MicroeconometriaDiscrete Response Models
Ricardo da Silva Freguglia
Faculdade de Economia - PPGEA
Novembro 2011
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 1 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
y01
P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)
Xjcontínuo:∂p(y = 1jx)
∂xj=
∂p(x)∂xj
XK :binária:
P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 2 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
y01
P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)
Xjcontínuo:∂p(y = 1jx)
∂xj=
∂p(x)∂xj
XK :binária:
P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 2 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
y01
P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)
Xjcontínuo:∂p(y = 1jx)
∂xj=
∂p(x)∂xj
XK :binária:
P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 2 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Bernoulli :P(y = 1jx) = ρ(x) = E (y jx)
P(y = 0jx) = 1 ρ(x)
Var(y jx) = ρ(x)[1 ρ(x)]
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 3 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Modelo de probabilidade linear - LPM:
P(y = 1jx) = β0 + β1x1 + β2x2 + + βkxk = xβ
E (y jx) = xβ
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 4 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
β =∂p(y = 1jx)
∂x1OLS! consistente e não-viesadoMQP! δi = [yi (1 yi )]1/2
MQO : yδ iem 1
δi, xit
δ i, ..., xik
δ i
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 5 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Probit,Logit:
P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)
Modelo de variável latente:
y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]
0 se y 0
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 6 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Probit,Logit:
P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)
Modelo de variável latente:
y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]
0 se y 0
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 6 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Probit,Logit:
P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)
Modelo de variável latente:
y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]
0 se y 0
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 6 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
P(y = 1 j x) = P(y > 0 j x) = P(e > xβ j x) == 1 G (xβ) = G (xβ)
e!contínuo/simétrico em torno de 0
G !cdf (e) !1-G(-z)=G(Z)Modelo probit :
G(Z) Φ(z)R Z∞?(v)dv
?(Z ) = (2π)12 exp (
z22)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 7 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Logit G(Z) Λ(z) exp(z )(1+exp(z ))
!Xj é contínuo ∂p(x )∂xj = g(xβ)βj
# g (xβ)=(dg (xβ))(d (xβ)
G(.)crescente!g(xβ)>0
Obs: xβ=0
(φ(0) = 0, 399exp(0)
[1+exp(0)]2 = 0, 25
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 8 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Logit G(Z) Λ(z) exp(z )(1+exp(z ))
!Xj é contínuo ∂p(x )∂xj = g(xβ)βj
# g (xβ)=(dg (xβ))(d (xβ)
G(.)crescente!g(xβ)>0
Obs: xβ=0
(φ(0) = 0, 399exp(0)
[1+exp(0)]2 = 0, 25
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 8 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Logit G(Z) Λ(z) exp(z )(1+exp(z ))
!Xj é contínuo ∂p(x )∂xj = g(xβ)βj
# g (xβ)=(dg (xβ))(d (xβ)
G(.)crescente!g(xβ)>0
Obs: xβ=0
(φ(0) = 0, 399exp(0)
[1+exp(0)]2 = 0, 25
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 8 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Estimação de MV:
N observações iid:
f (yi j Xi ; β) = [G (xi β)]y [1 G (xβ)]1y
li (β) = yi log [G (xi β)] + (1 yi )log [1 G (xβ)]
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 9 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Estimação de MV:
N observações iid:
f (yi j Xi ; β) = [G (xi β)]y [1 G (xβ)]1y
li (β) = yi log [G (xi β)] + (1 yi )log [1 G (xβ)]
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 9 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
L(β)=∑ili (β)
β !max L(β)L(β) G (.) φ ! probitG (.) logistica ! logit
Score = rθ li (θ)0 =
∂li∂θi(θ), . . . ,
∂li∂li, (θ)
0Hi = rθSi (θ) = r2
θ li (θ)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 10 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
L(β)=∑ili (β)
β !max L(β)L(β) G (.) φ ! probitG (.) logistica ! logit
Score = rθ li (θ)0 =
∂li∂θi(θ), . . . ,
∂li∂li, (θ)
0Hi = rθSi (θ) = r2
θ li (θ)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 10 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:
Si (β) =g(xi β)x 0i [yi G (xi β)G (xi β)[1 G (xi β)]
E [Hi (β)jXi ] =[g(xi β)]2x 0i xi
fG (xi β)[1 G (xi β)]g
Avar(β) = A1 V (
n
∑i=1
[g(xi β)]2x 0i xiG (xi β)[1 G (xi β)]
)1β N(0, v)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 11 / 34
Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:Problemas com probit
P(y = 1jx) = G (xβ) = p(x)
McFadden: pseudoR2 = 1LurLo
y = xβ+ e
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 12 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Variável Endógena Binaria
y1 = 1[z1δ1 + α1y2 + u1 > 0]
y2 = 1[zδ2 + v2 > 0]
Var(u1) = 1, var(v2) = 1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 13 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
f (y1, y2 j z) = f (y1 j y2, z) f (y2 j z)
P(y = 1 j v2, z) = Φz1δ1 + α1y2 + ρ1v2
(1 ρ21)1/2
y2 = 1 se v2 > zδ2
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 14 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
f (v2 j v2 > zδ2) =Φ(v2)
P(v2 > zδ2)=
Φ(v2)Φ(zδ2
P(y1 = 1 j y2 = 1, z) = E [P(y = 1 j v2, z) j y2 = 1, z ]
E [Φ(z1s1 + α1y2 + ρ1v2)
(1 ρ21)1/2
/y2 = 1, z
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 15 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
1Φ(zδ2)
Z ∞
zδΦz1δ1 + α1y2 + ρ1v2
(1 ρ21)1/2
?(v2)dv2
Modelos de escolha discreta:
y = xβ+ e
P(y = 1 j x) = G (xβ) = p(x)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 16 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Heterocedasticidade:
y = β0 + β1x1 + e e j x1~n(0, x21 )
y = 1[y > 0]
P(y = 1 j x) = Φ
β0x1+ β1
∂P(y = 1 j x1)
∂x1= β0
x1?
