Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

1

Ementa Sistemas de forças aplicadas equivalentes. Equilíbrio da partícula. Equilíbrio de corpos rígidos. Centróide e centro de gravidade. Carregamento distribuído.

Guia Curricular

1 Introdução 1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO. 1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES. 1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

2 EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA 2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 2.3. SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES. 2.4. SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS.

3 RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS.

3.1. MOMENTO DE UMA FORÇA. FORMULAÇÕES ESCALAR E VETORIAL. 3.2. O PRINCÍPIO DOS MOMENTOS. 3.3. BINÁRIOS. 3.4. REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES.

4. EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS

4.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 4.2. DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE. 4.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO.

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA Básica

1. BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.

Mecânica vetorial para engenheiros:

cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo:

Makron, 1994.

2. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para

Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall

Brasil, 2004.

3. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica:

dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004. 4. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica

Geral.Edgar Blucher, 2005.

5. GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira

Thomson Learning, 2003

6. KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros.

Edgar Blucher, 2000.

7. SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica.

Addison Wesley, 2008.

Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2

2

1 Introdução

1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E

OPERAÇÕES.

1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO.

1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES.

1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

Norma ou módulo de um vetor

A norma ou módulo de um vetor ( , , )v x y z

, denotado por ou v v é definida por:

2 2 2

v x y z

z

z

v ( , , )v x y z

y y

0

x

x

Normalização de um vetor:

Dado um vetor u

qualquer, o vetor de

módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de

u

é dado por:

u

un

ˆ

u

n̂

Ou:

2 2 2

ˆˆ ˆˆ u u u

u u u

x i y j z kn

x y z

ˆˆ ˆˆ cos cos cosn i j k

Dessa relação, obtém-se: 2 2 2cos cos cos 1

Importante:

v

é um vetor, por tanto possui módulo

direção e sentido.

v

é o módulo do vetor v

, sendo portanto

um número.

Determinação de forças

Para determinar uma força no espaço R3

devemos:

1. Localizar o ponto de aplicação A.

2. Encontrar o vetor na direção da

força.

AB B A 3. Normalizar o vetor.

ˆAB

ABn

AB

4. Encontrar a força:

ˆAB ABÂB

F F n

Vetor Unitário e Versores.

Um vetor unitário é aquele que possui norma ou

módulo 1:

1v

Dado um vetor ( , , )v x y z , para

encontrarmos o vetor unitário de mesma direção de

v , denomina-se versor de v . Representaremos o

versor de v por v̂ :

ˆv

vv

O versor é um vetor unitário, pois:

1ˆ 1

vv v

v v

Chamamos de base no espaço R3 um conjunto de

três vetores linearmente independente (LI), ou seja,

nenhum deles pode ser obtido por uma combinação

linear dos outros dois.

1 2 3, ,v v v

Um caso particular e de interesse na Geometria

são as bases em que os vetores são unitários e

perpendiculares entre si. Essas bases denominam-se

bases canônicas. Dizemos que tais vetores são

ortonormais.

No espaço R3, a base canônica é representada

por:

ˆˆ ˆ, ,i j k

Onde:

0,0,1ˆ i

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3

3

0,1,0ˆ j

1,0,0ˆ k

Definido os versores, podemos escrever um

vetor ( , , )v x y z como sendo:

kvjvivv zyxˆˆˆ

Produto Escalar entre dois vetores:

Definição: O produto escalar dos vetores

ˆˆ ˆu u uu x i y j z k

ˆˆ ˆv v vv x i y j z k

representado por u v e é dado por:

u v u v u vu v x x y y z z

Propriedades do produto escalar:

i. u v v u

ii. u v w u v u w

iii. u v u v u v

iv. 0 0 e 0 0u u u u u u

v. 2

u u u

Observações:

1. u u é chamado de quadrado escalar do

vetor u

2. 2 2 2

2u v u u v v

3. 2 2

u v u v u v

Definição Geométrica do produto escalar:

Dados dois vetores e u v e o ângulo entre

eles definimos o produto escalar como sendo:

cosu v u v

Aplicando a Lei dos cossenos:

2 2 2

cos2

v u v u

v u

2 2 22 cosv u v u v u

Utilizando a propriedade 2:

2 2 2

2u v u u v v

2 2 2 22 2 cosu u v v v u v u

2 2 cosu v v u

cosu v v u

Ângulos diretores e cossenos diretores de

um vetor.

