Ensino Médio

62 Funções

Matemática

63Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

4

MATEMÁTICA, MÚSICA E TERREMOTO, O QUE

HÁ EM COMUM?Neusa Idick Scherpinski Mucelin1

1Colégio Estadual João Manoel Mondrone - EFM - Medianeira - Pr

uem não gosta de curtir uma música num final de tarde? No carro, na balada, no quarto, e se o professor deixar, até na sala

de aula em alguns momentos os alunos escutam música! Mas, o que a música tem a

ver com terremoto? Não é o barulho!

Ensino Médio

64 Funções

Você pode não acreditar, mas a música e os terremotos têm algo em comum. O som causa nas pessoas tanto sensações boas como ruins. O incômodo causado por um ruído é muito subjetivo. Um ruído intenso de uma porta batendo com o vento ou duas laminas de aço se tocan-do causa pavor e até arrepios em algumas pessoas; já o simples gotejar de uma torneira, à noite, incomoda o sono de qualquer pessoa.

E o barulho dos alunos falando ao mesmo tempo numa sala de au-la incomoda?

Qual é o limite suportável do som no ouvido humano? Que tal medir o barulho tolerável numa sala de aula? Ou num ambiente de trabalho?

PESQUISA

O que provoca sensação de prazer quando ouvimos uma música?

PESQUISA

Mas os sons quando harmônicos e com certa intensidade também provocam sensação de prazer.

Que tipo ou gênero de música que você mais gosta?

Tem alguma música que te deixa alegre? E triste? Por quê?

O que faz os sons produzirem efeitos nos sentimentos?

A música é uma das artes mais populares do nosso planeta. Mas, o que pouca gente sabe, é que por trás de um chorinho, ou de uma complexa sinfonia de Bach ou Villa-Lobos, existem relações matemáti-cas que ajudam a formar, ao lado da criatividade dos homens, o edifí-cio sonoro da nossa música.

Os sons utilizados para compor músicas constituem a escala musi-cal. Quando combinados de determinadas formas, podem produzir re-sultados agradáveis aos nossos ouvidos. Mesmo que você não toque nenhum instrumento, já ouviu falar das notas musicais dó, ré, mi, fá, sol, lá, si. Estas sete notas e mais cinco auxiliares (os bemóis e susteni-dos) compõem a base da música ocidental.

Mas, qual é a relação da matemática com a música?

Matemática

65Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

Por que relacionar matemática e música?

Um pequeno conjunto de notas musicais era conhecido como sé-rie harmônica, com suas freqüências agradáveis e audíveis aos seres humanos. Pitágoras, que viveu no século VI a.C., esticou uma corda e analisou o som produzido através de sua vibração. Descobriu que ao dividir a corda ao meio, a vibração do som era a mesma da produzi-da com a corda inteira, mas uma oitava acima, produzindo um som mais agudo. A partir desta experiência, Pitágoras estabeleceu várias re-lações, como o intervalo de quinta que por ser o mais consonante da série, foi a base para a construção da maior parte das escalas musicais existentes no mundo.

Em 1635, Mersenne propôs um sistema de afinamento suave, conhe-cido como escala temperada. Neste sistema é necessário que as relações de freqüência de quaisquer meio-tons adjacentes sejam constantes. Mas isto só foi aceito a partir das composições de O Cravo Bem Temperado, que foi composto de 1722 a 1744 por Bach (ABDOUNUR, 1999).

Mas quem foi Bach?

O compositor alemão Johann Sebastian Bach (1685-1750) é consi-derado o precursor da músia moderna e um dos principais composito-res de todos os tempos. Ele percebeu que os sons das notas músicas podem ser mais, ou menos, agradáveis conforme a maneira com que as notas são agrupadas. Veja, por exemplo, a escala de sete sons co-nhecidos: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. A escolha da separação dos sons nestas 7 partes é considerada agradável. A proposta da escala tempe-rada era a de dividir a escala musical em 12 partes, doze sons que fos-sem agradáveis ao ouvido e à alma (NASCIMENTO, 2005).

Esta escala apresenta todos ou quase todos os intervalos ligeira-mente imprecisos, porém não distorcidos.

Como?

