mais simples (não simplista!) é a melhor)
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
“Quadro de Teste/Validação/Avaliação” ou melhor “Quadro de performance” (do modelo)
XOBS
YOBS
É fortemente desejável Que seja sempre linear (se não for, significa que o
modelo escolhido não foi o melhor, ou Ainda é necessário aplicar modelos
hierarquizados)
Calibração, Ajuste do modelo YOBS
YEST
Teste do modelo
YEST
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Certa confusão no entendimento dos termos acurácia, precisão e tendência, então... indo na origem:
Precisão: “Expressa o grau de consistência da grandeza estimada com sua média” ou, simplificando: a dispersão do valor estimado (em relação à sua média). (Yest-Ymédio (estimado))
= Repetitibilidade, Dispersão
Acurácia: “O grau de proximidade de uma estimativa com seu valor verdadeiro”, é um termo que representa a qualidade geral (Final) do ajuste (Yobs-Yest)
e outros Monico et al. 2009, Mikhail e Ackerman (1976), Wolf e Ghilani (1997) , Gemael (1994), Tommaselli et al. (1989), Merchant (1982), Kobayashi e Salam (2000), Willmott et al (1985), ..., ...
= Exatidão, Veracidade
Tendência: “Expressa o grau de desvio entre o valor médio estimado e os valores reais” ( Acurácia). (Yobs-Ymédio(estimado)) = Desvio médio,
Viés
Relacionado aos erros sistemático + aleatório
Relacionado ao erro aleatório
Relacionado ao erro sistemático Pode ser facilmente ser corrigido
Segundo Gauss:
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Acurácia Tendência = Precisão +
Segundo Gauss:
Mean Square Error Erro quadrático médio
MSE
Variância de Y
2Y
Coef. angular (Y=a+b.X)
b
N
YestYobsMBE
N
i ii
1= +
Segundo Willmott (85): Root Mean Square Error Raiz de erro quadrático médio
RMSE
RMSE sistemático
RMSEs
RMSE não-sistemático
RMSEu
= +
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Distribuição
Normal (média do ajuste)
Y estimado médio
Yobsi
Yesti
Xobsi
= Y
Nomenclatura
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Ymédio
Yobsi
Yesti
Tendênciai
Acuráciai
Precisãoi
Acuráciai = Tendênciai + Precisãoi
A forma de como é calculado os valores médios de acurácia, tendência e precisão dá origem as diversas estatísticas que iremos abordar depois ...
“Real”
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Ymédio
Yobsi
Yesti
Tendênciai
Acuráciai
Precisãoi
Acuráciai = Tendênciai + Precisãoi
Cuidado! É diferente do que normalmente se vê na internet ....
Neste caso Acurácia = Tendência !! o que não é o caso: Acurácia é a medida geral da qualidade do ajuste!!
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Yobsi
Acuráciai (A)= Tendênciai (T) + Precisãoi (P)
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
T2 e T3 T1
P1
P2
P3
A1 A3 A2
Acurácia (A): Modelo 1> Modelo 2> Modelo 3
Comparando 3 modelos: Qual modelo com maior qualidade de ajuste? o que nos responde é... a acurácia: ...1 depois 2 e 3
Tendência (T): Modelo 1 < Modelos 2 e 3 (=s) Precisão (P): Modelo 2> Modelo 3 > Modelo 1
(menor dp!)
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Acurado! (alta precisão e baixa tendência)
Não acurado! (apesar da
alta precisão, Tem grande tendência)
Não acurado! (baixa precisão e
Tendência Indeterminada,
(nula?))
É tradicional explicar por meio de um alvo, no centro temos Yobs (valor verdadeiro que quero atingir...)
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Rötter et al., 2011 (Nature)
Acurado, preciso Tendência () Acurado Acurado Tendência () Preciso Acurado, preciso
Simulação de produtividade de trigo
Yobs
melhorando a precisão (entre Yest e Yobs)
Dim
inui
ndo
a T
end
ênc
ia
(ent
re Y
obs
e Y
médio
)
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Resumindo...
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Yobs
melhorando a precisão (p.e. aumentando o valor de R2, ...)
Dim
inui
ndo
a te
ndênc
ia
(p. e
. dim
inui
ndo
o err
o si
stem
átic
o E
s, ..
.)
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Podemos pensar similarmente com índices estatísticos...
Desvio, Tendência
Precisão
d alto R2 alto Es baixo
d baixo R2 alto Es alto
d alto R2 baixo Es baixo
YOBS
YEST
(Gráfico de Performance!)