Dado um vetor ˆˆ ˆu u uu x i y j z k não

nulo chama-se ângulo diretor aos ângulos que o

vetor u forma com os versores ˆˆ ˆ, ,i j k .

v u

y

x

z

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4

4

Determinação dos ângulos α, , :

cos arccosu ux x

u u

cos arccosu uy y

u u

cos arccosu uz z

u u

Ângulo entre dois vetores. Dados dois vetores:

ˆˆ ˆu u uu x i y j z k

ˆˆ ˆv v vv x i y j z k

Podemos encontrar o ângulo entre os

vetores por meio da equação:

cosx x y y z zu v u v u v

u v

arccosx x y y z zu v u v u v

u v

Projeção de um vetor sobre outro.

Dados dois vetores:

ˆˆ ˆu u uu x i y j z k

ˆˆ ˆv v vv x i y j z k

e o ângulo entre eles, chama-se de

projeção do vetor u sobre a direção do vetor v o

vetor dado por:

2v

u vproj u v

v

z

y

x

u

z

y

x

u

x

y

z

zu

u

yu

xu

v

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5

Interpretação Geométrica do produto

escalar de dois vetores.

Considerando o vetor v um vetor unitário (com

norma 1, 1v ), podemos fazer:

2

ˆ 1

1v

v

u v vproj u v u v

v vv

ˆvproj u u v v

Portanto, se tomarmos agora o módulo do vetor

projeção, teremos:

ˆv vproj u u v v proj u u v

Ou seja, o comprimento do vetor projeção

de u sobre a direção do vetor v sendo o vetor v

unitário, é igual ao módulo do produto escalar de u

com o vetor v .

Aplicações do Produto escalar na

Física:

Um conceito importante utilizado na Física

envolvendo a análise vetorial é o produto escalar de

dois vetores.

Considere um corpo que se desloca a uma

distância r ao longo de uma trajetória descrita pela

curva C. Em cada instante deste deslocamento há

uma força F atuando sobre o corpo de massa m.

Definimos o trabalho da força F ao longo da curva

C pela integral de linha:

C

W F dl

Aqui dl aponta no sentido da orientação da

curva, tem direção tangente à ela e representa um

deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

No caso da força ser constante:

cosW F r W F r

Onde r é o vetor que possui origem em O e

termina no ponto de aplicação de F e o ângulo

entre a força F e o vetor r .

cosW F d W F d

Outro conceito importante que envolve a o

produto escalar de dois vetores é a potência

instantânea de uma força. Como a potência é dada

por:

0 0lim lim

t t

W F dP P

t t

0lim

t

v

dP F

t

P F v

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES DE MEDIDA (SI); 1971 – 14

a conferência geral de pesos e medidas –

Sistema Internacional de unidades (SI).

Quantidade

Fundamentais Nome da

unidade

Símbolo

Comprimento metro m

Massa kilograma kg

Tempo segundo s

Prefixos para o sistema SI:

Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbolo

1024

yotta Y 10-24

yocto y

1021

zetta Z 10-21

zepto z

1018

exa 10-18

Atto a

1015

peta P 10-15

femto f

1012

tera T 10-12

Pico p

109 giga G 10

-9 Nano n

106 mega M 10

-6 micro

103 kilo k 10

-3 Milli m

102 hecto h 10

-2 centi c

101 deka da 10

-1 Deci d

Prefixos mais usados:

Fator Prefix Símbolo

106 mega M

103 kilo k

10-2

centi c

10-3

Milli m

10-6

micro

10-9

Nano n

Alguns fatores de conversão:

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6

6

Massa Comprimento Volume

1kg=1000g=6.02.1023

u

1m=100cm=39.4in

=3.28ft

1m3=1000l=35,3ft3=

264gal

1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5280ft

Tempo

1u=1,66.10-27kg 1 in=2.54cm 1d=86400s

Densidade

1nm=10-9m=10

0

A 1year=

41365

d=3,16.107s

1kg/m3=10-3g/cm3 1 light-year=9,46.1015m

Medida Angular

1rad=57,30=0,159rev

rad=1800=1/2 rev

Velocidade Pressão Energia

1m/s=3,27ft/s=2.

