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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

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Geometria espacial

Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matemá-tica: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos sólidos.

Um sólido geométrico é uma figura tridimensional, ou seja, uma figura que no espaço pode ser observada em três dimensões. Para nos familia-rizarmos com os sólidos geométricos, vamos iniciar nosso estudo com os prismas.

Prismas Mas, o que é um prisma?

Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma, vamos considerar dois planos paralelos distintos (α e β), e uma reta r que in-tersecta os planos e um polígono qualquer contido em um dos planos:

r

α

β

Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade na região poligonal e a outra no outro plano paralelo.

r

α

β

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Geometria espacial

Essa definição de prisma indica que os prismas estão presentes no nosso cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais são vendidos os calçados, por exemplo, têm a forma prismática.

Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na ilustração:

r

α

β

h

D

D’

Base

Face lateral

Diagonal

Aresta da base

Aresta lateral

Bases: são as regiões D e D´, contidas nos planos α e β, respectivamente. Elas são caracterizadas por polígonos congruentes.

Arestas das bases: são os lados das regiões D e D´.

Altura (h): é a distância entre os planos α e β.

Arestas laterais: são os segmentos paralelos à reta r que unem vértices correspondentes das regiões D e D´.

Faces laterais: são paralelogramos determinados por dois vértices con-secutivos da região D e os respectivos vértices correspondentes da região D´.

Diagonais: é todo segmento de reta que une dois vértices não perten-centes a uma mesma face.

Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos.

No prisma reto as arestas laterais são perpendiculares às bases. Conse-quentemente, as faces laterais são retangulares, observe:

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Geometria espacial

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Prisma reto.

No prisma oblíquo as arestas laterais não são perpendiculares às bases.

Prisma oblíquo.

Neste capítulo estudaremos apenas os prismas retos, devido à sua ex-tensa utilização nas mais diversas formas geométricas encontradas no dia a dia.

De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas dife-rentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma são triângulos, ele é chamado de prisma triangular; se são quadriláteros, o prisma é quadrangular, e assim sucessivamente.

Um prisma é chamado regular quando satisfizer duas condições: for reto e apresentar bases formadas por polígonos regulares. Observe alguns exemplos:

Prisma triangular regular.

Prisma hexagonal regular.

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Geometria espacial

Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando estamos observando um prisma: a medida de sua área e a medida de seu volume.

Para entendermos como podemos obter a medida da área de um prisma, considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma quadrangular, cujas dimensões são apresentadas na ilustração:

8cm

10cm

20cm

Se a base é um retângulo de dimensões 20cm e 10cm, e a altura mede 8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construção dessa caixa?

Vamos desmontá-la e planificá-la para visualizar quais faces compõem o prisma.

10cm

10cm10cm 20cm

20cm

20cm

8cm

Para calcular a medida da superfície da caixa, basta adicionar as medidas das áreas dos dois retângulos das bases com a área de um retângulo forma-do pela junção das faces laterais.

Assim, lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura, e sendo St a medida da superfície total do prisma reto que representa a caixa de bombons, temos:

St = (10 . 20) . 2 + (20 + 10 + 10 + 20) . 8

St = 400 + 480

St = 880cm2

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Geometria espacial

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Portanto, são necessários 880cm2 de material para confeccionar essa caixa.

Observe que a superfície lateral de um prisma reto é sempre um retân-gulo no qual uma das dimensões é a altura do prisma e a outra é a soma dos comprimentos dos lados da base, ou seja, o perímetro dessa base.

Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo é o espaço ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume também precisa de uma unidade de medida.

Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1 unidade de comprimento.

1 u

1 u

1 u

Portanto, se for conveniente utilizarmos o centímetro como unidade de medida de comprimento, o volume será medido em cm3 (centímetros cúbi-cos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume será medido em m3 (metros cúbicos), e assim sucessivamente.

Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h e cuja superfície da base tem área SB , é dado por:

V = SB . h

Exemplo:

Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipo-tenusa do triângulo da base, qual é a medida do seu volume em cm3?

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Geometria espacial

A medida da hipotenusa do triângulo retângulo pode ser encontrada por meio do teorema de Pitágoras:

h2 = 32 + 42

h = 9 + 16

h2 = 25

h = 5cm

Assim, o volume do prisma V é dado por:

V = S . h

V = 6 . 5

V = 30cm

B

3

V = æèç

öø÷

3 42

5.