O sentido temperado refere-se ao tempero igual em que se divi-de o intervalo de uma oitava em 12 semitons associados às relações de freqüências exatamente iguais. O temperamento não ocorreu como um processo repentino, se desenvolveu de diversas maneiras ao lon-go do tempo.

A escala temperada foi dividida desta forma:

NOTA DÓ DÓ# RÉ RÉ# MI FÁ FÁ# SOL SOL# LÁ LÁ# SI DÓ

Temperado 1 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 27/12 28/12 29/12 210/12 211/12 2

Escala

Pitagórica1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1

Fonte: adaptado de NASCIMENTO (2005)

Ensino Médio

66 Funções

Observe que as 12 notas da escala temperada pode ser explicada utilizando logaritmos de base 2, por exemplo,

Calcule os valores correspondentes às escalas temperada e pitagórica. Use 6 casas decimais.

Compare as notas destas escalas.

O que você observou?

ATIVIDADE

A grande semelhança existente entre as notas destas escalas tam-bém ocorre entre seus sons.

A divisão das notas musicais em logaritmos na escala temperada pos-sibilitou a construção de instrumentos com maior amplitude sonora e a formação de grupos musicais maiores, como os das grandes orquestras e até mesmo em consertos de Rock. Antes deste novo afinamento, os es-petáculos musicais eram limitados e só algumas pessoas tinham o privi-légio de ouvir música, ocorriam em ambientes pequenos e fechados e, na maioria das vezes, somente a Igreja e os Nobres tinham acesso.

Os logaritmos surgiram a partir da necessidade do homem de re-solver problemas relacionados aos números muito grandes - como os que encontramos ao estudar astronomia - ou números muito pequenos - como os que aparecem no estudo das moléculas. A fim de facilitar operações de multiplicação e divisão entre os números, foram desen-volvidas as teorias sobre logaritmos. A criação dos logaritmos é atribu-ída ao matemático John Napier, em 1614.

Atualmente, o estudo dos logaritmos tem contribuições de calcula-doras científicas e outros recursos computacionais. No entanto, vários fenômenos físicos, químicos, biológicos, econômicos e diversas leis matemáticas são relacionados com os logaritmos, o que torna seu es-tudo de grande importância.

A aplicação da função logarítmica ocorre em fenômenos que cres-cem muito lentamente. No cotidiano, freqüentemente, precisamos com-parar a velocidade de crescimento de dois ou mais fenômenos, como, por exemplo: quando se pretende medir a variação da intensidade do barulho de um debate numa sala de aula, ou quando se pretende ve-rificar o barulho provocado pelos automóveis numa rua de tráfego in-tenso em uma cidade.

Essas comparações tornam-se mais fáceis quando sabemos compa-rar a velocidade de crescimento de funções simples, como as funções polinomiais e exponenciais já conhecidas. Como por exemplo:

Matemática

67Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

Para perceber a variação das funções , podemos construir uma tabela e um gráfico para cada uma delas.

Utilizando a calculadora, complete a tabela:

x x2 x3 x4 2x ex ln x log x

1

2

3

10

100

1000

O que ocorre com as funções polinomiais à medida que x vai aumentando?

E com as funções exponenciais?

Compare as funções exponenciais com as logarítmicas. O que ocorre?

Como você classifica a velocidade de crescimento da função logarítmica?

Mas, o que isto tem em comum com a música?

Como é a nossa percepção do som?

ATIVIDADE

Para poder detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bas-tante complexo, que envolve ossículos, cavidades e milhares de ner-vos. O elemento principal na detecção das oscilações dos sons é a “có-clea”, uma pequena estrutura em espiral que atua seletivamente. Ao longo dela, existem milhares de fibras nervosas que agem como senso-res, e transferem ao cérebro a percepção das oscilações e intensidade dos sons. E é essa característica exata da percepção do som pelo ou-vido que faz com que a Música seja uma arte mais baseada em condi-ções fisiológicas do que em psicológicas (RATTON, 2005).

A intensidade do som captada pelo ouvido corresponde à sensação denominada popularmente de volume do som. Quando o som tem uma intensidade mínima, ou seja, o som mais fraco que o ouvido hu-mano pode captar, é chamado de limiar de audição. Quando a inten-sidade é elevada, o som provoca uma sensação dolorosa. A intensida-de mínima a que um som provoca sensação dolorosa tem o nome de limiar da dor.

