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EAC-082: Geodésia Física
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 4: Teoria do Potencial
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
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Vimos anteriormente que:
Considerando umas das partículas como “Atrativa” (M) e outra
como “Atraída” (m), tem-se:
𝐹 =𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀
𝑙2
Com 𝐺 = 6,67408 ∗ 10−11𝑚3/𝐾𝑔 𝑠2.
Campo da Gravidade
m2=m
F1F2
l
m1=M𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒅𝟏𝟐𝟐
1
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Vetorialmente, a força exercida por dois corpos 𝑚1 e 𝑚2 de
dimensões negligenciáveis, será:
Campo da Gravidade
Onde 𝑚1 = 𝑀: partícula atrativa de coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′);𝑚2 = 𝑚: partícula atraída de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧);
𝑟2 − 𝑟1 = 𝑙: distância entre as duas partículas
2
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Como 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑔
𝑚 ∙ 𝑎𝑔 =𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀
𝑙2
Logo, a aceleração da gravidade é dada por:
𝑎𝑔 =𝐺𝑀
𝑙2
Tanto a força F como a aceleração a têm a mesma direção que a
linha que liga os corpos. Por esta razão, muitas vezes escreve a
equação (3) como uma equação vetorial, expressa por:
𝑎𝑔 = −𝐺𝑀 ∙𝑟2 − 𝑟1𝑙3
onde os vetores tridimensionais do lugar das massas atraentes e
atraídas são definidos em coordenadas retangulares como:
Campo da Gravidade
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𝑟2 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
𝑟1 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝑍𝑘
onde o trio dos vetores unitários 𝑖, 𝑗, 𝑘 é uma base ortogonal no
espaço Euclidiano (𝑅3) e:
𝑙 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑥 − 𝑋 2 + 𝑦 − 𝑌 2 + 𝑧 − 𝑍 2
Observe que a equação vetorial (4) contém um sinal de menos. O
sinal apenas indica que a direção da força é oposta à do vetor
𝑟2 − 𝑟1 . Este vetor é a localização da massa atraída 𝑚 contada a
partir da localização da massa atrativa 𝑀, de forma a indicar uma
atração e não uma repulsão.
Campo da Gravidade
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Assim, temos que a Força de Atração exercida sobre partícula de
massa unitária 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pela massa 𝑀 localizada na origem do
sistema é dada por:
Ԧ𝐹𝑚→𝑀 =𝐺∙𝑀∙𝑚
𝑟2−𝑟13 ∙ 𝑟2 − 𝑟1
Componentes Cartesianas da Força de Atração
Considerando a partícula
atraída com massa 𝑚 unitária,
temos:
Ԧ𝐹 = −𝐺∙𝑀
𝑙3∙ Ԧ𝑙
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Estando o sistema de massas atrativas na origem, têm-se:
Ԧ𝑙 = 𝑃 − 𝑂 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘
Onde Ԧ𝑖, Ԧ𝑗 e 𝑘 são os versores fundamentais (vetores unitários).
Substituindo a equação (9) em (8), temos:
Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ 𝑀
𝑙3∙ 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘
Assim temos as seguintes componentes cartesianas para a Força
de atração:
𝐹𝑥 = −𝐺∙𝑀
𝑙3∙ 𝑥 𝐹𝑦 = −
𝐺∙𝑀
𝑙3∙ 𝑦 𝐹𝑧 = −
𝐺∙𝑀
𝑙3∙ 𝑧
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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No caso geral, onde o sistema de massa atrativa não é
coincidente com a origem do sistema de coordenadas
𝑃′ 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , tem-se:
Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ 𝑀
𝑙3∙ 𝑥 − 𝑥′ 2𝑖 + 𝑦 − 𝑦′ 2𝑗 + 𝑧 − 𝑧′ 2𝑘
Considerando um sistema discreto de massas atrativas formado
por 𝑛 partículas não coincidente com a origem do sistema de
coordenadas 𝑃′ 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , a expressão da força será:
Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙
𝑖=1
𝑛𝑀𝑖
𝑙𝑖3 ∙ 𝑙𝑖
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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Cujas componentes cartesianas serão:
𝐹𝑥 = −𝐺 ∙
𝑖=1
𝑛𝑥 − 𝑥′𝑖
𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖
𝐹𝑦 = −𝐺 ∙
𝑖=1
𝑛𝑦 − 𝑦′𝑖
𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖
𝐹𝑧 = −𝐺 ∙
𝑖=1
𝑛𝑧 − 𝑧′𝑖
𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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Considerando um sistema de distribuição contínua de massa
atrativa (corpo de massa 𝑚 e volume 𝑣), tem-se:
Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ න𝑀
𝑑𝑚
𝑙3∙ Ԧ𝑙
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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𝐹𝑥 = −𝐺 ∙ න𝑀
𝑥 − 𝑥′
𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න
𝑣
𝑥 − 𝑥′
𝑙3𝜌𝑑𝑣
𝐹𝑦 = −𝐺 ∙ න𝑀
𝑦 − 𝑦′
𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න
𝑣
𝑦 − 𝑦′
𝑙3𝜌𝑑𝑣
𝐹𝑧 = −𝐺 ∙ න𝑀
𝑧 − 𝑧′
𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න
𝑣
𝑧 − 𝑧′
𝑙3𝜌𝑑𝑣
Sendo 𝑑𝑚 uma massa elementar de coordenadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ e
volume 𝑑𝑣:
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′
O que lembra que as integrais são triplas.