24mi/h

1Pa= 1N/m2 1J=107erg=0,239cal=0.73

8ft-lb

1km/h=0.278m/s 1Pa=1dyne/cm2 1kWh=3,6.106J

1km/h=0.621mi/h

1Pa=1,45.10-

4lb/in2 1cal=4,19J

Força 1atm=1,01.105Pa 1eV=1,60.10-19J

1N=105dyne 1atm=14,7lb/pol2 Potência

1lb=4,45N 1atm=76cm-Hg=760mm-Hg

1 horsepower=746W=550 ft.lb/s

Observações:

inch: polegada

feet: pé

light-year: ano-luz, distância que a luz percorre em

um ano.

horsepower: hp

cavalovapor:cv

1 735 1 1.014cv W HP CV

Notação Científica:

Resultados obtidos em calculadoras ou

computadores , possuem formatos do tipo dos

exemplos abaixo:

Exemplo 1-

Visor:

126,096E+06=126,096.106

Escrito em notação científica:

1,26096.108

Exemplo 2-

Visor:

0,0108E-08=0,0108.10-8

Escrito em notação científica:

1,08.10-10

O SI também é conhecido como sistema

métrico.

As grandezas derivadas do SI são dadas em

termos das fundamentais.

As grandezas fundamentais são:

Metro: (m)

O metro foi definido, em 1792 na França,

como 1 décimo de milionésimo da distância do pólo

norte para o equador. Atualmente é definido como a

distância entre duas linhas finas gravadas em uma

barra de platina-irídio, mantida no International

Bureau of Weights and Measures próximo à Paris.

Em 1960 foi adotado um novo padrão para

o metro, baseado no comprimento de onda da luz.

Especificamente, o metro foi redefinido como

1650763,73 comprimentos de onda de uma

particular luz vermelho-alaranjada emitida por

átomos de Kriptônio-86.

COMPRIMENTOS TÍPICOS m

Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.1026

Distância à galáxia de Andrômeda 2.1022

Distância à mais próxima estrela (Próxima Centauri)

4.1016

Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.1012

Raio da Terra 6.106

Altura do monte Everest 9.102

Espessura dessa página 1.10-4

Comprimento de onda da luz 5.10-7

Comprimento de um vírus típico 1.10-8

Raio do átomo de hidrogênio 5.10-11

Raio de um próton 10-15

Tempo: (s)

Para medir tempo-padrão, os relógios

atômicos foram desenvolvidos em diversos países.

A 13a conferência geral de pesos e medidas

adotou o segundo padrão baseado no relógio

atômico de césio. (NIST- Colorado USA)

Em princípio, dois relógios de Césio

funcionando por 6000 anos não atrasariam 1s em

relação ao outro.

Intervalo de Tempo (s)

Tempo de vida de um próton 1039

Idade do universo 5.1017

Idade da pirâmide de Quéops 1.1011

Expectativa de vida humana (EUA) 2.109

Duração de um dia 9.104

Tempo entre duas batidas do coração

humano

8.10-1

Tempo de vida de um múon 2.10-6

Menor pulso luminoso no laboratório

(1989)

6.10-15

Tempo de vida da mais instável partícula 10-23

Constante de tempo de Planck 10-43

Massa: (kg)

A unidade padrão para a massa é um

cilindro de platina-irídio guardada no International

Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,

França, como mostramos na figura

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7

7

abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo

internacional.