Ensino Médio

68 Funções

Para perceber a onda sonora, o tímpano humano necessita que ele tenha no mínimo intensidade físi-ca corresponde a 10–12 w/m2 (potência por área), a chamada limiar de audibilidade, e, no máximo, de até 1 w/m2 para a limiar da dor.

A grandeza nível sonoro obedece a uma escala logarítmica, sendo definida por:

N = 10 log II0

Em que I é a intensidade do som e I0 é um nível de referência definida por convenção internacional,

que é utilizada como o limiar da audibilidade.

A unidade mais utilizada é o decibel (dB) em homenagem a Alexandre Graham Bell (1847-1922), que inventou o telefone.

Em decibéis (dB), como fica o limiar da audição?

E o limiar da dor (dB)?

ATIVIDADE

Os sons muito intensos são desagradáveis ao ouvido humano. Sons com intensidades acima de 130 dB provocam uma sensação dolorosa e sons acima de 160 dB podem romper o tímpano e causar surdez.

Nas festas de finais de ano ou quando um título é conquistado pelo nosso time favorito é comum algumas pessoas estourarem fogos de ar-tifícios, como forma de comemoração. Você já observou o que ocorre com os cães durante o estouro ensurdecedor dos fogos de artifícios?

Por que será que eles se incomodam tanto com o barulho?

Qual é a freqüência sonora dos cães?

Você sabia que alguns animais são capazes de perceber os ultra-sons, que é um som com uma freqüência superior àquela que um ser humano pode perceber? Por esse motivo, é comum o uso de cães para detectar a presença de invasores, pois eles conseguem ouvir sons não detectados pelo ouvido humano.

Pesquise sobre as freqüências sonoras de cães e outros animais.

PESQUISA

O ouvido tem a característica de responder aos estímulos sonoros não de uma forma linear. Se uma fonte sonora dobra a potência emiti-da, o ouvido não percebe que o aumento foi o dobro.

Matemática

69Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

A intensidade sonora de um cãozinho latindo é de 3,18 x 10–6 w/m2 numa distância de 5 metros. Qual será o nível de intensidade do latido?

E se dois cãezinhos estiverem latindo ao mes-mo tempo, será que o nível de intensidade tam-bém dobra?

Faça as contas.

Quando se dobra a intensidade do som, não se dobra o nível de in-tensidade, explique por que ocorre esse fato.

ATIVIDADE

Quais devem ser os cuidados numa sala de aula, em ambientes de trabalho e na vida cotidiana pa-ra que o som não prejudique a nossa audição e o nosso humor?

Quando o som é considerado poluição sonora?

Você sabe o que diz a lei municipal da poluição sonora no seu município?

Procure saber mais a respeito desta lei. Ela é adequada? Por quê?

PESQUISA

FONTE dB Descrição

0 Limiar da audição

Respiração normal 10 Quase inaudível

Sussurros de folhagens 20

Murmúrio (5 m) 30 Muito silencioso

Biblioteca 40

Escritório tranqüilo 50 Silencioso

Conversação normal 60

Tráfego pesado 70

Fábricas em geral 80

Caminhão pesado 90 Prejudicial a audição

Ronco de uma pessoa dormindo ?

Metrô antigo 100

Construção civil (3 m) 110

Concerto de rock (2 m) 120 Limiar da audição dolorosa

Metralhadora 130

Decolagem de um jato. 150

Motor de um foguete de grande porte. 180

A tabela a seguir apresenta os níveis de intensidade de algumas fontes sonoras comuns em dB.

FONTE: Adaptado de TIPLER, 1984.

Foto: Icone Audiovisual

Foto: Icone Audiovisual

Ensino Médio

70 Funções

Observando a tabela anterior, responda:

a) Qual é aproximadamente a intensidade sonora dos ruídos normais da sua sala de aula?

b) Quantas vezes a intensidade do som de uma banda de rock é superior à intensidade de uma conversação normal?

c) Qual é o limite do som tolerável numa sala de aula?

ATIVIDADE

Mas afinal de contas, o que o som tem em comum com terremotos? Calma, já chegamos lá!