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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Assim um corpo de massa 𝑀 pode ser considerado como
composto por elementos de volume elementar 𝑑𝑣 com
densidades 𝜌 . A atração exercida pelo corpo pode ser
considerada como a integral das atrações exercidas pelos
elementos de volumes 𝑑𝑣 .
Admitindo a massa atraída como massa unitária, tem-se:
Ԧ𝐹𝑑𝑣 = −𝐺 ∙ම𝑣
𝜌
𝑙3∙ Ԧ𝑙𝑑𝑣
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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Ԧ𝐹𝑑𝑣 = −𝐺 ∙ම𝑣
𝜌
𝑙3∙ Ԧ𝑙𝑑𝑣
Considerando-se o corpo atraído de massa unitária, a expressão
acima pode ser utilizada na quantificação da atração exercida por
uma massa M sobre corpos exteriores ou sobre o mesmo. Sendo
desconhecida com precisão a estrutura interna da Terra, com
relação à distribuição de densidades, a equação é de uso
limitados na Geodésia. No entanto, sua utilidade reside na
demonstração da interrelação da força de atração com a
densidade.
Componentes Cartesianas da Força de Atração
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A teoria do potencial é devida a Laplace (1782) e desempenha
importante papel na Geofísica, Geodésia e Física, entre outras
áreas. A Geodésia utiliza-se da Teoria do Potencial como
subsídio para o estudo do campo da gravidade e de suas
vinculações com o problema da Forma da Terra.
O potencial gravitacional de atração (ou newtoniano) é dado pela
função escalar definida por:
𝑉 =𝐺 ∙ 𝑚
𝑙
O potencial gravitacional é concebido pela massa 𝑚 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ no
ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
Potencial Gravitacional
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No caso de um sistema discreto de partículas:
𝑉 = 𝐺 ∙
𝑖=1
𝑛𝑚𝑖
𝑙𝑖
Considerando uma distribuição contínua, tem-se:
𝑉 = 𝐺 ∙ න𝑚
𝑑𝑚
𝑙= 𝐺 ∙ න
𝑣
𝜌𝑑𝑣
𝑙= 𝐺 ∙ න
𝑣
𝜌 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′
𝑙
Propriedade Fundamental do potencial de atração:
As derivadas do potencial gravitacional segundo os eixos
coordenados proporcionam as componentes da força de atração
em relação aos mesmos eixos.
Potencial Gravitacional
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𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝜕
𝜕𝑥
1
𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝑥 − 𝑥′
𝑙3
𝜕𝑉
𝜕𝑦= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝜕
𝜕𝑦
1
𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝑦 − 𝑦′
𝑙3
𝜕𝑉
𝜕𝑧= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝜕
𝜕𝑧
1
𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙
𝑧 − 𝑧′
𝑙3
Unidades:
No S.I. o potencial gravitacional é expresso em 𝑚2 ∙ 𝑠−2. Mas
como a unidade Gal é dada por:
𝐺𝑎𝑙 = 103𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑎𝑙𝑠 (𝑚𝐺𝑎𝑙) = 10−2𝑚 ∙ 𝑠−2
𝑚2 ∙ 𝑠−2 = 102𝐺𝑎𝑙 𝑚 = 105 ∙ 𝑚𝐺𝑎𝑙 ∙ 𝑚
Potencial Gravitacional
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Operadores:
Uma “função de posição” ou “função de ponto” é uma quantidade que
assume valores diferentes nos diferentes pontos de uma região. Logo,
o potencial gravitacional (dependente da distância ao centro de massa
atrativo) é uma função escalar de posição. Do mesmo modo define-se
funções vetoriais de posição. A seguir têm-se algumas funções de
posição, de aplicação frequente na Teoria do Potencial.