Algumas massas típicas:

Massa kg

Universo conhecido 1053

Nossa galáxia 2.1041

Sol 2.1030

Lua 7.1022

Asteróide Eros 5.1015

Pequena Montanha 1.1012

Periferia do Oceano 7.107

Elefante 5.103

Grampo 3.10-3

Grão de Areia 7.10-10

Molécula de Penicilina 5.10-17

Próton 2.10-27

Elétron 9.10-31

2 EQUILÍBRIO DA

PARTÍCULA 2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO.

2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

2.3. SISTEMAS DE FORÇAS

COPLANARES.

2.4. SISTEMAS DE FORÇAS

TRIDIMENSIONAIS.

Exemplos

Exemplo 1 – Encontre a decomposição de

cada força indicada, escrevendo na forma

ˆ ˆx yF F i F j :

(a)

1ˆ300 ( )F i lb

2ˆ173.2 ( )F j lb

3ˆ ˆ200 30 200cos30 ( )F sen i j lb

4ˆ ˆ400 30 400cos30 ( )F sen i j lb

(b) Encontre as tensões nos fios AB e AC.

ˆ ˆcos50 50AB AB ABT T i T sen j

ˆ ˆcos30 30AC AC ACT T i T sen j

ˆ736P j

0 cos50 cos30 0x AB ACR T T

0 50 30 0y AB ACR T sen T sen P

cos301.3473

cos50AB AC AB ACT T T T

0.766 736

0.5

1.3473 50 30AC ACT sen T sen P

1.532 736 480.4AC ACT T N

1.3473 480.4 647.25AB ABT T N

O mesmo problema pode ser resolvido pela

Lei dos senos.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8

8

Lei dos Senos:

sen sen sen

F F F

0 0 060 80 40

736AB AC

sen sen sen

T T

0

0

60736 647.2

80AB AB

senT T N

sen

0

0

40736 480.4

80AC AC

senT T N

sen

(c) Um marinheiro está sendo resgatado

usando uma cadeira que está suspensa a partir de

uma roldana, que pode rolar livremente sobre o cabo

de suporte ACB e é puxada a uma velocidade

constante pelo cabo CD. Sabendo-se que = 300 e

= 100 e o peso da cadeira e do marinheiro juntos,

vale 900N, determine a tensão que suporta os cabos:

(c1) ACB.

(c2) CD.

Resolvendo o problema pela Lei dos seno:

0 090 90

CD CB

sen sensen

T P T

0 0 080 40 60

900CD CB

sen sen sen

T T

0

0

80900 1378.88

40CD CD

senT T N

sen

0

0

60900 1212.57

40CB CB

senT T N

sen

A resolução pelo método da decomposição

fica a cargo do leitor.

Exemplo 2 – Encontre cada uma das forças

indicadas na estrutura:

P CDT

CBT

090

090

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9

9

1ˆ ˆ491 344F i j N

2ˆ ˆ400 300F i j N

3ˆ ˆ358 716F i j N

Exemplo 3 - Encontre a resultante das

forças que atua na estrutura abaixo:

Solução Geométrica: 6 60

6 6 cos60

40.9

sen

BDtg

AC CD

Lei dos Cossenos:

2 2 2600 800 2 600 800 cos40.9R

524R lb

Usando a Lei dos Senos:

600 52448.6

40.9sen sen

Solução algébrica:

800 600 cos40.9ix x x

i

R F R

346xR lb

600 40.9iy y y

i

R F R sen

393yR lb

ˆ ˆx yR R i R j

ˆ ˆ346 393R i j lb

2 2

x yR R R

22346 393 524R R lb

y

x

Rarctg

R

39348.6

346arctg

Exemplo 4 - Encontre as componentes da

força indicada no sistema Oxy.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10

10

ˆ ˆ250 433F i j N

Exemplo 5 – Encontre a resultante das

forças no ponto C da estrutura.

2 1 1 2ˆ ˆcos20 cos30 30 cos20RF F F i F sen F j N

1 2

2 1

30 cos20

cos20 cos30

F sen Ftg

F F

Exemplo 6 – Seja a estrutura abaixo:

C

(a)

Encontre os pontos A, B, C.