β0x1+ β1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 17 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Manski: Maximum score estimator
y = 1[xβ+ e > 0]
Med [e j x ] = 0
Med [y j x ] = 1[xβ > 0]
minβ
n
∑i=1j yi 1[xβ > 0] j
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 18 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
É semi-paramétrico:
Você parametriza o indice(xβ) :Não conhece distribuição de G ()
Acerta função índice
β0β = 1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 19 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
É semi-paramétrico:
Você parametriza o indice(xβ) :
Não conhece distribuição de G ()
Acerta função índice
β0β = 1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 19 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
É semi-paramétrico:
Você parametriza o indice(xβ) :Não conhece distribuição de G ()
Acerta função índice
β0β = 1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 19 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
É semi-paramétrico:
Você parametriza o indice(xβ) :Não conhece distribuição de G ()
Acerta função índice
β0β = 1
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 19 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Dados em Painel:
yit = xi tβ+ ci + ui(xitβ+ ci 0! ci xit β
xitβ+ ci < 1! ci < 1 xit β
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 20 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Pooled Logit/Probit:
Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.
Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.
É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.
Nao pode tratar as densidades independentes.
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 21 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Pooled Logit/Probit:
Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.
Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.
É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.
Nao pode tratar as densidades independentes.
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 21 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Pooled Logit/Probit:
Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.
Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.
É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.
Nao pode tratar as densidades independentes.
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 21 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Pooled Logit/Probit:
Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.
Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.
É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.
Nao pode tratar as densidades independentes.
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Cap. 15:Discrete Response Models
Pooled Logit/Probit:
Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.
Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.
É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.
Nao pode tratar as densidades independentes.
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Cap. 15:Discrete Response Models
P(yit = 1 j xit ) = G (xitβ)Verossimilhança parcial para cada i :
li () T
∑t=1log ft (yit j xit ,)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 22 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Estimador de máxima verossimilhança parcial:
max ∑
i∑t(log ft (yit j xit)
max ∑
i(log ft (yit j xit)
maxβ ∑
i∑tfyit logG (Xitβ) + (1 yit ) log[1 G (Xitβ)]
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 23 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Dinamicamente completo:
P(yit = 1 j xit , yi ,t1, xit1 . . .) = P(yi t = 1 j xi t )
Testar:
uit yit Φ(xit β)
P(yit = 1 j xit , uit1) = Φ(xitβ+ δ, uit1)
Teste : δ1 = 0! Ho
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 24 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Dinamicamente completo:
P(yit = 1 j xit , yi ,t1, xit1 . . .) = P(yi t = 1 j xi t )Testar:
uit yit Φ(xit β)
P(yit = 1 j xit , uit1) = Φ(xitβ+ δ, uit1)
Teste : δ1 = 0! Ho
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 24 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelos com exoneidade estrita.
Hipóteses:
1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )
yit !Sem variável depedente defasada.
2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 25 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelos com exoneidade estrita.
Hipóteses:
1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )
yit !Sem variável depedente defasada.
2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 25 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelos com exoneidade estrita.
Hipóteses:
1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )
yit !Sem variável depedente defasada.
2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 25 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelos com exoneidade estrita.
Hipóteses:
1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )
yit !Sem variável depedente defasada.
2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 25 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelos com exoneidade estrita.
Hipóteses:
1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )
yit !Sem variável depedente defasada.