.

Agora que já conhecemos mais os conceitos geométricos, podemos ex-plorar outros sólidos geométricos que se destacam.

Um sólido geométrico de grande importância é o cilindro.

Cilindro Você consegue imaginar algum sólido geométrico

de contato quase que diário possuindo a forma de um cilindro?

A caneca de café que você vê, por exemplo, tem a forma de um cilindro.

Shut

ters

tock

.

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Geometria espacial

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Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar dois planos α e β e uma reta que intersecta esses dois planos determinando entre os planos um segmento AB , em que A é um ponto de α e B um de β.

α

β

A

B

O

Dado um círculo C contido em α, definimos como cilindro circular o con-junto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento AB com origem no círculo C e extremidade no plano β.

α

β

A

B

O

Eixo

Geratriz h

Os principais elementos do cilindro são:

Bases: são os círculos contidos nos planos α e β.

Altura (h): é a distância entre os planos α e β.

Geratrizes (g): são os segmentos paralelos ao segmento AB que têm ex-tremidades nos pontos das circunferências que limitam as bases.

Eixo (e): é a reta determinada pelos centros das bases.

Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro é oblíquo.

Devido à sua importância, estudaremos apenas os cilindros retos.

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Geometria espacial

Área superficial de um cilindro reto

Para entendermos como se pode obter a medida da área de um cilindro reto, considere um cilindro reto e “oco”, feito com cartolina, cuja altura mede 10cm e cujo raio da base mede 5cm:

R = 5cm

h = 10cm

Se você recortasse as bases e “desenrolasse” a superfície lateral, iria obter três figuras planas:

10cm

(2π 5)cm

5cm

5cm

As bases são circulares. Logo, a área de cada uma das bases pode ser obtida por meio de:

SB = πR2

SB = π . 52

SB = 25πcm2

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Geometria espacial

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A área lateral é um retângulo cuja altura é a do cilindro e cuja base é o perímetro da base do cilindro. Assim, o retângulo que constitui a área lateral tem área igual a:

SL = 2πR . h

SL = 2π . 5 . 10

SL = 100πcm2

Assim, a medida da superfície total de um cilindro reto é igual à soma das medidas das áreas de dois círculos com a medida da área de um retângulo, cujas dimensões são a altura do cilindro e o comprimento da circunferência que limita a base, ou seja:

ST = 2 . πR2 + 2πR . h

ST = 2 . SB + SL

ST = 150πcm2

Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma de base circular. Assim, o volume de um prisma é igual ao produto das medi-das da área da base pela altura:

V = πR2 . h

Pirâmides A palavra pirâmide normalmente nos evoca o formato das famosas cons-

truções egípcias, monumentos fantásticos que documentam historicamente a extraordinária capacidade arquitetônica daquela civilização e que vêm en-cantando a humanidade há milhares de anos.

No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para pirâmide.

Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α e V um ponto não pertencente a esse plano.

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Geometria espacial

αD

v

O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D é denominado pirâmide.

αD

v

Os principais elementos da pirâmide são:

αD

vVértice

Aresta lateral

Face lateral

h

Aresta da base

Base

Vértice: é o ponto V não pertencente ao plano α.

Base: é a região D contida no plano α.

Arestas da base: são os lados da região D.

Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices da região D e o ponto V.

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Geometria espacial

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Faces laterais: são triângulos determinados pelo ponto V e dois vértices consecutivos da região D.

Altura(h): é a distância entre o ponto V e o plano α.

De acordo com o número de lados da base de uma pirâmide, esta recebe um nome especial. Se a base for um triângulo, chama-se pirâmide triangular, se for um quadrilátero, a pirâmide é quadrangular, e assim sucessivamente.

Para que uma pirâmide seja denominada regular, é necessário que satis-faça duas condições: a base seja um polígono regular e a projeção ortogonal do ponto V seja um ponto V´ tal que V´ esteja no centro da base.

Apótema da pirâmide

v'

v

Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e, em con-sequência disso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar apótema da pirâmide a altura de cada face lateral.

Para aprendermos como podemos obter a medida da área de uma pirâ-mide, considere, como exemplo, uma pirâmide quadrangular regular, cuja altura e apótema medem 8cm e 10cm, respectivamente.

Qual é a medida da área total dessa pirâmide?