(b) Ache os vetores:

AB B A

CB B C

(c) Normalize os vetores:

ˆAB

ABn

AB

; ˆ

BC

BCn

BC

(d) Encontre as forças que atuam na

direção AB, sabendo que seus módulos são

2500AB

F N e ˆAB AB AB

F F n

(e) Encontre os ângulos que essa força

faz com os eixos.

Solução:

(a) Pontos:

A(40, 0, -30); B(0, 80, 0); C(0, 0, 0)

(b) 40,80,30AB B A

0,80,0CB B C

(c) ˆAB

ABn

AB

2 2 2

x y z

AB AB AB AB

2 2 240 80 30AB

;

8900AB

40 80 30 ˆˆ ˆˆ8900 8900 8900AB

ABn i j k

AB

ˆCB

CBn

CB

2 2 2

x y z

CB CB CB CB

2 2 20 80 0CB

80CB

ˆˆ ˆ0 80 0 ˆˆ

80CB

CB i j kn j

CB

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11

11

(d) 2500AB

F N

ˆAB AB AB

F F n

40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB

F i j k

40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB

F i j k

ˆˆ ˆ1059.99 2119.99 794.99AB

F i j k N

40 40cos arccos

8900 8900x x

115,1 2,00x x rad

80 80cos arccos

8900 8900y y

32 0,558y y rad

30 30cos arccos

8900 8900z z

`

71,45 1,247z y rad

Exemplo 7 – Nos exemplos abaixo,

encontre os vetores indicados:

(a) ED e EC

(b) AB

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12

12

(c) P

(d) CA e FC

(e) AB e AC.

(f) CD e AB.

(g) AO e OB.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13

13

Exercícios

1. Determine a força resultante no ponto B

da figura.

2. Determine a força resultante no pino da

figura.

3. Sabendo que a tensão no cabo BA é

250N, determine a tensão no cabo AD.

4. Na figura, a força F2 vale 150N. Encontre

a tensão F1 para que a articulação AB fique em

repouso.

5. Decomponha os vetores força indicados,

sabendo que: ˆ ˆx yF F i F j

(a)

(b)

(c)

6. Para o pino A, encontre a resultante das

forças, utilizando:

(a) A decomposição dos vetores.

(b) A Lei dos senos.

(c) A regra do paralelogramo.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14

14

1i

N

x x

i

R F

;

1i

N

y y

i

R F

ˆ ˆx yR R i R j

y

x

Rarctg

R

7. São dados os vetores:

jiu ˆˆ3

jiv ˆ5ˆ2

kjir ˆˆ3ˆ2

kjis ˆ8ˆ2ˆ4

Determine:

(a) vu

3 (b) vu

3

(c) sr

(d) rvu

32

(e) rvu

32 (f) rvs

5

(g) rvs

5

8. Dados os vetores:

jiu ˆ3ˆ2

jiv ˆ6ˆ4

kjir ˆ3ˆ6ˆ

(a) Encontre os módulos desses vetores e os

ângulos que eles formam com os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado pelo

vetor rvu

com os eixos coordenados.

9. Dados os vetores:

kjiu ˆ6ˆ3ˆ4

jiv ˆˆ2

kjir ˆ8ˆ2ˆ4

(a) Encontre os módulos desses vetores e os

ângulos que eles formam com os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado pelo

vetor rvu

642 com os eixos coordenados.

10. O ângulo formado por um vetor de

módulo 5 e o eixo Ox é de 450. Escreva esse vetor.

11. O ângulo formado por um vetor de

módulo 10 e o eixo Ox é de 1350. Escreva esse vetor.

12. Os ângulos formado por um vetor de

módulo 10 e os eixos Ox, Oz são, respectivamente,

300, 120

0. Encontre:

(a) A componente y desse vetor.

(b) Seu ângulo com o eixo Oy.

13. Os ângulos formados por um vetor de

módulo 20 e os eixos Oy, Oz são, respectivamente,

600, 145

0. Encontre:

(a)A componente y desse vetor.

(b) Seu ângulo com o eixo Oy.