2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 25 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
f (y1, . . . yiT j xi , ci , β) =T
∏t=1f (yt j xit , ci , β)
li (β) = log(Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt
max N
∑i=1li (β)! Fixed E¤ects Probit
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 26 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Probit efeito aleatorio:
3.ci j xi~ N(0, σ2c ) ! E (ci ) = 0
ci ! não observável (não aparece na verossimilhança)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 27 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Probit efeito aleatorio:
3.ci j xi~ N(0, σ2c ) ! E (ci ) = 0
ci ! não observável (não aparece na verossimilhança)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 27 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Probit efeito aleatorio:
3.ci j xi~ N(0, σ2c ) ! E (ci ) = 0
ci ! não observável (não aparece na verossimilhança)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 27 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
1.
f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞
∞[T
∏t=1f (yt j xit , ci , β)]
1
σc
?cσc
dc
f (yt j xt , c , β) = Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt
Max li (θ) em relação a β , σ2c !importância relativa do efeitonão-obervado: ρ = σ2c
σ2c+σ2e
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 28 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
1.
f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞
∞[T
∏t=1f (yt j xit , ci , β)]
1
σc
?cσc
dc
f (yt j xt , c , β) = Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt
Max li (θ) em relação a β , σ2c !importância relativa do efeitonão-obervado: ρ = σ2c
σ2c+σ2e
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 28 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
1.
f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞
∞[T
∏t=1f (yt j xit , ci , β)]
1
σc
?cσc
dc
f (yt j xt , c , β) = Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt
Max li (θ) em relação a β , σ2c !importância relativa do efeitonão-obervado: ρ = σ2c
σ2c+σ2e
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 28 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
2. Pooled Probit:
P(yit = 1 j xi ) = P(yit = 1 j xit ) = Φ(X , βc )
βc =β
(1+ σ2c )12
! APE
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 29 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
3. Especicar correlação de yt no tempo
yit = xitβ+ ci + eit ! ei ~ N multivariada, var=1, cov=Ω
4. Efeitos correlacionados:y = xitβ+ ci + eici = Ψ+ ξtxit + ai
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 30 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
3. Especicar correlação de yt no tempo
yit = xitβ+ ci + eit ! ei ~ N multivariada, var=1, cov=Ω
4. Efeitos correlacionados:y = xitβ+ ci + eici = Ψ+ ξtxit + ai
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 30 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
3. Especicar correlação de yt no tempo
yit = xitβ+ ci + eit ! ei ~ N multivariada, var=1, cov=Ω
4. Efeitos correlacionados:y = xitβ+ ci + eici = Ψ+ ξtxit + ai
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 30 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelo Logit c/ Ef. Fixos
1
P(y = 1 j x , c) = G (xβ+ c)
2
yi1, ..., yit indep
3 Não precisa de ci j xi~N(0, σ2c );E (ci ) = 0
Descobrir a dist.conjunta de yi = (yi1, ..., yiT ) condicional em xi , ci e
ηi T
∑i=1
yit
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 31 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
Modelo Logit c/ Ef. Fixos
1
P(y = 1 j x , c) = G (xβ+ c)
2
yi1, ..., yit indep
3 Não precisa de ci j xi~N(0, σ2c );E (ci ) = 0
Descobrir a dist.conjunta de yi = (yi1, ..., yiT ) condicional em xi , ci e
ηi T
∑i=1
yit
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Cap. 15:Discrete Response Models
EXEMPLO T = 2;
ηi = f0, 1, 2g ! dist.condicional (yi1, yi2) dado ηi !nãoé informativa quando ηi = 0 ou ηi = 2.
ηi = 1 :
P(yi2 = 1 j xi , ci , ηi = 1) =P(yi2 = 1, ηi = 1 j xi , ci )
P(ηi = 1 j xi , ci )
=
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 32 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
=
P(yi2 = 1 j xi , ci )P(yi1 = 0 j xi , ci )
P(yi1 = 0, yi2 = 1 j δi , ci ) + P(yi1 = 0, yi2 = 0 j δi , c)
=
= (Λ(xi2β+ci )[1Λ(xi1β+ci )]
f[1Λ(xi1β+ci )]Λ(xi2 β+ci )+Λ(xi1β+ci )[1Λxi1β+ci ]g) =
= Λ[(xi2 xi1)β]
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 33 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
P(yi1 = 1 j xi , ci , ηi = 1) = Λ[(xi2 xi1)β]
= 1Λ[(xi2 xi1)β]li (β) = 1[ηi = 1](wi logΛ [xi2xi1]β)+ (1wi )logf1Λ[xi2 xi1]βg
Fixed E¤ect Logit Estimator
wi
1! (yi1 = 0, yi2 = 1)0! (yi1 = 1, yi2 = 0)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 34 / 34
Cap. 15:Discrete Response Models
P(yi1 = 1 j xi , ci , ηi = 1) = Λ[(xi2 xi1)β]
= 1Λ[(xi2 xi1)β]li (β) = 1[ηi = 1](wi logΛ [xi2xi1]β)+ (1wi )logf1Λ[xi2 xi1]βg
Fixed E¤ect Logit Estimatorwi
1! (yi1 = 0, yi2 = 1)0! (yi1 = 1, yi2 = 0)
R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 34 / 34
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