Observe que é possível visualizar um triângulo retângulo cuja hipotenu-sa é o apótema da pirâmide, um dos catetos é a altura e o outro cateto é a metade da aresta da base:

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Geometria espacial

10cm

8cm

v

2l

l

2

10cm8cm

Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

10 82

2 22

= +æèç

öø÷l

Resolvendo, obtemos:

l =12cm

A base é um quadrado de lado medindo 12cm. Logo, a medida da área da base é igual a:

SB = 122 = 144cm2

Observe que a superfície lateral da pirâmide é formada por quatro triân-gulos isósceles e congruentes. Assim, a medida da superfície lateral da pirâ-mide é igual a:

412 10

2240 2´

´æèç

öø÷

= cm

Assim, a medida da superfície total da pirâmide é igual à soma das medi-das da área da base com a área lateral:

144 + 240 = 384cm2

Para calcular a expressão do volume de uma pirâmide, vamos inicialmen-te decompor um prisma triangular reto em três pirâmides, observe:

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Geometria espacial

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A B

C

D

I B

E

FF

D

II B

C

D

III

F

As pirâmides I e II têm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruen-tes ( AD e BE ). Logo, seus volumes são iguais.

Por outro lado, as pirâmides I e III têm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distância entre o vértice B e o plano que contém a face ACDF). Portanto, seus volumes também são iguais.

Assim, sendo V1, V2 e V3 os volumes das pirâmides I, II e III, temos:

V1 = V2 = V3

Mas, se o volume do prisma é igual ao produto das medidas da área da base pela altura e as três pirâmides possuem o mesmo volume, então, ne-cessariamente, o volume de cada pirâmide é igual a um terço do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura:

V S hB=13

. .

Cones Outro sólido geométrico de destaque é o cone. Um cone pode ser inter-

pretado como sendo uma pirâmide de base circular. Evidentemente, algu-mas adaptações nos formulários serão importantes.

Observe a ilustração na qual podemos identificar os principais elementos formadores de um cone:

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Geometria espacial

α

v

g

e

h

Vértice: é o ponto V.

Base: é a região circular contida no plano α.

Altura (h): é a distância entre o ponto V e o plano α.

Geratrizes (g): são os segmentos com extremidades no ponto V e em um ponto da circunferência que limita a base.

Eixo (e): é a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base.

Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano da base, o cilindro é oblíquo. Estudare-mos aqui apenas os cones retos.

Para calcular a medida da superfície total de um cone reto, podemos rea-lizar um procedimento análogo àquele realizado para um cilindro reto.

Considere um cone reto e “oco”, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm:

8cm

6cm

Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter a medida da geratriz do cone:

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Geometria espacial

369

g2 = 82 + 62

g2 = 64 + 36

g2 = 100

g = 10cm

Se planificássemos esse sólido, separando a base da área lateral e “abrin-do” essa área lateral, teríamos as seguintes figuras planas:

6cm

10cm

(2π. 6)cm

10cm

Se a base é um círculo de 6cm de raio, a medida da área da base é dada por:

SB = πR2

SB = π . 62

SB = 36πcm2

A planificação da área lateral determina um setor circular cujo arco tem comprimento igual ao perímetro da base do cone. Assim, a área lateral de um cone é dada por:

A r gl = × ×p

Resolvendo, obtemos:

A

A cm

l

l

= × ×

=

p

p

6 10

60 2

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Geometria espacial

A conclusão é a de que a medida da superfície total de um cone é igual à soma da medida da área de um setor circular, cujo raio é igual à geratriz do cone e cujo comprimento do arco é igual ao perímetro da base do cone, com a medida da área do círculo da base.

Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacio-nar pirâmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido conside-rando-o como sendo uma pirâmide regular em que a base é um círculo e o apótema da pirâmide é a geratriz do cone.

O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base mede R, é dado por:

V R h=13

2p. .

Esferas O formato esférico está presente nas bolas da maioria dos esportes, em

algumas frutas e em diversas situações. Até mesmo nosso planeta é aproxi-madamente esférico.

Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto P do espaço e um segmento de medida R.

Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P é menor do que ou igual a R.

R O Esfera de centro O e raio R

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Geometria espacial

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Pode-se provar que a medida da área de uma esfera de raio R e a medida do volume de uma esfera são dadas, respectivamente, por:

S = 4 R2p

pV R=43

3.

Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos O objetivo desse conteúdo é desenvolver as relações espaciais entre dois

sólidos geométricos em que um deles está inscrito em outro.

Esfera e cubo

Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a.

a

R

Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, loca-lizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.

a = 2R

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Geometria espacial

Em uma outra situação, considere um cubo cujas arestas medem A, inscri-to em uma esfera cujo raio tem medida R

R A

Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.

D = 2R ou cubo a R3 2=

Esfera e cilindro

Considere uma esfera, cujo raio mede R, inscrita em um cilindro circular reto.

R

Como a superfície esférica intersecta as bases do cilindro nos seus centros e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as me-didas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja, o cilindro é equilátero.

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Geometria espacial

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Vamos analisar agora outra situação. Observe a figura a seguir:

R

Rr

h

Nesse caso, como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?

A partir do triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:

2 2

4 4

2 2 2

2 2 2

R r h

R r h

( ) =( ) +

= +

Esfera e cone reto

Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone também é pos-sível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.

R

r

r

g

h - r

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Geometria espacial

Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma seme-lhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:

rR

h rg

=-

Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção ante-

rior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual a 13

da medida da

altura do cone, ou seja, h = 3r. A figura a seguir ilustra essa situação:

R

r

2r 2R

Assim, por meio do teorema de Pitágoras, temos:

2 3 4 9

3 9 3

2 2 2 2 2 2

2 2

R R r R R r

R r R r

( ) = +( ) ® = + ®

= ® =

Em uma nova situação, considere agora uma esfera de raio R, circunscre-vendo um cone de raio r e altura h.

R

R

r

h - R

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Geometria espacial

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No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever:

R2 = r2 + (h – R)2

Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera, do raio da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.

Se o cone é equilátero, a medida do raio da esfera é igual a 23

da medida

da altura do cone, ou seja, hR

=32

.

r

2r23R

Logo, por meio do teorema de Pitágoras, temos:

232

49

4

39

4

2 22

2 22

22

2

r rR

r rR

rR

r

( ) = +æèç

öø÷

® = + ®

= ®

== ® =3

43

2

2Rr

R

Cilindro e cone retos

Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:

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Geometria espacial

R

h

Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.

Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H:

H

hh

H - h

G - g

R - rr

R

g

Gr

Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escre-ver as seguintes proporções:

rR

H hH

gG

rR r

H hh

gG g

R rR

hH

G gG

=-

=

-=

-=

-

-= =

-

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Geometria espacial

377

Resolução de questões 1. (Esaf ) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio está

encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5cm e 5cm de altura. De quantos centímetros é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

a) 5.

b) 7,5.

c) 5 5 22

+ .

d) 5 2 .

e) 10.

2. (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano α e uma esfera S de raio 10cm é uma circunferência de raio 6cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano α é igual a:

a) 4cm.

b) 5cm.

c) 7cm.

d) 8cm.

3. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5cm, altura 20cm e contém água até a altura de 19cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1cm de raio cada, que podemos colo-car no vaso a fim de que a água não transborde.

a) 14.

b) 15.

c) 16.

d) 17.

e) 18.

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378

Geometria espacial

4. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone cir-cular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do cone é 16πcm3, o raio da esfera é dado por:

a) 3cm.

b) 2cm.

c) 3cm.

d) 4cm.

e) 4 + 2 cm.

5. (UFPE) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento.

a) 3.

b) 9.

c) 18.

d) 21.

e) 27.

6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura

é h5

e um tronco de cone, conforme a figura.

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Geometria espacial

379

A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é:

a) 15.

b) 45.

c) 90.

d) 125.

7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4cm.

4cm

Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é:

a) 18p 2cm3.

b) 24p 2cm3.

c) 32p 2cm3.

d) 36p 2cm3.

8. (Fatec) A intersecção de um plano α com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura a seguir.

G

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380

Geometria espacial

Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano α ao centro O é igual a:

a) R5

.

b) R4

.

c) R3

.

d) 25R.

e) 23R.

9. (MACK) A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é:

a) pR2 32

.

b) pR2 33

.

c) 34

2pR .

d) 32

2pR .

e) 3 2pR .

10. (PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo diâmetro equatorial é 12 800km, e a Lua também uma esfera cujo diâmetro equato-rial é 27% do da Terra, a razão entre as superfícies terrestre e lunar, nessa ordem, é um número:

a) maior que 13,9.

b) compreendido entre 13,8 e 14,1.

c) compreendido entre 13,5 e 13,6.

d) compreendido entre 13,6 e 13,8.

e) inferior a 13,5.