14. Dois vetores u

e v

possuem módulos

3 e 4, respectivamente. Encontre os vetores

vuS

e vuD

quando o ângulo entre

eles for de:

(a) = 450(b) = 0

0 (c) = 90

0.

(d) = 1450 (e) = 180

0

(e) = 2250

(f) = 3000

Faça a representação gráfica.

vuS

u

vuD

v

15. Dois vetores u

e v

possuem módulos

8 e 12, respectivamente. Encontre os vetores

vuS

e vuD

quando o ângulo entre

eles for de:

(a) = 1 rad (b) = 00

(c) = 900 (d) =

(e) = 1800 (f) = 225

0

(g) = 3000

Faça a representação gráfica.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15

15

Apêndice I

Regra do Paralelogramo: Demonstração:

y vu

u

vu

uy

u

v v

vy

x

ux vx

Observe que:

uy

ux

uu

uu

cos

cos

e

vy

vx

vv

vv

cos

cos

jsenuiuu uuˆˆcos

jsenvivv vvˆˆcos

jsenvsenuivuvu vuvuˆˆcoscos

22coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 222222

vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

Como:

vuvuvu sensen coscos)cos(cos

Teremos:

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu

Relações trigonométricas

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

1cos 22 sen

sensensen 2)2(

22cos)2cos( sen

Lei dos Cosenos:

cos222 babac

cos222 cacab

cos222 bcbca

a c

b

Lei dos Senos:

sen

c

sen

b

sen

a

Prova:

Observe que:

1

2

a h c

m n

b

senaha

hsen {1}

senchc

hsen {2}

11 coscos aha

h

11 coscos aha

h

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16

16

22 coscos chc

h

11 senama

msen

22 sencnc

nsen

122121 coscos)( sensensensen

ac

bh

ac

hnm

a

h

c

n

c

h

a

msen

)(

1

1

Portanto: senb

ach {3}; Reunindo {1},

{2} e {3}:

senb

acsencsenah

Dividindo os membros por a.c:

b

sen

a

sen

c

sen

Ou:

sen

c

sen

b

sen

a

Lei dos Cosenos:

cos222 babac

cos222 cacab

cos222 bcbca

a c

b

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17

17

Apêndice 2:

Modo Estatístico das calculadoras. Casio fx-82MS

Comando Função

on Liga

Mode 2 Entra no modo sd

(statistical data)

Shift CLR 1 = Limpa memórias

Dado 1 M+ Inseri dado 1

Shift 2 Entra no s-var

Shift 2 1 = Dá a média

Shift 2 2 = Dá o DPP

Shift 2 3 = Dá o DPA

Shift CLR 3 = Limpa tudo

Mode 3 Entra no modo

reg 1 (regressão

linear)

x1,y1 M+ Inseri ponto

(x1,y1)

Exemplo:

1.879EXP(-

)5,2.456EXP4 M+

Insere o ponto

(1.879.10-5

,

2.46.104)

Shift 2 1 = Dá a média de x

Shift 2 2 = Dá o DPP de x

Shift 2 3 = Dá o DPA de x

Shift 2 1 = Dá a média de x

Shift 2 2 = Dá o DPP de x

Shift 2 3 = Dá o DPA de x

Shift 2 1 = Dá o coeficiente

linear A

Shift 2 2 = Dá o coeficiente

angular B

Shift 2 3 = Dá a correlação r

Série HP

Recursos estatísticos:

Σx, Σx2, Σy, Σy

2, Σxy

Desvio padrão de amostra, média

Desvio padrão de população

Regressão linear

Combinações, permutações

Média ponderada

Editar, gravar, nomear, listar

Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )

Plotagem de dados estatísticos

Testes de hipóteses

Intervalos de confiança

Comando Função

Single-var

Entra no modo estatístico

Edit Entra no modo de edição.

Escolha a coluna que

inserirá os dados

population Dpp

sample Dpa

chk Marque para mostrar o

valor

Fit data

Entra no modo de ajuste de

curvas

Edit Insira os dados (x,y) nas

colunas 1 e 2, por exemplo

Valeu,

carinha ?