a) Vetor simbólico nabla ഥ𝜵 (operador newtoniano):
ത𝛻 =𝜕
𝜕𝑥Ԧ𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦Ԧ𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘
Potencial Gravitacional
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Operadores:
b) Gradiente da função escalar 𝐸 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 :
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐸 = ത𝛻𝐸 =𝜕𝐸
𝜕𝑥Ԧ𝑖 +
𝜕𝐸
𝜕𝑦Ԧ𝑗 +
𝜕𝐸
𝜕𝑧𝑘
O operador 𝑔𝑟𝑎𝑑 transforma um escalar em vetor, cujas componentes
cartesianas são as derivadas da função escalar segundo os eixos.
c) Divergência da função vetorial de posição ҧ𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 :
𝑑𝑖𝑣 ҧ𝐴 = ത𝛻 ∙ ҧ𝐴
𝑑𝑖𝑣 ҧ𝐴 =𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧
Potencial Gravitacional
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Operadores:
d) Rotacional:
𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 = ത𝛻⋀ഥ𝐴
O símbolo ⋀ indica o produto vetorial. 𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 =
ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 =𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦
−𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧
Ԧ𝑖 +𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧
−𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥
Ԧ𝑗 +𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥
−𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦
𝑘
Potencial Gravitacional
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Operadores:e) Operador de Laplace (Laplaciano):
∆ =𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+
𝜕2
𝜕𝑧2
O Laplaciano corresponde ao operador 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑. Aplicando a uma
função escalar 𝐸 sucessivamente os operadores 𝑔𝑟𝑎𝑑 e 𝑑𝑖𝑣, temos:
𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸 =𝜕𝐸
𝜕𝑥Ԧ𝑖 +
𝜕𝐸
𝜕𝑦Ԧ𝑗 +
𝜕𝐸
𝜕𝑧𝑘
𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸 =𝜕2𝐸
𝜕𝑥2+𝜕2𝐸
𝜕𝑦2+𝜕2𝐸
𝜕𝑧2= ∆ 𝐸
Potencial Gravitacional
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Operadores:
A expressão é conhecida como equação de Laplace e é de grande
utilidade na solução de problemas físicos através da Teoria do
Potencial. Verifica-se que o potencial gravitacional é uma função
harmônica, pois satisfaz a equação de Laplace, no exterior das
massas. Em resumo temos:
Potencial Gravitacional
Operador Transforma Em
grad escalar vetor
div vetor escalar
rot vetor vetor
laplaciano escalar escalar
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Exercício
1. Designando por 𝑠 a distância entre dois pontos, um
fixo (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’) e um móvel (𝑥, 𝑦, 𝑧), calcule o gradiente
e o laplaciano de 𝑠.
Resposta:
Gradiente: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = Τҧ𝑠 𝑠
Laplaciano: ∆𝑠 = Τ2 𝑠
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Exercício
2. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante,
calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície
nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e
90º. Para os mesmos paralelos, calcule o percentual
representado pela força centrífuga. Admita que a
esfera tem o mesmo volume que o elipsoide do
SGR-67 no qual:
𝑎 = 6378160 𝑚
𝑏 = 6356775 𝑚
𝐺𝑀 = 398603𝑥109 𝑚3. 𝑠− 2
𝜔 = 7292116𝑥10 − 11 𝑟𝑎𝑑/𝑠
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Exercício (Solução)
a) Raio da Esfera:
b) Valores auxiliares:
c) Vetorialmente:
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Exercício (Solução)
d) Em módulo usando as componentes:
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Exercício (Solução)
ϕ gx gz g = √gx2 + gz
2
0º 9,786362607 0 9,786362607
30º 8,475238628 4,910120248 9,794843064
45º 6,920003362 6,943958648 9,803316186
60º 4,893181303 8,504577741 9,811781990
90º 0 9,820240497 9,820240497
ϕ kM/R2 ω2Rcos2ϕ % (C/F)*100 g = F - C
0º 9,820240497 0,033877890 0,345 9,786362607
30º “ 0,025408418 0,259 9,794832079
45º “ 0,016938945 0,172 9,803301552
60º “ 0,008469473 0,086 9,811771024
90º “ 0 0 9,820240497
e) Resumo dos cálculos (m/s2)
f) Usando a componente de C na direção de F:
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Referências Bibliográficas
Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,
Curitiba, 1999.
Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e
astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.
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