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Geometria espacial

381

Dica de estudo A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no

plano, quer seja no espaço, requer sempre do estudante a resolução de uma boa dose de exercícios para que a “visão espacial” e a habilidade em “observar” as relações geométricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geométricas elementares (triângulo retângulo, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular e cír-culo). Procure entender a origem das fórmulas e pratique resolvendo muitos exercícios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figu-ras desta aula. Não é raro ocorrer de a solução de uma questão de geometria espacial estar baseada na geometria plana.

Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

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382

Geometria espacial

Gabarito 1. Observe a ilustração:

A B

C D

T

O triângulo CDT é retângulo, pois a tangente à circunferência forma ângulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangência T. O triângulo CDT é isósceles, pois os ângulos TCD˘ e TDC˘ têm a mesma medida. Como CT = 5, então DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de Pitágoras no triângulo CTD:

(CD) = (CT) + (DT) (CD) = 5 + 5

(CD) = 25 + 25 (CD)

2 2 2 2 2 2

2

® ®

® 22 = 50 ®

= ® = ®

=

CD CD

CD

50 5 2

5 2

2 .

Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distância entre o cen-tro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfície plana é igual a 5 2 cm.

Resposta: D

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Geometria espacial

383

2.

C

BA r = 6

r = 10

Sendo d a distância do centro da esfera ao plano α, temos:

102 = 62 + h2

d2 = 64

h = 8cm

Resposta: D

3. O volume não ocupado pela água no interior do cilindro é igual a p p. .5 1 252 3= cm

O volume de cada esfera é igual a 43

143

3 3. .pp

= cm

Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso

sem que a água transborde é igual a 2543

253

4754

18 75pp

pp

= = =. ,

Resposta: E

4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que:

1613

4 32p p= ® =. . . h h cm

Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g2 = 32 + 42 → g = 5cm

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384

Geometria espacial

Sendo R a medida do raio da esfera, temos que:

4 4 4 5

4 5 3

2 2

2

. . . . .p p pR

R R cm

= +

= + ® =

Resposta: C

5. O volume de uma esfera cujo raio mede R é igual a 43

3. .p R

O volume de uma esfera cujo raio mede R3

é igual a

43 3

43 27

3 3

. . . .p pR Ræ

èçöø÷

=

Assim, podem ser feitas 27 peças com o ouro derretido.

Resposta: E

6. Toda secção em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo à base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando o conceito de semelhança entre figuras geométricas, observadas no cone maior e no menor, é possível provar que a razão entre os volumes dos cones maior e menor é igual ao cubo da razão entre as medidas corres-pondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes dos cones maior e menor, respectivamente, temos:

Vv

hh

Vv

=

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

® =

5

125

3

Resposta: D

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Geometria espacial

385

7. Observe a figura a seguir:

2R

2R8cm

Por meio do teorema de Pitágoras, temos:

82 = (2R)2 + (2R)2

64 = 8R2

R2 = 8

R = 2 2

Assim, o volume do cilindro é igual a p p. ( ) .2 2 4 2 32 22 3= cm .

Resposta: C

8. O volume do cone maior é igual ao dobro do volume do cone menor. Sendo d a distância do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da base comum dos dois cones, temos:

13

213

2 2 33

2 2. . . ( ) . . . . ( )p pr R d r R d

R d R d d R dR

+ = -

+ = - ® = ® =

Resposta: C

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386

Geometria espacial

9. Sendo h a medida da altura do cone equilátero, g a medida da geratriz do cone e r a medida do raio da sua base, temos:

(2r) = r + 3r r = r =2 2 2 232

94

34

32

2 2 2R R R Ræèç

öø÷

® ® ®

Assim, a área lateral do cone é igual a

p p pp

. . . . . .r g r rR R R

= = =23

22 3

23

2

2

Resposta: D

10. A medida do raio da Terra é aproximadamente igual a 6 400km e a me-dida do raio da lua é aproximadamente igual a 0,27 . 6 400 = 1 728 km. Assim, a razão entre as áreas das superfícies terrestre e lunar é igual a

4 6 400

4 1 7283 7 13 69

2

2

2. .

. ., ,

p

p

( )( )

@( ) =

Resposta: D

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