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Medidas de Tendência,
Desvio (médio) Viés
Utilizam Yobservado e Ymédio
Y = Y estimado médio
Estimative Mean Error (EME) Erro médio da estimativa
N
YYobsEME
N
i i
1
Systematic Error (Es) Systematic Root Mean Squared Error (RMSEs)
N
YYobsEs
N
i i
1
2
Systematic Mean Squared Error (MSEs)
N
YYobsMSEs
N
i i
1
2
N
YYobsRMSEs
N
i Cesti 1
2
Yest-C =a+b.Yobs
Erro médio quadrático sistemático
Erro sistemático
Raiz do erro médio quadrático sistemático
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Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Medidas de Precisão Utilizam: Yestimado e Ymédio
(no numerador)
N
i i
N
i i
YYobs
YYest
SQT
SQRR
1
2
1
2
2
2
11
22
11
2
1 11
N
i i
N
i i
N
i i
N
i i
N
i
N
i ii
N
i ii
YobsYobsNXobsXobsN
YobsXobsYobsXobsNr
Coeficiente de correlação (r)
Coeficiente de determinação (R2)
Erro Aleatório (Ea) Unsystematic Root Mean Squared error (RMSEu)
No excel: “=correl(A,B)”
N
YYestEa
N
i i
1
2
N
YYestRMSEu
N
i Cesti 1
2
Yest-C =a+b.Yobs
Raiz do erro médio quadrático não-sistemático
Avaliações do ajuste
Medidas de Acurácia
Mean Squared Error (MSE)
Utilizam: Yobs, Yest (no numerador)
N
YestYobsMSE
N
i ii
1
2
Root Mean Squared Error (RMSE)
N
YestYobsMSERMSE
N
i ii
1
2
Bias, Mean Bias Error ou Mean Error
N
YestYobsMEMBEBias
N
i ii
1
Relative Root Mean Squared Error (RRMSE)
Y
N
YestYobs
Y
RMSERRMSE
N
i ii
1
2
Erro ou Erro médio
Erro quadrático médio
Raiz do erro quadrático médio
Raiz do erro quadrático médio relativo
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Avaliações do ajuste
Medidas de Acurácia
Utilizam: Yobs, Yest (no numerador)
Mean Absolute Error (MAE) N
YestYobsMAE
N
i ii
1
Relative Mean Absolute Error (RMAE) N
Yobs
YestYobs
RMAE
N
ii
ii
1
Mean Percentage Error (MPE) N
Yobs
YobsYest
MPE
N
ii
ii
1
100
Erro absoluto médio
Erro absoluto médio relativo
Erro porcentual médio
Avaliações do ajuste
Medidas de Acurácia
Utilizam: Yobs, Yest (no numerador)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) N
Yobs
YobsYest
MAPE
N
ii
ii
1100
Agreement index (Willmott) (d)
N
i ii
N
i ii
YYobsYYest
YestYobsd
1
2
1
2
1
Standart Error of Estimative (SEE)
1
1
2
N
YestYobsSEE
N
i ii
Modeling Efficiency (EF)
2
1
1
2
1
N
i
N
i
YYobs
YestYobsEF
Erro porcentual absoluto médio
Índice de concordância de Wilmott (d)
Erro padrão da estimativa
Eficiência da modelagem
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Guarapari, ES 19
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
drc (Camargo e Sentelhas, 1997)
Tabela de interpretação do índice c de Camargo e Sentelhas (1997)
Coeficiente de confiança (c)
Estatística que mistura Precisão e Acurácia
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Quais estatísticas utilizar ?
pelo menos uma para cada tipo de erro: Tendência, Precisão e Acurácia Estatísticas mais sensíveis a determinadas faixas de valores e a outliers, ... evitar estatísticas que falam a mesma coisa... tradição em determinadas áreas de pesquisa facilidade de comunicação (unidades) .....
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UNESP-Jaboticabal
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Guarapari, ES 20
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Co
efi
cie
nte
de
De
term
inaç
ão (
R2)
Desvio Máximo (yobs-yest) (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Cada ponto em X com 100 amostras
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Co
efi
cie
nte
de
Co
nco
rdân
cia
(d)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Cada ponto em X com 100 amostras
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Guarapari, ES 21
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
0
5
10
15
20
25
30
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Ro
ot
Me
an S
qu
are
err
or
(RM
SE)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Cada ponto em X com 100 amostras
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
0
10
20
30
40
50
60
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Me
an A
bso
lute
Pe
rce
nta
ge e
rro
r (M
AP
E)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Cada ponto em X com 100 amostras
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Guarapari, ES 22
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Estatísticas com sensibilidade a outliers tem parâmetros elevados ao quadrado (com ou sem raiz) A tendência assintótica de variação é decorrente de expoente (2), se tiver raiz ou sem expoente se torna linear. A tendência assintótica faz com que a estatística se torne mais sensível a determinadas faixas de valores Estatísticas com unidades iguais (=) aos dados facilitam interpretações
Faixa de Sensibilidade Tendência Faixa de Sensibilidade Tendência
Unidade Sinal valores a outliers de variação Unidade Sinal valores a outliers de variação
Tendência Acurácia
EME = +/- - a + - linear Bias=MBE=ME = +/- - a + - linear
MSEs s/u + 0 a + assintótica MSE s/u + 0 a + assintótica
Es = + 0 a + linear RMSE = + 0 a + linear
RMSEs = + 0 a + linear RRMSE s/u + 0 a + linear
MAE = + 0 a + - linear
Precisão RMAE = + 0 a + - linear
r s/u +/- -1 a +1 linear MPE % + 0 a % - linear
R2 s/u + 0 a +1 assintótica MAPE % + 0 a % - linear
R2ajustado s/u + 0 a +1 assintótica d s/u + 0 a +1 assintótica
Ea = + 0 a + linear SEE = + 0 a % linear
RMSEu = + 0 a + linear EF s/u + 0 a +1 - assintótica
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
Não se torne refém de suas próprias idéias
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Guarapari, ES 23
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