Em 8 de outubro de 2005, foi registrado um terremoto de 7,6 graus na escala Richter no Sul da Ásia. Pelo menos 39.422 pessoas mortas, 65.038 feridos e muitas cidades completamente destruídas no norte de Paquistão. Na Índia e Afeganistão houveram, pelo menos, 800 vítimas fatais. Com uma estimativa de 2,5 milhões de pessoas desabrigadas, o terremoto também danificou estradas e pontes que bloqueiam o aces-so para muitas das cidades atingidas. Esse foi o segundo terremoto de grande escala registrado na Ásia em menos de um ano.

As aplicações dos logaritmos são utilizadas para descrever fenôme-nos cujas medições são muito grandes, muito pequenas, ou que se si-tuam em intervalos com uma amplitude muito grande. Um desses fe-nômenos é o sismo que ocorre em um terremoto. A energia liberada por um sismo no seu epicentro é medida pelos sismólogos em uma es-cala, a escala de Richter, definida pela seguinte equação:

M = 0,67 log10 E – 7,9

A letra E, na fórmula anterior, representa a energia liberada e M cor-responde a magnitude na escala de Richter.

Em 1976, um terremoto de 8,9 na escala de Richter atingiu a Gua-temala matando 23 000 pessoas. Qual foi a energia liberada pelo ter-remoto?

Se a energia liberada por um sismo for 10 vezes maior que a do ou-tro, qual é a diferença entre as respectivas magnitudes?

Matemática

71Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

Local e data Escala Richter

São Francisco, 1906 8,3

Argentina, 1922 8,5

Chile, 1960 9,5

México, 1985 8,1

São Francisco, 1989 7,1

Irã, 1990 7,3

Sudeste Asiático, 2004 9,0

Chile, 2005 7,9

Sul da Ásia e Paquistão, 2005 7,6

Baseado nos dados acima compare a intensidade dos terremotos de São Francisco, de 1989, com o do terremoto do Sul da Ásia, em outu-bro de 2005.

Compare também a intensidade do terremoto do Irã, de 1990, com o ocorrido no Chile, em 2005.

E então, já descobriu o que terremotos e música têm em comum?

Que tal agora ouvir uma boa música para alimentar a alma!

A escala Richter, utilizada para medir a magnitude dos terremotos, é baseada nos logaritmos de base 10. As medidas das intensidades de terremotos crescem exponencialmente. Isso significa dizer que se x é a magnitude de um terremoto, então a intensidade é de Y = 10x.

O quadro a seguir apresenta alguns terremotos registrados ao lon-go do tempo na escala Richter:

Ensino Médio

72 Funções

Referências BibliográficasABDOUNUR, O. J. Matemática e música: o pensamento analógico na construção de significados. São Paulo: escrituras editora, 1999. 333 p.

NASCIMENTO, M. Matemática com prazer. Disponível em: < http://www. geocities.com>. Acesso em: 20 setembro 2005.

RATTON. M. Música e matemática. Disponível em: < http://www.tvebrasil.com.br>. Acesso em: 18 novembro 2005.

Obras ConsultadasCARNEIRO, V. C. Funções elementares: 100 situações-problema de matemática. Porto Alegre: Universidade, 1993, 134 p.

TIPLER, P. A. Física. Rio de Janeiro: Ganabara, 1984. v. 2, 587 p.

BOYER, C. História da matemática. São Paulo: ed USP, 1974.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 1989, 415 p.

FLORIANI, J. V. Função logarítmica. 2. ed. Blumenal: Editora Furb, 2000.

GIMÉNEZ, C. C.; PIQUET, J. D. Funciones y gráficas. Madri: Síntesis, 1990. 176p.

LIMA, E. L. Logaritmos: coleção do professor de matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM 1996. 107 p.

MIORIM, M. A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMAT, 2002.

WISNIK, J. M. O Som e o sentido: Uma Outra História das Músicas. São Paulo: Cia. das Letras, 1999.

Documentos Consultados On-lineMAIA, A. Música e matemática: uma antiga relação. Disponível em: < http://www. comciencia.br>. Acesso em: 19 novembro 2005.

Matemática

73Matemática, Música e Terremoto, O Que Há Em Comum?

ANOTAÇÕES