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18

18

Problemas

1.Determinar a força para que o corpo se

mantenha em equilíbrio.

2. A caixa da figura possui peso de 735 N.

Determinar as tensões nos cabos de sustentações.

3. Uma torre está ancorada pelo cabo AB

como mostra a figura. A tensão no cabo vale 2500

N. Encontre as componentes Fx, Fy e Fz da força de

tensão no cabo e os ângulos x, y e z que essa força

faz com os eixos coordenados.

4. Um muro está sustentado por estacas e

cabos como mostra a figura. Se as tensões nos cabos

AB e AC valem, respectivamente, 840 lb e 1200 lb,

determine o vetor força resultante (módulo, direção

e sentido) que atua na estaca A

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19

19

Pontos x(ft) y(ft) z(ft)

A 16 0 -11

B 0 8 0

C 0 8 -27

Vetores

AB B A -16 8 11

AC C A -16 8 -16

ˆˆ ˆ16 8 11AB B A AB i j k ft

2 2 216 8 11 21AB AB ft

16 8 11 ˆˆ ˆˆ ˆ21 21 21AB AB

ABn n i j k

AB

ˆAB AB

AB

T T n

16 8 11 ˆˆ ˆ84021 21 21

ABT i j k

ˆˆ ˆ640 320 440ABT i j k

ˆˆ ˆ16 8 16AC C A AC i j k ft

2 2216 8 16 24AC AC ft

16 8 16 ˆˆ ˆˆ ˆ24 24 24AC AC

ACn n i j k

AC

ˆAC AC

AC

T T n

16 8 16 ˆˆ ˆ120024 24 24

ACT i j k

ˆˆ ˆ800 400 800ACT i j k

A AB ACR T T

ˆˆ ˆ1440 720 360AR i j k lb

1650AR lb

0arccos 150.8xA

x x

A

R

R

0arccos 64.1yA

y y

A

R

R

0arccos 102.6zA

z z

A

R

R

5. Determine a força resultante que atua no

ponto O da figura.

6. Um balde A e um bloco C estão ligados por um cabo que passa ao longo

da roldana B. Sabendo que a roldana B gira

para a esquerda lentamente e que os

coeficientes de atrito entre as superfícies são

E = 0.35 e c = 0.25, determinar a menor massa m do

balde e seu conteúdo para o qual bloco C

estará:

(a) em repouso,

(b) começando a subir a ladeira,

(c) subindo a ladeira a uma velocidade

constante.

7. Na figura, o plano inclinado possui ajuste

variável no ângulo . Os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado

valem, respectivamente s = 0.40 e C = 0.35. A

massa do bloco vale m = 25 kg. Adote g = 10 m/s².

(a) Determine a aceleração do bloco para = 300.

(b) Determine a força de atrito para = 50.

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20

20

(c) Encontre o ângulo onde ocorrerá a iminência

de movimento.

8. Na figura, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado

valem, respectivamente s = 0.30 e C = 0.25. A

massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s².

Determine o valor de m0 para o qual haverá

iminência de movimento.

9. Na figura, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado

valem, respectivamente s = 0.20 e C = 0.17. A

massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s².

Determine o valor da força de atrito e da aceleração

do bloco.

10. Nas figuras, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano estão

indicados. Adote g = 10 m/s². Determine o valor da

força de atrito e da aceleração do bloco.

(a)

(b) P = 600 N

(c)

11. Determine o módulo, a direção e o

sentido e escreva o vetor força resultante que atua no

pino na figura: (1 lb = 0.455N).

(a)

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21

21

(b)

12. A tensão no cabo AB é 525 lb e no cabo

AD 315 lb. Encontre a força resultante no ponto A da

estrutura.

13. Determine o momento da força de

200N aplicada no ponto C da dobradiça em relação

ao ponto A.

14. Determine o ângulo formado pelos

cabos de sustentação da rede:

(a) AC e AD (b) AC e AB. Use:

cosu v u v

Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 22

22

Mecânica Geral I – Notas de AULA 1 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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